云南省2020届高三数学 等差数列单元测试 理 新人教A版

新人教A 版数学高三单元测试5【等差数列】
本卷共100分，考试时间90分钟
一、选择题 (每小题4分，共40分)
1. 数列Λ,1,0,1,0,1的一个通项公式是 （ ）
A. ()2
111
+--=
n n a B. ()2
111
+-+=
n n a C. ()2
11--=n
n
a D. ()2
11n
n
a
---=
2. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列
3. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832
-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ）A. 第4
项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
4. 设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则131211a a a ++=
（A ）120
（B ）105
（C ）90
（D ）75
5. 等差数列{}n a 中，前n 项23
122
n a S n n =
+，则3a 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.2
7. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则 （ ）
A ．24
B ．22
C ．20
D ．-8
8. 已知等差数列{}n a 中，72=a ，154=a ，则前10项和10S =
（A ）100
（B ）210
（C ）380
（D ）400
9. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=
（A ）8
（B ）7
（C ）6
（D ）5
10. 已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，n S 是等差数列{}n a 的前
n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）
A.21
B.20
C.19
D.18 二、填空题 (每小题4分，共16分)
11. 数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则n a = 。

12. 已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ．
13. 已知椭圆42x +3
2
y =1上有n 个不同的P 1,P 2,P 3,……P n ,设椭圆的右焦点为F ，数列{|FP n |}
的公差不小于
1
1004
的等差数列，则n 的最大值为 ． 14. 某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为49
()10
n n N *+∈元,若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了 天．
三、解答题 (共44分，写出必要的步骤)
15.（本小题满分10分） 已知数列}{n a 中，5
31=a ，),2(121
+-∈≥-
=N n n a a n n ，数列}{n b 满足
)(1
1
+∈-=
N n a b n n ； （1） 求证：数列}{n b 是等差数列；
（2） 求数列}{n a 中的最大值和最小值，并说明理由
16. （本小题满分10分） 在数列{}n a 中，n
n n a a a 22,111+==+
（1）设,2
1
-=
n n
n a b 证明{}n b 是等差数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前三项为1,4,2,a a -记前n 项和为n S ． (Ⅰ)设2550k S =，求a 和k 的值；
(Ⅱ)设n
n S b n
=
，求371141n b b b b -+++⋅⋅⋅+的值． 18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为11,10,910n n n S a a S +==+。

（I ）求证：{lg }n a 是等差数列； （Ⅱ）设n T 是数列13
(lg )(lg )n n a a +⎧
⎫⎨
⎬⎩
⎭的前n 项和，求n T ；
（Ⅲ）求使2
1(5)4
n T m m >-对所有的n N *
∈恒成立的整数m 的取值集合。

答案
一、选择题 1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. B 9. D
10. 解析：由题设求得：34135,332,39412n a a d a a n ==⇒=-=⇒=-，
20211,1a a ==-， 所以当20n =时n S 最大。

故选B
二、填空题 11. 45n a n =- 12. －
2
1； 13. 2020 14. 800 三、解答题 15. 解析： (1)1
1)12(111111
-=--=-=
---n n n n n a a
a a
b ,而1111-=
--n n a b , ∴),2(11+-∈≥=-N n n b b n n ,251111-=-=a b ；故数列}{n b 是首项为2
5
-，公差为1的等差数列； （2）由（1）得27-
=n b n ，则722111-+=+=n b a n n ；设函数7
221)(-+=x x f ，
函数7221)(-+
=x x f 在)27,(-∞和),2
7
(+∞上均为减函数，当3≤x 时，1)3()(-=≥f x f ；当4≥x 时，3)4()(=≤f x f ；且5
3
)1(=f ，当n 趋向于+∞时，)(x f 接近1，
∴1)(3min -==a a n ，3)(4max ==a a n ．
16. 解析：（1）由已知n
n n a a 221+=+得
112
22221
11
+=+=+==-++n n n
n n n n n n b a a a b ， 又111==a b
∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）由（1）知
11
2,2
--⨯=∴=n n n n
n a n a 12223221-⨯++⨯+⨯+=n n n S Λ n n n S 223222232⨯++⨯+⨯+=Λ
两式相减得n
n n n S 222221132⨯-++++=--Λ
12)1(+⨯-=∴n n n S
17. 解析：(Ⅰ)由已知得1231,4,2a a a a a =-==，又1322a a a +=， (1)28,a a ∴-+=即3a =． …………………………（2分） 12a ∴=，公差212d a a =-=．
由1(1)
2
k k k S ka d -=+
，得 …………………………（4分）
(1)
2225502
k k k -+
⨯= 即2
25500k k +-=．解得50k =或51k =-(舍去)．
3,50a k ∴==． …………………………（6分）
(Ⅱ)由1(1)
,2n n n S na d -=+
得 2(1)
22.2n n n S n n n -=+⨯=+ …………………………（8分） 1n n S
b n n
∴==+ …………………………（9分）
{}n b ∴是等差数列．
则371141(31)(71)(111)(411)n b b b b n -++++=+++++++-+K K
(44)2
n n
+=
………………………(11分) 2
37114122n b b b b n n -∴++++=+K ……………………(12分)
18. 解析：（I ）依题意，21910100a c =+=
故
2
1
10a a = 当2n ≥时，1910n n a S +=+ 1910n n a S -=+ ①-②得：
1
10n n
a a += 故{}n a 为等比数列，且1110()n n n a a q n N -*
==∈，
lg n a n ∴=
1lg lg (1)1a n a a n n +∴-=+-=
即{lg }an 是等差数列 （Ⅱ）由（I ）知，1113(
)1223(1)
n T n n =++∧+⋅⋅+ 111113
3(1)322311
n n n =-+-+∧+-=-
++ （Ⅲ）331
n T n =-
+Q ∴当1n =时，n T 取最小值32
依题意有
2
31(5)24
m m >- 解得16m -<<
故所求整数m 的取值集合为{0，1，2，3，4，5}。