北师版八年级数学第一章.勾股定理知识点与常见题型总结及练习

勾股定理
一．知识归纳
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
c
b
a
H
G F E
D
C
B A
b
a
c
b
a
c c
a
b
c
a
b a b
c
c b
a
E D C
B
A
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在ABC ∆中，90C ∠=︒
，则c =
，b
，a
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；
2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）
７．勾股定理的应用
８.勾股定理逆定理的应用
９.勾股定理及其逆定理的应用
A
B
C
30°D C
B
A A
D
B C
C
B D
A
二、常见考题分析
题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．
⑴ 已知6AC =，8BC =．求AB 的长
⑵ 已知17AB =，15AC =，求BC 的长
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝
(2)已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为
⑶ 已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为
例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
2
1E
D
C
B
A
例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m .
A
B
C
D E
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆
① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，2
3
c =
例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
证明：
D C
B
A
三、巩固训练：
一.选择题、填空题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a、b、c，则下列结论中恒成立的是 ( )
A、2ab<c2
B、2ab≥c2
C、2ab>c2
D、2ab≤c2
2、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）
A、5
B、25
C、7
D、15
3、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（）
A、4个
B、5个
C、6个
D、8个
4、下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是
12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、
b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。

其中正确的是（）
A、①②
B、①③
C、①④
D、②④
5、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为（）
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、不能确定
6、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）
A、40
B、80
C、40或360
D、80或360
7、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是（ ）
A 、4
B 、3
C 、5
D 、4.5
8、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A 、2㎝
B 、3㎝
C 、4㎝
D 、5㎝
9.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

10.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。

二.解答题
1.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
A
B
D
C 第7题图
A
C
D
B
E
第8题图
A
B
C
D
第1题图 A
D
B
C
B ′ A ′
C ′
D ′ 第9题图
2、数组
3、
4、5；
5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股数，若奇数n 为直角三角形的一直角边，用含n 的代数式表示斜边和另一直角边。

并写出接下来的两组勾股数。

3、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？
4.如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
A A ′
B A ′
O
A B
C
D
L
第4题图。