菱形证明题
初中几何证明题库菱形
8．如图，已知E 是菱形ABCD 的边BC 上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（ ）A ． 20°B ． 25°C ． 30°D ． 35°考点： 菱形的性质． 分析： 依题意得出AE=AB=AD ，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE ，从而求解． 解答： 解：∵AD ∥BC ， ∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°， ∴AE=AB=AD ，在三角形AED 中，AE=AD ，∠DAE=80°， ∴∠ADE=50°， 又∵∠B=80°， ∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE=30°． 故选C ． 点评： 本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是 .6.如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是【 】A 、3公里B 、4公里C 、5公里D 、6公里图1MEDBC A图2MEDBCA7.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。
求证：AE=AF。
第2课时 菱形的判定
C 展示交流 ONTENTS
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思考与 动手:
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02
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根据菱形的定义,邻边相等的平行 四边形是菱形.除此之外,你认为还有 什么条件可以判断一个平行四边形是 菱形?先想一想,再与同伴交流.
平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆 命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角 线垂直的平行四边形是菱形.
1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
1.菱形的定义?
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 AB=BC
2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需补充 就可以判定它是一个菱形.
3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、2B0D相交于点O,并且 AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为 cm.
我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能 是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形” 嘛……实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形” 一样.
你是怎么想的?你认为小明的想法如何? 与同伴交流一下.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与
BD交于点O,AC⊥BD.
∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角.
∴AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形)
D
A
C
B
以下是小刚的作法
你是怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与同 伴交流.
四条边相等的四边形是菱形
已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形 证明:∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC
第十八章全国通用版中考数学：菱形有关的证明与计算(三)—解析版
第十八章专题：菱形有关的证明与计算（三）1.菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E在AD上，连接BE，点F、H在BE上，△AFH为等边三角形．（1）如图1，若CE⊥AD，BE=63，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC=2AH，求证：AG=GC．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠D=60°，AD∥BC∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∵CE⊥AD，∴AE=DE，BC⊥CE，设AE=DE=m，则AD=BC=2m，CE=3m，在Rt△BCE中，∵BE2=CE2+BC2，∴4m2+3m2=63，∴m=±3，∵m＞0，∴m=3，∴BC=6，EC=33，∴S菱形ABCD=BC•CE=183．（2）作CK∥AH交BE于点K．∵△AFH是等边三角形，∴∠AHF=∠AFH=60°，∵AH∥CK，∴∠AHF=∠CKE=60°，∴∠AFB=∠BKC=120°，∵∠ABF+∠CBK=60°，∠CBK+∠BCK=60°，∴∠ABF=∠BCK，∵AB=BC，∴△ABF≌△BCK（AAS），∴BK=AF，∵∠BAC=∠FAH=60°，∴∠BAF=∠CAH，∵BA=AC，AF=AH，∴△BAF≌△CAH（SAS），∴BF=CH，∵CH=2AH，AH=AF=FH=BK，∴BK=FK=FH，∵AH∥FG∥CK，FH=FK，∴AG=CG．2.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点．且BM=CN，AN，CM相交于点E．（1）证明：△BCM≌△CAN；（2）求∠AEM的度数；（3）证明：AE+CE=DE．【解答】（1）证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠B=60°，∴△ACD，△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，在△BCM和△CAN中，BC＝AC，∠B＝∠ACN，BM＝CN，∴△BCM≌△CAN（SAS）．（2）∵△BCM≌△CAN，∴∠BCM=∠CAN，∴∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．（3）证明：如图，作DG⊥AN于G，DH⊥MC，交MC的延长线于H．∵∠AEM=60°，∴∠AEC=120°，∵∠DGE=∠H=90°，∴∠GEH+∠GDH=180°，∴∠GDH=∠ADC=60°，∴∠ADG=∠CDH，在△DGA和△DHC中，∠DGA＝∠H＝90°，∠ADG＝∠CDH，DA＝DC，∴△DGA≌△DHC（AAS），∴DG=DH，∵DG⊥AN，DH⊥MC，∴∠DEG=∠DEH，∴DE平分∠AEC，即∠GED=60°，在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，∴DE=2EG，在△DEG和△DEH中∠DEG＝∠DEH，∠DGE＝∠H，DE＝DE，△DEG≌△DEH（AAS），∴EG=EH，∵△DGA≌△DHC，∴GA=CH，∴EA+EC=EG+AG+EH-CH=2EG=DE，即EA+EC=ED．3.在菱形ABCD中，∠C=60°，E为CD边上的点，连接BE．（1）如图1，若E为CD的中点且BE=3，求菱形ABCD的面积．（2）如图2，点F在BC边上，且DE=CF，连接DF交BE于点M，连接EB并延长至点N，使得BN=DM，求证：AN=DM+BM．【解答】（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠C=60°，∴△BCD是等边三角形，∵DE=EC，∴BE⊥CD，∴EC=3，∴CD=2EC=23，∴菱形ABCD的面积=CD•BE=63．（2）如图2中，连接AM，在MA上截取MH=MD，连接DH．∵DE=CF．∠BDE=∠C，BD=CD，∴△BDE≌△DCF，∴∠DBE=∠CDF，∴∠BMF=∠DBM+∠BDM=∠CDF+∠BDM=60°，∴∠DMB=120°，∵∠DAB+∠DMB=180°，∴∠ADM+∠ABM=180°，∵∠ABN+∠ABM=180°，∴∠ABN=∠ADM，∵AB=AD，BN=DM，∴△ABN≌△ADM，∴∠DAM=∠BAN，AM=AN，∴∠MAN=∠DAB=60°，∴△AMN是等边三角形∴∠AMB=∠AMD=60°，∵MH=MD，∴△DMH是等边三角形，∴DH=DM，∠ADB=∠HDM=60°，∴∠ADH=∠BDM，∵AD=DB，DH=DM．∴△ADH≌△BDM，∴AH=BM，∵AM=AH+HM，∴AN=AM=DM+BM．4.已知：四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）如图（1），①求AC的长；②求证：AE=CF；（2）如图（2），若∠EOD=30°，连BE，CE，求△BEC的周长．【解答】（1）①根据题意及菱形的性质，可求∠BAO=30°，BO=2，∴AO=23，∴AC=43；②∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∠OAE＝∠OCF，AO＝CO，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）依题意△CBD是等边△，BD=4，可得EF⊥BC，∵BO=2，OE=OF，BF=1，∴OF=3，EF=23，BE=13，EC=21∴△BEC的周长为（4+13+21）5.如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交AE于点F，连接BE．（1）如图1，求证：∠AFD=∠EBC；（2）如图2，若DE=EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴DC=CB，在△DCE和△BCE中，DC＝CB，∠DCE＝∠BCE，EC＝EC∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠EDC=∠EBC，由DC∥AB得，∠EDC=∠AFD，∴∠AFD=∠EBC；（2）解：∵DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，则∠CBF=2x°，由BE⊥AF得：2x+x=90°，解得：x=30°，∴∠DAB=60°．6.菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD=4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC 、BD 相交于点O ，点N 为BP 的中点，过P 作PM ⊥AC 于M ，连接ON 、MN ．试判断△MON 的形状，并说明理由．【解答】（1）如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD=10，AB ∥CD∵PD=4，∴PC=6，∵PB ⊥CD ，∴PB ⊥AB ， ∴∠CPB=∠ABP=90°，在RT △PCB 中， ∵∠CPB=90°PC=6，BC=10，∴PB=8， 在RT △ABP 中，∵∠ABP=90°，AB=10，PB=8，∴PA=412． （2）△OMN 是等腰三角形．理由：如图2中，延长PM 交BC 于E ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，CB=CD ， ∵PE ⊥AC ，∴PE ∥BD ， ∴CBCECD PC ，∴CP=CE ，∴PD=BE ， ∵CP=CE ，CM ⊥PE ，∴PM=ME ，∵PN=NB ，∴MN=21BE ， ∵BO=OD ，BN=NP ，∴ON=21PD ， ∴ON=MN ，∴△OMN 是等腰三角形．。
菱形的性质与判定
B
C
D
O
证明(1)∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC(菱形的定义)
∵DA=BC,AB=DC
∴AB=BC=DC=DA
(2)在△DAC中,又∵AO=CO
∴DB⊥AC， DB平分∠ADC（三线合一）
同理： DB平分∠ABC； AC平分∠DAB和∠DCB
(1)AB=BC=CD=DA
(2)AC⊥BD
A
B
C
D
E
F
你敢挑战吗？
交流反思
1.菱形概念
2.菱形特征
3.菱形与平行四边形的关系
①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分； ④菱形的对角线分别平分两组对角； ⑤菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
4.菱形的面积
方法总结:
01
02
03
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平行四边形
菱形
四边形
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对角线互相垂直
一组邻边相等 菱形 有四条边相等
判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ） (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ） (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形； （ ） (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形． （ ）
E
O
D
C
B
A
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,AE∥DB，AE交DE于E。 求证：四边形AODE是菱形。
D
C
B
A
M
N
2、将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD. 求证：四边形ABCD是菱形。
菱形的性质专项练习30题(有答案)ok
菱形的性质专项练习30题（有答案)1．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8（1）求菱形的周长；（2）求OE的长度．2．如图，菱形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，AC=6cm，BD=8cm．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求菱形ABCD的周长．3．如图，菱形对角线AC，BD相交于一点O，且AC=12cm，BD=16cm．求这个菱形的周长和面积．4．如图，已知菱形ABCD的边长是2cm，BAD=120°．（1）试说明：△ABC是等边三角形；（2）求菱形两条对角线的长．5．如图，菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，AB=5，OA=3．（1）求菱形ABCD的周长；（2）求菱形ABCD的面积．6．如图，菱形ABCD的周长为200cm，对角AC与BD交于点O，且AC=60cm，试求菱形ABCD的面积．7．已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积．8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．试判断四边形AODE的形状，并说明理由．9．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AC=6，BD=8，求线段OE的长．10．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）证明：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长；（3）在没有辅助线的前提下，图中共有_________对相似三角形．11．菱形ABCD中，∠B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD于点E、F．（1）说明△ABC、△ACD都是等边三角形．（2）判断△AEF的形状，说明理由？（3）如果AB=2，写出△CEF的周长的最小值．12．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若菱形ABCD的周长为20，矩形OCED的周长为14，求菱形ABCD的面积．13．如图，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、AD上，且AF=CE，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AFC的度数．14．如图，平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG：（2）若四边形ABFG是菱形，且AB：BC=2：3，求∠B的度数．15．如图，菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，BE=CE，求∠BAD的度数．16．如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF 为等边三角形．（1）求∠A的度数；（2）求菱形ABCD的面积．17．如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC 与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．18．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．19．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．20．已知：菱形ABCD中，对角线AC=16cm，BD=12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．21．如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．（1）DE和BF相等吗？请说明理由．（2）连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．22．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．求证：（1）AE=AF；（2）△AEF为等边三角形．23．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC的中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，求DE和AF的长．24．如图，边长为a的菱形ABCD中，∠A=60°，过C任作直线分别交AB、AD的延长线于E、F，连接DE、BF 交于M，若△BEM和△DFM外接圆的半径分别是R1、R2，求证：R1•R2为定值，并求这个定值．25．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，6），D（﹣8，0）．（1）求点C的坐标；（2）设菱形ABCD对角线AC、BD相交于点E，求经过点E的反比例函数解析式．26．如图，菱形ABCD中，点P是AB的中点，延长DP交CB的延长线于E点．求证：BE=CD．27．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．（1）求证：AE=AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．28．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．29．如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；（2）求证：AH=CE+EH．30．如图，已知点O在菱形ABCD内，过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，且OE=OF．（1）求证：OB=OD；（2）把菱形换成矩形、平行四边形、等腰三角形，上述结论仍成立吗？（写出结论，不证明）参考答案:1．（1）设AB=x，则BC=x，BH=BC﹣CH=x﹣4，在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，∴82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，∴菱形周长为40．（2）∵AH=8，CH=4，∴AC==4，∴CO=AO=AC=2，∵BC=10，CO=2，∴BO==4∵∠BHE=∠BOC=90°，∠EBH=∠CBO，∴△BHE∽△BOC，∴，∴，∴EH=3，∴AE=AH﹣EH=8﹣3=5，∴OE==2．（1）菱形的对角线为AC=6cm，BD=8cm，则菱形的面积为AC•BD=×6×8=24cm2；（2）菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=4cm，AO=OC=3cm，∴AB==5cm，故菱形的周长为20cm，答：菱形的周长为20cm，面积为24cm2．3．∵在菱形ABCD中，AC=12cm，BD=16cm，∴S菱形ABCD =×AC×BD=×12×16=96（cm2）．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，∴AB==10cm，∴菱形ABCD的周长为：4×10=40（cm）．故这个菱形的周长为40cm，面积为96cm24．（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC，∠BAC=∠BAD=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠BAC=60°，AB=2cm，∴∠ABO=30°，∴OA AB=1（cm），∴OD==（cm），∴AC=2OA=2cm，BD=2OD=2cm．5．（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=5，∴菱形ABCD的周长等于5×4=20；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，根据勾股定理，得：OB=，==4，∴AC=2OA=6，BD=2OB=8，∴S菱形ABCD=×AC×BD=×6×8=246．菱形周长为200cm，则AB=50cm，∵AC=60cm，∴AO=30cm，菱形对角线互相垂直，∴△AOB为直角三角形，在Rt△AOB中，BO==40cm，∴BD=2BO=80cm，∴菱形ABCD的面积为S=×60cm×80cm=2400cm2，答：菱形ABCD的面积为2400cm2．7．由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周长L=4AB=20；∵菱形对角线相互垂直，∴菱形面积是S=AC×BD=24．综上可得菱形的周长为20、面积为24．8．四边形AODE是矩形．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形9．（1）四边形OCED是矩形．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形；（2）在菱形ABCD中，∵AC=6，BD=8，∴OC=AC=×6=3，OD=BD=×8=4，∴CD===5，在矩形OCED中，OE=CD=510．1）证明：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EM⊥AC，∴EM∥BD，∵E为AB的中点，∴M为AD的中点，∴AM=DM；（2）解：∵EB∥FD，EM∥BD，∴四边形FDBE是平行四边形，∴FD=BD，∵DF=2，∴BE=2，∴AB=2BE=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16；（3）设ME与AC的交点为G，相似三角形有：△AGE∽△AGM，△AGE∽△CGF，△AGM∽△CGF，△AEM∽△DFM，△ABC∽△ADC共5对．11．（1）∵菱形ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．（2）∵∠B=∠ACD=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形；（3）∵EC+CF=BE+EC=BC=2，△AEF是等边三角形，∴EF=AE，∴△CEF的周长=2+AE，由“垂线段最短”，当AE⊥BC时，AE最短，AE=，∴△CEF的周长=2+12．（1）∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED为平行四边形，∵AC，BD为菱形的对角线，∴AC⊥BD，即∠COD=90°，∴平行四边形OCED为矩形．（2）菱形ABCD的周长为20，则菱形的边长为5，即=5，矩形OCED的周长为14，则OC+OD=7，解题OC=3，OD=4，∴AC=6，BD=8，∴菱形的面积为×6×8=24．答：菱形ABCD的面积为2413．由菱形ABCD，得∠BAD=∠BCD=130°，∠BAE=25°，∴∠EAF=105°，又∵AF=CE，AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，则∠AFC=180°﹣∠EAF=180°﹣105°=75°．14．（1）∵∠ABE=∠CDG，∠AEB=∠CGD，AE=CG，∴△ABE≌△CDG，∴BE=DG，（2）四边形ABFG是菱形，则BF=AB，∵AB：BC=2：3∴FC=AB，∵AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．∴BE=FC，∴AB=2BE，∴直角△ABE中，∠BAE=30°，∴∠ABE=60°15．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD∥BC，∵AE⊥BC，BE=CE，∴AB=AC，∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，又∵AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=120°16．（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．∵AD∥CB，∴△BGE∽△AHE，∵AB=AD=6，∴AE=BF=5，CF﹣BE=1，令BG=x，GE=y，则EH=5y，AH=5x，在△FGE 中，，在△DEH 中，，根据EF=ED，BE=1，易得EF2=ED2，即有，解得，，∴tan∠A=，∴∠A=60°；（2）由以上求得知，EH=AEsin60°=，，故．17．连接PD，DQ，由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．∴，．∴AC2=PA•QC，又AC=AD=DC．∴，又∠PAD=∠DCQ=60°，∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，∴P，D，Q三点共线．18．∵菱形ABCD的周长为20，∴菱形的边长AB=5，由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25，又有根与系数的关系可得：AO+BO=2m﹣1，AO•BO=4（m﹣1），∴AO2+BO2=（AO+BO）2﹣2AO•BO=（2m﹣1）2﹣2×4（m﹣1）=25，整理得：4m2﹣12m+9=25，解得：m=4或﹣1（舍去）．故m=419．∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又∵CE=CF，∴CD﹣CE=CB﹣CF，即DE=BF．∴△ADE≌△ABF．∴AE=AF20．菱形ABCD的面积S=×16×12=96，∵AC⊥BD，∴AB=10，∴CD=AB=10，∴×CD×BE=48，∴BE=cm，所以菱形ABCD的面积为96cm2，BE 的长为cm21．（1）DE=BF．理由如下：如图，设AB、EF相交于G，连接BD，在菱形ABCD中，BD⊥AC，∵EF⊥AC，∴EG∥BD，∵E是AD中点，∴EG是△ABD的中位线，∴AG=BG，又∵AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，在△AEG和△BFG 中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AE=BF，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴DE=BF；（2）四边形AFBE是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AE∥BF，又∵AE=BF，∴四边形AFBE是平行四边形22．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB=CD=AD，∠B=∠D，∵BE=DF∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．∴AB=AC=AD，∴AB=AD=BC=CD=AC，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，∴∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形．23．（1）证明：∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠C=∠AFD．∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．∵AD=DC，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵AB=4，E为BC的中点，∴BE=2，AE=，DE=．∵△ADF∽△DEC，∴．∴AF=．24．△BEC∽△DCF，∴．∴△BED∽△DBF．∴∠BED=∠DBM．∴∠BME=∠BDM+∠DBM=∠BDM+∠BED=∠ABD= 60°．∴由正弦定理得：2R1=，2R2=．∴R1•R2=•==．25．（1）∵A（0，6），D（﹣8，0），∴OA=6，OD=8，∴由勾股定理可得AD=10，∵四边形ABCD为菱形∴CD=AD=10，∴OC=2，∴C（2，0），（2）∵A（0，6）C（2，0），∴E（1，3），设经过点E 的反比例函数解析式为，将E（1，3）代入求得k=3∴反比例函数解析式为：26．∵点P是AB的中点，∴AP=BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC，AD∥BC，∴∠A=∠PBE，∵在△ADP和△BEP中，，∴△ADP≌△BEP（ASA），∴BE=AD，∵AD=CD，∴BE=CD27．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD．∵AB=BC=CD=DA，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°．∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°又∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形．28．∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AC平分∠BCD，在△BCE和△DCE 中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠EBC=∠EDC，又AB∥DC，∴∠APD=∠EDC，∴∠EBC=∠APD29．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=10，∵DH⊥AE，∴∠AHD=90°，在Rt△ADH中，AH===8，∵∠E=∠B，∴AE=AB=10，∴HE=AE﹣AH=10﹣8=2；证明：（2）过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=CD，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵∠B=∠2，∴∠1=∠3，∵DH⊥AE，DF⊥CF，∴∠4=∠F，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，DH=DF，∴在Rt△DEH和Rt△DEF中，，∴Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），∴EH=EF，∵CF=CE+EF，∴AH=CE+EH30．（1）证明：连接OA、AC、BD，∵OE⊥AB，OF⊥AD，且OE=OF，∴∠BAO=∠DAO，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，MB=MD，∠BAC=∠DAC，∴O在AC上，∴OB=OD．（2）解：矩形和平行四边形时，结论不成立，等腰三角形时，结论成立，因为：矩形和平行四边形的对角线不一定平分对角，而等腰三角形的三线合一性质，能得出结论成立菱形的性质--11。
【精编版】中考数学专题训练——菱形的判定和性质
中考专题训练——菱形的判定和性质1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．参考答案：1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得BD＝8，设DE＝x，则DF＝x，所以AF2＝AD2+DF2＝16+x2，BF＝BD+DF＝8+x，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD，∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形；（2）解：AD⊥BD，AD＝4，BA＝BC＝4，∴BD＝＝＝8，设DE＝x，则DF＝x，∴AF2＝AD2+DF2＝16+x2，∵BF＝BD+DF＝8+x，∴AB2+AF2＝BF2，∴（4）2+16+x2＝（8+x）2，∴x＝2，∴DE＝DF＝2，∴AE＝＝＝2．∴BD和AE的长分别为8和2．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得：DE＝CE，DF＝FC，证明△CGE≌△CGF （ASA），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形DFCE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°的性质可得BH＝1，由勾股定理得：DH＝，根据△DHF是等腰直角三角形，可得DH＝FH＝，从而得结论．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE＝EC，DF＝CF，∠EGC＝∠FGC＝90°，DG＝CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG＝∠FCG，∵CG＝CG，∴△CGE≌△CGF（ASA），∴GE＝GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF＝∠DHB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝1，在Rt△DHB中，DH＝＝，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB＝45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH＝FH＝，∴BF＝BH+FH＝1+．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD ＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠CBD，然后求出∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，再根据等角对等边可得AB＝AD，再根据等腰三角形三线合一可得BO＝DO，然后利用“角边角”证明△AOD和△COB全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BC，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD，设AC、BD相交于点O，又∵AC平分∠BAD，∴BO＝DO，AC⊥BD，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．【分析】（1）首先利用AAS证明△CDF≌△AED，进而得到AE＝CF，于是得到四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；（2）首先利用勾股定理求出DE的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积．【解答】证明：（1）∵CF∥AB，∴∠DCF＝∠DAE，∵PQ垂直平分AC，∴CD＝AD，在△CDF和△AED中∵，∴△CDF≌△AED，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ垂平分AC，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴△ADE是直角三角形，∵AD＝3，AE＝5，∴DE＝4，∴AC＝2AD＝6，EF＝2DE＝8，∴菱形AECF的面积为AC•EF＝24．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）只要证明△ECF，△ECB都是等边三角形，可得S菱形BCFE＝2•S△ECF；【解答】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝BEBE＝2DE，∴EF＝BC＝BE，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝BC，∴四边形BCFE是菱形．（2）∵EF∥BC，∴∠F+∠BCF＝180°，∵∠BCF＝120°，∴∠F＝60°，∵FE＝FC＝CB＝EF，∴△ECF，△ECB都是等边三角形，∴S菱形BCFE＝2•S△ECF＝2××22＝2．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3，∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝＝＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．【分析】（1）首先根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，进而可判定四边形AEDF是平行四边形，然后证明ED＝DF即可；（2）连接AD、EF，利用直角三角形的性质和菱形面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵E，D，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴ED＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）连接AD、EF，在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∠B＝30°，AB＝12，∴AD＝6，EF＝BC＝BD＝，菱形AEDF的面积＝．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．【分析】（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO＝OC，只需要证明OE＝OF即可，用全等三角形得出；（2）菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形AOE可求AC、EF的长度．【解答】解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1＝∠2．在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（ASA）．∴OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF＝6，∴OE＝EF＝4．在Rt△AEO中，∵tan∠OAE＝＝，∴OA＝5，∴AC＝2AO＝8，∴S菱形AECF＝EF•AC＝×6×8＝24．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得AC＝6．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴S菱形ADCE＝＝＝18．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF＝CD＝DE，可证得结论；（2）过P作PG⊥BC于G，在Rt△PGC中可求得PG和CG的长，则可求得BG的长，在Rt△BPG中，由勾股定理可求得BP的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠EDF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CD＝CF，同理可得CD＝DE，∴CF＝DE，且CF∥DE，∴四边形CDEF为菱形；（2）解：如图，过P作PG⊥BC于G，∵AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，且四边形CDEF为菱形，∴CF＝EF＝CD＝AB＝2，∠ECF＝∠BCD＝∠A＝60°，∴△CEF为等边三角形，∴CE＝CF＝2，∴PC＝CE＝1，∴CG＝PC＝，PG＝PC＝，∴BG＝BC﹣CG＝3﹣＝，在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP＝＝＝，即BP的值为．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE＝AB＝AE，DF＝AC ＝AF，再根据AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE＝AF＝DE＝DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，进而得到x2+2xy+y2＝49，再根据Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，得到x2+y2＝36，据此可得xy＝，进而得到菱形AEDF的面积S．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，∴x2+2xy+y2＝49，①∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，∴（y）2+（x）2＝32，即x2+y2＝36，②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝，∴菱形AEDF的面积S＝xy＝．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．【分析】（1）容易证三角形BCD为等边三角形，又DE＝AD＝BD，再证三角形DBE为等边三角形四边相等的四边形BCDE为菱形．（2）画出图形，证出BM+MN＝AM+MC＝AC＝6即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，∴BC＝AB，CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BDC＝30°+30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵CO⊥AB，∴OD＝OB，∴DE＝BE，∵DE＝AD，∴CD＝BC＝DE＝BE，∴四边形BCDE为菱形；（2）解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：则MN＝MC＝BM，∠ABM＝∠A＝30°，∴AM＝BM，∵AC＝6，∴BM+MN＝AM+MC＝AC＝6；即两条分割线段长度的和为6．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）【分析】（1）由AE∥BC，DE∥AB，可证得四边形ABDE为平行四边形，又由AD是边BC上的中线，可得AE＝CD，即可证得四边形ADCE是平行四边形，继而证得结论；（2）由BC＝2AD，易得四边形ADCE是菱形，继而求得S四边形ADCE＝m2．【解答】证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝CE；（2）∵BC＝2AD，BC＝2CD，∴AD＝CD，∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形，∵DE＝AB＝m，AC＝2AO＝2m，∴S四边形ADCE＝AC•DE＝m2．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；（2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB．∴∠ABD＝∠EDB．∴EB＝ED．∴平行四边形BFDE是菱形；（2）解：∵ED∥BF，∠C＝90°，∴∠ADE＝90°．设BF＝x，∴DE＝BE＝x．∴AE＝8﹣x．在Rt△ADE中，AE2＝DE2+AD2∴（8﹣x）2＝x2+42解得x＝3，∴BF＝3．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP＝∠EP A，得出AE＝EP，即可得出结论；（2）S菱形AEPQ＝EP•h，S平行四边形EFBQ＝EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP＝EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，∴∠BAD＝∠EP A，∵AB＝AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EP A，∴EA＝EP，∴四边形AEPQ为菱形．（2）解：P为EF中点，即AP＝AD时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴EQ∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形．作EN⊥AB于N，如图所示：则S菱形AEPQ＝EP•EN＝EF•EN＝S四边形EFBQ．19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．【分析】（1）证明∠BAD＝∠F AE，根据全等三角形的判定推出△BAD≌△F AE，即可得出答案；（2）求出∠ABD＝∠GBF，证明AB＝AD，即可证出四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，得EM⊥AD，求出EM＝AE+AM＝2+2，再根据面积公式即可求出．【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠F AD＝∠DAE+∠F AD，即∠BAD＝∠F AE，∵AB＝AF，AD＝AE，∴△BAD≌△F AE（SAS），∴BD＝EF．（2）∵∠GHF＝∠BFG，∴∠GFH＝∠GBF，由（1）可知∠GFH＝∠ABD，∴∠ABD＝∠GBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠GBF，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，∵∠DAE＝90°．∴EM⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴EM⊥BF，∵AB＝AF，BF＝4，∴BM＝FM＝2，∵∠BAF＝90°，∴，∴，∴，∴EM＝AE+AM＝2+2，∴＝＝4．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAF＝∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF 得出∠AFB＝∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC＝∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．。
练习题菱形证明
练习题菱形证明在数学中，菱形是一种特殊的四边形，其特点是它的四条边都相等。
要证明一个四边形是菱形，我们需要证明它的四条边都相等。
以下是一个证明菱形的练习题：已知条件：四边形ABCD的边长分别为a、b、c、d，且满足条件a=b=c=d。
第一步，根据题目条件，我们知道四边形ABCD的边长都相等，即a=b=c=d。
第二步，根据边长相等的定义，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。
第三步，根据平行四边形的性质，我们知道平行四边形的对角线互相平分。
因此，我们可以得出四边形ABCD的对角线AC和BD互相平分。
第四步，根据对角线互相平分的定义，我们可以得出四边形ABCD是菱形。
这个练习题主要考察了平行四边形和菱形的性质以及相关的定义。
通过这个练习题，我们可以更加深入地理解菱形的定义和性质，并且可以掌握证明菱形的方法。
菱形挂篮是一种广泛应用于桥梁施工的设备，以其独特的结构和稳定性能，能够提供方便、可靠的施工平台。
菱形挂篮不仅具有优良的承重能力，而且可以灵活地调整位置，适用于各种复杂的地形和施工环境。
本文将详细介绍菱形挂篮的施工工艺，包括设计、制造、安装、调试及维护等方面。
菱形挂篮的设计应考虑施工荷载、跨度、桥梁高度、施工环境等因素。
根据具体施工条件，设计人员需对挂篮的结构形式、材料选择、尺寸参数等进行详细计算和设计。
菱形挂篮一般由主梁、横梁、吊带、内外模板等部分组成，其设计应满足强度、刚度和稳定性要求。
制造菱形挂篮时，应严格按照设计图纸进行。
主梁和横梁应采用高强度钢材制造，并经过严格的热处理和焊接质量保证。
吊带和模板也应根据设计要求进行选材和加工。
制造过程中，要对关键部位进行质量检验，确保各部件的尺寸和性能符合设计要求。
安装菱形挂篮时，应先进行现场勘查，确保安装条件符合设计要求。
安装过程中，应对各部件进行检查和调试，确保其连接牢固、运行平稳。
调试过程中，应对挂篮进行加载试验，以检验其承重能力和稳定性。
使用菱形挂篮时，施工人员应接受专业培训，确保掌握挂篮的操作方法和安全注意事项。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--菱形的证明
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--菱形的证明1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE为菱形；（2）若BC=6，tanB=43，求四边形ADCE的周长．2．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE△CF，且分别交对角线BD于点E，F．（1）求证：△AEB△△CFD；（2）连接AF，CE，若△AFE=△CFE，求证：四边形AFCE是菱形．3．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当△B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．4．如图，在ΔABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE//BC交AB于点E，作DF//AB交BC于点F.（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BED=150°，∠C=45°，CD=3√2，求菱形BEDF的周长.5．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，∠B=60°，G是CD的中点，E 是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①AE=cm时，四边形CEDF是矩形.②AE=cm时，四边形CEDF是菱形.6．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF△AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？7．在Rt△ABC中，△BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF△BC交BE的延长线于点F．（1）证明：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．8．如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，点B的对应点为B′，B′C交AD于E点．AF//CB′交BC于F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=4，BC=8，求EC的长．9．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(−6，8)．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．（1）求点D的坐标；（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在矩形ABCD 中，AB＝8，AD＝10，E 是CD 边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点 F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N 分别是线段AG，DG 上的动点（与端点不重合），且△DMN＝△DAM，设DN＝x．①求证四边形AFGD 为菱形；②是否存在这样的点N，使△DMN 是直角三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．11．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．12．综合与探究如图，抛物线y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴的另一交点为( −√33，0).（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=√33x+43与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；（3）在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.13．在平面直角坐标系中，直线y=−3x−52交x轴于点A，交y轴于点B，直线y=−34x+3交x轴于点C，交y轴于点D.（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；（2）如图2，在直线y=−34x+3上存在点E，使得∠ABE=45°，求点E的坐标；（3）如图3，在(2)的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，使得以OE为一边，O，E，P，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q的坐标.14．定义：如图（1），E，F，G，H四点分别在四边形ABCD的四条边上，若四边形EFGH为菱形，我们称菱形EFGH为四边形ABCD的内接菱形.（1）动手操作：如图2，网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由36个小正方形组成一个大正方形ABCD，点E、F在格点上，请在图（2）中画出四边形ABCD的内接菱形EFGH；（2）特例探索：如图3，矩形ABCD，AB=5，点E在线段AB上且EB=2，四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形，求GC的长度；（3）拓展应用：如图4，平行四边形ABCD，AB=5，∠B=60°，点E在线段AB上且EB=2，①请你在图4中画出平行四边形ABCD的内接菱形EFGH，点F在边BC上；②在①的条件下，当BF的长最短时，BC的长为.15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的△O交BC于D，交AC于E，连接OE，过点D 作DF△AC于F.（1）求证：DF与△O相切；（2）填空：①若△CDF的面积为3，则△CDE的面积为.②当△CDF的度数为时，OE∥BC，此时四边形ODCE的形状是：.16．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx与y=nx（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD△y轴，且BD△AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m=4，n=20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCE为菱形；（2）解：在RtΔABC中，BC=6，tanB=ACBC=43，∴AC=43BC=43×6=8，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∴CD=12AB=5，∵四边形ADCE为菱形，∴CD=DA=AE=EC=5，∴菱形ADCE的周长为：5×4=20．2．【答案】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB△DC，AB=DC，∴△1=△2，∵AE△CF，∴△3=△4，在△AEB和△CFD中，{∠3=∠4∠1=∠2 AB=CD，∴△AEB△△CFD（AAS）（2）证明：∵△AEB△△CFD，∴AE=CF，∵AE△CF，∴四边形AFCE是平行四边形．∵△5=△4，△3=△4，∴△5=△3．∴AF=AE．∴四边形AFCE是菱形3．【答案】（1）证明：∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED△BC，又∵AC△BC，∴ED△AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE＝AE，FD△AC．∴CE是是△ABC斜边上的中线∴CE＝12AB，∵CE＝AE＝AF．∴△F＝△5＝△1＝△2．∴△FAE＝△AEC．∴AF△EC．又∵AF＝EC，∴四边形ACEF是平行四边形（2）解：当△B＝30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵△ACB＝90°，△B＝30°，∴AC＝12AB，由（1）知CE＝12AB，∴AC＝CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形．4．【答案】（1）证明：∵DE//BC，DF//AB，∴四边形BEDF是平行四边形，∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=DE，∴平行四边形BEDF是菱形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=BE，∴∠DFB=∠BED=150°，∴∠DFH=180°−∠DFB=30°，∵DH⊥BC，∴∠DHF=∠DHC=90°，∴DH=12DF，∵∠C=45°，∴ΔCDH是等腰直角三角形，∴DH=CH=√22CD=√22×3√2=3，∴DF=2DH=6，∴菱形BEDF的周长=4DF=24.5．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BF，∴∠DEF=∠CFE，∠EDC=∠FCD，∵G是CD的中点，∴GD=GC，∴△GED△ △GFC，∴DE=CF，而DE//CF，∴四边形CEDF是平行四边形（2）4；26．【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线.∴DE△BC.又∵EF△AB，∴四边形DBFE是平行四边形（2）解：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．理由如下：∵D是AB的中点，∴BD= 12AB.∵DE是△ABC的中位线，∴DE= 12BC.∵AB=BC，∴BD=DE.又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形7．【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF△BC，∴△AFE＝△DBE，在△AEF和△DEB中，{∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEBAE=DE，∴△AEF△△DEB（AAS），∴AF＝DB，又∵AF△BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝12BC＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形.（2）解：∵D是BC的中点，∴S△ACD＝S△ABD＝12S△ABC，∵四边形ADCF是菱形，∴S菱形ADCF＝2S△ACD=S△ABC=12AC·AB＝12×3×4＝6．8．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC ∴∠DAC=∠BCA．由题意得：∠BCA=∠B′CA∴∠DAC=∠B′CA，∴EA=EC∵AD//BC，AF//CE，∴四边形AFCE为平行四边形∵EA=EC∴四边形AFCE是菱形．（2）解：如图所示，在矩形ABCD中，∠ADC=∠AB′C′=90°，AD=BC=B′C=8，AB=AB′=4设AE=CE=x，则EB′=(8−x)．在Rt△AB′E中，∠AB′E=90°，AB′=4，由勾股定理得：AB′2+B′E2=AE2，即42+(8−x)2=x2，∴x=5．∴EC=5．9．【答案】（1）解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是(−6，8)．∴∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，∴BO=√OC2+BC2=10；由折叠的性质得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，∴OE=BO−BE=10−6=4，∠OED=90°，设D(0，a)，则OD=a，DE=AD=OA−OD=8−a，在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2，即(8−a)2+42=a2，解得：a=5，∴D(0，5)；（2）解：存在，①OM，OE都为边时，OM=OE=4，∴M的坐标为(4，0)，（-4，0）②OM为边OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1则OG= 12OE=2，∵B(−6，8)，∴OB的解析式为：y=−43x，设E(x，−43x)，M(a，0)，∴x2+(43x)2=16， ∴x =−125，x =125 （舍去）， ∴E(−125，165)，由 OM =EM 可得： (a +125)2+(165)2=a 2，解得： a =−103∴M （ −103，0） ③OM 为对角线，OE 为边，如图2由②得：M （ −245，0） 综上所述：点M 的坐标为 (4，0) 或 (−4，0) 或 (−103，0) 或 (−245，0) ； 10．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝8， ∴△B ＝△BCD ＝90°，由翻折可知：AD ＝AF ＝10．DE ＝EF ，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝8−x ． 在Rt△ABF 中，BF ＝ √AF 2−AB 2=6 ， ∴CF ＝BC−BF ＝10−6＝4，在Rt△EFC 中，则有：(8−x)2＝x 2＋42， ∴x ＝3， ∴CE ＝3．（2）解：①证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD△BC ∴△ADE△△GCE ，∴ADGC=DECE，∵AD=10，CE=3，DE=5，∴10GC=53，∴GC=6，由（1）可得：CF=4，∴GF=6+4=10，∴四边形AFGD是平行四边形，又∵AD=AF，∴平行四边形AFGD是菱形．②∵△DMN=△DAM，∴若△DMN 是直角三角形，则有两种情况，当△MDN=90°时，∵AD=GD，∴△DAG=△DGA又∵△ADE=△GDM=90°，∴△ADE△△GDM（ASA）∴DM=DE=5，又∵△DMN=△DAM，△ADE=△MDN=90°，∴△ADE△△MDN∴ADMD=DEDN，即105=5x，∴x=5 2；当△DNM=90°时，则△MDN+△DMN=90°，又∵△DMN=△DAM，△DAG=△DGA，∴△DMN=△DGA，∴△MDN+△DGA=90°，∴△DMG=90°，∵sin△DAE= DEAE=DMAD，∵AE=√AD2+DE2=5√5，∴5√5=DM10，∴DM= 2√5，∵△DMN=△DAM∴sin△DMN=sin△DAM∴DEAE=DNDM，即5√5=2√5解得：x=2，综上所述：x=52或2．11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD△BC，∴△AEF=△EFC，由折叠的性质，可得：△AEF=△CEF，AE=CE，AF=CF，∴△EFC=△CEF，∴CF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AFCE为菱形（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．理由：由折叠的性质，得：CE=AE，∵四边形ABCD是矩形，∴△D=90°，∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a，在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c212．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和( −√33，0)，∴{c=01 3−√33b+c=0，解得：{b=√3 3c=0；∴y=x2+√33x.（2）解：ΔAA′B是等边三角形；∵{y=x2+√33xy=√33x+43，解得：{x1=2√33y1=2,{x2=−2√33y2=23，∴A( −2√33,23)，B( 2√33,2)，过点A分别作AC△ x轴，AD△A′B，垂足分别为C，D，∴AC= 23，OC=2√33，在RtΔAOC中OA= √AC2+OC2=43，∵点A′与点A关于原点对称，∴A′( 2√33,−23)，AA′= 83，∵B( 2√33,2)，∴A′B=2-(- 23)=83，又∵A( −2√33,23)，B( 2√33,2)，∴AD= 4√33，BD= 43，在RtΔABD中AB= √AD2+BD2=83，∴AA′=A′B=AB，∴ΔAA′B是等边三角形（3）解：存在正确的点P ，且以点A 、B 、A′、P 为顶点的菱形分三种情况； 设点P 的坐标为：（x ，y ）．①当A′B 为对角线时，有 {x −2√33=2√33×2y =23， 解得： {x =2√3y =23， ∴点P 为： (2√3,23) ；②当AB 为对角线时，有 {x =−2√33y −23=23+2， 解得： {x =−2√33y =103， ∴点P 为： (−2√33,103) ；③当AA′为对角线时，有 {x =−2√33y +2=23−23 ， 解得： {x =−2√33y =−2， ∴点P 为： (−2√33,−2) ；综合上述， P 1(−2√33,103) , P 2(−2√33,−2) , P 3(2√3,23)13．【答案】解：对于直线 y =−3x −52 ，令 x =0 ，则 y =−52 ，故点 B(0,−52) ；对于 y =−34x +3 ，令 x =0 ，则 y =3 ，令 y =0 ，即 −34x +3=0 ，解得： x =4 ，故点 D(0,3) 、 (4,0) ，则 BD =3+52=112，CC =4 ， ΔBCD 的面积 =12×BD ×OC =12×112×4=11 ； (2) 如图2，在直线 y =−34x +3 上存在点E ，使得 ∠ABE =45° ，求点E 的坐标；解：过点E 作 BE 的垂线交 AB 于点R ，过点E 作y 轴的平行线交过点R 与x 轴的平行线于点G ，交过点B 与x 轴的平行线于点H ，设点 E(m,−34m +3) ，点 R(n,−3n −52) ，∵∠ABE =45° ，故 ER =EB ，∵∠REG +∠BEH =90° ， ∠BEH +∠EBH =90° ， ∴∠REG =∠EBH ，∵∠EHB =∠RGE =90° ， EB =ER ， ∴ΔEHB ≅ΔRGE(AAS) ， ∴RG =EH ， BH =GE ，即 m =−3n −52+34m −3 ， −34m +3+52=m −n ，解得 {m =2n =−2，故点 E(2,32) ；(3) 如图3，在 (2) 的条件下，连接 OE ，过点 E 作 CD 的垂线交y 轴于点F ，点P 在直线 EF 上，在平面中存在一点Q ，使得以 OE 为一边， O ，E ，P ，Q 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q 的坐标.(6,173) 或 (625 ， −15175) 或 (32 ， 2) 或(−32 ， −2) （1）解：对于直线 y =−3x −52 ，令 x =0 ，则 y =−52 ，故点 B(0,−52) ；对于 y =−34x +3 ，令 x =0 ，则 y =3 ，令 y =0 ，即 −34x +3=0 ，解得： x =4 ，故点D(0,3)、(4,0)，则BD=3+52=112，CC=4，ΔBCD的面积=12×BD×OC=12×112×4=11；（2）解：过点E作BE的垂线交AB于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，设点E(m,−34m+3)，点R(n,−3n−52)，∵∠ABE=45°，故ER=EB，∵∠REG+∠BEH=90°，∠BEH+∠EBH=90°，∴∠REG=∠EBH，∵∠EHB=∠RGE=90°，EB=ER，∴ΔEHB≅ΔRGE(AAS)，∴RG=EH，BH=GE，即m=−3n−52+34m−3，−34m+3+52=m−n，解得{m=2n=−2，故点E(2,3 2)；（3）(6,173)或(625，−15175)或(32，2)或(−32，−2)14．【答案】（1）解：如图2所示，菱形EFGH即为所求；（2）解：如图3，连接HF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD//BC，AB=CD=5，∴∠DHF=∠HFB，∵四边形EFGH是菱形，∴GH=EF，GH//EF，∴∠GHF=∠HFE，∴∠DHF−∠GHF=∠BFH−∠HFE，即∠DHG=∠BFE，∴ΔDHG≅ΔBFE(AAS)∴DG=BE=2，∴CG=CD−DG=5−2=3；（3）解：①如图4所示，由（2）知：ΔDHG≅ΔBFE，∴DG=BE=2，作法：作DG= 2，连接EG，再作EG的垂直平分线，交AD、BC于H、F，得四边形EFGH即为所求作的内接菱形EFGH；②1+√615．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∴△ABC＝△C，连接OD，∵OB ＝OD ，∴△ABC ＝△ODB ，∴△ODB ＝△C ，∴OD ∥AC ，∵DF△AC ，∴OD△DF ，∴DF 与△O 相切；（2）6；30；菱形16．【答案】（1）①当x=4时， y =4x=1 ∴点B 的坐标是（4，1）当y=2时，由得 y =4x得x=2 ∴点A 的坐标是（2，2）设直线AB 的函数表达式为 y =kx +b∴{2k +b =24k +b =1 解得 {k =−12b =3∴直线AB 的函数表达式为 y =−12x +3 ②四边形ABCD 为菱形，理由如下：如图，由①得点B （4，1），点D （4，5）∵点P 为线段BD 的中点∴点P 的坐标为（4，3）当y=3时，由 y =4x 得 x =43 ，由 y =20x 得 x =203， ∴PA= 4−43=83，PC= 203−4=83 ∴PA=PC而PB=PD ∴四边形ABCD 为平行四边形又∵BD△AC∴四边形ABCD 是菱形（2）四边形ABCD 能成为正方形当四边形ABCD 时正方形时，PA=PB=PC=PD （设为t ，t≠0），当x=4时， y =m x =m 4∴点B 的坐标是（4， m 4 ）则点A 的坐标是（4-t ， m 4+t ）∴(4−t)(m 4+t)=m ，化简得t= 4−m 4∴点D 的纵坐标为 m 4+2t =m 4+2(4−m 4)=8−m 4则点D 的坐标为（4， 8−m 4 ）所以 4×(8−m 4)=n ，整理得m+n=32。
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已知如图，在菱形 ABCD 中，COL BD,垂足为点 Q E 为BC 上一点，F 为AD 延长线上一点，EF 交CD 于点G, EG=FG=DG 连接OE OF.
(1)若 DG=5 OC=8 求 BD 的长；(2)求证：/ OFG=90-1/2 / BE
如图1,菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连接CE CF.
(1) 求证：CE=CF ;、
(2) 如图2，若H 为AB 上一点，连接CH ，使
/ CHB=2 / ECB ，求证：CH=AH+AB .
1 如图，菱
形ABCD 中，点E 、M 在AD 上，且CD CM ，点F 为AB 上的点，且 ECF - B . 2
(1)若菱形ABCD 的周长为8,且 D 67.5°，求 MCD 的面积;
⑵求证：BF EF EM .
、如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD,点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF 连接BF 与DE 相交于点 G ，连接CG 与BD 相交于点H 。
(1)若 AB=6, DF=2,求 BE 的长;
(2)求证：CG=DG+BG
D
菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点.
⑴若B 60°,S菱形ABCD 16.3，求AB的长；
(2)H 为AB 上一点，连CH,使CHB 2 ECB , 求证：CH AH AB.。