菱形 (中考题)
初中数学《菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义》题型及答案解析
解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE=4，DG=3，则AE的长为．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D= 80°，则∠BCF的度数是．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠A=120°，M是CD上，DM=3，N是点AB上一动点，四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，当AE最小时，AN=．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．5.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接BE，交CD于点G，△BFE是△BCE沿BE折叠所得，且点C的对应点F恰好落在AB上，连接FG．(1)求证：四边形CEFG为菱形；(2)若AC=8，BC=6，求DG的长．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.258.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.1929.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.2210.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，P 是直线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，(A 、P ，E 按逆时针排列)，点E 的位置随点P 的位置变化而变化．(1)如图1，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，则BP 与CE 的数量关系是，BC 与CE 的位置关系是；(2)①如图2，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE ，若AB =2，∠APD =75°，直接写出BE 的长；(3)当点P 在直线BD 上时，其他条件不变，连接BE ．若AB =23，BE =219，请直接写出△APE 的面积．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O影部分的面积为cm2．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值是．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD中，∠B=60°，E是BC中点，连接AE,DE，点F是DE上一动点，G为AF中点，连接CG．(1)∠BAE=；(2)若AB=2，则CG的最小值为．18.(2024八年级下·全国·专题练习)如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P为AD边上任意一点(不包括端点)，连结AC，过点P作PQ∥AC，交边CD于点Q，点R线段AC上的一点．(1)若点R为菱形ABCD对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，求PR+QR的值；(2)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值；(3)当PR+QR的值最小，且PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出PR+QR+PQ的最小值．【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】19.(22-23八年级下·江苏苏州·期末)定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，∠C>90°，若∠A=40°，则∠B=°．(2)如图，在菱形ABCD中，∠B>90°，AB=5，连接AC，若△ABC正好为一个准直角三角形，求菱形ABCD的面积．【变式训练】20.(23-24九年级下·山东威海·期中)【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．【解决新问题】(1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形ABCD的边CD，AD上，CE=DF，∠A=60°．四边形BEDF是否为补等四边形？(填“是”或“否”)(2)如图Ⅱ，在△ABC中，∠B>90°．∠ACB的平分线和边AB的中垂线交于点D，中垂线交边AC于点G，连接DA，DB．四边形ADBC是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．21.(22-23八年级下·浙江宁波·期末)我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E 使得AC=AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．(1)如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA=CF，作∠ACF的平分线CE交AD的延长线于点E，连接FE．求证：四边形AEPC为菱形ABCD的“伴随菱形”．(2)①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O．连接EO若EO=2CH，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出CHED的值．22.(22-23八年级下·安徽合肥·期末)定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．(1)如图(a)，△ABC是中垂三角形，BD,AE分别是AC,BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE=45°，求证：△ABC是等腰三角形．(2)如图(b)，在中垂三角形ABC中，AE,BD分别是边BC,AC上的中线，且AE⊥BD于点O，求证：AC2+BC2=5AB2．(3)如图(c)，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O，点M,N分别是OA,OD的中点，连接BM,CN并延长，交于点E．求证：△BCE是中垂三角形；解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，沿EF 翻折后，点B 落在边CD 上的G 处，若EG ⊥CD ，BE =4，DG =3，则AE 的长为．【答案】914【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，因为EG ⊥CD ，所以BH ∥EG ，由四边形ABCD 是菱形，得AB ∥CD ，AB =BC =CD ，则四边形BEGH 是平行四边形，所以GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，则BH =GE =4，所以DH =DG +GH =3+4=7，由勾股定理得42+7-AB 2=AB 2，求得AB =6514，所以AE =AB -BE =6514-4=914，于是得到问题的答案．【详解】解：作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，则∠H =90°，∵EG ⊥CD ，∴BH ∥EG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD ，∴BE ∥GH ，∴四边形BEGH 是平行四边形，∴GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，∵DG =3，∴DH =DG +GH =3+4=7，∵BH 2+CH 2=BC 2，CH =7-CD =7-AB ，∴42+7-AB 2=AB 2，解得AB =6514，∴AE =AB -BE =6514-4=914，故答案为：914．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D =80°，则∠BCF 的度数是．【答案】80°/80度【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，首先根据平行的性质得到BC =CD ，由折叠得BC =CF ，然后求出CF =CD ，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD由折叠可得，BC =CF∴CF =CD∴∠CFD =∠D =80°∵四边形ABCD 是菱形∴AD ∥BC∴∠BCF =∠DFC =80°．故答案为：80°．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD 中，AB =8，∠A =120°，M 是CD 上，DM =3，N 是点AB 上一动点，四边形CMNB 沿直线MN 翻折，点C 对应点为E ，当AE 最小时，AN =．【答案】7【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点E在AM上时，AE的值最小．作AH⊥CD于H，如图，根据菱形的性质可求得AH=32AD=83，DH=CH=8，在Rt△AHM中，利用勾股定理计算出AM=7，再根据两点间线段最短得到当点E在AM上时，AE的值最小，然后证明AN=AM即可．【详解】解：作AH⊥CD于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8，∠A=120°，∴AD=AB=CD=8，AB∥CD，∴∠D=180°-∠BAD=60°，∴∠DAH=30°，∴DH=12AD=4，AH=AD2-DH2=43，∵DM=3，∴HM=1，MC=CD-DM=5，在Rt△AHM中，AM=AH2+HM2=7，∵四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，，∴ME=MC=10，∵AE+ME≥AM，∴AE≥AM-ME，∴当点E在AM上时，AE的值最小，由折叠的性质得∠AMN=∠CMN，而AB∥CD，∴∠ANM=∠CMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM=7．故答案为：7．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．【答案】6075【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义．(1)直接根据菱形的对角相等即可求解；(2)如图，由垂直平分线的定义得到∠1=90°，从而∠ADC =30°，由菱形的性质得到∠CDC =∠1=90°，从而由折叠有∠CDE=∠C DE=12∠CDC =45°，因此∠ADE=75°，再根据菱形的对边平行即可求解．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=60°．故答案为：60(2)如图，∵C D 是AB 的垂直平分线，∴∠1=90°，∴∠ADC =90°-∠A =90°-60°=30°，∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDC =∠1=90°，由折叠可得∠CDE =∠C DE =12∠CDC =12×90°=45°，∴∠ADE =∠ADC +∠C DE =30°+45°=75°，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEC =∠ADE =75°．故答案为：755.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC 中，∠ACB =90°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 上一点，连接BE ，交CD 于点G ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在AB 上，连接FG ．(1)求证：四边形CEFG 为菱形；(2)若AC =8，BC =6，求DG 的长．【答案】(1)见解析(2)GD =1.8．【分析】(1)推出CG =EF ，CG ∥EF ，进而推出四边形CEFG 是平行四边形，并根据EC =EF 证得四边形CEFG 是菱形；(2)首先利用勾股定理求出AB ，设CG =x ，然后用x 表示出AE 和EF ，再在Rt △AEF 中，利用勾股定理构建方程，求出x ，进一步计算即可求解．【详解】(1)证明：∵CD ⊥AB ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴∠BFE =∠BCE =90°，∠CEG =∠FEG ，EC =EF ，∴CD ∥EF ，∴∠CGE =∠FEG ，∴∠CGE =∠CEG ，∴CE =CG ，∴CG =EF ，∵CG ∥EF ，∴四边形CEFG 是平行四边形，∵EC =EF ，∴平行四边形CEFG 是菱形；(2)解：∵AC =8，BC =6，∠ACB =90°，22∵四边形CEFG 是菱形，∴EF =FG =CE =CG =x ，∴AE =8-x ，∵△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴BF =BC =6，∴AF =AB -BF =10-6=4，∵在Rt △AEF 中，EF 2+AF 2=AE 2，∴x 2+42=8-x 2，解得：x =3，即CG =3．∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ，∴CD =4.8，∴GD =4.8-3=1.8．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【答案】C【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P 在对角线BD 上，BP =4，BP +AP =6，设AO =x ，则AB =2AO =2x ，利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，由图象可得，当x 从0到4时，MA MC=y =1∴MA =MC∵四边形ABCD 是菱形∴点P 在对角线BD 上∴由图象可得，BP =4，BP +AP =6∵在菱形ABCD 中，∠B =60°，∴∠ABD =30°，AC ⊥BD∴设AO =x ，则AB =2AO =2x∴PO =BP -BO =4-3x∴BO =AB 2-AO 2=3x∴在Rt △APO 中，AP 2=AO 2+PO 2∴22=x 2+4-3x 2解得x =3，负值舍去∴AB =2x =23∴菱形ABCD 的边长是23．故选：C ．【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P 在对角线BD 上．【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.25【答案】A 【分析】根据图象可知，当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，进而求出菱形的面积，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．【详解】解：由图象可知：当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，∴S 菱形ABCD =2S △ABE =24，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，交AC 于点O ，则：BD ⊥AC ,OA =OC =4,OB =OD ，∴S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =24，∴BD =6，∴OB =OD =3，∴AB =OA 2+OB 2=5，∴菱形ABCD 的边长为5；故选A ．8.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.192【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，过点C 作CE ⊥AD ，根据函数图象求出菱形的边长为a ，再根据图像的三角形的面积可得CE =8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a 即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AD 于E ，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，∴当点P 在边BC 上运动时，y 的值不变，∴AD =BC =10+a -10=a ，即菱形的边长是a ，∴12⋅AD ⋅CE =4a ，即CE =8．当点P 在AC 上运动时，y 逐渐增大，∴AC =10，∴AE =AC 2-CE 2=102-82=6．在Rt △DCE 中，DC =a ,DE =a -6,CE =8，∴a 2=82+a -6 2，解得a =253．故选：B ．9.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.22【答案】C 【分析】结合图象，得到当x =0时，PO =AO =4，当点P 运动到点B 时，PO =BO =2，根据菱形的性质，得∠AOB =∠BOC =90°，继而得到AB =BC =OA 2+OB 2=25，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为12BC=5，解得即可．本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．【详解】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4，当点P运动到点B时，PO=BO=2，根据菱形的性质，得∠AOB=∠BOC=90°，故AB=BC=OA2+OB2=25，当点P运动到BC中点时，PO的长为12BC=5，故选C．10.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，(A、P，E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；(2)①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE，若AB=2，∠APD=75°，直接写出BE的长；(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=23，BE=219，请直接写出△APE的面积．【答案】(1)BP=CE，CE⊥BC；(2)①仍然成立，见解析；②20-83(3)73或313【分析】(1)连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；(2)①(1)中的结论成立，用(1)中的方法证明△BAP≌△CAE即可；②根据已知得出DP=AD，进而根据①可得BP=CE，根据CE⊥BC，勾股定理，即可求解；(3)分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE=90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．【详解】(1)解：如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°；∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠BAP=∠CAE=60°-∠P AC，∴△BAP≌△CAE SAS，∴BP=CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP=1∠ABC=30°，2∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠ACB=60°，∴∠BCE=60°+30°=90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP=CE，CE⊥BC；(2)(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°+∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE SAS，∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30°，∴∠DCE=30°，∵∠ADC=60°，∴∠DCE+∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD；∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立；②如图所示，∵△ABP≌△ACE SAS，∴CE=BP，∵∠APD=75°,∠ADB=30°∴∠DAP=75°=∠APD，∴DA=DP=2，∵BD=2BO=23AO=3AB=23∴BP=CE=BD-DP=23-2∵CE⊥AD，AD∥BC∴CE⊥BC∴BE=BC2+CE2=22+23-22=20-83故答案为：20-83．(3)如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∵∠ABC =60°，AB =23，∴∠ABO =30°，∴AO =12AB =3，OB =3AO =3，∴BD =6，由(2)知CE ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴CE ⊥BC ，∵BE =219，BC =AB =23，∴CE =(219)2-(23)2=8，由(2)知BP =CE =8，∴DP =2，∴OP =5，∴AP =OA 2+OP 2=(3)2+52=27，∵△APE 是等边三角形，∴S △AEP =34×27 2=73，如图4中，当点P 在DB 的延长线上时，同法可得AP =OA 2+OP 2=(3)2+112=231，∴S △AEP =34×231 2=313．【点睛】此题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键．根据题意得到点C 2024与点C 重合，在菱形中算出C 点坐标，即可解答．【详解】解：作CD ⊥OA 于D ，则∠CDO =90°，∵四边形OABC 是菱形，O 0,0 ,A -1,0 ，∴∠AOC =∠B =60°,OC =OA =1∴∠OCD =30°∴OD =12OC =12,CD =3OD =32∴点C 的坐标为-12,32，若菱形绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，则菱形OABC 绕点O 连续旋转2024次，旋转4次为一周，旋转2024次为2024÷4=506(周)，∴绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024与菱形OABC 重合，∴点C 2024与C 重合，∴点C 2024的坐标为-12,32，故选：D ．【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O按顺时针方向分别旋转90°、180°、270°后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为cm 2．【答案】12-43【分析】连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，S △AOD =12×AE ×OD =12×3×3-1 =3-32cm 2 ，计算即可．【详解】如图，连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，∴点D 在OB 上，由已知条件易得BE =DE =12AB =1cm ,AE =OE =3cm ，∴OD =3-1cm ，∴S =1×AE ×OD =1×3×3-1 =3-3cm 2 ，∴所求面积为8×3-32=12-43cm2．故答案为：12-43．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？【答案】(1)证明见解析(2)①33；②30°或90°【分析】(1)连接AF，根据菱形的性质，可得到△GAF≅△EAF，从而得到∠GAF=∠EAF，进而得到△DAF ≅△BAF，即可求证；(2)①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O，AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得AF∥OD，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解；②分两种情况讨论：∠BDF=90°和∠BFD=90°，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得．【详解】(1)证明：连接AF，∵四边形AEFG是菱形，∴AE=EF=FG=GA，在△GAF和△EAF中，AG=AEGF=EFAF=AF，∴△GAF≅△EAF SSS，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =AB ，在△DAF 和△BAF 中，AD =AB∠DAF =∠BAF AF =AF，∴△DAF ≅△BAF SAS ，∴DF =BF ．(2)解：①如图，连接AF ，EG ，BD ，AC ，BD 与AC 交于点O ，AF 交EG 于点P ，由(1)得当菱形AEFG 没有旋转时，AC 平分∠BAD ，AF 平分∠EAG ，∴此时点A 、F 、C 三点共线，∴当菱形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转时，∠FAC =α，∴当α=90°时，∠FAC =∠BAE =90°，在菱形ABCD 中，AB =AD ，OD =12BD ,OA =12AC ，BD ⊥AC ，∠DAO =12∠BAD =30°，∴∠AOD =90°∴∠DOA +∠FAC =180°，∴AF ∥OD ，在菱形AEFG 中，∠EAF =12∠EAG =30°，AE =AG ，AP =12AF ,PE =12EG ，∵∠DAB =∠GAE =60°．∴△ABD 和△AEG 是等边三角形，∴BD =AB =6，EG =AE =3，∴OD =3,EP =32，∴AP =AE 2-EP 2=32，OA =AD 2-OD 2=33∴AF =3，∴AF =OD ，∴四边形AODF 是平行四边形，∴DF =OA =33；②由①得四边形AODF 是平行四边形，∵∠FAC =90°，∴四边形AODF 是矩形，∴∠BDF =90°，即△DFB 为直角三角形，∴此时旋转角α的度数为90°；如图，当点F 在AD 上时，由①得AF =3，∴AF=DF，∵△ABD为等边三角形，∴BF⊥AD，即∠BFD=90°，∴此时△DFB为直角三角形，∵∠EAF=1∠EAG=30°，2∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=30°，即此时旋转角α的度数为30°；综上所述，当△DFB为直角三角形时，旋转角α的度数为30°或90°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【答案】(1)43(2)FD=3CG，证明见解析(3)OE=3OC,2≤OC≤4【分析】(1)连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，根据菱形的性质，证明B,F,D三点共线，求出BD,BF的长，用BD-BF即可求出DF的长度；(2)过点D作DM∥FG，过点G作GM∥DF，过点C作CN⊥MG，得到四边形DMGF为平行四边形，证明△CDM≌△CBG，得到CM=CG,∠DCM=∠BCG，进而求出∠MCG=∠BCG+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠DCB=120°，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，先证明△DOC≌△GOH，推出四边形AHGB为平行四边形，再证明△HAC≌△EBC，推出△CHE为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出CE的范围，进而求出OC的范围即可．【详解】(1)解：连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∴∠ABD =∠CBF =12∠ABC =30°,∠EBF =∠GBF =12∠EBG =30°，AC ⊥BD ,EG ⊥BF ,BD =2OB ,BF =2HB ，∵点E 、G 分别在边AB 、BC 上，∴∠ABD =∠ABF =30°，∴B ,F ,D 三点共线，∵BE =2,∠EBF =30°，∴HE =12BE =1，BH =3HE =3，∴BF =2BH =23，同理：BD =2OB =23OA =2×32AB =63，∴DF =BD -BF =43；故答案为：43；(2)FD =3CG ，证明如下：过点D 作DM ∥FG ，过点G 作GM ∥DF ，过点C 作CN ⊥MG ，则：四边形DMGF 为平行四边形，∴DF =MG ，DM =GF ，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∠ABC =∠EBG =60°，∴AD ∥BC ,BE ∥GF ，∠ADB =∠ABC =∠EBG =60°，CD =BC ,BG =GF =DM∴BE ∥DM ，∠1=∠2，∠DCB =180°-∠ADC =120°，∴∠3=∠DMN ，∵∠1=∠ADM +∠DMN ,∠2=∠3+∠CBE∴∠ADM =∠CBE ，∴∠CDA +∠ADM =∠CBE +∠EBG ，即：∠CDM =∠CBG ，又∵CD =BC ,BG =DM ，∴△CDM ≌△CBG ，∴CM =CG ,∠DCM =∠BCG ，∴∠MCG =∠BCG +∠BCM =∠DCM +∠BCM =∠DCB =120°，∴∠CMG =∠CGM =12180°-120° =30°，∵CN ⊥MG ，∴DF =MG =2NG ，CN =12CG ，∴NG=CG2-CN2=3CG，2∴DF=3CG；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，∵O是DG的中点，∴OD=OG，又∵∠DOC=∠HOG，∴△DOC≌△GOH，∴GH=CD，∠OCD=∠OHG，∴CD∥HG，∵菱形ABCD，∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=DA,∠ADC=∠ABC=60°，∴AB∥HG，GH=CD=AB，△ABC为等边三角形，∴四边形AHGB为平行四边形，∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB=BC，∴AH∥BG,AH=BG，∠CAQ=180°-∠CAB=120°，∴∠HAQ=∠ABG，∵BG=BE，∴AH=BE，∵∠CBE=∠ABC+∠ABG+∠EBG=120°+∠ABG，∠HAC=∠HAQ+∠CAQ=∠HAQ+120°，∴∠CBE=∠HAC，又∵AH=BE，AC=BC，∴△HAC≌△EBC，∴CH=CE，∠HCA=∠ECB，∴∠HCE=∠HCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∴△CHE为等边三角形，∵OC=OH，∠HEC=60°，∴OE⊥OC，∠CEO=30°，∴OC=1CE，2∴OE=3OC；②∵BC=AB=6,BE=2，∴BC-BE≤CE≤BC+BE，即：4≤CE≤8，∵OC=1CE，2∴2≤OC≤4．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质连接BD ，DE ，根据菱形的性质可得，△ABD 是等边三角形，再证明△ADP ≌△ABP ，可得PD =PB ，从而得到PE +PB 的最小值为DE 的长，再由E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ,AE =12AB =1，然后根据勾股定理可得DE =3，即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是菱形，周长为8，∠DAC =30°，∴∠DAB =2∠DAC =60°，∠DAP =∠BAP ，AB =AD =2，∴△ABD 是等边三角形，在△ADP 和△ABP 中，∵AP =AP ，∠DAP =∠BAP ，AB =AD ，∴△ADP ≌△ABP ，∴PD =PB ，∴PE +PB =PE +PD ≥DE ，即PE +PB 的最小值为DE 的长，∵E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ,AE =12AB =1，∴DE =AD 2-AE 2=3，即PE +PB 的最小值为3．故答案为：3．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B =45°，BC =23，则GH 的最小值是．【答案】62【分析】连接AF ，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，AF 最小，求出AF 最小值即可求出．【详解】解：连接AF ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是△AEF 的中位线，∴GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，则∠AFB =90°，AF 最小，GH 得到最小值，∵∠B =45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF 2+BF 2=AB 2，即2AF 2=AB 2，∴AF =6，∴GH =62，故答案为：62．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD 中，∠B =60°，E 是BC 中点，连接AE ,DE ，点F 是DE 上一动点，G 为AF 中点，连接CG ．(1)∠BAE =；(2)若AB =2，则CG 的最小值为．【答案】30°2217【分析】(1)连接AC ，证明△ABC 为等边三角形，三线合一，即可得出结果；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI ，根据三角形的中位线定理，推出点G 在IH 上运动，当CG ⊥HG 时，CG 最小，进行求解即可．【详解】解：(1)连接AC ，∵菱形ABCD ，∴AB =BC ，∵∠B =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°，∵E 是BC 中点，∴AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =12∠BAC =30°；故答案为：30°；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI则：IG ∥DF ，HG ∥DF ，∴I ,G ,H 三点共线，。
(初中)数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总
（初中）数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总菱形的性质与判定基础同步过关知识点一：菱形的性质定理1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC∠BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。
3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。
∠AC=BD；∠∠OAB=∠OBA；∠AC∠BD；∠有4条对称轴；∠AD=BD；∠∠OAB=∠OAD。
4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH∠AB于点H，则DH的长为。
第1题图第2题图第3题图第4题图5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE∠AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°7.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F,G分别是AE,CE的中点，则线段FG的长度为（）B.3第5第6题图第7题图知识点二：菱形的判定定理8.已知四边形ABCD中，AC∠BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A.AC=BDB.AB=BCC.AC与BD互相平分D.∠ABC=90°9.如图，将∠ABC沿BC方向平移得到∠DCE，连接AD.下列条件中，能够判定四边形ACED为菱形的是（）A .AB=BC B. AC=BC C.∠ABC=60° D.∠ACB=60°10.AC,BD相交于点O，点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，（写出一种即可）11.折纸游戏一直很受大家的欢迎，小丽同学要用一张矩形纸片折出一个菱形，她用沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）。
2022年中考数学一轮考点课时练习18《菱形》(含答案)
2022年中考数学一轮考点课时练习18《菱形》一、选择题1.如图,在菱形ABCD 中,AB=5,∠B:∠BCD=1:2,则对角线AC 的长等于( )A.5B.10C.15D.202.已知菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,∠BAD=120°,AC=4,则该菱形面积是( )A.16 3B.16C.8 3D.83.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( ) A.10 B.8 C.6 D.54.若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD 一定是（ ）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形5.如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E,F 分别是AD,CD 边上的中点,连接EF.若EF=错误!未找到引用源。
,BD=2,则菱形ABCD 的面积为 ( )A.2错误!未找到引用源。
B.4错误!未找到引用源。
C.6错误!未找到引用源。
D.8错误!未找到引用源。
6.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°7.如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于12BF 的相同长度为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF.下列说法正确的是：( )①∠1=∠2；②四边形ABEF是平行四边形但不是菱形；③四边形ABEF是菱形；④若四边形ABEF的周长为16，AE=43，则∠C=60°.A.①②B.①③C.①③④D.①②④8.如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O.则下列结论:①△ABF≌△CAE;②∠AHC=120°;③AH+CH=DH中.正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、H为边AD的中点，菱形的周长为48，则OH的长是.10.如图,在菱形ABCD中，∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则∠CDF的度数= 度．11.如图,已知矩形ABCD的对角线长为8 cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH的周长等于________cm.12.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH=________.13.把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.14.如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出下列结论:①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=错误!未找到引用源。
华师大新版八年级(下) 中考题同步试卷：19.2 菱形(04)
华师大新版八年级（下）中考题同步试卷：19.2 菱形（04）一、选择题（共5小题）1．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB 2．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝（）A．3B．4C．5D．63．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH＝（）A．cm B．cm C．cm D．cm4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题）6．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为菱形．7．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CB的中点，则OE的长等于．8．如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是cm．9．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（0，6），D（4，0），将菱形ABCD 先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为．10．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．11．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠F AC＝60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE ＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．12．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD＝1：2，则AO：BO＝，菱形ABCD的面积S＝．13．如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD＝135°，∠EAG＝75°，则＝．三、解答题（共17小题）14．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形．15．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．16．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF 平行于BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？17．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点；②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．（1）请在图中直线标出点F并连接CF；（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．18．如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D，（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD 是菱形．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．20．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．21．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．22．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE＝AF．求证：BE＝BF．23．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO．24．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（1）求证：AE＝EC；（2）当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．25．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD＝30°，求CE的长．26．如图1，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF＝CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）平移△AOB，使得点A移动到点D，画出平移后的三角形（不写画法，保留画图痕迹）；（2）在第（1）题画好的图形中，除了菱形ABCD外，还有哪种特殊的平行四边形？请给予证明．28．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．29．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：OE＝BC．30．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．华师大新版八年级（下）中考题同步试卷：19.2 菱形（04）参考答案一、选择题（共5小题）1．B；2．B；3．B；4．B；5．C；二、填空题（共8小题）6．AB＝BC或AC⊥BD等；7．4；8．3；9．（﹣5，7）或（5，﹣7）；10．3；11．（）n﹣1；12．1：2；16；13．；三、解答题（共17小题）14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．1；2；。
2020中考数学菱形专题练习(含答案)
C ．D ．2020 中考数学 菱形专题练习（含答案）、单选题（共有 10 道小题）4. 如图，两个连续在一起的菱形的边长都是1cm ，一只电子甲虫从点 A 开始按 ABCDAEFG ⋯AB ⋯的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行 2014cm 时停下，则它停的位置是（ ）A. 点 FB. 点 E 5. 下列命题是假命题的是（ ） A ．四个角相等的四边形是矩形 C ．对角线垂直的四边形是菱形C.点 AD.点 CB ．对角线相等的平行四边形是矩形 D ．对角线垂直的平行四边形是菱形6. 在矩形 ABCD 中，AD =3AB ，点 G 、H 分别在 AD 、BC 上，连 BG 、DH ，且 BG∥ DH，当 AG（ ） AD 时，四边形 BHDG 为菱形．1. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AC 8，DB 6， DHAB 于H ，则 DH 等于（A ．24 512B ．12C ．5D ．42. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对边平行B. 对角线互相平分C. 对边相等D. 对角线互相垂直3. 如图，菱形 ABCD 中，∠B =60°，AB 4 ，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为（ ） C ．16D ．174B ．310. 以下四个命题正确的是（ ）A. 任意三点可以确定一个圆B. 菱形对角线相等C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 平行四边形的四条边相等二、填空题（共有 8 道小题）11.如图，在菱形 ABCD 中对角线分别长 12和 16，E ，F ，分别是 AB ，AD 的中点， H 是对角线 BD上任意一点，则 HE+HF 的最小值是 。
7. 如图，下列哪个条件能使 □ABCD 成为菱形的（）① AC ⊥BD ②AB ∥ CD ③AB=BC ④AB=CDA. ①③B. ②③C. ③④8. 如图，四边形 ABCD 的四边相等，且面积为 形 ABCD 的周长为 （D ）D.①②③120cm 2，对角线 AC =24cm ，则四边A.52 cmB.40 cm 9. 如图，菱形 ABCD 中， AB=4， △AEF 的面积为（C.39 cmD.26 cm∠ B=60°， AE ⊥ BC ，AF ⊥ CD ，垂足分别为A. 4 3B. 3 3C. 2 3D. 3DACBE ，F ，连接 EF ，则DC12.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3 ，0），（－2，0），点D在y轴13. 如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l 上滑动，要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是。
中考数学复习之菱形习题(含答案)
中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。
在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。
本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。
习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BAD=∠DAC=60°。
又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。
又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。
因此，∠CBD的度数为0°。
习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BOA=∠COD=90°。
又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。
根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。
因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。
因此，∠AOB的度数为180°。
习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。
设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。
又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。
根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。
中考数学真题分类汇编及解析(二十八)菱形
（2022•武威中考）如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，动点P 从点A 出发，沿折线AD →DC →CB 方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，△APB 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（ ）A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．4√3【解析】选B ．在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，所以△ABD 为等边三角形，设AB ＝a ，由图2可知，△ABD 的面积为3√3，所以S △ABD =√34a 2＝3√3，解得：a ＝2√3. （2022•自贡中考）如图，菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，点A （﹣2，5），则点C 的坐标是（ ）A ．（5，﹣2）B ．（2，﹣5）C ．（2，5）D ．（﹣2，﹣5）【解析】选B.因为四边形ABCD 是菱形，所以OA ＝OC ，即点A 与点C 关于原点对称，因为点A （﹣2，5），所以点C 的坐标是（2，﹣5）.（2022•株洲中考）如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于点E ，下列结论不一定正确的是（ ）A ．OB =12CE B ．△ACE 是直角三角形C ．BC =12AE D ．BE ＝CE 【解析】选D ．因为四边形ABCD 是菱形，所以AO ＝CO =12，AC ⊥BD ，因为CE ∥BD ，所以△AOB ∽△ACE ，所以∠AOB ＝∠ACE ＝90°，AOAC =OBCE =ABAE =12，（2022•河南中考）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【解析】选C ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，所以△COD 为直角三角形．因为OE ＝3，点E 为线段CD 的中点，所以CD ＝2OE ＝6．所以C 菱形ABCD ＝4CD ＝4×6＝24．（2022•赤峰中考）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上．∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），点E是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD +PE 的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．2√2D ．32√3【解析】选A ．根据题意得，E 点关于x 轴的对称点是BC 的中点E '，连接DE '交AC 与点P ，此时PD +PE 有最小值为DE '，因为四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），所以OA ＝OC ＝3，∠DBC ＝60°，所以△BCD 是等边三角形，所以DE '＝OC ＝3，即PD +PE 的最小值是3．（2022•海南中考）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若BF ：CE ＝1：2，EF =√7，则菱形ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．45√7【解析】选B ．过点D 作DH ⊥AB 于点H ，如图，因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝AB＝CD，AB∥CD．因为EF⊥AB，DH⊥AB，所以DH∥EF，所以四边形DHFE为平行四边形，所以HF＝DE，DH＝EF=√7．因为点E是边CD的中点，所以DE=12CD，所以HF=12CD=12AB．因为BF：CE＝1：2，所以设BF＝x，则CE＝2x，所以CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，所以AF＝AB+BF＝5x．所以AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，因为DH2+AH2＝AD2，所以(√7)2+(3x)2=(4x)2．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），所以x＝1．所以AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4.A ．52 B ．5 C ．10 D ．20 【解析】选C ．由作图过程可得：PQ 为BD 的垂直平分线，所以BM ＝MD ，BN ＝ND ．设PQ 与BD 交于点O ，如图，则BO ＝DO ．因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠MDO ＝∠NBO ，∠DMO ＝∠BNO ，在△MDO 和△NBO 中，{∠MDO =∠NBO∠DMO =∠BNO OD =OB，所以△MDO ≌△NBO （AAS ），所以DM ＝BN ，所以四边形BNDM 为平行四边形，因为BM ＝MD ，所以四边形MBND 为菱形，所以四边形MBND 的周长＝4BM ．设MB ＝x ，则MD ＝BM ＝x ，所以AM ＝AD ﹣DM ＝4﹣x ，在Rt △ABM 中，因为AB 2+AM 2＝BM 2，所以22+（4﹣x ）2＝x 2，解得：x =52，所以四边形MBND 的周长＝4BM ＝10．（2022•武威中考）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB ＝2√5cm ，AC ＝4cm ，则BD 的长为8 cm ．【解析】因为四边形ABCD 是菱形，AC ＝4cm ，所以AC ⊥BD ，BO ＝DO ，AO ＝CO ＝2cm ，因为AB ＝2√5cm ，所以BO =√AB 2−AO 2=4cm ，所以DO ＝BO ＝4cm ，所以BD ＝8cm.答案：8．（2022•温州中考）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠BAD ＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF ，使点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，N 在对角线AC 上．若AE ＝3BE ，则MN 的长为 √32 ．【解析】连接DB 交AC 于点O ，作MI ⊥AB 于点I ，作FJ ⊥AB 交AB 的延长线于点J ，如图所示，因为四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝1，所以AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1，∠BAC ＝30°，AC ⊥BD ，因为△ABD 是等边三角形，所以OD =12，所以AO =√AD 2−DO 2=√12−(12)2=√32， 所以AC ＝2AO =√3，因为AE ＝3BE ，所以AE =34，BE =14，因为菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同，所以BE ＝BF =14，∠FBJ ＝60°，所以FJ ＝BF •sin60°=14×√32=√38， 所以MI ＝FJ =√38，所以AM =MI sin30°=√3812=√34， 同理可得，CN =√34， 所以MN ＝AC ﹣AM ﹣CN =√3−√34−√34=√32. 答案：√32．DQ ﹣P 'Q 的最大值为 16√23．【解析】如图，连接BD 交AC 于点O ，过点D 作DK ⊥BC 于点B ，延长DE 交AB 于点R ，连接EP ′交AB 于点J ，作EJ 关于AC 的对称线段EJ ′，则DP ′的对应点P ″在线段EJ ′上．当点P 是定点时，DQ ﹣QP ′＝AD ﹣QP ″，当D ，P ″，Q 共线时，QD ﹣QP ′的值最大，最大值是线段DP ″的长，当点P 与B 重合时，点P ″与J ′重合，此时DQ ﹣QP ′的值最大，最大值是线段DJ ′的长，也就是线段BJ 的长．因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，AO ＝OC ，因为AE ＝14．EC ＝18，所以AC ＝32，AO ＝OC ＝16，所以OE ＝AO ﹣AE ＝16﹣14＝2，因为DE ⊥CD ，所以∠DOE ＝∠EDC ＝90°，因为∠DEO ＝∠DEC ，所以△EDO ∽△ECD ，所以DE 2＝EO •EC ＝36，所以DE ＝EB ＝EJ ＝6，所以CD =√EC 2−DE 2=√182−62=12√2，所以OD =√DE 2−OE 2=√62−22=4√2，所以BD ＝8√2，因为S △DCB =12×OC ×BD =12BC •DK ， 所以DK =12×16×8√212√212×16×8√26√2=323， 因为∠BER ＝∠DCK ，所以sin ∠BER ＝sin ∠DCK =DK CD =32312√2=4√29， 所以RB ＝BE ×4√29=8√23，3（2022•达州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为52．【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，因为AC＝24，BD＝10，所以AO=12AC＝12，BO=12BD＝5，在Rt△AOB中，AB=√AO2+BO2=√122+52=13，所以菱形的周长为13×4＝52．答案：52（2022•娄底中考）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为√2．【解析】连接AQ，作AH⊥BC于H，因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，因为BQ＝BQ，所以△ABQ≌△CBQ（SAS），（2022•天津中考）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于√194．【解析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，所以FH∥AB，所以∠FHG＝∠AEG，因为F是CE的中点，FH∥CD，所以H是DE的中点，所以FH是△CDE的中位线，所以FH=12CD＝1，因为E是AB的中点，所以AE＝BE＝1，所以AE＝FH，因为∠AGE＝∠FGH，所以△AEG≌△FHG（AAS），所以AG＝FG，因为AD∥BC，4（2022•陕西中考）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，BD ＝7．若M 、N 分别是边AD 、BC 上的动点，且AM ＝BN ，作ME ⊥BD ，NF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，则ME +NF 的值为 √152．【解析】连接AC 交BD 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ，OB ＝OD =72，OA ＝OC ，由勾股定理得：OA =√AB 2−OB 2=√42−(72)2=√152，因为ME ⊥BD ，AO ⊥BD ，所以ME ∥AO ，所以△DEM ∽△DOA ，所以MEOA =DMAD ，即ME√152=4−AM 4，解得：ME =4√15−√15AM 8， 同理可得：NF =√15AM 8，所以ME +NF =√152，答案：√152．（2022•台州中考）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为 3√3 ；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为 6﹣3√3 ．【解析】如图1中，因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠A ＝∠C ＝60°，所以△ADB ，△BDC 都是等边三角形，当点M 与B 重合时，EF 是等边△ADB 的高，EF ＝AD •sin60°＝6×√32=3√3．如图2中，连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK ⊥AD 于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ，取AD 的中点R ，连接OR ．因为AD ∥CG ，OK ⊥AD ，所以OK ⊥CG ，所以∠G ＝∠AKT ＝∠GTK ＝90°，所以四边形AGTK 是矩形，所以AG ＝TK ＝AB •sin60°＝3√3，因为OA ＝OM ，∥AOK ＝∠MOT ，∠AKO ＝∠MTO ＝90°，（2022•黔东南州中考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是20．【解析】因为DE∥AC，CE∥BD，所以四边形OCED是平行四边形，所以OC＝DE，OD＝CE，因为矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以OC=12AC＝5，OD=12BD，BD＝AC，所以OC＝OD＝5，所以OC＝OD＝CE＝DE，所以平行四边形OCED是菱形，所以C菱形OCED＝4OC＝4×5＝20.答案：20．（2022•哈尔滨中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD 的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为2√5．【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，所以AE=√AO2+EO2=√9+16=5，所以BE＝AE＝5，所以BO＝8，所以BC=√BO2+CO2=√64+16=4√5，因为点F为CD的中点，BO＝DO，所以OF=12BC＝2√5.答案：2√5．【解析】添加的条件是AB ＝CD ，理由如下：因为AB ∥CD ，AB ＝CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，又因为AC ⊥BD ，所以平行四边形ABCD 是菱形.答案：AB ＝CD （答案不唯一）．（2022•龙东中考）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠BAD ＝60°，AD ＝3，AH 是∠BAC的平分线，CE ⊥AH 于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP +PE 的最小值是 32√6 ．【解析】连接OE ，过点O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，并延长到点O ′，使O ′F ＝OF ，连接O ′E 交直线AB 于点P ，连接OP ，所以AP 是OO ′的垂直平分线，所以OP ＝O ′P ，所以OP +PE ＝O ′P +PE ＝O ′E ，此时，OP +PE 的值最小，因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ＝AB ＝3，∠BAC =12∠BAD ，OA ＝OC =12AC ，OD ＝OB =12BD ，∠AOD ＝90°，因为∠BAD ＝60°，所以△ADB 是等边三角形，所以BD ＝AD ＝3，所以OD =12BD =32，所以AO =√AD 2−DO 2=√32−(32)2=32√3，所以AC ＝2OA ＝3√3，因为CE ⊥AH ，所以∠AEC ＝90°，所以OE ＝OA =12AC =32√3，所以∠OAE ＝∠OEA ，因为AE 平分∠CAB ，所以∠OAE ＝∠EAB ，所以∠OEA ＝∠EAB ，所以OE ∥AB ，所以∠EOF ＝∠AFO ＝90°， 在Rt △AOF 中，∠OAB =12DAB ＝30°，所以OF =12OA =34√3，所以OO ′＝2OF =32√3，在Rt △EOO ′中，O ′E =√EO 2+OO ′2=√(32√3)2+(32√3)2=32√6， 所以OE +PE =32√6，所以OP +PE 的最小值为32√6. 答案：32√6．（2022·安徽中考）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ，连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．【解析】（1）证明：设CE 与BD 交于点O ，因为CB ＝CD ，CE ⊥BD ，所以DO ＝BO ，因为DE ∥BC ，所以∠DEO ＝∠BCO ，因为∠DOE ＝∠BOC ，所以△DOE ≌△BOC （AAS ），所以DE ＝BC ，所以四边形BCDE 是平行四边形，因为CD ＝CB ，所以平行四边形BCDE 是菱形；（2）（i ）解：因为DE 垂直平分AC ，所以AE ＝EC 且DE ⊥AC ，所以∠AED ＝∠CED ，又因为CD ＝CB 且CE ⊥BD ，所以CE 垂直平分DB ，所以DE ＝BE ，所以∠DEC ＝∠BEC ，所以∠AED ＝∠CED ＝∠BEC ，又因为∠AED +∠CED +∠BEC ＝180°，所以∠CED =13×180°=60°；（ii ）证明：由（i ）得AE ＝EC ，又因为∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝120°，所以∠ACE ＝30°，同理可得，在等腰△DEB 中，∠EBD ＝30°，所以∠ACE ＝∠ABF ＝30°， 在△ACE 与△ABF 中，{∠ACE =∠ABF∠CAE =∠BAF AE =AF，所以△ABF ≌△ACE （AAS ），所以AC ＝AB ，又因为AE ＝AF ，所以AB ﹣AE ＝AC ﹣AF ，即BE ＝CF ．（2022•连云港中考）如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，且BE ⊥DC ．（1）求证：四边形DBCE 为菱形；（2）若△DBC 是边长为2的等边三角形，点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动，求PM +PN 的最小值．【解析】（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ，因为DE ＝AD ，所以DE ＝BC ，因为E 在AD 的延长线上，所以DE ∥BC ，所以四边形DBCE是平行四边形，因为BE⊥DC，所以四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，所以PM+PN＝PM+PN'，所以当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，因为DE∥BC，所以MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，=√3，所以PM+PN的最小值为√3．所以DH＝DB•sin∠DBC＝2×√32（2022•滨州中考）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD 上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证AE＝EF．【解析】（1）作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，因为四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，=5√3，所以BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×√32所以菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5√3=50√3，即菱形ABCD的面积是50√3；（2）证明：连接EC，因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，所以EA＝EC，∠DCA＝60°，所以∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，因为∠AEF＝120°，所以∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，因为∠ECA+∠ECF＝120°，所以∠EFC＝∠ECF，所以EC＝EF，所以AE＝EF．（2022•舟山中考）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：因为AC⊥BD，OB＝OD，所以AC垂直平分BD．所以AB＝AD，CB＝CD，所以四边形ABCD是菱形．小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【解析】赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：因为OA＝OC，OB＝OD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AC⊥BD，所以平行四边形ABCD是菱形．（2022•凉山州中考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．【解析】（1）证明：因为AF∥BC，所以∠AFC＝∠FCD，∠F AE＝∠CDE，因为点E是AD的中点，所以AE＝DE，所以△F AE≌△CDE（AAS），所以AF＝CD，因为点D是BC的中点，所以BD＝CD，所以AF＝BD，所以四边形AFBD是平行四边形，（2022•南充中考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：（1）△ADE≌△CDF．（2）ME＝NF．【证明】（1）因为四边形ABCD是菱形，所以DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，因为BE＝BF，所以AE＝CF，在△ADE和△CDF中，{DA=DC∠DAE=∠DCF AE=CF，所以△ADE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）知△ADE≌△CDF，所以∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，因为四边形ABCD是菱形，所以∠DAM＝∠DCN，所以∠DMA＝∠DNC，所以∠DMN＝∠DNM，所以DM＝DN，所以DE﹣DM＝DF﹣DN，所以ME＝NF．（2022•广元中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【解析】（1）证明：因为E为AB中点，所以AB＝2AE＝2BE，因为AB＝2CD，所以CD＝AE，又因为AE∥CD，所以四边形AECD是平行四边形，因为AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠EAC，因为AB∥CD，所以∠DCA＝∠CAB，所以∠DCA＝∠DAC，所以AD＝CD，所以平行四边形AECD是菱形；（2）因为四边形AECD是菱形，∠D＝120°，所以AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，所以AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，所以∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，所以BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，所以∠ACB＝90°，所以AC=√3BC＝2√3，所以S△ABC=12×AC×BC=12×2×2√3=2√3．【解析】（1）①证明：因为CE⊥AB，CF⊥AD，所以∠BEC＝∠DFC＝90°，因为四边形ABCD是菱形，所以∠B＝∠D，BC＝CD，所以△BEC≌△DFC（AAS），所以CE＝CF；②连接AC，如图1，因为E是边AB的中点，CE⊥AB，所以BC＝AC，因为四边形ABCD是菱形，所以BC＝AC，所以△ABC是等边三角形，∠EAC＝60°，在Rt△ACE中，AE＝2，所以CE＝AE•tan60°＝2×√3=2√3；（2）方法一：如图2，延长FE交CB的延长线于M，因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AB＝BC，所以∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM，因为E是边AB的中点，所以AE＝BE，所以△AEF≌△BEM（AAS），所以ME＝EF，MB＝AF，因为AE＝3，EF＝2AF＝4，所以ME＝4，BM2，BE＝3，所以BC＝AB＝2AE＝6，所以MC＝8，所以MBME =24=12，MEMC=48=12，所以MBME=MEMC，因为∠M为公共角，所以△MEB∽△MCE，所以BEEC =MBME=24，因为BE＝3，所以CE＝6；方法二：如图3，延长FE 交CB 的延长线于M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ，AB ＝BC ，所以∠AFE ＝∠M ，∠A ＝∠EBM ，因为E 是边AB 的中点，所以AE ＝BE ，所以△AEF ≌△BEM （AAS ），所以ME ＝EF ，MB ＝AF ，因为AE ＝3，EF ＝2AF ＝4，所以ME ＝4，BM 2，BE ＝3，所以BC ＝AB ＝2AE ＝6，所以MC ＝8，在Rt △MEN 和Rt △BEN 中，ME 2﹣MN 2＝EN 2，BE 2﹣BN 2＝EN 2，所以ME 2﹣MN 2＝BE 2﹣BN 2，所以42﹣（2+BN ）2＝32﹣BN 2，解得：BN =34，所以CN ＝6−34=214， 所以EN 2＝BE 2﹣BN 2＝32﹣（34）2=13516，在Rt △ENC 中，CE 2＝EN 2+CN 2=13516+44116=57616=36，所以CE ＝6.（2022•娄底中考）如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O ．设∠G ＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；并请直接写出使EF ⊥BC 成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan ∠ABC 的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由．【解析】（1）因为四边形BCFG ，四边形BCDE 都是菱形，所以CF ∥BG ，CD ∥BE ，CB ＝CF ＝CD ＝BG ＝BE ，因为D ，C ，F 共线，所以G ，B ，E 共线，所以DF ∥EG ，DF ＝GE ，所以四边形DEGF 是平行四边形，所以EF 与BC 互相平分．当EF ⊥FG 时，因为GF ＝BG ＝BE ，所以EG ＝2GF ，所以∠GEF ＝30°，所以θ＝90°﹣30°＝60°；（2）当tan ∠ABC ＝2时，EF 垂直平分线段AC ．理由：如图（2）中，设AC 交EF 于点J ．因为四边形BCFG 是菱形，所以∠G ＝∠FCO ＝90°，因为EF 与BC 互相平分，所以OC ＝OB ，所以CF ＝BC ，所以FC ＝2OC ，所以tan ∠FOC ＝tan ∠ABC ，所以∠ABC ＝∠FOC ，所以OJ ∥AB ，因为OC ＝OB ，所以CJ ＝AJ ，因为BC 是直径，所以∠BAC ＝∠OJC ＝90°，所以EF 垂直平分线段AC.（2022•岳阳中考）如图，点E ，F 分别在▱ABCD 的边AB ，BC 上，AE ＝CF ，连接DE ，DF ．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE ＝DF ；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD 为菱形． （1）你添加的条件是 ① （填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱ABCD 为菱形．【解析】（1）添加的条件是∠1＝∠2，答案：①；（2）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A ＝∠C ，在△ADE 和△CDF 中，{∠1=∠2∠A =∠C AE =CF，所以△ADE ≌△CDF （AAS ），所以AD ＝CD ，所以▱ABCD 为菱形.【解析】（1）M 与B 重合时，如图1，因为PQ ⊥AB ，所以∠PQA ＝90°，所以PA =12AB ＝2，所以t ＝2；（2）①当0≤t ≤2时，因为AM ＝2t ，所以BM ＝4﹣2t ，因为△APQ ≌△BMF ，所以AP ＝BM ，所以t ＝4﹣2t ，所以t =43；②当2＜t ≤4时，因为AM ＝2t ，所以BM ＝2t ﹣4，因为△APQ ≌△BMF ，所以AP ＝BM ，所以t ＝2t ﹣4，所以t ＝4；综上所述，t 的值为4或43； （3）①0≤t ≤2时，如图2，在Rt △APQ 中，PQ =√32t ，所以MQ =32t ，所以S =12PQ ⋅MQ =12×√32t ×32t =3√38t 2； ②当2＜t ≤4时，如图3，因为BF ＝t ﹣2，MF =√3（t ﹣2），所以S △BFM =12BF •MF =√32(t −2)2，所以S ＝S △PQM ﹣S △BFM =−√38t 2+2√3t −2√3；所以S ={3√38t 2(0≤t ≤2)−√38t 2+2√3t −2√3(2＜t ≤4)； （4）连接AE ，如图4，因为△PQE 为等边三角形，所以PE =√32t ，在Rt △APE 中，tan ∠PAE =PE PA =√32t t =√32， 所以∠PAE 为定值，所以点E 的运动轨迹为直线，因为AP ＝t ，所以AE =√AP 2+PE 2=√t 2+(√32t)2=√72t ，当t ＝2时，AE =√7，（2022•荆州中考）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【解析】（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．（2022•长沙中考）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．（1）求证：AC⊥BD；（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．【解析】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，所以▱ABCD是菱形，所以AC⊥BD；（2）因为点E，F分别为AD，AO的中点，所以EF是△AOD的中位线，所以OD＝2EF＝3，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=√AO2+OD2=√22+32=√13，所以C菱形ABCD＝4AD＝4√13．（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．【解析】（1）因为四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，所以AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，所以∠ADB﹣∠EHB＝∠CDB﹣∠GHB，即∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，{AD=CD∠ADE=∠CDG ED=GD，所以△ADE≌△CDG（SAS）；（2）过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB＝90°，因为四边形ABCD是正方形，所以∠A＝90°，AD＝AB＝AE+EF＝2+2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，所以∠QEB＝45°＝∠EBQ，所以EQ＝BQ，因为BE＝2，所以2EQ2＝22，所以EQ＝BQ=√2（负数舍去），在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE=√AD2+AE2=√42+22=2√5，因为四边形EFGH是菱形，所以EF＝DE＝2√5，所以QF=√EF2−EQ2=√(2√5)2−(√2)2=3√2，所以BF＝QF﹣QB＝3√2−√2=2√2．【解析】（1）作PE⊥AC于点E，在Rt△APE中，cos30°=AE AP，所以AE＝AP•cos30°=√3x，因为∠APQ＝120°，所以∠AQP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，所以AP＝PQ，所以点E为AQ中点，所以AQ＝2√3x（cm），答案：2√3x．（2）如图，因为∠APQ＝120°，所以∠MNB＝∠PQB＝60°，因为∠B＝60°，所以△MNB为等边三角形，所以AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，所以3×2x＝6，解得x＝1．（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，因为∠A ＝30°，AQ ＝2√3x ，所以QF =12AQ =√3x ，因为PN ＝PQ ＝AP ＝2x ，所以y ＝PN •QF ＝2x •√3x ＝2√3x 2．当1＜t ≤32时，QM ，NM 交BC 于点H ，K ，因为AB ＝6cm ，∠A ＝30°，所以AC =√32AB ＝3√3cm ，所以CQ ＝AC ﹣AQ ＝3√3−2√3x ，所以QH =2√3CQ =2√3（3√3−2√3x ）＝6﹣4x ， 所以HM ＝QM ﹣QH ＝2x ﹣（6﹣4x ）＝6x ﹣6， 因为△HKM 为等边三角形，所以S △HKM =√34HM 2＝9√3x 2﹣18√3x +9√3， 所以y ＝2√3x 2﹣（9√3x 2﹣18√3x +9√3）＝﹣7√3x 2+18√3x ﹣9√3． 当32＜x ≤3时，重叠图形△PQM 为等边三角形，PQ ＝PB ＝AB ﹣AP ＝6﹣2x ，所以y =√34PB 2=√34（6﹣2x ）2=√3x 2﹣6√3x +9√3．综上所述，y ={ 2√3x 2(0≤x ≤1)−7√3x 2+18√3x −9√3(1＜x ≤32)√3x 2−6√3x +9√3(32＜x ≤3)。
题目: 中考菱形证明与计算(含答案)
题目: 中考菱形证明与计算(含答案) **1. 初步认识菱形**菱形是一种四边形，它的特点是四边长度相等并且对角线相互垂直。
菱形的性质有：- 所有边长相等，即AB = BC = CD = DA- 对角线相等，即AC = BD- 对角线垂直，即∠CAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = 90°**2. 菱形的计算问题****2.1 计算菱形的面积**菱形的面积可以通过以下公式来计算：菱形面积 = 对角线1长度 ×对角线2长度的一半**2.2 计算菱形的周长**菱形的周长可以通过以下公式来计算：菱形周长 = 边长 × 4**3. 菱形的证明问题****3.1 证明"对角线相互垂直"**要证明"对角线相互垂直"，可以使用以下方法：- 通过数学几何运算，证明菱形的内角∠CAB = ∠ABC =∠BCD = ∠CDA = 90°，并且∠CAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°- 利用面积公式证明ABCD为菱形，即AB = BC = CD = DA**3.2 证明"菱形的对角线相等"**要证明"菱形的对角线相等"，可以使用以下方法：- 利用勾股定理证明对角线AC和BD的长度相等，即AC =BD- 通过数学几何运算证明∠CAD = ∠ACD，从而证明三角形ACD与三角形ABC为全等三角形**4. 练题答案****4.1 练题1**已知菱形ABCD，AB = 6cm，AC = 8cm，求菱形面积和周长。
答案：菱形面积 = 6cm × 8cm / 2 = 24cm²菱形周长 = 6cm + 6cm + 6cm + 6cm = 24cm**4.2 练题2**证明在菱形ABCD中，对角线AC和BD相互垂直。
答案：通过数学几何运算可证明∠CAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = 90°，即对角线AC和BD相互垂直。
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菱形
三年模拟全练
1.(2015贵州贵阳六中期末,5,★☆☆)如图18-2-2-7,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是()
图18-2-2-7
A.AB∥DC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.OA=OC
2.(2014河北宣化一中期中,11,★☆☆)如图18-2-2-8,在菱形ABCD
中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于()
图18-2-2-8
A.20
B.15
C.10
D.5
3.(2014四川成都石室中学期末,12,★☆☆)在图18-2-2-9所示的方格纸中有一个菱形ABCD(A、B、C、D四点均为格点),若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则该菱形的面积为________.
图18-2-2-9
4.(2015湖南浏阳一中期末,18,★★☆)已知:如图18-2-2-10,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证:四边形AFCE是菱形.(10分)
图18-2-2-10
5.(2013黑龙江哈尔滨三中月考,20,★★☆)如图18-2-2-11,在菱形ABCD
中,∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(9分)
(1)求∠ABD 的度数;
(2)求线段BE的长.
图18-2-2-11
五年中考全练
1.(2015江苏徐州,7,★☆☆)如图18-2-2-12,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为AD的中点,菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于()
图18-2-2-12
A.3.5
B.4
C.7
D.14
2.(2015贵州黔东南,6,★★☆)如图18-2-2-13,四边形ABCD是菱
形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH=()
图18-2-2-13
A. B. C.12 D.24
3.(2015吉林,12,★☆☆)如图18-2-2-14,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为________.
图18-2-2-14
4.(2013山东潍坊,14,★☆☆)如图18-2-2-15,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件________,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)
图18-2-2-15
5.(2015吉林长春,18,★★☆)如图18-2-2-16,CE是△ABC外角∠ACD的平分线.AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.求证:四边形ACGF是菱形.(7分)
图18-2-2-16
6.(2015四川巴中,27,★★☆)如图18-2-2-17,在菱形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O,MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N.(10分)
(1)请你判断OM与ON的数量关系,并说明理由;
(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,当AB=6,AC=8时,求△BDE的周长.
图18-2-2-17
探究创新全练
1.图18-2-2-18①是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图18-2-2-18②),依此规律继续拼下去,求第n个图形的周长.
图18-2-2-18
2.如图18-2-2-19,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
图18-2-2-19。