全国通用版2019高考数学二轮复习专题五解析几何规范答题示例6直线与圆锥曲线的位置关系学案文2018
2019高考试题《圆锥曲线》《导数》《解析几何》解析分类汇编19页
2019高考试题解析分类汇编：圆锥曲线一、选择题1．1（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25B ．45 C ．255D ．4552214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式20022Ax Bx C d A B++=+2222551(2)±=+±．2（2019年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A ．22145x y -=B ．22145x y -= C．22125x y -=D ．22125x y -==． B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．3 3．（2019年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±已知双曲线C ：的离心率为，故有=，所以=，解得=．故C 的渐近线方程为，故选C ．本题考查双曲线的方程以及,,a b c 的计算。
双曲线1C 中，2222cos ,sin a b θθ==，所以21c =，离心率为221c o s e θ=。
2C 中，22222s i n ,s i n t a n a b θθθ==，所以22222s i n s i nt a nt a nc θθθθ=+=。
离心率为2222tan 1sin cos e θθθ==，所以两个双曲线有相同的离心率，选D.4 4．（2019年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ）A ．12B ．32C ．1D ．3B因为抛物线方程为y 2=4x 。
2019高三数学二轮专项练习测试五直线、圆锥曲线
2019高三数学二轮专项练习测试五直线、圆锥曲线注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】选择题1假设抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，那么点P 的坐标为〔〕A1(,44±B 1(,84±C 1(,44D 1(842椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直， 那么△21F PF 的面积为〔〕A 20B 22C 28D 243假设点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在 抛物线上移动时，使MAMF +取得最小值的M 的坐标为〔〕A ()0,0B⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ()2,1D ()2,2 4与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是〔〕A 1222=-y x B 1422=-y x C 13322=-y x D 1222=-y x 5假设直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是〔〕 A 〔315,315-〕B 〔315,0〕C 〔0,315-〕D 〔1,315--〕6.直线x 2212y x +=的位置关系为 A.相离B.相切C.相交D.不确定7.抛物线2y x =的切线中，与直线240x y -+=平行的是A.230x y -+=B.230x y --=C.210x y -+=D.210x y --= 8.假设双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，那么p 的值为A.2B.3C.4D.9.过椭圆22221(0)4x y a a a +=>的一个焦点F 作直线交椭圆于,P Q 两点，假设线段FP 和FQ 的长分别为,p q ，那么11p q+=A.4aB.12aC.4aD.2a 10.假设直线:1(0)l y kx k =+≠被椭圆22:14x y E m +=截得的弦长为d ，那么以下被椭圆E 截得的弦长不是d 的直线是A.10kx y ++=B.10kx y --=C.10kx y +-=D.0kx y += 11.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，那么m 的取值范围是 A.(0,1]B.(0,5)C.[1,5)(5,)+∞D.[1,5)12.设1F ，2F ，为双曲线2214x y -=的两焦点，点P 在双曲线上，且满足122F PF π∠=，那么△12F PF 的面积是C.2D 【二】填空题13AB 是抛物线2y x =的一条弦，假设AB 的中点到x 轴的距离为1，那么弦AB 的长度的最大值为..14、设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，那么△AFB 的面积为..15.过椭圆22143x y +=的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于. 16.过抛物线24y x =的焦点F 做垂直于x 轴的直线，交抛物线,A B 两点，那么以AB 为直径的12.假设直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，那么k 的取值范围为.. 【三】解答题17、抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ的中点，求点M 的轨迹方程、〔12分〕18.P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，假设︒=∠6021PF F （1） 求△21PF F 的面积；（2） 求P 点的坐标、19、(本小题总分值12分)：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程、 20、动圆过定点F(0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切、(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)假设AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F(0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ.21.圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a>b>0)的离心率为22，假设圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程、 22、抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b -=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，抛物线与双曲线的交点为32⎛ ⎝，、求抛物线与双曲线的方程、BDDADADCADCA 13.5214.321515.316.23()32-， 17、[解析]：设M 〔y x ,〕，P 〔11,y x 〕，Q 〔22,y x 〕，易求x y 42=的焦点F 的坐标为〔1，0〕∵M 是FQ 的中点，∴22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴221212y y x x ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y . 18.[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4〔1〕设11||t PF =，22||t PF =，那么1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F〔2〕设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P19、解：法一：设点M 的坐标为(x ，y)， ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y)、 ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P(2,4)， ∴PA ⊥PB ，k PA ·k PB ＝－1.而k PA ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y2－0，(x ≠1)，∴21－x ·2－y1＝－1(x ≠1)、 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)、∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y)，那么A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM|=|AB|. 而∴=化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程、 法三：设M 的坐标为(x ，y)，由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆，∴|MO|=|MP|，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点、 ∵k OP =4020--=2，线段OP 的中点为(1,2)，∴y-2=-12(x-1)，即x+2y-5=0即为所求、20、解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线、因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x 2＝8y.(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2.A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)、 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ.21.解：∵e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2.因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点， 设A(2－m,1－n)，B(2＋m,1＋n)，那么⎩⎪⎨⎪⎧(2－m)2＋2(1－n)2＝2b 2，(2＋m)2＋2(1＋n)2＝2b 2，|AB|＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16.故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.22解、抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b -=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，抛物线与双曲线的交点为32⎛ ⎝，、求抛物线与双曲线的方程、解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>， 将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，， 这也是双曲线的一个焦点，那么1c =、又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，因此有229614a b -=、 又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，， 因此，双曲线的方程为224413y x -=、。
(全国通用版)高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线文-2022年学习资料
考情考向分析]-1.以选择题、填空题形式考查圆推曲线的方程、几何性质（特别-是离心率.-2以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系（弦长、中点等）
内容索引-热点分类突破-真题押题精练
热点分类突破(全国通用版)2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线文
2已知双曲线C:广-芳=1c0,>0的焦距为2c,直线/过点，0l日-与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为-4V2-半径 圆与直线1交于M,N两点，若MN=3C,-则双曲线C的渐近-线方程为-A.y=±V2x-B=±V3x-C.y=±2x-D.y=±4x-解析-答案
热点三-直线与圆锥曲线-判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法-代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组，-消 y或x得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的-解即为交点坐标，-2几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数，
利32018衡水金卷调研已知椭圆+点=1a>b>0的左、右焦点分别-为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点-1若直线AB与椭圆的长轴垂直，A =20,求椭圆的离心率；-解由题意可知，直线AB的方程为x=-C,-2b21-∴.AB1=-a=24,直线AB的斜率为1，AB1=a十，-求椭圆的短轴与长轴的比值.-解答
,2-例112018：乌鲁木齐诊断椭圆的离心率为2，F为椭圆的一个焦-点，若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称，则椭圆方程为-x2 y2-A 8+=1-B+的=1-+-1号+-1-解析-答案
22018龙岩质检已知以圆C:x-12+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1-与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点，BM与 直线y=-2垂直，垂足为M,则BMI-AB的最大值为-B.2-C.-1-D.8-解析-答案
高考数学题型归纳：圆锥曲线
高考数学题型归纳：圆锥曲线2019高考数学题型归纳：圆锥曲线2019高考数学题型归纳：圆锥曲线1、直线与圆锥曲线的位置关系：①、要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程，再考查其△，从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数：(1)若△0，则直线与圆锥曲线没有公共点;②若△=0，则直线与圆锥曲线有唯一的公共点;③若△0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点;②、从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交(有两个交点)、相切(有一个公共点)、相离(没有公共点)三种情况;这里特别要注意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时，属于相交的情况，但只有一个公共点。
3、直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种：①、设直线方程为y=kx+m，代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系去处理(由于直线方程与圆锥曲线方程均未定，因而通常计算量较大);②、利用点差法：例如在椭圆内有一定点P(x0,y0),求以P 为中点的弦的直线方程时，可设弦的两端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则A、B满足椭圆方程，即有两式相减再整理可【名师点睛】：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.考点2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例2：设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，求的值.思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1：由已知，|PF1||PF2|，|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=，若PF2F1为直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，可解得：|PF1|=，|PF2|=，这时.若F2PF1为直角，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，可解得：|PF1|=4，|PF2|=2，这时.【名师点睛】：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质(如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等)是应对考试必备的基本功;在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex来求解.考点3：有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.1、椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(0。
2019高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题练习
地地道道的达到第 3 讲圆锥曲线中的热门问题高考定位 1. 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考察，常常作为试卷的压轴题之一； 2. 以椭圆或抛物线为背景，特别是与条件或结论有关存在性开放问题 . 对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考察 .真题感悟x2 2 →→1.(2018 ·浙江卷 ) 已知点P(0 ，1) ，椭圆4＋y ＝ m( m>1)上两点 A， B 知足 AP＝2PB，则当m ＝________时，点B横坐标的绝对值最大 .→ →－ x1＝2x2，1 12 2) ，由 AP＝2PB，得 1 2 1 －分析设 A( x ， y ) ，B( x，y 1－y1＝ 2（y2－ 1），即 x ＝－2x ， y ＝34 2 2x 2 22y2 . 因为点A，B在椭圆上，所以4＋（ 3－ 2y ）＝m， 1 3 2 22 得y2＝m＋，所以 x2＝ m－(3－2y2) x2 2 4 4＋ y2＝ m，4＝－1 2＋5 －9＝－1( － 5) 2＋4≤4，所以当＝5 时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为4m2m4 4mm2.答案 52.(2018 ·北京卷 ) 已知抛物线C：y2＝ 2px经过点P(1 ，2). 过点Q(0 ，1) 的直线l 与抛物线 C 有两个不一样的交点A， B，且直线 PA交 y 轴于 M，直线 PB交 y 轴于 N.(1) 求直线l的斜率的取值范围；→→→→ 1 1(2) 设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：λ＋μ为定值 .(1)解因为抛物线 y2＝2px 过点(1，2)，2所以 2p＝ 4，即p＝ 2. 故抛物线C的方程为 y ＝4x.设直线 l 的方程为 y＝ kx ＋1( k≠0).由y2＝4x，得 k2x2＋(2 k－4) x＋1＝0. y＝ kx＋1依题意＝ (2 k － 4) 2－4× k 2×1>0，解得 k <1，又因为 ≠0，故k <0 或 0< <1.kk又 ， 与 y 轴订交，故直线l 可是点 (1 ，－ 2).PA PB进而 k ≠－ 3.所以直线 l 斜率的取值范围是( －∞，－ 3) ∪ ( － 3， 0) ∪ (0 ， 1).(2) 证明 设 A ( x 1， y 1) ，B ( x 2， y 2).12＝－2k － 41 21由(1) 知 x ＋ x k 2， x x ＝k 2.y 1－ 2直线 PA 的方程为 y － 2＝ x 1－ 1( x － 1). 令 x ＝ 0，M － y 1＋ 2＋2＝ － kx 1＋1得点 M 的纵坐标为 y ＝ x 1－ 1x 1－ 1 ＋2.－ kx 2＋1同理得点 N 的纵坐标为 y N ＝ 2＋ 2.x － 1由 → ＝ λ → ， → ＝ μ→ 得 λ ＝ 1－ y My N，μ＝ 1－QMQO QNQO所以1 1＝1 ＋ 1＝ x 1－ 1＋ x 2 －1＋ μ（ k － 1） x 2 λ 1－ y M 1－y N（ k － 1） x 1 2 2 k － 4＝ 1 2x 1x 2－（ x 1＋ x 2） ＝ 1 k 2＋ k2＝2. · x x · 1k － 12k － 11k 21 1所以 λ ＋ μ ＝2 为定值 .3.(2017 ·全国Ⅰ卷 ) 已知椭圆 x 2 y 2 － 1，3 C ： 2＋2＝ 1( a >b >0) ，四点 P 1(1 ，1) ，P 2(0 ，1) ，P 3，ab243中恰有三点在椭圆 C 上 . P 1， 2(1) 求 C 的方程；(2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 订交于 A ，B 两点 . 若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为－ 1，证明： l 过定点 .(1) 解 因为点 P 3， P 4 对于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P 3，P 4 . 又由 1 1 1 32知，椭圆 Ca 2＋ 2> 2＋ 4b b a不经过点 P ，1所以点 P 2在椭圆 C 上.12＝ 1， 22b a ＝4，x＋ y 2＝ 1.所以解得故 C 的方程为1 3b 2＝ 1.4a ＋4b ＝1，(2) 证明设直线 P2A 与直线 P2B的斜率分别为k1， k2. 假如直线l 的斜率不存在， l 垂直于 x 轴.设 l ： x＝ m， A( m， y A)，B( m，－ y A)，y A－1－ y A－1－2k1＋k2＝m ＋m ＝m＝－ 1，得m＝ 2，此时 l 过椭圆右极点，不存在两个交点，故不知足.进而可设l ：＝kx＋ ( ≠1).y m mx2 2 222将 y＝ kx ＋m代入4＋y ＝1 得(4 k＋ 1) x＋ 8kmx＋ 4m－ 4＝ 0. 由题设可知＝ 16(4 2 －2＋ 1)>0.k m28km4m－ 4 设 A( x1， y1)， B( x2， y2)，则 x1＋ x2＝－4k2＋1， x1x2＝4k2＋1.则 k1＋ k2＝y1－1 y2－1 kx1＋m－1 kx2＋ m－1 ＋＝＋x2x1 x2 x1＝2kx1x2＋（m－1）（x1＋x2）.x1x2由题设 k1＋ k2＝－1，故(2 k＋1) x1x2＋( m－1)( x1＋x2)＝0.24m－ 4－8km∴(2 k＋1) ·4k2＋1＋ ( m－1) ·4k2＋1＝ 0.解之得 m＝－2k－1，此时＝32(m＋1)>0，方程有解，∴当且仅当m>－1时，>0，∴直线 l 的方程为 y＝ kx －2k－1，即 y＋1＝ k( x－2).所以 l 过定点(2，－1).考点整合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，能够转变为函数的最值问题 ( 以所求式子或参数为函数值 ) ，或许利用式子的几何意义求解 .温馨提示圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在波及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响 .2.定点、定值问题(1)定点问题：在分析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，无论参数怎样变化，其都过某定点，这种问题称为定点问题.若获得了直线方程的点斜式：y－ y0＝ k( x－ x0)，则直线必过定点( x0，y0) ；若获得了直线方程的斜截式： y＝ kx＋ m，则直线必过定点(0 ，m).呵呵复生复生复生地地道道的达到标或动直线中的参变量没关，这种问题统称为定值问题.3. 存在性问题的解题步骤：(1) 先假定存在，引入参变量，依据题目条件列出对于参变量的方程( 组 ) 或不等式 ( 组 ).(2) 解此方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组) ，如有解则存在，若无解则不存在.(3) 得出结论 .热门一圆锥曲线中的最值、范围x 2y23，直线【例 1】 (2018 ·西安质检 ) 已知椭圆： 2 ＋ 2＝ 1( > >0) 的离心率 ＝x＋ 3C a b a be2y－1＝ 0 被以椭圆 C 的短轴为直径的圆截得的弦长为3.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过点 M (4 ， 0) 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两个不一样的点，且 λ＝ | MA |·|MB | ，求 λ 的取值 范围 .1解 (1) 原点到直线 x ＋3 y － 1＝ 0 的距离为 2，22由题得1 3＝ b 2( b >0) ，解得 b ＝ 1.＋222c 2b 2 3又 e ＝ a 2＝ 1－a 2＝ 4，得 a ＝2.x 22所以椭圆 C 的方程为 4＋ y ＝ 1.(2) 当直线 l 的斜率为 0 时， λ ＝ | MA |·|MB | ＝12.当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l ： x ＝ my ＋ 4，点 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) ，x ＝ my ＋ 4，联立 x2消去 x 得22＋8my ＋ 12＝ 0.2( m ＋ 4) y4 ＋ y ＝1，由222＝ 64m －48( m ＋ 4)>0 ，得 m >12，所以 y 1y 2＝12.2m ＋ 4λ＝ ||·| |＝2＋ 1|y 1|·2＋ 1| y 2|mmMAMB232y 1y 2|12（ m ＋ 1）＝( m ＋ 1)|＝＋＝ 12－m ＋4 .m 42233 39 由 m >12，得 0<2＋ 4<16，所以 4 <λ <12.m地地道道的达到3939综上可得： 4 <λ ≤12，即 λ ∈ 4 ， 12 .研究提升求圆锥曲线中范围、最值的主要方法： (1) 几何法：若题目中的条件和结论能明显表现几何特点和意义，则考虑利用图形性质数形联合求解.(2) 代数法：若题目中的条件和结论能表现一种明确的函数关系，或许不等关系，或许已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.【训练 1】 (2018 ·浙江卷 ) 如图，已知点 P 是 y 轴左边 ( 不含 y 轴 ) 一点，抛物线 ： y 2＝ 4 上存在不一样的两点 ， B 知足 ，的中点均在CxAPA PBC上 .(1) 设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；2 y 2(2) 若 P 是半椭圆 x ＋ 4 ＝ 1( x <0) 上的动点，求△ PAB 面积的取值范围 .1 2 1 2 (1) 证明 设 P ( x 0， y 0) ，A 4y 1， y 1 ，B 4y 2， y 2 .2 为方程 y＋ y 0 2 1 y 2＋ x 0 因为 ， 的中点在抛物线上，所以 y 1， ＝4· 4 ， PA PB y 2222 的两个不一样的实根 .即 y－ 2y y ＋ 8x － y ＝ 00 0所以 y 1＋ y 2＝ 2y 0，所以， PM 垂直于 y 轴 .(2) 解由 (1) 可知y 1＋ y 2＝ 2y 0，2y 1y 2＝ 8x 0－ y 0，所以 | | ＝1(y 12＋ y 22) － x 0＝32－ 3 x 0，PM 84y2| y 1 －y 2| ＝ 2 2（ y 0－ 4x 0）.1 所以，△ PAB 的面积 S △ PAB ＝ | PM |·|y 1－ y 2|23 223＝ 4 ( y 0－4x 0) 2.22y 0因为 x 0 ＋ 4 ＝ 1( x 0<0) ，所以y 02－ 4 0＝－ 4 02－ 4 x 0＋4∈ [4 ，5] ，x x所以，△ PAB 面积的取值范围是6 2，1510.4热门二定点、定值问题考法 1圆锥曲线中的定值呵呵复生复生复生【例 2－ 1】 (2018 ·烟台二模 ) 已知椭圆x 2 y 2＝ 1(> >0) 的焦距为 2 3，斜率为 1 ： 2 ＋ 2的直C a ba b2线与椭圆交于 ， 两点，若线段AB 的中点为 ，且直线的斜率为－ 1 .A BDOD 2(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若过左焦点 F 斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于 M ，N 两点，P 为椭圆上一点， 且知足 OP ⊥ MN ，问： 1＋ 1能否为定值？假如，求出此定值；若不是，说明原因. | MN | |OP |2 解 (1) 由题意可知 c ＝ 3 ，设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) ，222 2x 1y 1x 2 y 2则 a 2＋ b 2＝ 1， a 2＋b 2＝ 1，y － yy ＋ y222 b11两式相减并整理得， x 1－x 2·x 1 ＋ x 2 ＝－ a 2 ，b 2即 k AB · k OD ＝－ a 2.112 2又因为 k ＝2， k ＝－2，代入上式得， a ＝4b .ABOD又 a 2＝ b 2＋ c 2， c 2＝3，所以 a 2＝4， b 2＝ 1， 故椭圆的方程为x 22＋ y ＝ 1.4(2) 由题意可知， F ( － 3， 0) ，当 MN 为长轴时， OP 为短半轴，111 5则 | MN |＋ | OP | 2＝ 4＋ 1＝4，不然，可设直线 l 的方程为 y ＝k ( x ＋ 3) ，x 22联立4 ＋ y ＝1，消 y 得，y ＝ k （x ＋ 3），(1＋42)x 2＋8 3 k 2 x ＋ 12 2－ 4＝ 0，kk8 3 212 k2－ 4k 则有 x 1＋ x 2＝－ 1＋ 4k 2， x 1x 2＝ 1＋ 4k 2 ，所以 | |＝ 1＋ k 2| x 1－ x 1|MN8 3k2212k 2－ 44＋ 4k 2 ＝ 1＋ k 2－ ＋ 4k 2 －41＋ 4k 2＝1＋4 k 2，11设直线 OP 方程为 y ＝－ k x ，2x＋ y 2＝ 1，4联立1y ＝－ k x ，2k2依据对称性不如令P－2， 2，k ＋4 k ＋ 42k 2224＋ 4k 2所以|OP |＝－k 2＋ 4 ＋k 2＋ 4 ＝k 2＋ 4.11 1＋ 4k 211＋ 4k 2 k 2＋ 4 5故 | MN |＋ | OP | 2＝ 4＋ 4k 2＋ 4＋ 4k 2 2＝ 4＋ 4k 2＋4＋ 4k 2＝ 4，k 2＋ 41 15综上所述， | MN |＋ | OP | 2为定值 4.研究提升1. 求定值问题常有的方法有两种：(1) 从特别下手，求出定值，再证明这个值与变量没关.(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，进而获得定值 .2. 定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，而后证明与参数没关， 这种问题选择消元的方向是特别重点的.x 2 y 2【训练 2】 已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1 过点 A (2 ， 0) ， B (0 ， 1) 两点 .(1) 求椭圆 C 的方程及离心率；(2) 设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，求证：四边形 ABNM 的面积为定值 .x 2(1) 解 由题意知 a ＝ 2， b ＝ 1. 所以椭圆方程为4 ＋ y 2＝ 1，22c3又 c ＝ a － b ＝ 3. 所以椭圆离心率 e ＝ a ＝ 2 .(2) 证明 设 P 点坐标为 ( x 0， y 0)( x 0＜ 0， y 0＜ 0) ，22则 x ＋ 4y ＝ 4，y 0－ 1由 B 点坐标 (0 ，1) 得直线 PB 方程为： y － 1＝ x 0 ( x － 0) ， 令 y ＝ 0，得 x N ＝ x 0，1－ y 0x 0进而 | AN | ＝2－ x N ＝ 2＋y 0－ 1，由 A 点坐标 (2 ， 0) 得直线方程为 y －0＝ y 0 ( x －2) ，PA x 0 － 2地地道道的达到令 x ＝ 0，得 y M ＝ 2y 0，进而| | ＝ 1－ M ＝1＋ 2y 0 ，BM yx 0－ 22－x 0所以S 四边形 ABNM＝ 1 ||·| | 2 ANBM ＝ 12＋ x 0 1＋ 2 y 02 0 0y － 1 x － 222x 0＋ 4y 0＋ 4x 0y 0－ 4x 0－ 8y 0＋ 4＝2（ x 0y 0－ x 0－ 2y 0＋ 2）2x 0y 0－ 2x 0－ 4y 0＋4 ＝x 0y 0－ x 0－ 2y 0＋ 2 ＝2.即四边形 ABNM 的面积为定值 2. 考法 2圆锥曲线中的定点问题【例 2－ 2】 (2018 ·衡水中学质检 ) 已知两点 A ( － 2，0) ， B ( 2，0) ，动点 P 在 y 轴上的→→→2投影是 Q ，且 2PA ·PB ＝ | PQ | .(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2) 过 (1 ， 0) 作相互垂直的两条直线交轨迹C 于点 ，，，，且1， 2 分别是 ， 的F GHMN E E GH MN中点 . 求证：直线 E 1E 2 恒过定点 .(1) 解 设点 P 坐标为 ( x ， y ) ，∴点 Q 坐标为 (0 ， y ).→→ → 2∵2PA · PB ＝ | PQ | ，∴2[( －2－ x )( 2－ x ) ＋ y 2 ] ＝ x 2，x 2 y 2化简得点 P 的轨迹方程为4 ＋ 2 ＝ 1.(2) 证明 当两直线的斜率都存在且不为0 时，设l GH： ＝ ( x －1)， ( 1，1)， (2， 2) ，y k G x y H x y1l MN ： y ＝－ k ( x －1) ， M ( x 3，y 3) ， N ( x 4， y 4) ，22xy联立4＋ 2＝1， y ＝k （ x － 1），消去 y 得 (2 k 2＋ 1) x 2－ 4k 2x ＋ 2k 2－ 4＝0.则 >0恒成立 .4k 22k 2 －4∴x 1＋ x 2＝2k 2＋ 1，且 x 1x 2＝ 2k 2＋1.2k 2 ， － k ，12 2 2k ＋1 2k ＋ 1 ∴GH 中点 E 坐标为 2 k同理， MN 中点 E 2 坐标为 k 2＋ 2， k 2＋2 ，地地道道的达到－3k∴k E1E2＝2（k2－1），lE E y －3k 2 2∴的方程为＝x－，∴过点， 0 ，1 2 22（k－ 1） 3 31 22 ， 0 1 2当两直线的斜率分别为0 和不存在时，lE E的方程为y＝ 0，也过点3 ，综上所述， lE E 2过定点3，0 .研究提升 1. 动直线l过定点问题 . 设动直线方程( 斜率存在 ) 为y＝kx＋t，由题设条件将t 用 k 表示为 t ＝ mk，得 y＝ k( x＋ m)，故动直线过定点( －m， 0)2.动曲线 C过定点问题.引入参变量成立曲线 C的方程，再依据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【训练 3】已知曲线C： y2＝4x，曲线 M：( x－1)2＋y2＝4( x≥1)，直线 l 与曲线 C交于 A，B两点， O为坐标原点.→→(1) 若OA·OB＝－ 4，求证：直线l 恒过定点；→→(2) 若直线l与曲线M相切，求PA·PB( 点P坐标为 (1 ， 0)) 的最大值 .解设 l ：x＝ my＋ n， A( x1， y1)， B( x2， y2).x ＝ my＋ n，2－4 － 4 ＝0.由得y 2＝ 4x，y my n∴y1＋ y2＝4m，y1y2＝－4n.∴x1＋ x 2 22＝4m＋2n，x1x2＝n.(1) 证明→→由 OA· OB＝－4，2得 x1x2＋ y1y2＝ n －4n＝－4，解得 n＝2.∴直线 l 恒过定点(2，0).(2)∵直线 l 与曲线 M：( x－1)2＋ y2＝4( x≥1)相切，|1 －n|∴2＝2，且n≥3，1＋m2 2整理得 4m＝n－2n－ 3( n≥3). ①又点 P 坐标为(1，0)，∴由已知及①，得→→PA· PB＝( x1－1， y1)·(x2－1， y2)＝( x1－ 1)( x2－1) ＋y1y2＝ x 1x 2－ ( x 1＋ x 2) ＋ 1＋ y 1y 222＝ n － 4m － 2n ＋1－ 4n22＝ n － 4m － 6n ＋1＝ 4－ 4n .又 y ＝ 4－ 4n ( n ≥3) 是减函数，∴当 n ＝ 3 时， y ＝ 4－ 4n 获得最大值－ 8.→ → 故PA · PB 的最大值为－ 8. 热门三圆锥曲线中的存在性问题x 2 y 2【例 3】 (2018 ·江南名校联考 ) 设椭圆 M ： a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点分别为 A ( －1，0)， (1，0)， C 为椭圆 上的点，且∠ ＝ π， △ ABC ＝ 3 .B M ACB 3 S 3(1) 求椭圆 M 的标准方程；(2) 设过椭圆 M 右焦点且斜率为 k 的动直线与椭圆 M 订交于 E ，F 两点，研究在 x 轴上能否存→ →D 的坐标； 若不存在， 请说明原因 .在定点 D ，使得 DE · DF 为定值？若存在， 试求出定值和点2222解 (1) 在△ ABC 中，由余弦定理 AB ＝ CA ＋CB － 2CA ·CB ·cos C ＝ ( CA ＋CB ) － 3CA ·CB ＝ 4.1 33 ，又 S △ ABC ＝ CA · CB ·sin C ＝CA · CB ＝243∴ · ＝4，代入上式得＋ ＝ 2 2.CACB 3CA CB椭圆长轴 2a ＝ 2 2，焦距 2c ＝ AB ＝ 2.2x2所以椭圆 M 的标准方程为＋ y ＝ 1.(2) 设直线方程 y ＝ k ( x － 1) ，E ( x 1， y 1) ， F ( x 2， y 2) ，2x＋ y 2＝1，联立2y ＝ k （x － 1），消去 y 得 (1 ＋ 2k 2) x 2－ 4k 2x ＋ 2k 2－ 2＝0， ＝ 8k 2＋8>0，4k 22k 2－ 2∴ x 1＋ x 2＝ 1＋ 2k 2， x 1x 2＝ 1＋ 2k 2.→ →假定 x 轴上存在定点D ( x 0， 0) ，使得 DE ·DF 为定值 .→ →∴DE · DF ＝ ( x 1－ x 0， y 1) ·(x 2－ x 0， y 2)2＝x 1x 2－ x 0( x 1＋ x 2) ＋x 0＋ y 1y 22 2＝ x 1x 2－ x 0( x 1＋ x 2) ＋x 0＋ k ( x 1－ 1)( x 2 －1)2 ) x 1x 2－ 2 2 2＝(1 ＋ k ( x 0＋ k )( x 1＋ x 2) ＋x 0＋ k22 2（ 2x 0－ 4x 0＋ 1） k ＋（ x 0－ 2）＝1＋ 2k 2要使→ · →为定值，则 → · →的值与k 没关，DE DFDE DF225∴2x － 4x ＋1＝2( x － 2) ，解得 x ＝ ，4 此时→ · →＝－ 7 为定值，定点为5 ， 0 .DE DF164研究提升1. 此类问题一般分为研究条件、研究结论两种 . 若研究条件，则可先假定条件成立，再考证结论能否成立，成立则存在，不可立则不存在；若研究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行议论，常常波及对参数的议论.2. 求解步骤：假定知足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，用待定系数法设出，列出对于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，不然，元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 .x 2 y 21 3【训练 4】 已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 的离心率为 2，且过点 P 1，2 ，F 为其右焦点 .(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设过点 A (4 ，0) 的直线 l 与椭圆订交于M ， N 两点 ( 点 M 在 A ， N 两点之间 ) ，能否存在直线 l 使△ AMF 与△ MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明原因.c 1解 (1) 因为 a ＝ 2，所以 a ＝ 2c ， b ＝ 3c ，x 2y 2设椭圆方程 4c 2＋ 3c 2＝ 1，又点 P 1， 3 1 3 2＝ 1，在椭圆上，所以 2＋2 4c 4c22 2x 2 y 2解得 c ＝ 1， a ＝4， b ＝ 3，所以椭圆方程为 4＋ 3＝1.(2) 易知直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 y ＝ ( x －4) ，k y ＝ k （ x － 4）， 由 x 2 y 2 消去 y 得 (3 ＋ 4k 2) x 2－ 32k 2x ＋ 64k 2－12＝ 0，4＋ 3＝1，由题意知＝ (32 k 2) 2－ 4(3 ＋ 4k 2)(64 k 2－ 12)>0 ，1 1 解得－ <k < .22设 M ( x 1， y 1) ， N ( x 2， y 2) ，32k 2则 x 1＋ x 2＝ 3＋ 4k 2，①地地道道的达到264k－ 12因为△ AMF与△ MFN的面积相等，所以 | AM| ＝| MN|，所以 2x1＝x2＋4. ③4＋ 16k2由①③消去x2得 x1＝3＋4k2.④64k2－ 12 将 x2＝2x1－4代入②，得x1(2 x1－4)＝3＋4k2⑤将④代入到⑤式，整理化简得36k2＝ 5.∴k＝±56，经查验知足题设5 5故直线 l 的方程为 y＝6 ( x－ 4) 或y＝－6 ( x－ 4).1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面掌握：(1) 从特别开始，求出定值，再证明该值与变量没关：(2) 直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3) 在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分别出来，并令其系数为零，能够解出定点坐标.2.圆锥曲线的范围问题的常有求法(1) 几何法：若题目的条件和结论能显然表现几何特点和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能表现一种明确的函数关系，则可第一成立起目标函数，再求这个函数的最值 .3. 存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假定存在，推证知足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在 .(2)策略：①当条件和结论不独一时要分类议论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假定成立，再推出条件.一、选择题x2 y21. 若双曲线λ－1－λ＝ 1(0< λ <1) 的离心率e∈ (1 ， 2) ，则实数λ的取值范围为 ()1 1A. 2，1B.(1 ， 2)C.(1 ，4)D. 4，1地地道道的达到易 c ＝ 1， a ＝ λ ，且 e ∈ (1 ，2) ，∴ 1< 11分析 λ <2，得 4<λ <1. 答案 D2. 若点 P 为抛物线 y ＝ 2x 2 上的动点， F 为抛物线的焦点，则 | PF | 的最小值为 ( )A.21C. 11B.4D.28分析 依据题意，抛物线 y ＝2x 2 上，设 P 到准线的距离为 d ，则有 | PF | ＝d ，抛物线的方程 为＝ 2221 ，其准线方程为1在抛物线的极点时，有最小值1 y x ，即x ＝2y y＝－ ，∴当点P d ，881即| PF | min ＝ .8答案 D22x 2 y 23.(2018 ·北京东城区调研 ) 已知圆 M ：( x － 2) ＋ y ＝1 经过椭圆 C ： m ＋ 3 ＝ 1 的一个焦点，圆 M 与椭圆 C 的公共点为 A ，B ，点 P 为圆 M 上一动点，则 P 到直线 AB 的距离的最大值为( ) A.2 10－5B.2 10－ 4C.4 10－11D.4 10－ 10分析 易知圆 M 与 x 轴的交点为 (1 ，0) ，(3 ，0) ，∴ m － 3＝1 或 m － 3＝ 9，则 m ＝ 4 或 m ＝12.（ －2）2＋y 2＝1，x当 m ＝ 12 时，圆 M 与椭圆 C 无交点，舍去 . ∴ m ＝ 4. 联立x 2y 2 得 x 2－ 16x ＋ 244＋ 3＝1，＝0. ∵ x ≤2，∴ x ＝ 8－ 2 10. 故点 P 到直线 AB 距离的最大值为 3－(8 － 2 10) ＝ 2 10－ 5. 答案 Ax 2 y 24.(2018 ·全国Ⅲ卷 ) 设 F 1， F 2 是双曲线 C ：a 2－ b 2＝ 1( a >0， b >0) 的左、右焦点， O 是坐标原 点. 过 F 2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P . 若| PF 1| ＝ 6| OP | ，则 C 的离心率为 ()A. 5B.2C.3D. 2b2b| bc |2分析 不如设一条渐近线的方程为y ＝ a x ，则 F 到 y ＝ a x 的距离 d ＝ a 2＋ b 2＝b ，在Rt △ F PO中， | F O | ＝ c ，所以 | PO |＝ a ，所以 | PF |＝ 6a ，又 | F O | ＝ c ，所以在△ F PO 与 Rt △F PO 中，21112依据余弦定理得 cos ∠a 2＋ c 2－（ 6a ）2＝＝12aca226 ) 22＝2 ，所以 c－cos ∠2＝－ ，则3 ＋c － (＝0，得 3a ce ＝＝3.POFcaaa答案C二、填空题呵呵复生复生复生地地道道的达到5. 设双曲线x 2y 2＝ 1( a >0， >0) 的一条渐近线与抛物线y 2x 的一个交点的横坐标为x 0，： 2－2＝C a b b若 x 0>1，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ________.： x 22＝ b分析 双曲线 2－ y2＝1 的一条渐近线为y，C aba xy 2＝ x ，b 2联立b消去 y2.，得 2＝a xxy ＝ a x2由 x 0>1，知b2<1， b 2<a 2.a2c 2 a 2＋ b 2∴e ＝ a 2＝a 2<2，所以 1<e < 2.答案 (1， 2)6.(2018 ·武汉模拟 ) 已知抛物线y 2＝ 4x ，过焦点 F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过 A ，B分别作 x 轴， y 轴垂线，垂足分别为 C ，D ，则 | AC | ＋ | BD | 的最小值为 ________.分析 不如设 A ( x 1， y 1)( y 1>0) ，B ( x 2， y 2)( y 2<0).2则| |＋| | ＝ 2＋ y 21.1＝ ＋AC BD x y 4 y又 y 1y 2＝－ p 2＝－ 4. ∴| |＋|| ＝24 (2<0).y －ACBD 2y 4 y 2 x 2 4设 g ( x ) ＝ 4 －x ，在 ( －∞，－ 2) 递减，在 ( － 2， 0) 递加 .∴当 x ＝－ 2，即 y 2＝－ 2 时， | AC | ＋ | BD | 的最小值为 3.答案3三、解答题7. 已知动圆 M 恒过点 (0 ， 1) ，且与直线 y ＝－ 1 相切 .(1) 求动圆心 M 的轨迹方程；(2) 动直线 l 过点 P (0 ，－ 2) ，且与点 M 的轨迹交于 A ， B 两点，点 C 与点 B 对于 y 轴对称，求证：直线 AC 恒过定点 .(1) 解 由题意得点与点 (0 ， 1) 的距离等于点 与直线 ＝－1的距离 .MM yp由抛物线定义知圆心 M 的轨迹为以点 (0 ，1) 为焦点， 直线 y ＝－ 1 为准线的抛物线， 则2＝ 1， ＝ 2.p∴圆心 的轨迹方程为x 2＝ 4 y .M地地道道的达到 (2) 证明 由题意知直线 l 的斜率存在， 设直线 l ：y ＝ kx － 2，A ( x 1，y 1) ，B ( x 2，y 2) ，则 C ( －x 2，y 2) ，由x 2＝4y ，得 x 2－ 4kx ＋ 8＝ 0，y ＝ kx － 2＝ 16k 2－ 32>0 得 k 2>2，∴ x 1＋ x 2＝ 4k ，x 1x 2＝ 8.22x 1x 2k AC ＝y1－ 2 4 －41－ 2y ＝x 1＝xx ，x 1＋ x 2 ＋ x 24直线的方程为y－x 1－ x 2x －1).1＝(ACy4xx 1－ x 2x 1－x 2x 1（ x 1－ x 2 ）2x 1－ x 2 x 1x 2x 1即 y ＝ y 1＋ 4 ( x － x 1) ＝4 x －4＋ 4 ＝4 x ＋ 4 ，1 2x － x21∵x x ＝ 8，∴ y ＝ 4 x ＋ 2，则直线恒过点 (0 ， 2).ACx 2 y 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C ：a 2＋ b 2＝ 1( a ＞ b ≥1) 过点 P (2 ，1) ，且离心率e ＝3.2(1) 求椭圆 C 的方程；1(2) 直线 l 的斜率为 2，直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，求△ PAB 面积的最大值 .(1) ∵ e 2＝c22 23，∴ a 2＝ 4解 2＝a－2b ＝ b 2.aa44 122又 a 2＋ b 2＝ 1，∴ a ＝ 8， b ＝ 2.x 2 y 2故所求椭圆 C 的方程为 8 ＋ 2 ＝ 1.1(2) 设 l 的方程为 y ＝ 2x ＋ m ，点 A ( x 1， y 1) ，B ( x 2， y 2) ，1y ＝ x ＋ m ，2 2 2联立 x 2 y 2消去 y 得 x ＋2mx ＋ 2m － 4＝ 0，8＋ 2＝ 1，鉴别式22＝ 16－ 4m ＞ 0，即 m ＜ 4.2又 x 1＋ x 2＝－ 2m ， x 1· x 2＝ 2m －4，则| AB | ＝1＋ 1× （ x 1＋ x 2）2－ 4x 1x 2 4＝ 25（ 4－m ），| |2| |点 P 到直线 l的距离 d ＝m m＝.151＋ 411 2| m |2所以 S △ PAB ＝2d | AB | ＝2×5 × 5（4－ m ）22＝ 2 2m ＋（ 4－ m ）＝ 2，当且仅当 m （ 4－m ）≤2故△ PAB 面积的最大值为 2.2m ＝ 2 即 m ＝± 2时上式等号成立，9. 已知椭圆 x 2 y 2＝ 1( a >b >0) 的左、 右焦点分别为 F 1 ( － 1，0) ，F 2(1 ，0) ，点 A 1，2 C ： 2 ＋ 2 在a b2椭圆 C 上.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 能否存在斜率为 2 的直线，使适当该直线与椭圆 C 有两个不一样交点 M ，N 时，能在直线 y5→ →＝ 3上找到一点P ，在椭圆 C 上找到一点 Q ，知足 PM ＝NQ ？若存在， 求出直线的方程；若不存在，说明原因 .解 (1) 设椭圆 C 的焦距为 2c ，则 c ＝ 1， 因为A 1， 2在椭圆 C 上，所以 2 ＝| 1|＋|2| ＝ 2 2，则 ＝ 2， b 2＝ a 2－ c 2 ＝1.2a AFAFa2x2故椭圆 C 的方程为＋y ＝ 1.(2) 不存在知足条件的直线，原因以下：设直线的方程为 y ＝2 x ＋ t ，设 M ( x ，y ) ，N ( x ，y ) ，P x3 ，Q ( x ，y ) ，MN 的中点为 D ( x ，1 122 3，544y 0) ，y ＝ 2 ＋ ，xt由 x 22消去 x 得 9y 2－ 2ty ＋t 2－ 8＝ 0，2 ＋ y ＝ 1，所以 y 1＋ y 2＝2t，且 ＝4t 2－ 36( t 2－ 8)>0 ，9y 1＋ y 2 t故 y 0＝＝ ，且－ 3<t <3.29 由 → ＝ → 得 x 1－ x 3， y 1－ 5 ＝ ( x 4－ 2， y 4－ 2 ) ，PM NQ 3 xy154 24 125 2 5所以有 y － 3＝ y － y ， y ＝ y ＋y － 3＝ 9t －3.7又－ 3<t <3，所以－ 3<y 4<－ 1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[ －1，1] 矛盾 .地地道道的达到所以不存在知足条件的直线 .10.(2018 ·惠州调研 ) 在平面直角坐标系xOy 中，过点 (2 ， 0) 的直线与抛物线 2＝ 4 订交C yx于 A ， B 两点，设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2， y 2).(1) 求证： y 1y 2 为定值；(2) 能否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值？假如存在， 求出该直线的方程和弦长，假如不存在，说明原因 .(1) 证明 法一 当直线垂直于x 轴时，不如取 y 1＝ 2 2， 2＝－ 2 2，AB y所以 y 1y 2＝－ 8( 定值 ).当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的方程为 y ＝ k ( x －2) ，y ＝ k （x － ），由y 2＝ 4x2得 ky 2－ 4y －8k ＝ 0，所以 y 1 y 2＝－ 8. 综上可得， y 1y 2＝－ 8 为定值 . 法二 设直线AB 的方程为 ＝ － 2.my x由my ＝x －2，得 y 2－4my － 8＝0，所以 y 1y 2＝－8. y 2＝ 4x所以有 y 1y 2＝－ 8 为定值 .(2) 解 存在 . 原因以下：设存在直线 l ： x ＝ a 知足条件，则x 1＋ 2 y 122AC 的中点 E ，，| AC | ＝112 2 （ x － 2 ） ＋y ，所以以 AC 为直径的圆的半径r＝ 1|| ＝1（ 1－2） 2＋12＝1x 12＋ 4，2 AC 2 x y 2点 E 到直线 x ＝ a 的距离 d ＝ x 1＋2－ a ，2所以所截弦长为2212x ＋ 224（ x 1＋ 4）－12 r － d ＝ 22 － a222＝ x 1＋ 4－（ x 1＋ 2－ 2a ） ＝ － 4（ 1－ a ） x 1＋ 8a －4a ， 当 1－ a ＝ 0，即 a ＝1 时，弦长为定值2，这时直线的方程为 x ＝ 1.21 / 22 地地道道 的达到：x 2 2 11.(2018 ·西安模拟 ) 如图，椭圆2＋ y 2＝ 1( > >0) 的左右 C a b a b焦点分别为 F 1， F 2，左右极点分别为 A ， B ， P 为椭圆 C 上任一点( 不与 A ，B 重合 ). 已知△ PFF 的内切圆半径的最大值为 2－1 22，椭圆 C 的离心率为 22.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 直线 l 过点 B 且垂直于 x 轴，延伸 AP 交 l 于点 N ，以 BN 为直径的圆交 BP 于点 M ，求证： O ， M ， N 三点共线 .c 2 2解 (1) 由题意知， a ＝ 2 ，∴ c ＝ 2 a .又 b 2＝ a 2－ c 2，2∴b ＝ 2 a .设△ PF 1F 2 的内切圆半径为 r ，1 1| ＋| 2| ＋| 12|)· r ，则 △PFF ＝ (| S 1 2 2 PF PF F F＝ 1(2 a ＋ 2c ) · r ＝ ( a ＋ c )r ， 2故当△ PF 1F 2 面积最大时， r 最大，即 P 点位于椭圆短轴极点时， r ＝ 2－ 2，∴ ( a ＋ c )(2 － 2) ＝ bc ，2 2把 c ＝ 2 a ， b ＝ 2 a 代入，解得 a ＝2， b ＝ 2，x 2 y 2∴椭圆方程为 4 ＋ 2 ＝ 1.(2) 由题意知，直线 AP 的斜率存在，设为 k ，则 AP 所在直线方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ，y ＝ k （x ＋ 2），联立 x 2 y 2 消去y ，得4 ＋2＝1，(2 k 2＋ 1) x 2＋ 8k 2x ＋ 8k 2－ 4＝0，则有 x P ·( － 2) ＝ 8k 2－ 42 ，2k ＋ 1∴x P ＝ 2－ 4k 2 4k2 ，y P ＝ k ( x P ＋ 2) ＝ 2 ，2k ＋ 1 2k ＋ 1→ － 8k 2 4k →得BP ＝ 2 2 ＋ 1， 2 2＋ 1 ，又 N (2 ，4k ) ，∴ ON ＝ (2 ， 4k ).k k呵呵复生复生复生地地道道的达到则→·→＝－16k216k2＝ 0，2 ＋ 2ON BP 2k ＋ 1 2k＋ 1∴ON⊥ BP，而 M在以 BN为直径的圆上，∴MN⊥ BP，∴ O， M，N三点共线.呵呵复生复生复生22 / 22。
高考圆锥曲线专题-直线和圆锥曲线常考题型
内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
（2019年全国一卷理科）19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． （2019年全国二卷理科）21．（12分）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.21．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k =+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖．设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． （2019年全国三卷理科）21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()()2222121212||11421AB t x x t x x x x t =+-=+⨯+-=+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则212221,1d t d t =+=+.因此，四边形ADBE 的面积()()22121||312S AB d d t t =+=++. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，42S =. 因此，四边形ADBE 的面积为3或42.（2018年全国三卷理科）20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。
2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练17含答案
专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.32.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.2C.2D.3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)4.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.5.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.6.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.8.已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在一定点E(x0,0)(0<x0<),使得当过点E的直线l与曲线C相交于M,N两点时,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.二、思维提升训练9.(2018全国Ⅲ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:2||=||+||.10.已知椭圆E:=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M (3,2).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).所以M到直线NF的距离为=2.2.C解析设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB 为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2=2.3.C解析由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在△AMK中,由,得,解得x=2t,则cos∠NBK=,∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.∴斜率k=tan 60°=,故直线方程为y=(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-(x-1),故选C.4.解析双曲线的渐近线为y=±x.由得A.由得B.∵F为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1,即=-1,解得,∴,即可得e=.5.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.6.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则=1,=1,=-1,由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.所以M的方程为=1.(2)由解得因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.8.解(1)设椭圆的方程为=1(a>b>0),由已知可得△ADB的面积的最大值为·2a·b=ab=.①∵F(1,0)为椭圆右焦点,∴a2=b2+1.②由①②可得a=,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)过点E取两条分别垂直于x轴和y轴的弦M1N1,M2N2,则,即,解得x0=,∴E若存在必为,定值为3.证明如下:设过点E的直线方程为x=ty+,代入C中得(t2+2)y2+ty-=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-=-,y1y2=-,====3.综上得定点为E,定值为3.二、思维提升训练9.证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k得·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.10.(1)解由已知,a=2b.又椭圆=1(a>b>0)过点P,故=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.(2)证明设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2).由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M点坐标为,直线OM方程为y=-x.由方程组得C,D.所以|MC|·|MD|=(-m+)·+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2).所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程:y=-(x+1),①直线l2的方程:y=-(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=,所以Q.因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即=1或=1.又P在椭圆E上,故=1.由解得x0=,y0=无解.因此点P的坐标为.。
2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系学案 文
规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系典例6 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式―――――――→已知离心率e ＝32 a 2＝b 2＋c 2 基本量法求得椭圆C 的方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系 ―→用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系得S △ABQ 的最大值评分细则 (1)第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；(2)第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分． 跟踪演练6 (2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． (1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.即x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0.(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，显然方程有两个不等实根．所以y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子， 可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补， 所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .。
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规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系
典例6 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，且
点⎝
⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2
4b
2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B
两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
①求|OQ ||OP |
的值；②求△ABQ 面积的最大值．
审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式―――――――→已知离心率e ＝
3
2 a 2＝b 2＋c 2 基本量法求得椭圆C 的方程
(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q
共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |
②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系 ―→用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系
得S △ABQ 的最大值
评分细则 (1)第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2
关系式直接得b ＝1，扣1分；
(2)第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣
1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求
最值时，不指明最值取得的条件扣1分．
跟踪演练6 (2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2
＝2x ，点A (2，0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .
(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－1
2x －1.
即x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0.
(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .
当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，
M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)，
y 2
＝2x ，得ky 2
－2y －4k ＝0，
显然方程有两个不等实根． 所以y 1＋y 2＝2
k
，y 1y 2＝－4.
直线BM ，BN 的斜率之和k BM ＋k BN ＝
y 1x 1＋2＋y 2
x 2＋2
＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)
(x 1＋2)(x 2＋2)
.①
将x 1＝y 1
k ＋2，x 2＝y 2k
＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子， 可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝
2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8
k
＝0.
所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补， 所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .。