初中几何证明题库：菱形
中考数学几何模型专题24函数与菱形存在性问题(学生版)知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题24函数与菱形存在性问题我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.【例1】（2022春•锡山区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：（1）求当t为何值时，△EFD∽△ABD？（2）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；（3）将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【例2】（2022秋•南岸区校级期中）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，S△ABC＝，且CA⊥x轴．（1）若点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，取OB的中点M，将线段OM沿着y轴上下移动，线段OM的对应线段是O1M1，直接写出四边形CM1O1N周长的最小值．【例3】（2022秋•龙华区期中）已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求直线l2的解析式；（2）如图1，点P为直线l1一个动点，若△P AC的面积为10时，请求出点P的坐标．（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1，请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．【例4】（2022秋•博罗县期中）如图，抛物线y＝﹣x2+x+1与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．（1）求直线AB的函数解析式．（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数解析式，并写出t的取值范围．（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O，C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？若存在，请直接写出四边形BCMN为菱形时t的值，若不能存在请说明理由．一．解答题1．（2022秋•思明区校级期中）如图，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，AB＝6，点E、F分别在边AB和射线OB上运动（E、F不与正方形的顶点重合），OF＝2BE，设BE＝t．（1）当t＝2时，则AE＝，BF＝；（2）当点F在线段OB上运动时，若△BEF的面积为，求t的值；（3）在整个运动过程中，平面上是否存在一点P，使得以P、O、E、F为顶点，且以OF为边的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2．（2022•城西区开学）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求四边形AODP的面积；（3）在坐标平面内是否存在一点Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．3．（2022春•大足区期末）已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求直线l2的解析式；（2）如图1，点P为直线l1一个动点，若△P AC的面积等于10时，请求出点P的坐标；（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1，请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．。
初中几何证明题库菱形
8．如图，已知E 是菱形ABCD 的边BC 上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（ ）A ． 20°B ． 25°C ． 30°D ． 35°考点： 菱形的性质． 分析： 依题意得出AE=AB=AD ，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE ，从而求解． 解答： 解：∵AD ∥BC ， ∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°， ∴AE=AB=AD ，在三角形AED 中，AE=AD ，∠DAE=80°， ∴∠ADE=50°， 又∵∠B=80°， ∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE=30°． 故选C ． 点评： 本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是 .6.如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是【 】A 、3公里B 、4公里C 、5公里D 、6公里图1MEDBC A图2MEDBCA7.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。
求证：AE=AF。
菱形面积公式的证明和应用
菱形面积公式的证明和应用引言菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线相等且互相垂直。
本文将证明菱形面积的公式，并介绍其应用。
菱形面积公式的证明首先，我们假设菱形的对角线分别为d1和d2，且菱形的两边分别为a和b。
我们需要证明菱形面积的公式为S = (d1 * d2) / 2。
根据菱形的性质，我们可以将菱形分割成四个等边三角形。
其中，每个三角形的底边长度为b/2，高度为a/2。
因此，每个三角形的面积可以计算为S_tri = (1/2) * (b/2) * (a/2) = (ab) / 8。
由于菱形有四个等边三角形组成，所以菱形的面积为S = 4 * S_tri = (ab) / 2。
根据菱形的性质，我们知道对角线d1和d2的长度满足勾股定理，即 d1^2 = (b/2)^2 + (a/2)^2 和 d2^2 = (b/2)^2 + (a/2)^2。
将这两个方程相加，得到 d1^2 + d2^2 = 2 * ((b/2)^2 + (a/2)^2)。
通过化简，我们可以得到 d1^2 + d2^2 = (a^2 + b^2) / 2。
根据勾股定理，我们知道直角三角形的斜边长度与直角边长度的关系，所以 d1 * d2 = (a^2 + b^2) / 2。
综上所述，我们可以得出菱形面积的公式 S = (d1 * d2) / 2。
菱形面积公式的应用菱形面积公式可以应用于多个实际场景中。
以下是一些常见的应用示例：1. 构造几何问题：通过已知的对角线长度，可以计算出菱形的面积，从而帮助解决构造几何问题，如确定一个已知菱形的大小和形状的问题。
2. 地理测量：在地理测量中，菱形通常用于标识和测量特定地区或边界线。
通过测量菱形的对角线长度，可以计算出这些菱形区域的面积。
3. 水稻田设计：在农业中，菱形面积公式可以应用于水稻田的设计。
通过了解田地的形状和对角线的长度，农民可以计算出田地的面积，从而合理规划种植和施肥。
总结：通过证明菱形面积的公式和介绍其应用场景，我们可以更好地理解菱形的性质和用途。
证明四边相等的四边形是菱形
证明四边相等的四边形是菱形四边相等的四边形被称为菱形，它是一种特殊的四边形。
在本篇文章中，我将通过逻辑推理和几何证明来证明四边相等的四边形是菱形。
我们要明确什么是菱形。
菱形是一种具有以下特点的四边形：四条边相等，并且对角线互相垂直。
那么，我们来证明四边相等的四边形满足这些条件。
假设我们有一个四边形ABCD，其中AB=BC=CD=DA。
我们需要证明对角线AC和BD互相垂直。
我们假设对角线AC和BD不垂直。
那么，它们的夹角不是90度。
我们可以假设它们的夹角为x度。
然后，我们来观察四边形ABCD的两个三角形：△ABC和△CDA。
根据三角形的性质，我们知道同一个三角形的两个角之和为180度。
在△ABC中，角ABC的度数为x度，因为它是一个直角，所以角BCA 的度数为90度-x度。
在△CDA中，角CDA的度数为x度，因为它是一个直角，所以角DAC 的度数为90度-x度。
根据△ABC和△CDA的两个角之和为180度的性质，我们可以得到角BCA+角DAC=90度。
因为角BCA和角DAC的度数都是90度-x度，所以(90度-x度)+(90度-x度)=90度。
我们可以简化这个方程：90度-2x度=90度。
这意味着-2x度=0度，进一步推导出x度=0度。
这个结果是不可能的，因为我们假设了对角线AC和BD不垂直，即它们的夹角不是90度。
所以，我们的假设是错误的。
因此，我们可以得出结论：四边相等的四边形的对角线互相垂直，符合菱形的定义。
接下来，我们来证明四边相等的四边形的对角线长度相等。
仍然假设我们有一个四边形ABCD，其中AB=BC=CD=DA。
我们需要证明对角线AC和BD的长度相等。
我们可以使用勾股定理来证明对角线AC和BD的长度相等。
在△ABC中，根据勾股定理，我们知道AB²+BC²=AC²。
因为AB=BC，所以我们可以将上述方程简化为AB²+AB²=AC²。
证明菱形的四种方法
证明菱形的四种方法证明一个几何图形是一种基本的数学技巧，而证明菱形是其中的一个常见问题。
在本文中，我们将介绍四种证明菱形的方法，并提供详细的描述和示例。
方法1：证明对角线相等菱形的定义是一个四边形，其对角线相等。
证明菱形可以通过证明其对角线相等。
证明对角线相等的方法是使用重心定理，即当三角形的垂心相交时，其交点是重心。
具体步骤如下：步骤1：画出菱形的对角线并找出它们的交点。
步骤2：把每个三角形的垂足连接到对面的顶点，从而在重心处形成一个小三角形。
步骤3：证明三角形重心定理：对于任何三角形ABC，通过边的中心D，E，F，FG，DE 和AC的交点，证明GF：DE=EB：FC=DC：FA。
步骤4：使用三角形重心定理证明对角线相等。
以下示例说明了如何使用这种方法证明菱形：在菱形ABCD中，证明对角线AC和BD相等。
步骤1：画出对角线AC和BD并找出它们的交点O。
步骤2：将每个三角形的垂足连接到对面的顶点，从而在重心处形成一个小三角形。
步骤3：证明三角形重心定理：对于任何三角形ABC，通过边的中心D，E，F，FG，DE 和AC的交点，证明GF：DE=EB：FC=DC：FA。
步骤4：使用三角形重心定理证明对角线相等。
我们可以得出结论：对角线AC和BD相等。
方法2：证明对边平行菱形还有一个特点，那就是其对边平行。
证明菱形可以通过证明其对边平行。
证明对边平行的方法是使用平行四边形定理，即如果一个四边形的对边平行，则该四边形是平行四边形。
具体步骤如下：步骤1：找到菱形的两组相邻边。
步骤2：画出这两组相邻边的中心。
步骤3：证明平行四边形定理：如果一个四边形的对边平行，则该四边形是平行四边形。
以下示例说明了如何使用这种方法证明菱形：在菱形ABCD中，证明对边AB和CD平行。
步骤1：找到菱形的两组相邻边AB和BC，以及CD和DA。
步骤2：画出这两组相邻边的中心E和F。
步骤3：证明平行四边形定理：如果一个四边形的对边平行，则该四边形是平行四边形。
菱形的三种证明方法
菱形的三种证明方法菱形作为一种几何图形，经常出现在学生们的数学教育中。
然而，证明菱形是一种比较困难的任务，因为它有四个相等的边和对角线，但没有明显的角度可供利用。
在本文中，我们将介绍三种证明菱形的方法。
第一种方法是利用正方形的特性。
正方形的特点是它的四条边相等，四个角都是直角。
因此，如果我们证明一个菱形是正方形，那么它也就成为了菱形。
为了证明一个菱形是正方形，我们需要证明其对角线互相垂直，并且长度相等。
这个证明可以通过构造出四个等腰直角三角形来完成，使得每个三角形的直角都位于菱形的一个角上。
这样，我们就可以证明这个菱形是正方形。
第二种方法是利用角的特性。
由于菱形的对角线互相垂直，并且长度相等，所以它含有四个相等的角。
因此，我们可以证明一个菱形是菱形，只需证明它有四个相等的角即可。
这个证明可以通过利用垂直平分线来完成。
我们可以证明菱形的对角线互相垂直，并且长度相等，然后利用垂直平分线将每个角平分成两个相等的角度，从而证明这个菱形是菱形。
第三种方法是利用向量的特性。
我们可以将一个菱形看作是由两个三角形组成的，它们共享一个公共顶点，并且这个公共顶点是这个菱形的中心。
我们可以利用向量的加法和减法来证明这个菱形的相邻边的向量之间的关系，并且利用向量的长度来证明四个边的长度是相等的。
最后，我们可以利用向量的数量积来证明两条对角线的长度相等，并且互相垂直。
综上所述，这三种方法都可以用来证明一个菱形是菱形。
当然，不同的证明方法可能更适合不同的情况，具体取决于给定的问题和可用的工具。
无论使用哪种方法，证明一个菱形是菱形需要一定的数学知识和技巧，但是这个过程也可以锻炼我们的推理和解决问题的能力。
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。
练习题菱形证明
练习题菱形证明在数学中，菱形是一种特殊的四边形，其特点是它的四条边都相等。
要证明一个四边形是菱形，我们需要证明它的四条边都相等。
以下是一个证明菱形的练习题：已知条件：四边形ABCD的边长分别为a、b、c、d，且满足条件a=b=c=d。
第一步，根据题目条件，我们知道四边形ABCD的边长都相等，即a=b=c=d。
第二步，根据边长相等的定义，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。
第三步，根据平行四边形的性质，我们知道平行四边形的对角线互相平分。
因此，我们可以得出四边形ABCD的对角线AC和BD互相平分。
第四步，根据对角线互相平分的定义，我们可以得出四边形ABCD是菱形。
这个练习题主要考察了平行四边形和菱形的性质以及相关的定义。
通过这个练习题，我们可以更加深入地理解菱形的定义和性质，并且可以掌握证明菱形的方法。
菱形挂篮是一种广泛应用于桥梁施工的设备，以其独特的结构和稳定性能，能够提供方便、可靠的施工平台。
菱形挂篮不仅具有优良的承重能力，而且可以灵活地调整位置，适用于各种复杂的地形和施工环境。
本文将详细介绍菱形挂篮的施工工艺，包括设计、制造、安装、调试及维护等方面。
菱形挂篮的设计应考虑施工荷载、跨度、桥梁高度、施工环境等因素。
根据具体施工条件，设计人员需对挂篮的结构形式、材料选择、尺寸参数等进行详细计算和设计。
菱形挂篮一般由主梁、横梁、吊带、内外模板等部分组成，其设计应满足强度、刚度和稳定性要求。
制造菱形挂篮时，应严格按照设计图纸进行。
主梁和横梁应采用高强度钢材制造，并经过严格的热处理和焊接质量保证。
吊带和模板也应根据设计要求进行选材和加工。
制造过程中，要对关键部位进行质量检验，确保各部件的尺寸和性能符合设计要求。
安装菱形挂篮时，应先进行现场勘查，确保安装条件符合设计要求。
安装过程中，应对各部件进行检查和调试，确保其连接牢固、运行平稳。
调试过程中，应对挂篮进行加载试验，以检验其承重能力和稳定性。
使用菱形挂篮时，施工人员应接受专业培训，确保掌握挂篮的操作方法和安全注意事项。
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8．如图，已知E 是菱形ABCD 的边BC 上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（ ）A ． 20°B ． 25°C ． 30°D ． 35°考点： 菱形的性质． 分析： 依题意得出AE=AB=AD ，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE ，从而求解． 解答： 解：∠AD ∠BC ， ∠∠AEB=∠DAE=∠B=80°， ∠AE=AB=AD ，在三角形AED 中，AE=AD ，∠DAE=80°， ∠∠ADE=50°， 又∠∠B=80°， ∠∠ADC=80°，∠∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE=30°． 故选C ． 点评： 本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是 .6.如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是【 】A 、3公里B 、4公里C 、5公里D 、6公里图1MEDBC A图2MEDBCA7.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。
求证：AE=AF。
【答案】证明：连接CE。
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。
又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。
∴AE=CF。
∴四边形AECF是平行四边形。
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。
∴AE=AF。
【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。
由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。
根据菱形四边相等的性质和AE=AF。
3.如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=43，则菱形ABCD的面积为▲ cm2．例1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F⊥CD时，CFFD的值为【】【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC 与A′D′，交于点M ，∵在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°， ∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。
∴∠D=180°-∠A=120°。
根据折叠的性质，可得 ∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。
∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM -∠M=30°。
∴∠CBM=∠M。
∴BC=CM。
设CF=x ，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。
∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°=D F y FM 2x y '==+x =。
∴CF x FD y ==。
故选A 。
例2.如图，菱形ABCD 中，AB=AC ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AG 于点O ．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=1200，③AH+CH=DH，④AD 2=OD·DH 中，正确的是【 】．A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①②③④ 【答案】D 。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。
【分析】∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ABC是等边三角形。
∴∠B=∠EAC=600。
又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS）。
结论①正确。
∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE。
∴∠AHC=1800－（∠ACE＋∠CAF）=1800－（∠BAF＋∠CAF）=1800－∠BAC=1800－600=1200。
结论②正确。
如图，在HD上截取HG=AH。
∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ADC是等边三角形。
∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。
又∵∠AHC=1200，∴∠AHC＋∠ADC =1200＋600=1800。
∴A，H，C，D四点共圆。
∴∠AHD=∠ACD =600。
∴△AHG是等边三角形。
∴AH=AG，∠GAH=600。
∴∠CAH=600－∠CAG=∠DAG。
又∵AC=AD，∴△CAH≌△DAG（SAS）。
∴CH=DG。
∴AH+CH= HG+ DG =DH。
结论③正确。
∵∠AHD =∠OAD=600，∠ADH=∠ODA，△ADH∽△ODA。
∴AD HD OD AD。
∴AD 2=OD·DH。
结论④正确。
综上所述，正确的是①②③④。
故选D。
例5.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD。
∴∠1=∠ACD。
∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2。
∴MC=MD。
∵ME⊥CD，∴CD=2CE。
∵CE=1，∴CD=2。
∴BC=CD=2。
（2）证明：∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC。
∴CF=CE。
∵在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD。
在△CEM和△CFM中，∵CE=CF，∠ACB=∠ACD，CM=CM，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF。
延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2。
∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。
∴AM=MG。
在△CDF和△BGF中，∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFD，BF=CF，∴△CDF≌△BGF（AAS）。
∴GF=DF。
由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME。
【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥D，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度。
（2）先利用SAS证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS 证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证。
例3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】A． 1 B C． 2 D＋1【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得P1K1 = P K1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB 时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。
∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。
又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=2=综上所述，PK+QK。
故选B。