随机过程讲义4

随机过程讲义
§4.1 平稳过程
一、两种平稳过程
1. 严平稳过程： 严平稳过程： 特别： 为同分布过程， 特别： { X ( t ) } 为同分布过程， 即：F ( t；x ) = FX ( x ) 但一般而言，确定随机过程的有限维分布是 但一般而言， 困难的，不过其数字特征（特别是一、 困难的，不过其数字特征（特别是一、二阶 矩）在工程实际中较易近似得到，它反映了 在工程实际中较易近似得到， 该过程的基本特征。 该过程的基本特征。若只考虑这些特征的平 稳性，就可引出宽平稳过程。 稳性，就可引出宽平稳过程。
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第四章 平稳随机过程
随机过程讲义
§4.0 内积空间
一、内积空间
1. 意义： 意义： 分析性能 <—— 极限 <—— 距离 <—— 内积 2. H 空间： 空间：
( Ω , F , Ρ ) 上具有二阶矩的（复）随机变量之全 上具有二阶矩的（
体，记为 H. 注：若 X，Y ∈ H ，且 P ( X = Y ) = 1，则记 = X ，则记Y
n→ ∞
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§4.3
2. 四种收敛： 四种收敛：
随机分析
二、四种收敛性（极限） 四种收敛性（极限）
c. m . s . （均方）收敛 均方）
Xn → X ：
m .s .
lim 均有二阶矩， 若 { Xn }， Xn 均有二阶矩，且 n → ∞ E { X n − X } = 0
2
记做 l.i.m Xn = X
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§4.0 内积空间
一、内积空间
6. 范数： 对变量自身的一种度量 范数：
X = ( X，X )1 2 ∀X ∈ H ，记
范数的条件： 范数的条件： a. b. c.
X ≥0 ，X =0⇔ X =0 cX =| c | X X1 + X2 ≤ X1 + X2
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§4.0 内积空间
2 2 E{ X n } = σ X
∀n
E { X n X m } = E { X n } E { X m } = 0 ∀n ≠ m
关于非平稳白噪声的说明。 另： 关于非平稳白噪声的说明。
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§4.1 平稳过程
三、白噪声
3. 意义： 意义： 最简单的关于随机干扰的数学表达 —— 如高斯白噪声
= RX (τ ) + RY (τ ) + E{ X (t )Y (t + τ )} + E{Y (t ) X (t + τ )}
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§4.2
三、定义： 定义：
联合平稳过程
平稳过程X 平稳过程 ( t ) 、Y ( t ) 的互相关函数只与时间增 量有关。 量有关。即
RXY (t，t + τ ) = E{ X (t )Y (t + τ )} = RXY (τ )
n→ ∞
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§4.3
2. 四种收敛： 四种收敛：
随机分析
二、四种收敛性（极限） 四种收敛性（极限）
设 { Xn }，X n ∈ ( Ω , F , P ) —— 同一概率空间 a. a . e . ( a . s ) 收敛 记作： 记作： X → X n 若 P { ω | lim X n ( ω ) = X ( ω )} = P { A } = 1 或 P( Ω − A ) = 0
最小方差估计 最小二乘估计
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§4.2
一、意义： 意义：
联合平稳过程
由于平稳过程的数学处理较方便，而实际中信号 由于平稳过程的数学处理较方便， 又是多种成分的迭加，人们自然希望平稳信号的 又是多种成分的迭加， 迭加还平稳，这就导致了联合平稳概念的引入。 迭加还平稳，这就导致了联合平稳概念的引入。
RZ ( τ ) = R X ( τ ) + RY ( τ ) + R XY ( τ ) + RYX ( τ )
问： 这时 Z ( t ) =a X ( t ) + bY ( t ) 亦平稳否？ 亦平稳否？ Z ( t ) =f ( t ) X ( t ) + g ( t ) Y ( t ) 平稳 否?
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§4.1 平稳过程
一、两种平稳过程
1. 严平稳过程： 严平稳过程： 特点是过程的统计特性不随时间的整体推移而 变化。即: 变化。
∀n，∀t 1 ........t n ∈ T ，及 ∀实数 h， ，
n 维随机向量 ( X ( t 1 ).....X ( t n )) 和 ( X ( t 1 + h ).....X ( t n + h )) 具有相同的联合分布 函数。 函数。
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§4.2
联合平稳过程
四、各种相关函数的性质： 各种相关函数的性质：
1. 自相关函数： { X ( t ) } 平稳，则 RX ( τ ) 满足 自相关函数： 平稳， a. R X ( 0 ) ≥ 0 b. RX (τ ) = RX (−τ ) 共轭对称， 共轭对称， 特别 X ( t ) 为实过程时 R X ( τ ) = R X ( −τ ) c. R X ( τ ) ≤ R X ( 0 ) d. R X ( τ ) 非负定，即 非负定，
t
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§4.3
分析的基础
1. 回顾普通收敛概念： 回顾普通收敛概念：
随机分析
二、四种收敛性（极限）—— 极限是其它数学 四种收敛性（极限）
{ x n } → x ，即 ∀ ε > 0 ，有 N ，当 n > N 后，
x n − x < ε ，记做 lim x n = x 。
n→ ∞
对随机序列 { Xn } ，可设想有随机变量 X ( ω ) 对 ∀ω ∈ Ω 这叫处处收敛， 使 lim X n ( ω ) = X ( ω )，这叫处处收敛，但要求太 强了！下面介绍四种概率统计意义下的收敛性。 强了！下面介绍四种概率统计意义下的收敛性。
二、距离
1. 空间距离的概念 d ( X , Y ) 是 H 中 X与 Y 的距离： 与 的距离： a. d ( X，Y ) ≥ 0 ，d ( X，Y ) = 0 ⇔ X = Y b. d ( X，Y ) = d ( Y，X ) c. d ( X，Z ) ≤ d ( X，Y ) + d ( Y，Z )
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§4.1 平稳过程
一、两种平稳过程
3. 平稳序列： 平稳序列： 若平稳过程的参数集 T = { 0，，.....} 则称为平 12 稳序列。 稳序列。 { X n } 4. 严平稳过程不一定是宽平稳的，还要求一、二 严平稳过程不一定是宽平稳的，还要求一、 阶矩都存在。 阶矩都存在。
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三、白噪声
1. 白噪声过程定义 物理上：理想的“白光”其功率谱均分布于整 物理上：理想的“白光” 个 频段上。 频段上。 上述定义在物理上很难做到， 上述定义在物理上很难做到，实用中用近似 定义。 定义。
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§4.1 平稳过程
三、白噪声
2. 白噪声序列： 白噪声序列： 为零均值、不相关的平稳序列。 { X n } 为零均值、不相关的平稳序列。 即 E{ X n } = µ X = 0
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§4.1 平稳过程
一、两种平稳过程
2. 宽平稳过程： 宽平稳过程： 设 { X ( t )，t ∈ T } 为二阶矩过程，它满足 为二阶矩过程， a. E { X ( t )} = µ X ( t ) = µ X b.E { X ( t ) X ( t + τ )}则称为（ 则称为（宽）弱平稳过程。 弱平稳过程。
∀τ，∀t
RYX ( t，t + τ ) = E { Y ( t ) X ( t + τ ) } = RYX ( τ )
联合平稳。 则称为 X ( t ) 、Y ( t ) 联合平稳。
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§4.2
联合平稳过程
亦平稳， 这时 Z ( t ) = X ( t ) + Y ( t ) 亦平稳，且
n→ ∞
a .e .
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§4.3
2. 四种收敛： 四种收敛： b. P(依概率 收敛 依概率)收敛 依概率
Xn → X ：
P
随机分析
二、四种收敛性（极限） 四种收敛性（极限）
若 lim P { X n − X ≥ ε } = 0
n→ ∞
成立。 ∀ε > 0 成立。
或 lim P { X n − X < ε } = 1
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§4.0 内积空间
一、内积空间
3. H是一个线性空间： 是一个线性空间： 是一个线性空间 即
X，Y ∈ H ⇒ aX + bY ∈ H
E 2 { XY } ≤ E{ X } • E{ Y } < ∞
2 2
由许瓦兹不等式 4. H上内积的引入 上内积的引入
∀X，Y ∈ H ，定义（X，Y）= E { XY }
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§4.1 平稳过程
三、白噪声
1. 白噪声过程定义： 白噪声过程定义： 零均值、谱密度为非零常数的宽平稳过程 零均值、
{ X ( t )，t ∈ [ 0，∞ ]}
且
∞ RX ( τ ) = 0
τ =0 其它 ← 不相关
∫0
∞
2 R X ( τ )dτ = σ X
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§4.1 平稳过程
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§4.0 内积空间
一、内积空间
5.（X，Y）是H上内积的条件。 上内积的条件。 上内积的条件 对 ∀X 1，X 2，X，Y ∈ H ，有 a. ( Y，X ) = ( X，Y )
( b. ( cX，Y) = c(X，Y) ， X，cY ) = c ( X，Y )