菱形 复习中难题 含答案
菱形的性质与判定复习题含答案
菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、 菱形的周长为100cm ，一条对角线长为14cm ，它的面积是（ ） A. 168cm 2B. 336cm 2C. 672cm 2D.84cm 23、下列语句中，错误的是（ ）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm ，8 cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，已知AB ＝5, AO ＝4，求对角线BD 和菱形ABCD 的面积.6、如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于（ ）．（A ）：2 （B ）：3 （C ）1：2 （D ）：17、菱形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。
8、如左下图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝16cm ，BD ＝12cm ，求菱形ABCD 的高DH 。
3339、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．15、【提高题】如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长是菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、如左下图，AD是△ABC的角平分线。
部编数学八年级下册菱形的判定专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.3菱形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•杜尔伯特县期中）菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）A．2B．3C．1D．【分析】根据已知可得较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长，根据周长可求得菱形的边长从而较短的对角线也就求得了．【解答】解：由已知得，较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长＝12÷4＝3，故选：B．2．（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝9和BD＝6，那么菱形ABCD 的面积为（ ）A．4B．30C．54D．27【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度乘积的一半进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝×6×9＝27，故选：D．3．（2022春•墨玉县期末）如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）A．20B．40C．28D．24【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，故选：D．4．（2022春•南召县期末）四边形具有不稳定性，小明将一个菱形ABCD转动，使它形状改变，当转动到使∠B＝60°时（如图），测得AC＝2；当转动到使∠B＝120°时，AC的值为（ ）A．2B．C．D．【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得菱形的边长为2，再根据菱形的性质以及勾股定理解答即可．【解答】解：因为菱形ABCD，∠B＝60°时，测得AC＝2，所以△ABC是等边三角形，所以菱形的边长为2，当转动到使∠B＝120°时，如图所示：因为AC⊥BD，∠ABC＝120°，所以∠ABO＝60°，所以∠OAB＝30°，所以，所以，所以AC＝2AO＝．故选：B．5．（2022春•博兴县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AB＝5，DE＝4，则在下列结论中正确的是（ ）A．DB＝5B．AE＝4C．BE＝2D．OA＝3【分析】根据菱形的性质可知AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，由于DE⊥AB于点E，所以在Rt△AED中，利用勾股定理可以求出AE，进而求出BE、BD，再在Rt△AOB中求出OA即可作出判断．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，∵AB＝5，∴AD＝5，∵DE⊥AB于点E，DE＝4在Rt△AED中，根据勾股定理得，AE＝＝3，故B错误；∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，故C正确；在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD＝，故A错误；∴OB＝BD＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝，故D错误．故选：C．6．（2022春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ）A．（0，﹣8）B．（0，﹣5）C．（﹣5，0）D．（0，﹣6）【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝13，在Rt△ODC中，OC＝，∴C（0，﹣5）．故选：B．7．（2022春•丰泽区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（ ）A．10B．4C．D．6【分析】由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再求出BD＝4，则OB＝2，然后由菱形面积求出AC＝6，则OA＝3，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∴OB＝2，∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AC×4＝12，∴AC＝6，∴OA＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故选：C．8．（2022秋•合川区校级月考）如图，在菱形ABCD中，M．N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC 交于点O，连接BC若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）A．28°B．52°C．62°D．72°【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，再由ASA可得△AMO≌△CNO，得AO＝CO，然后证BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C．9．（2022秋•胶州市校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④，其中正确的结论有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】根据菱形的性质和∠A＝60°，可知△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BFD＝∠DEB＝90°，∠GDB＝∠GBD＝30°，即可判断①选项；根据SSS可证△CDG ≌△CBG，根据全等三角形的性质可得∠DGC＝∠BGC＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质可判断②选项；根据△GBC为直角三角形，可知CG＞BC，进一步可知CG≠BD，即可判断③选项；根据勾股定理可得DE＝AB，再根据三角形面积的求法即可判断④选项．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∠CDB＝∠CBD＝60°，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴∠BFD＝∠DEB＝90°，∴∠GDB＝∠GBD＝30°，∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG，∴∠BGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故①选项正确；在△CDG和△CBG中，，∴△CDG≌△CBG（SSS），∴∠DGC＝∠BGC＝60°，∴∠GCD＝30°，∴CG＝2GD，∵DG＝BG，∴CG＝DG+BG，故②选项正确；∵△GBC为直角三角形，∴CG＞BC，∴CG≠BD，∴△BDF与△CGB不全等，故③选项错误；∵BE＝AB，BD＝AB，∠DEB＝90°，根据勾股定理，得DE＝AB，＝＝，∴S△ABD故④选项正确，故正确的有①②④，故选：B．10．（2022春•新抚区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠B＝120°，AB＝，则PE﹣PF的值为（ ）A．2B．3C．4D．6【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，则AC＝6，再由含30°角的直角三角形的性质得PF＝CP，则PE﹣PF＝（AP﹣CP）＝AC，即可得出答案．【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝∠DCA＝∠BAD＝×60°＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，在Rt△AOD中，OD＝AD＝×＝，∴OA＝＝＝3，∴AC＝2OA＝2×3＝6，Rt△APE中，∠DAC＝30°，∴PE＝AP，在Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，∴PF＝CP，∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC＝×6＝3，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•牡丹区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝24，AB＝13，则菱形ABCD 的面积是 120 ．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝5，∴BD＝2OB＝10，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×24×10＝120，故答案为：120．12．（2022秋•东明县校级月考）已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm，那么这个菱形的周长为 52cm ，面积为 120cm2 ．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24cm，BD＝10cm，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD＝5（cm），∴S＝AC•BD＝×24×10＝120（cm2），∠AOB＝90°，菱形ABCD∴AB＝＝＝13（cm），∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×13＝52（cm），故答案为：52cm，120cm2．13．（2022春•杭州期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠BAD＝40°，则∠ODE的度数为 20° ．【分析】根据菱形的性质得出∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE＝90°，∠DEB＝90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD＝OE，求出∠ODE＝∠OED即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．14．（2022春•吴中区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，E，F分别是边AB和CD 上的点，EF⊥CD于点F，则线段EF的长度为 ．【分析】连接AC，BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质得出AC，进而得出BD，利用菱形的面积解答即可．【解答】解：连接AC，BD，相交于O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠A＝120°，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，BO＝，∴BD＝2，∴菱形ABCD的面积＝，∴EF＝，故答案为：．15．（2022春•集美区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD 上的动点，且AE+AF＝a，则△CEF面积的最小值为 ．【分析】由在边长为a的菱形ABCD中，易得△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，继而证得△ACE ≌△DCF，继而证得△CEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点B或点A时，CE的值最大，当CE ⊥AB，即E为AB的中点时，EF的值最小，△CEF面积的最小值最小．【解答】解：连接AC、CE、CF，如图所示：∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠B＝60°，∴△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°，∵AE+AF＝a，∴AE＝a﹣AF＝AD﹣AF＝DE，在△ACE和△DCF中，，∴△ACE≌△DCF（SAS），∴∠ACE＝∠DCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠DCF+∠ACF，∴∠ECF＝∠ACD＝60°，∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF，当动点E运动到点B或点A时，CE的最大值为a，当CE⊥AB，即E为BD的中点时，CE的最小值为a，∵EF＝CE，∴EF的最小值为a，∴△CEF面积的最小值为：，故答案为：．16．（2022•温江区校级自主招生）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为 6.5 ．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD＝13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE＝6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO＝GF即可得出答案．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD＝＝13，又∵E是边AD的中点，∴OE＝AD＝6.5，∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，∴四边形EFOG为矩形，∴FG＝OE＝6.5．故答案为：6.5．17．（2022春•南岗区校级期中）如图，在边长为5的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、点F分别在AD、CD上，且∠EBF＝60°，连接EF，若AE＝2，则EF的长度为 ．【分析】连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，先根据菱形的性质得到AB＝AD＝5，AB∥CD，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB，∠ABD＝60°，再证明∠ABE＝∠DBF，∠FDB＝∠EAB，则可判断△BDF≌△BAE，所以BF＝BE，于是可证明△BEF为等边三角形得到EF＝BE，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AH＝1，EH＝，然后利用勾股定理计算出BE，从而得到EF的长．【解答】解：连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝5，AB∥CD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB，∠ABD＝60°，∵∠EBF＝60°，∴∠ABD﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，即∠ABE＝∠DBF，∵CD∥AB，∴∠FDB＝∠ABD＝60°，∴∠FDB＝∠EAB，在△BDF和△BAE中，，∴△BDF≌△BAE（ASA），∴BF＝BE，而∠EBF＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴EF＝BE，在Rt△AEH中，∵∠A＝60°，∴AH＝AE＝1，∴EH＝AH＝，在Rt△BEH中，∵EH＝，BH＝BA﹣AH＝5﹣1＝4，∴BE＝＝，∴EF＝BE＝．故答案为：．18．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，点E在边BC上（不与端点重合），AE交BD于点F，以EF为边向外作等边△EFG，连接CF，BG，现给出以下结论：①∠EAB＝30°；②△ABF≌△CBF；③直线AB与直线DC的距离是9；④BF+BG＝BE．其中正确的是 ②③④ （写出所有正确结论的序号）．【分析】连接AC，先证明△ABD和△CBD都是等边三角形，再证明△ADC≌△ABC，则∠CAD＝∠CAB ＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，所以点E与点C重合，这与已知条件相矛盾，所以∠EAB≠30°，可判断①错误；由AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，BF＝BF根据全等三角形的判定定理“SAS”可证明△ABF≌△CBF，可判断②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，所以∠ADI＝30°，则AI＝×6＝3，可根据勾股定理求得DI＝9，可判断③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，而△EFG是等边三角形，可证明△BFG≌△HFE，得BG＝HE，所以BF+BG＝BH+HE＝BE，可判断④正确．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝6，∴AD＝AB＝CD＝CB＝6，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAB＝∠DCB＝180°﹣∠ABC＝60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴∠ABF＝∠CBF＝60°，在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，∴AE与AC重合，点E与点C重合，与已知条件相矛盾，∴假设不成立，即∠EAB≠30°，故①错误；在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），故②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，∵∠DAI＝60°，∴∠ADI＝30°，∴AI＝AD＝×6＝3，∴DI＝＝＝9，∴直线AB与直线DC的距离是9，故③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，∵△EFG是等边三角形，∴FB＝FH，FG＝FE，∠BFH＝∠GFE＝60°，∴∠BFG＝∠HFE＝60°﹣∠GFH，在△BFG和△HFE中，，∴△BFG≌△HFE（SAS），∴BG＝HE，∴BF+BG＝BH+HE＝BE，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•薛城区月考）如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥ED，且AB＝ED．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）如果四边形EFBC是菱形，已知EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求AF的长度．【分析】（1）根据SAS即可证明△ABC≌△DEF；（2）解直角三角形求出DF、OE、OF的长，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）解：如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，EF＝3，DE＝4，∴DF＝＝＝5，∵四边形EFBC是菱形，∴OF＝OC，BE⊥CF，∴EO＝＝＝，∴OF＝OC＝＝＝，∴CF＝2OF＝，∴AF＝CD＝DF﹣FC＝5﹣＝．20．（2022春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；（2）欲求菱形ABCD的面积，求得AC、BD的长度即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：由（1）知，四边形BECD是平行四边形，则BD∥CE．∵∠E＝60°，∴∠ABD＝60°．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∴△ABD是等边三角形．∴AB＝BD＝8．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝4．∴OA＝＝＝4．∴AC＝8．∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×8×8＝32．21．（2022•雨花区校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的面积．【分析】（1）由菱形ABCD的四条边相等、对角相等的性质知AB＝AD，∠B＝∠D；然后根据已知条件“AE⊥BC，AF⊥CD”知∠AEB＝∠AFD；最后由全等三角形的判定定理AAS证明△ABE≌△ADF；（2）由全等三角形△ABE≌△ADF的对应边相等知BE＝DF，然后根据菱形的四条边相等求得AB＝CD，设AB＝CD＝x，已知CF＝2，则BE＝DF＝x﹣2，利用勾股定理即可求出菱形的边长，进而可以求菱形的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS）；（2）解：设菱形的边长为x，∵AB＝CD＝x，CF＝2，∴DF＝x﹣2，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x﹣2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，∴菱形的边长是5，∴菱形的面积＝BC•AE＝5×4＝20．22．（2022春•南浔区期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边AB、BC的中点，连结DE、EF、DF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若AD＝10，EF＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接AC，BD交于O，根据三角形中位线定理得到AC＝16，根据菱形的性质得到AO＝AC＝8，AC⊥BD，根据勾股定理得到OB＝＝6，根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴AE＝AB，CF＝BC，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：连接AC，BD交于O，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∵EF＝8，∴AC＝16，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC＝8，AC⊥BD，∴OB＝＝6，∴BD＝12，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×16×12＝96．23．（2022春•重庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点．（1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度；（2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，证明△ABD是等边三角形，根据E是线段BD 的中点，进而可以解决问题；（2）作EG∥AB交AD于点G，先证明△DGE是等边三角形，得DG＝DE＝GE，再证明△AGE≌△EBF，得AE＝EF．【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝∠C＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝6，∵E是线段BD的中点，∴BE＝DE＝3，∴AE＝BE＝3；（2）证明：如图2，作EG∥AB交AD于点G，∵△DAB是等边三角形，∴∠GDE＝60°，∠DGE＝∠DAB＝60°，∠DEG＝∠DBA＝60°，∴△DGE是等边三角形，∴DG＝DE＝GE，∵BF＝DE，∴GE＝BF，∵AD＝BD，∴AD﹣DG＝BD﹣DE，∴AG＝EB，∵∠AGE＝180°﹣∠DGE＝120°，∠EBF＝180°﹣∠DBA＝120°，∴∠AGE＝∠EBF，在△AGE和△EBF中，，∴△AGE≌△EBF（SAS），∴AE＝EF．24．（2022春•抚远市期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE．（1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD；（2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明．【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论；（2）同（1）的方法即得出结论；【解答】（1）证明：如图1，连接AC，延长CE交AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∵∠BAC＝∠PAE，∴∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；（2）解：如图2，BD＝CE+PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP，∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；如图3，BD＝CE﹣PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAD+∠DAP＝120°+∠DAP，∠CAE＝∠CAD+∠DAP+∠PAE＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP﹣PD，∴BD＝CE﹣PD．。
22.3菱形的判定常考题(含有详细的答案解析)
菱形的判定2一、选择题1、在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2), B (- 恥,0) , C (0, - 2), D (2方,0),贝U 以这四个点为顶点的四边形ABCD 是( )A 、矩形B 菱形C 正方形D 、梯形2如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为()① AC 丄 BD ;② / BAD=90°;③ AB=BC ;④ AC=BD .A 、①③B 、②③D 、①②③3、 能判定一个四边形是菱形的条件是()A 、对角线相等且互相垂直B 对角线相等且互相平分C 对角线互相垂直D 、对角线互相垂直平分4、 四边形的四边长顺次为a 、b 、c 、d ，且a 2+b 2+c 2+d 2=ab+bc+cd+ad ，则此四边形一定是( )A 、平行四边形B 、矩形C 菱形D 、正方形填空2、如图，平行四边形 ABCD 中，AF 、CE 分别是/ BAD 和/BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件,个即可，图中不能再添加别的 点”和 线”)3、在四边形 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点 0，从(1) AB=CD (2) AB // CD; (3) OA=OC; (4) OB=OD; ( 5)AC 丄BD; (6) AC 平分/ BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形 ABCD 是菱形.如(1) (2) ( 5) => ABCD 是菱形, 再写出符合要求的两个： __________________ => ABCD 是菱形； ________________ => ABCD 是菱形C ③④ ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是使四边形 AECF 为菱形，则添加的一个条件可以(只需写出1、如图，如果要使平行四边形 是D 是BC 的中点，连接AD ,在AD 的延长线上取一点E ,连接BE ,(1) 求证：△ ABEBA ACE(2)当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由.2、如图，在？ABCD 中，E, F 分别为边 AB , CD 的中点，连接 DE 、BF 、BD.(1) 求证：△ ADEBA CBF.(2) 若AD 丄BD ,则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论.3、(2007?娄底)如图，已知点 D 在厶ABC 的BC 边上，DE// AC 交AB 于E , DF// AB 交AC于F .(1) 求证：AE=DF ;(2) 若AD 平分/ BAC,试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由.ABCD 中，AB// CD, BC=CD AD 丄 BD , E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是5、如图，在 △ ABC 和厶DCB 中，AB=DC AC=DB, AC 与DB 交于点 M .(1) 求证：△ ABCBA DCB;(2) 过点C 作CN// BD,过点B 作BN // AC, CN 与BN 交于点N ,试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结 论.A三、解答题(共11小题)菱形.6如图，△ ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O, CE// AB交MN于E,连接AE、CD.(1)求证：AD=CE(2)_________________________________________ 填空：四边形ADCE的形状是 .7如图△ ABC与厶CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC BC上，且EF// AB(1)求证：四边形EFCD是菱形；(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.8 (2007?双柏县)如图，在梯形纸片ABCD中，AD// BC, AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE 交BC于点E,连接C'.求证：四边形CDC E是菱形.9已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F. 求证：四边形AFCE是菱形.A E D/A/B F C10、如图，等边△ ABC的边长为2, E是边BC上的动点，EF// AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB 连接FP.(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；(不再另外添加辅助线)(2)探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；(1)11若如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD BC的中点，G H分别是BDAC的中点，AB CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论。
菱形性质习题精选（含答案）
菱形性质习题精选（含答案）菱形性质习题精选一．填空题（共26小题）1．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．2．（2015?模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=6，∠ABC=90°，E在CD上，连接AE，BE，∠DAE=75°，若四边形ABED 是菱形，则EC的长度为．3．（2015?模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC 的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．4．（2015?州市校级模拟）己知菱形相邻两角的度数比为1：5，且它的面积为8，则这个菱形的周长为．5．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是．6．（2015?模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于．7．（2014?）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=cm．8．（2014?）菱形的周长为20cm，两个相邻的角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是cm．9．（2014?）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=．10．（2014?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是．11．（2014?眉山）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．12．（2014春?期末）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为．13．（2014?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为．14．（2014?江都市二模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为cm．15．（2014?简阳市模拟）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．16．（2014?淮区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=1cm，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE，则AE=cm．17．（2014?惠安县二模）如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为cm．18．（2013秋?海陵区期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为4cm，∠A=120°，则EF=cm．19．（2014春?仙游县校级期末）如图，以菱形AOBC的顶点O 为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为．20．（2014春?期末）如图，在菱形ABCD中，AB=13cm，BC 边上的高AH=5cm，那么对角线AC的长为cm．21．（2014春?泰兴市校级期末）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD长为cm．22．（2014春?建湖县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，则ED的长等于．23．（2014春?玄武区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，且E为AD为中点．则∠ADC=°．24．（2014春?定县期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P 是对角线AC上的一个动点，当P移动到AC的中点时，则PE+PB的值是．25．（2014春?顺义区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，CF⊥AD于点E，且BC=CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC=度．26．（2014秋?武进区期中）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．二．解答题27．（2014?县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．28．（2014?江都市模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，且MC=MD．连接DM并延长，交边BC于点F．（1）求证：∠1=∠2；（2）若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．29．（2014春?期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．30．（2014春?高淳县校级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．31．（2013秋?东海县月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AD 边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME 交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）若∠DAB=60°，当点M位于何处时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．（请在备用图中画出符合题意的图形）32．（2012秋?鼓楼区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案1．50 2．3 3． 4．16 5．8cm 2 6．5 7．5 8．5 9．35° 10．（5，4） 11．50° 12．20°13．3 14．4.8 15． 16．17． 18．2 19．（2，1）20． 21．4 22．4-3 23．120 24．2 25．105 26．27、证明：四边形ABCD 是菱形CE ⊥AE,CF ⊥AF∠DAB=∠CBB,∠DAB=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC又 BC=DC,∴Rt △BEC ≌Rt △DFC,∴CE=CF.28、证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ACD ，∵MC=MD ，∴∠ACD=∠2，∴∠1=∠2；（2）连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB=∠ACD ，BC=CD ，∵∠ACD=∠2，∴∠ACB=∠ACD=∠2，∵DF ⊥BC ，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴BF=CF ，即点F 是边BC 的中点．29、（1）在△DFC 中，∠DFC =90°，∠C =30°，DC =2t ，∴DF =t .又∵AE=t ，∴AE=DF（2）能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又AE =DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形.∵AB =21AC BC=35 222AC BC AB =+∴()2223521AC AC =+??? ?? ∴AC=1010 2.AD AC DC t ∴=-=-若使AEFD 为菱形，则需10.102,.3AE AD t t t ==-=即即当103t =时，四边形AEFD 为菱形30、（1）△ABP ≌△ACQ ，△APC ≌△AQD ；（2）∵△ACP ≌△ADQ ，∴S △ACP =S △ADQ ，即S 四边形APCQ =S △ACD =3221??；(3为菱形的高) （3）∵△PAQ 是等边三角形，点P 是BC 的中点时，AP 垂直于BC ，AP 最小，∴当AP ⊥BC 时，三角形APQ 的面积最小，故在四边形APCQ 的面积一定，△APQ 面积最小时，△PCQ 的面积最大. 此时BP=1，31、证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠DNM=∠AMN又∵DE=AE ，∠NDE=∠MAE∴△NDE=△MAE∴ND=AM∴ND ∥AM∴四边形ANDM 是平行四边形（2）当点M 是AB 的中点时，四边形AMDN 是矩形证明：如图所示∵四边形AMDN 是矩形，∠DAB=60o∴∠ADM=30o∴AM=AD 21 ∵AD=AB ∴AM=AB 21 即M 是AB 的中点32、解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形∴DP=X cm AP=CP=AD-DP=(8-X)cm∵DP 2+CD 2=PC 2∴16+X 2=(8-X) 2 解得x=3即经过3秒后四边形是菱形（2）由（1）得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（㎝）菱形AQCP的面积=5×4=20（㎝2）。
中考数学菱形复习专题练习 含答案
中考数学菱形复习专题练习一、单选题1．（2021八下·海曙期末）如图，在△ABC中，点E 、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB.下列说法中错误的是()A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90 º，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形2．（2021九上·浙江期中）如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．8 mm B．16mm C．8 mm D．4mm 3．（2021九上·越城期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止.点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．4．（2021九上·上城期中）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）A．B．C．4D．3 5．（2021九上·温岭竞赛）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）A．1B．2C．D．6．菱形有一个内角是120，且较短的对角线长为6cm,则菱形的边长为().A．6cm B．2 cm C．6 cm D．12 cm 7．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．B．C．1D．8．如图，在ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）个。
中考数学复习之菱形习题(含答案)
中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。
在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。
本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。
习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BAD=∠DAC=60°。
又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。
又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。
因此，∠CBD的度数为0°。
习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BOA=∠COD=90°。
又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。
根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。
因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。
因此，∠AOB的度数为180°。
习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。
设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。
又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。
根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。
专题02 菱形的性质与判定(重难题型)(解析版)
专题02 菱形的性质与判定(重难题型)1．如图，在菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，连接AC 、BD ，则AC BD的值为（ ）A ．12B C D 【答案】D【分析】设AC 与BD 的交点为O ，由题意易得1,2ABD CBD ABC AB BC Ð=Ð=Ð=，,,AC BD BO DO AO CO ^==，进而可得△ABC 是等边三角形，BO =，然后问题可求解．【详解】解：设AC 与BD 的交点为O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴1,2ABD CBD ABC AB BC Ð=Ð=Ð=，,,AC BD BO DO AO CO ^==，∵60ABC Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，∴30,ABO AB AC Ð=°=，∴12AO AB =，∴OB ==，∴,2BD AC AO ==，∴AC BD ==故选D ．【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．2．如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若120ABC Ð=°，2AB =，则PE PF -的值为（ ）A ．32B C ．2D ．52【答案】B【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE =30°，,利用勾股理求出AC =，则AP =+PC ，PE =12AP =12PC ，由∠PCF =∠DCA =30°，得到PF =12PC ，最后算出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC =120°，AB =2，∴AB=BC =CD =DA =2，∠BAD =60°，AC ⊥BD ，∴∠CAE =30︒，∵AC ⊥BD ，∠CAE =30°，AD =2，∴AC =∴AP =+PC ，在直角△AEP 中，∵∠PAE =30°，AP =+PC ，∴PE =12AP +12PC ，在直角△PFC 中，∵∠PCF =30°，∴PF =12PC ，∴PE PF -+12PC -12PC ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．3．如图，菱形ABCD 边长为4，60BAD Ð=°，E 是AD 上一动点（不与A 、D 重合），F 是CD 上一动点，4AE CF +=，则BEF V 面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】如解图，连接BD ．∵菱形ABCD 的边长为4，60BAD Ð=°，∴ABD △和BCD △均为等边三角形，∴60FDB EAB Ð=Ð=°，∵4AE CF +=，4DF CF +=，∴AE DF =，∵AB BD =，∴BAE BDF @△△，∴BE BF =，ABE DBF Ð=Ð，∴60EBF ABD Ð=Ð=°，∴BEF V 是等边三角形，∴当BE AD ^时，BEF V 的面积最小，此时BE =，BEF V 2=．4．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，则MP PN +的最小值是（ ）A ．6B ．52C ．1D ．12【答案】C【详解】如解图，作点N 关于AC 的对称点E ，连接ME ，PE ，则PN PE =，∴MP PN MP PE ME +=+³，∴当M 、P 、E 三点共线时，MP PN +最小，最小值为ME 的长．∵四边形ABCD 是菱形，N 是BC 的中点，∴E 是CD 的中点，∵M 是AB 的中点，∴//DE AM ，DE AM =，∴四边形AMED 是平行四边形，∴1ME AD ==，即MP PN +的最小值为1．5．如图，在菱形ABCD 中，60DAB Ð=°，点E ，F 将对角线AC 三等分，且6AC =，连接DE ，DF ，BE ，BF ．若P 是菱形ABCD 的边上的点，则满足PE PF +=的点P 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【详解】如解图，不妨假设点P 在线段AD 上，作点E 关于AD 的对称点'E ，连接'FE 交AD 于点P ，连接'AE ，此时PE PF +的值最小．∵四边形ABCD 是菱形，6AC =，点E 、F 将AC 三等分，60DAB Ð=°，∴1302DAC DAB Ð=Ð=°，2AE EF ==，∵点'E 为点E 关于AD 的对称点，∴'2AE AE ==，'23060E AE Ð=´°=°，∴'E AE △为等边三角形，∴'2E E EF ==，∴''30FE E E FE Ð=Ð=°，∴'90AE F Ð=°，∴'E F =∴PE PF +的最小值为，当点P 由A 运动到D 时，PE PF +的值由最大值6减小到4，∵PE PF +=，4<<，∴线段AD 上存在两个点P ，满足PE PF +=∴根据对称性可知：菱形ABCD 的边上的存在8个点P 满足条件．6．如图，已知Rt ABC V 中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，D 、E 、F 分别是三边AB 、BC 、CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为（ ）A ．143B ．245C ．103D ．125【答案】B【详解】如解图，作点F 关于AB 、BC 的对称点'F 、''F ，连接'''F F ，'F D ，''F E ，由对称的性质得'FD F D =，''FE F E =，''''''DE FD EF DE F D F E F F ++=++³，可知当F 固定时，'''DE F D F E ++的最小值就是线段'''F F 的长．作AC 关于AB 、BC 的对称线段'AC 、'A C ，连接''A C ，可以发现'F 、''F 是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点． '''F F 的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．∵90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，∴'248CC =´=，'326AA =´=，5AC =．设菱形的高为x ，则''16852ACA C S x =´´=菱形，解得245x =，故DE EF FD ++的最小值为245．7．如图，在矩形片ABCD 中，边4AB =，2AD =，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF ④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF =C E = AE =AF ，则证明结论①正确；设DF =x ，故DF = BE =x ，在Rt △ADF 中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF 的长，则可推出结论③正确；由DF =BE 可知阴影部分的面积为矩形ABCD 面积的一半与△CGF 面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CFE ，由折叠性质可知：AE =CE ，AF =CF ，∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CF =CE ，∴CF =CE = AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；故①正确；∵四边形AECF 是菱形，∴CF =AE ，∵四边形ABCD 是矩形，4AB =，2AD =，∴AB =CD =4，∠D =90°，∴AB -CF =CD -AE ，即DF=BE，设DF=x，则CF = AF=4-x，在Rt△ADF中，DF2+AD2= AF2，即x2+22=（4-x）2解得x=1.5，即BE的长是1.5；故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∴四边形ADFH是矩形，∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，∵AE=AB-BE=2.5，∴HE=AE-AH=1，由勾股定理得EF===③正确；∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=32，∴S阴影部分=S四边形BCFE+S△CGF，=12S矩形ABCD+S△CGF，=12AB•AD+12CG•GF，=12×4×2+12×2×32，=4+3 2=112；故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB AD =，F 是CD 的中点，作BE AD ^于点E ，连接EF 、BF ，则下列结论错误的是（ ）A ．CBF ABFÐ=ÐB ．FE FB =C ．2EFB DEBCS S =四边形△D ．3BFE DEFÐ=Ð【答案】D【分析】延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．想办法证明EF FG =，^BE BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题．【详解】解：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H ，连接FH ．∵2AB AD =，∴2CD AD =，∵F 是CD 的中点，∴DF FC =，∴CF CB =，∴CFB CBF Ð=Ð，∵//CD AB ，∴CFB ABF Ð=Ð，∴CBF ABF Ð=Ð，故A 正确，∵//DE CG ，∴D FCG Ð=Ð，∵DF FC =，DFE CFG Ð=Ð，∴DFE FCG ≌△△()AAS ，∴FE FG =，∵BE AD ^，∴90AEB =°∠，∵//AD BC ，∴90AEB EBG Ð=Ð=°，∴BF EF FG ==，故B 正确，∵DFE CFG S S =△△，∴2EBG BEF DEBC S S S ==四边形△△ ，故C 正确，∵AH HB =，DF CF =，AB CD =，∴CF BH =，∵//CF BH ，∴四边形BCFH 是平行四边形，∵CF BC =，∴四边形BCFH 是菱形，∴BFC BFH Ð=Ð，∵FE FB =，//FH AD ，BE AD ^，∴FH BE ^，∴BFH EFH DEF Ð=Ð=Ð，∴3EFC DEF Ð=Ð，故D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．如图，在ABC V 中，,BD CE 分别是边,AC AB 上的中线，BD CE ^于点O ，点F 是OB的中点，若8,6OB OC ==，则EF 的长是（ ）A ．7B ．5C ．4D ．3【答案】B【分析】如图（见解析），取OC 的中点G ，连接,,DE DG FG ，先利用勾股定理可得10BC =，再根据三角形中位线定理可得15,//2DE BC DE BC ==，15,//2FG BC FG BC ==，然后根据菱形的判定与性质即可得．【详解】解：如图，取OC 的中点G ，连接,,DE DG FG ，8,6,OB OC BD CE ==^Q ，10BC \==，,BD CE Q 分别是边,AC AB 上的中线，DE \是ABC V 的中位线，15,//2DE BC DE BC ==\，同理可得：15,//2FG BC FG BC ==，5,//DE FG DE FG \==，\四边形DEFG 是平行四边形，又BD CE ^Q ，\平行四边形DEFG 是菱形，5EF DE \==，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．10．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 是直线AC 上两点，AF =CE ．求证；四边形FBED 是菱形．甲：利用全等，证明四边形FBED 四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD ，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED 是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．A ．甲、乙对，丙错B ．乙、丙对，甲错C ．三个人都对D ．甲、丙对，乙错【答案】A【分析】先利用菱形ABCD 的性质证明,FOB FOD V V ≌可得,FB FD =再同理可得 ,,FD ED ED EB == 从而判断甲正确；连接BD 交AC 于O ， 利用四边形ABCD 是菱形，可得AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ， 再证明OF =OE ，即可判断乙正确，从而可得丙判断错误．【详解】解：Q 菱形,ABCD,,,,AB BC CD AD AC BD OA OC OB OD \===^==90,FOB FOD \Ð==Ð=°,FO FO =Q,FOB FOD \V V ≌,FB FD \=同理可得：,,FD ED ED EB ==,FB FD DE BE \===∴四边形FBED 是菱形．故甲正确；连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ，∵AF =CE ，∴OF =OE ，∴四边形FBED 是菱形．故乙正确；由甲，乙正确，可得丙的说法不正确；故选：.A 【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．11．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线AC ＝16，点E F 、分别是边CD BC 、的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 长为（ ）A ．13B ．10C ．12D ．5【答案】C【分析】连接对角线BD ，交AC 于点O ，证四边形BDEG 是平行四边形，得EG =BD ，利用勾股定理求出OD 的长，BD =2OD ，即可求出EG ．【详解】解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：∵菱形ABCD 的边长为10，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD =DA =10，EF ∥BD ，∵AC 、BD 是菱形的对角线，AC =16，∴AC ⊥BD ，AO =CO =8，OB =OD ，又∵AB ∥CD ，EF ∥BD ，∴DE ∥BG ，BD ∥EG ，∴四边形BDEG 是平行四边形，∴BD =EG ，在△COD 中，∵OC ⊥OD ，CD =10，CO =8，∴OB =OD 6=，∴BD =2OD =12，∴EG =BD =12；故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ^于点H ，连接OH ，若3OA =，2OH =．则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．6D ．24【答案】A【分析】由Rt △BHD 中，点O 是BD 的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH =2，则，BD =4，由菱形对角线的性质可得AC =6，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA OC =，OB OD =，AC BD ^，∵DH AB ^，∴90BHD Ð=°，∴2BD OH =，∵2OH =，∴4BD =，∵3OA =，∴6AC =，∴菱形ABCD 的面积11641222AC BD =´=´´=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键．13．如图，已知在菱形ABCD 中，30A Ð=°，以点,A B 为圆心，取大于12AB 的长为半径，分别作弧相交于,M N 两点，作直线MN 交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连结,BE BD ，若2AE =，则下列结论错误的是（ ）A ．45DBE Ð=°B ．2BE =C ．菱形ABCD 的面积为D ．2ED =-【答案】C【分析】由作法知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理可作出判断．【详解】由作法知，MN 是线段AB 的垂直平分线∴BE =AE =2故选项B 正确∵BE =AE ，∠A =30゜∴∠EBA =∠A =30゜∵四边形ABCD 是菱形∴AB =AD∴∠ABD =∠ADB =12(180゜−∠A )=75゜∴∠DBE =∠ABD −∠EBA =45゜故选项A 正确设MN 交AB 于点F ，如图∵MN ⊥AB ，∠A =30゜∴EF =12AE =1由勾股定理得：AF ==∴AD =AB =2AF =∴ED =AD −AE ==−2故选项D 正确如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G在Rt △ADG 中，∠A =30゜，则12DG AD ==∴6ABCD S AB DG =´==菱形从而选项C 错误故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，关键是判断题中的作图是作线段AB 的垂直平分线．14．如图，在菱形ABCD 中，,M N 分别是边,CD BC 的中点，P 是对角线BD 上一动点，已知菱形边长为5，对角线AC 长为6，则PMN V 周长的最小值是（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】C【分析】作点M 关于BD 的对称点M ¢，连接M N ¢交BD 于点P ¢．根据轴对称、菱形的性质可知点M ¢为AD 的中点．再根据题意即可证明M N ¢经过点O ，即点O 与点P ¢重合．即当P ¢点为P 点时，PM PN +最小为M N ¢长，即此时PMN V 的周长最小．根据勾股定理可求出28BD DO ==，再利用中位线的性质即可求出MN 长，最后由M N AB ¢=，求出9N M N M ¢+=即为PMN V 的周长最小值．【详解】如图，作点M 关于BD 的对称点M ¢，连接M N ¢交BD 于点P ¢．根据对称的性质和菱形的性质可知点M ¢为AD 的中点．又∵点N 为BC 中点，∴M N ¢经过点O ，即点O 与点P ¢重合．∵P M P M ¢¢¢=，∴根据两点直线线段最短可知，当P ¢点为P 点时，PM PN +最小为M N ¢长，即此时PMN V 的周长最小．∵AC =6，∴132AO AC == ．在Rt AOD △中，4DO ===，∴28BD DO ==．∵点M ，N 分别为DC ，BC 的中点，∴142MN BD ==．∵点M ¢，N 分别为AD ，BC 的中点，∴AM BN ¢=，又∵//A N M B ¢，∴四边形ABNM ¢为平行四边形．∴5M N AB ¢==，∴549M N MN =+¢=+，即PMN V 的周长最小值为9．故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称变换，三角形中位线的性质以及勾股定理．作出辅助线并理解当P ¢点为P 点时，PMN V 的周长最小是解答本题的关键．15．已知，如图，在菱形ABCD 中．根据以下作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）（1）分别以C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧分别交于点E ，F ；（2）作直线EF ，且直线EF 恰好经过点A ，且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．A．∠ABC＝60°B．如果AB＝2，那么BM＝4C．BC＝2CM D．S△ADM12=S△ABM【答案】B【分析】利用基本作图得到EF垂直平分CD，则AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝AD，则可判断△ABC为等边三角形，从而可对A选项进行判断；当AB＝2，则CM＝DM＝1，在计算出AM BM，则可对B选项进行判断；利用BC＝CD＝2CM可对C选项进行判断；利用AB∥CD，AB＝2DM和三角形面积公式可对D选项进行判断．【详解】解：由作法得EF垂直平分CD，∴AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；当AB＝2，则CM＝DM＝1，∵∠D＝60°，∴AM在R t V ABM中，BM=，所以B选项的结论错误；∴BC＝CD＝2CM，所以C选项的距离正确；∵AB//CD，AB＝2DM，∴S△ADM12=S△ABM，所以D选项的结论正确．故选：B ．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．16．如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A ，C 重合），且//PE BC 交AB 于E ，//PF CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．10B ．7.5C ．5D ．2.5【答案】D【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC 的面积，因为△ABC 的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【详解】设AP 与EF 相交于O 点．∵四边形ABCD 为菱形，∴BC //AD ，AB //CD ．∵PE //BC ，PF //CD ，∴PE //AF ，PF //AE ．∴四边形AEFP 是平行四边形．∴S △POF=S △AOE ．即阴影部分的面积等于△ABC 的面积．∵△ABC 的面积等于菱形ABCD 的面积的一半，菱形ABCD 的面积=12AC •BD =5，∴图中阴影部分的面积为12×5=2.5．故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．17．如图，菱形ABCD 的面积为24，对角线AG 与BD 交于点O ，E 是BC 边的中点，EF BD ^于点F ，EG AC ^于点G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】A【分析】由菱形的性质得出OA OC =，OB OD =，AC BD ^，12S AC BD =´，证出四边形EFOG 是矩形，//EF OC ，//EG OB ，得出EF 、EG 都是OBC D 的中位线，则1124EF OC AC ==，1124EG OB BD ==，由矩形面积即可得出答案．【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，12OA OC AC \==，12OB OD BD ==，AC BD ^，EF BD ^Q 于F ，EG AC ^于G ，\四边形EFOG 是矩形，//EF OC ，//EG OB ，Q 点E 是线段BC 的中点，EF \、EG 都是OBC V 的中位线，1124EF OC AC \==，1124EG OB BD ==，\矩形EFOG 的面积116EF EG AC BD =´=g ；又∵菱形ABCD 的面积为=1242AC BD =g ，∴48AC BD =g ∴矩形EFOG 的面积=12438´=．故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．18．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1，BC 1．若∠ACB ＝30°，AB ＝1，CC 1＝x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ②当x ＝1时，四边形ABC 1D 1是菱形 ③当x ＝2时，△BDD 1为等边三角形 ④s x ﹣2）2（0＜x ＜2），其中正确的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【分析】根据平移前后两图形全等得到∠DAC =∠111D A C ,根据平移的性质得到C 1C =A 1A ，根据矩形的性质得到A 1D =BC ，再根据SAS 证明两三角形全等．①正确；根据30°的直角三角形的性质可得△ABC 1是等边三角形，再由平移的性质得出四边形ABC 1D 1是菱形．②正确；根据当x ＝2时，点C 1与点A 重合，根据平移的性质,CC 1=DD 1=2,矩形的对角线相等，BD =AC ，证明BD ＝DD 1，∠BDD 1＝60°得出△BDD 1为等边三角形．③正确；利用含30°的直角三角的性质得出AC 1，再根据三角形的面积公式计算即可判定④错误；【详解】解：∵AC ＝A 1C 1，∴AA 1＝CC 1∵BC ＝D 1A 1，∠AA 1D 1＝∠BCC 1，∴△A 1AD 1≌△CC 1B ，故①正确，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝30°，AB ＝1，∴AC ＝A 1C 1＝2，当x ＝1时，AC 1＝CC 1＝1，∴AC 1＝AB ，∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 1是等边三角形，同法可证：△AD 1C 1是等边三角形，∴AB ＝BC 1＝AC 1＝AD 1＝C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是菱形，故②正确，当x ＝2时，BD ＝AC ＝2，DD 1＝2，∠BDD 1＝60°，∴△BDD 1是等边三角形，故③正确，当0＜x ＜2时，S ＝12 •12 （2﹣x ）（2﹣x （2﹣x ）2，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．如图，四边形ABCD 为菱形，70ABC Ð=°，延长BC 到E ，在DCE Ð内作射线CM ，使得15ECM Ð=°，过点D 作DF CM ^，垂足为F ，若DF =，则对角线BD 的长为______．（结果保留根号）【答案】【分析】先由菱形的性质得出70DCE Ð=°，求得55DCF Ð=°，再根据直角三角形两锐角互余得35CDF Ð=° ,连接AC 交BD 于点O ，根据菱形的性质得90DOC Ð=°，35BDC Ð=°，根据AAS 证明CDO CDF D @D 可得DO DF ==，从而可求出BD =．【详解】解：连接AC ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，90DOC Ð=°，BD =2DO∴70DCE ABC Ð=Ð=°∵15ECM Ð=°∴55DCM Ð=°∵DF CM^∴35CDF Ð=°∵四边形ABCD 是菱形，∴113522CDB ADC ABC Ð=Ð=Ð=° ∴CDF CDO Ð=Ð在CDO D 和CDF D 中，90CDO CDF COD CFD CD CD Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴CDO D ≌CDFD∴DO DF ==∴2BD DO ==故答案为：【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC 并证明CDO D ≌CDF D 是解答此题的关键．20．如图，菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12BP PC +的最小值是______．【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【详解】解：如图所示：过点P 作PE AB ^交AB 于点E ，过点C 作CF AB ^交AB 于点F ，Q 四边形ABCD 是菱形，60ABC Ð=°，∴∠ABP =30°，12PE BP \=，12BP PC PE PC \+=+，由垂线段最短可知，PE PC +的最小值为CF 的长，sin 3sin 60CF BC ABC \=´Ð=´°=即12BP PC +，【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．21．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE AE =，则OE 的长为______．【答案】52【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA ，OD ，AC ⊥BD ，再利用勾股定理列式求出AD ，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OD ＝12BD ＝12×6＝3，OC ＝12AC ＝12×8＝4，AC ⊥BD ，由勾股定理得，CD 5=，∵OE ＝AE ，∴∠DAC ＝∠EOA ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∴∠DCA ＝∠DAC ，∴∠EOA ＝∠DCA ，∴OE //CD ，∵AO ＝OC ，∴OE 是△ADC 的中位线，∴OE ＝12CD ＝12×5＝52，故答案是：52．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，推出OE 是△ADC 的中位线，是解题的关键．22．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE CF =．（1）求证：ABE △≌CDF V ；（2）证明四边形BEDF 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)利用SAS 证明即可；(2)从对角线的角度加以证明即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD =，且BAE DCF Ð=Ð，又∵AE CF =，∴ABE △≌CDF V ．（2）证明：连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ^，且O 为AC ，BD 中点，又∵AE CF =，∴EO FO =∴BD 与EF 互相垂直且平分，故四边形BEDF 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键．23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，8cm,60AB ACB =Ð=°，点M 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度匀速运动，至点D 时停止运动，连接MO 并延长交BC 于点N ，设点M 的运动时间为s t ．（1）求证：DM BN =；（2）当四边形ABOM 的面积为2时，求t 的值；（3）求当t 为何值时，AOM V 的外心在它的边上．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2或8【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴,//OB OD AD BC =，∴MDO NBO Ð=Ð．又∵DOM BON Ð=Ð，∴()DOM BON ASA V V ≌，∴DM BN =；（2）解：如解图①，分别过点A 、O 作BC AD 、的垂线，垂足分别为点E 、F ，例题解图①∵8cm,60,AB ACB AB BC =Ð=°=，∴ABC V 是等边三角形，∴AE =，∴12OF AE ==．∵212AOB MOA ABC MOA ABOM S S S S S =+=+=V V V V 四边形，∴111222BC AE AM OF ´×+×=即t =4t =；（3）解：∵AOM V 的外心在它的边上，∴AOM V 为直角三角形，分以下两种情况讨论：①如解图②，当90AMO Ð=°时， AOM V 的外心在AO 上，例题解图②∵8cm,60AB ACB =Ð=°，∴1 4 cm 2AO AB ==，由（2）可知MO =，∴AM =，∴()2 t s =；②当90AOM Ð=°时， AOM V 的外心在AM 上，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ^，∴90AOD Ð=°，∴此时点M 运动到点D 处，∴()8 t s =；综上所述，当t 为2s 或8s 时， AOM V 的外心在它的边上．24．如图，ABCD Y 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ^，分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接AF 、CE ．（1）若2OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由．【答案】（1）4；（2）菱形，理由见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得//AB CD ，OD OB =，再证明DOF BOE ≌△△，进而即可得到答案；（2）先证明四边形AECF 是平行四边形，再证明平行四边形AECF 是菱形．【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD ，OD OB =，∵//AB CD ，∴DFO BEO Ð=Ð，FDO EBO Ð=Ð．∴DOF BOE ≌△△，∴OE OF =，∵2OE =，∴4EF =；（2）四边形AECF 是菱形，理由如下：∵ABCD Y 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA OC =，又∵OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF AC^∴平行四边形AECF 是菱形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定定理，熟练掌握平行四边形的性质以及菱形的判定定理是解题的关键．25．四边形ABCD 为菱形，BD 为对角线，在对角线BD 上任取一点E ，连接CE ，把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，使得ECF BCD Ð=Ð，点E 的对应点为点F ，连接DF ．（1）如图1，求证：BE DF =；（2）如图2，若2DFC DBC Ð=Ð，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于BD （BE 和DE 除外）．【答案】（1）见解析；（2）,BE BC ；,BE CF ；,DF DE ；,DF CE ；,DF CF【分析】（1）证明()BCE DCF SAS D @D ，可得结论．（2）证明ED EC =，结合全等三角形的性质，可得结论．【详解】解：（1）证明：Q 四边形ABCD 为菱形，BC CD \=，Q 把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，CE CF \=，ECF BCD Ð=ÐQ ，BCE DCF \Ð=Ð，在BCE D 与DCF D 中，BC CD BCE DCF CE CF =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE DCF SAS \D @D ，BE DF \=．（2）BCE DCF D @D Q ，BE DF \=，BEC DFC Ð=Ð，CB CD =Q ，CBD CDE \Ð=Ð，2DFC CBD Ð=ÐQ ，2BEC CDE \Ð=Ð，CEB CDE ECD Ð=Ð+ÐQ ，EDC ECD \Ð=Ð，ED EC CF \==，BD BE EC BE CF DF DE DF CE DF CF \=+=+=+=+=+．【点睛】本题考查菱形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．（1）求证：四边形CFBD是菱形；（2）连接AE，若CF，DF＝2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）证明四边形CFBD是平行四边形，再证明∠1＝90°，即可判定四边形CFBD是菱形．（2）根据菱形的性质求得EF＝1，再由勾股定理求得CE＝3，由三角形的中位线定理可得AC＝2，再由勾股定理即可求得AE=【详解】（1）证明：∵E是边BC的中点，∴BE＝EC，∵DE＝EF，BE＝EC，∴四边形CFBD是平行四边形，∵D是AB边中点，E是BC中点，∴DE∥AC，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴四边形CFBD是菱形．（2）∵四边形CFBD是菱形，∴∠CEF＝90°．∵DF＝2，∴EF＝1，∵CF=，∴由勾股定理得，CE＝3，∵D，E分别是边AB，BC的中点，DE＝1，∴AC＝2，∵∠ACB＝90°，由勾股定理得AE=【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．27．如图，已知菱形ABCD 中，分别以C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧分别相交于M 、N 两点，直线MN 交CD 于点F ，交对角线AC 于点E ，连接BE 、DE ．（1）求证：BE CE =；（2）若72ABC Ð=°，求ABE Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）18°．【分析】（1）根据作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得CE=DE ，根据菱形的性质，利用SAS 可证明BCE V ≌DCE V ，可得BE=DE ，即可得结论；（2）根据菱形及等腰三角形的性质可得BAC ACB Ð=Ð=54°，根据BE CE =可得54EBC ACB Ð=Ð=°，根据角的和差关系即可得答案．【详解】（1）由作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，∴CE DE=∵四边形ABCD 是菱形∴ACB ACD Ð=∠，BC CD=∵CE CE=∴BCE V ≌DCEV ∴BE DE=∴BE CE=（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AB BC=∴BAC ACB Ð=Ð，∴180180725422ABC ACB -Ð-Ð===°°°°∵BE CE =∴54EBC ACB Ð=Ð=°∴725418ABE ABC EBC Ð=Ð-Ð=-=°°°．【点睛】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．28．问题：如图，在ABCD Y 中，8AB =，5AD =，DAB Ð，ABC Ð的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB的值．【答案】（1）①10；②5；（2）13，23，2【分析】（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出5DE AD ==，5BC CF ==，即可完成求解；②证明出EF CD =即可完成求解；（2）本小题由于E 、F 点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 DE AD =，CF CB =以及点 C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．【详解】（1）①如图1，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD \，DEA EAB \Ð=Ð．AE ∵平分DAB Ð，DAE EAB \Ð=Ð．DAE DEA \Ð=Ð．5DE AD \==．同理可得：5B C C F ==．Q 点E 与点F 重合，10AB CD \==．②如图2，点E 与点C 重合，同理可证5DE DC AD ===，∴▱ABCD 是菱形，5CF BC ==Q ，\点F 与点D 重合，5EF DC \==．（2）情况1，如图3，可得AD DE EF CF ===，13AD AB \=．情况2，如图4，同理可得，AD DE BC CF ==，，又DF FE CE ==Q ，23AD DE AB AB \==．情况3，如图5，由上，同理可以得到AD DE CB CF ==，，又FD DC CE ==Q ，2AD DE AB CD\==．综上：AD AB 的值可以是13，23，2．【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．29．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题，如图①，点P 是BC 的中点，分别以BP 、CP 为底边在BC 的同侧作等腰ABP △和等腰DCP V ，且120BAP CDP Ð=Ð=°，连接AC 、BD 交于点O ．求证：AC DB =．解决问题（1）请你解决老师提出的问题；合作交流创新小组受老师提出问题的启发继续进行深入探究．将图①中的DCP V 绕着点P 按顺时针方向旋到如图②所示的位置，连接OP ，创新小组发现AOP DOP Ð=Ð；（2）请你证明创新小组发现的结论；（3）如图③，将图①中的DCP V 绕着点P 按顺时针方向旋转至//AP BD 停止旋转．在不增加字母的情况下．请你选择已标注字母的四个点为顶点的四边形是特殊四边形，请你写出该四边形的名称，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AODP 是菱形（答案不唯一），理由见解析【详解】（1）证明：120BAP Ð=°Q ，ABP △是等腰三角形，BAP \Ð是等腰三角形的顶角．AB AP =∴．1801801203022BAP ABP APB °-а-°\Ð=Ð===°．同理得DP DC =，30DPC DCP Ð=Ð=°．∵P 是BC 的中点，BP CP \=．()ABP DCP ASA \△≌△．.AB DC AP DP \===180APC APB Ð+Ð=°Q ，18030150APC \Ð=°-°=°，同理得150DPB Ð=°，.APC DPB \Ð=Ð()APC DPB SAS \△≌△．AC DB \=；（2）证明：APB DPC Ð=ÐQ ，.APB BPC DPC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð.APC DPB \Ð=Ð又.APC DPB \Ð=Ð，CP BP =，()APC DPB SAS \△≌△．.APC DPB S S \=△△如解图①，过点P 分别作PE AC ^，PF BD ^．垂足分别是E ，F ，1122AC PE DB PF \×=×，PE PF \=．OP ∴平分AOD Ð．即AOP DOP Ð=Ð；图①（3）解：四边形AODP 是菱形．（答案不唯一）理由如下：如解图②，记BD 与CP 的交点为L ，AP//BD Q ，AB PD =，120BAP Ð=°，60ABD PDB \Ð=Ð=°，120APD Ð=°，30CPD Ð=°Q ，180180603090PLD PDB CPD \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，即CP BD ^，CP AP \^，即90APC Ð=°，180903060CAP \Ð=°-°-°=°，60120180CAP APD \Ð+Ð=°+°=°，。
初三北师大版菱形练习题和答案
初三北师大版菱形练习题和答案一、题目解析菱形练习题是初三语文学习中的重要内容之一，通过练习，学生可以巩固对语文知识的理解和运用能力。
本文将为读者提供初三北师大版菱形练习题及答案，帮助读者系统地进行复习和巩固。
让我们一起来看看吧！二、菱形练习题根据初三北师大版教材，以下是一组菱形练习题，供同学们进行训练。
1. 阅读下面这段话，完成后面的题目。
十岁的孩子比五岁的孩子聪明两倍，而十岁的孩子比成年人聪明三倍。
那么，请问，五岁的孩子与成年人相比，聪明几倍？请写下你的答案并解释原因。
2. 阅读下面这组诗句，选择正确的答案。
天净沙·秋思银瓶乍破水浆迸，滟滟随波千万重。
金络脱，花骢落，犹冷笼宵。
轻絮飞花径，何处觅艳阳？杨柳岸，晓风残月。
春如旧，人空瘦，泪痕犹在，夜阑珊处。
这首词作者是谁？A. 杨维桢B. 辛弃疾C. 苏轼D. 陆游3. 阅读下面这个句子，判断表达是否准确。
刚才听到有敲门声，心里一片惶恐。
对该句进行修正，使其表达更为准确。
三、菱形练习题答案1. 五岁的孩子与成年人相比，聪明是十倍。
解析：根据题目中给出的信息，十岁的孩子比五岁的孩子聪明两倍，而十岁的孩子比成年人聪明三倍。
换句话说，五岁的孩子是十岁孩子的一半聪明，而十岁的孩子是成年人的三倍聪明。
所以，五岁的孩子与成年人相比，聪明是十倍。
2. 答案选B（辛弃疾）。
解析：这首词的作者是辛弃疾，是中国宋代文学家，也是豪放派代表人物之一。
3. 刚才听到有敲门声，心里一片惊慌。
解析：根据句子的上下文，使用"惊慌"一词更能准确地描述主人公的内心感受。
四、结语通过完成初三北师大版菱形练习题，同学们可以巩固对语文知识的掌握，提高解题能力。
希望以上提供的菱形练习题和答案对同学们的学习有所帮助。
加油，取得更好的成绩！。
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菱形复习中难题含答案1．菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2．菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3．菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半（★★）若菱形的一条对角线与边的夹角为25°，则这个菱形各内角的度数为．【答案】50°、130°、50°、130°．（★★）1．菱形ABCD的周长为20，两对角线长3：4，则菱形的面积为．【答案】24．（★★）2．如图，E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点，△AEF是等边三角形，且AE=AB，求∠B和∠C的度数．FEDCBA【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题，易得∠B=80°和∠C=100°．（★★）菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中，共有全等的等腰三角形的对数是．【答案】4．（★★）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）．A．一组临边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形DCBA（★★★）若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是．答案：120°．（★★★）1．菱形的对称轴共有条．【答案】2．2．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．【答案】先解方程求得两根分别为2和（2m-2），再根据周长为20求得m的值为5．（★★★）3．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为．【答案】24．（★★）下列命题错误的有（填写序号）．①菱形四个角都相等．②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形．③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形．④对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．【答案】①②③．（★★）1．已知四边形ABCD中，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是（）A．矩形B．菱形C．AC=BD的任意四边形D．平行四边形【答案】C（★★）2．（1）用两个边长为a的等边三角形拼成的是形．（2）用两个全等的等腰三角形拼成的是形．（3）用两个全等的直角三角形拼成的是形．【答案】（1）菱形；（2）菱形和平行四边形；（3）矩形和平行四边形．（★★）如图，在△ABC中，AB=AC，M点是BC的中点，MG⊥AB于点G，MD⊥AC于点D，GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E，GF与DE相交于点H，求证：四边形GMDH是菱形．HDMFEGCBA【答案】证明：先证明四边形GMDH是平行四边形，利用等腰三角形底边中点到两腰的距离相等得出四边形GMDH是菱形．（★★）在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、DC边上的点，∠EBF=60°．（1）判定△BEF的形状；（2）证明你的结论．D FECBA【答案】联结BD，易证ABE DBF≅△△，故BEF△是等边三角形．（★★★）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从(1)AB=CD；(2)AB∥CD；(3)OA=OC；(4)OB=OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。
如(1)(2)(5)⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________⇒ABCD是菱形；________⇒ABCD是菱形。
【答案】（1）（2）（6）或（3）（4）（5）或（3）（4）（6）（★★★）□ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD ④AO=DO，使得□ABCD是菱形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C．（★★★）下列图形中，不一定为菱形的是（）．A．两条对角线互相垂直平分的四边形B．四条边都相等的四边形C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形D．用两个边长相等的等边三角形拼成的图形【答案】D．（★★★）1．如图，在ABC△中，点E D F，，分别在边AB，BC，CA上，且DE CA∥，DF BA∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果90BAC∠=，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分BAC∠，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD BC⊥且AB AC=，那么四边形AEDF是矩形【答案】D．（★★★）2．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．OEFCBAＡＦＣＤＥ【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OB，AB∥CD ,∴∠E＝∠F，∵∠DOE＝∠BOF∴△DOE≌△BOF ．(2)当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定定理即可证明．1．熟练掌握菱形的概念、性质和判定是解题的关键，也是区别矩形、正方形的基础．2．几何证明需要读题仔细，挖掘隐含的结论从而推导结论．3．要想真正学好四边形，需要一定的练习量才能产生质变．1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）．A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD2．已知点A、B、C、D在同一平面内，下面列有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥CD，④BC=AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DAB与∠DCB．从这6个条件中选出（直接填写序号）___________3个，能使四边形ABCD是菱形．3．已知：如图，在ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，与AD、BC相交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形．4．已知：如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF∥AB，与AD相交于点F，求证：四边形ABEF是菱形．5．如图，将一X矩形纸片ABCD先折出一条对角线AC，再将点A与点C重合折出折痕EF，OBACE DFBACEDF最后分别沿AE 、CF 折叠．得到的四边形AECF 是什么样的四边形？试证明你的猜想．与第3题对照，你有什么发现？6．结合所给的图形，编一道几何证明题，证明四边形AEDF 是菱形．并利用所给的条件，写出“已知”“求证”和“证明”的过程．7．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠ABC=30°，求证：BD AC AB ⋅=2．8．已知，如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC 交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N ．求证：四边形AMNE 是菱形．BACE DFBA CEDF BAD答案： 1．C 2．（答案不惟一，只要正确即可）①②⑤或③④⑤等． 3．可证出△AEO ≌△CFO ，得AE=CF ．再由AC 是EF 的垂直平分线，得EC=EA ，AF=CF ． 由此得EC=AF=CF ，所以四边形AFCE 是菱形．4．先证四边形ABEF 是平行四边形，再由AE 平分∠BAF ，•得∠FAE=•∠BAE ． 又由∠FAE=∠AEB ，得∠BAE=∠BEA ，所以AB=BE ，所以ABEF 是菱形． 5．四边形AECF 是菱形，无论原图形是什么图形，只要能得到平行四边形， 在此基础上满足“对角线相互垂直”，该平行四边形就一定是菱形． 6．（答案不惟一，只要合理，符合题意即可）略．7. 过点C 作CE ⊥BA ，垂足为E ．在Rt △BEC 中，∠ABC=30°，∴BC EC 21=，∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB EC 21=．22121AB AB AB EC AB S =⋅=⋅=菱形．又∵BD AC S ⋅21菱形，∴BD AC AB ⋅=2．8.证明：∵AD ⊥BC ，∴∠BDA=90°，∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C ， ∵AN 平分∠DAC ，∴∠CAN=∠DAN ，∵∠BAN=∠BAD+∠DAN ，∠BNA=∠C+∠CAN ，∴∠BAN=∠BNA ， ∵BE 平分∠ABC ，∴BE ⊥AN ，OA=ON ，同理：OM=OE ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴四边形AMNE 是菱形。
知识结构菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的性质：1、菱形具有平行四边形的所有性质：2、菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等．菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的对称性菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等与对角线乘积的一半菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（定义作为第一判定）四条边相等的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形一、菱形的性质例题1菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★)A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选C．答案：C本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．我来试一试！菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（ ）(★★) A ． 60°B ． 15°C ． 30°D ． 90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°． 解答：A如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★) 解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍， ∴AB=BD=AD ，∴△ABD 是等边三角形， ∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°． 解答：60例题2已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴BCD CA CD CB ∠=平分,．∴CE CE DCE BCE =∠=∠又., ∴△BCE ≌△COB （SAS ）． ∴∠CBE=∠CDE ．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE．通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。