西安电子科技大学讲义-随机过程
电子科技大学随机过程覃思义sjgc课件
06
随机过程在通信中的 应用
信号检测与估计
信号检测
在通信系统中，信号检测是接收端对发送端发送的信号进行识别和判断的过程。随机过 程理论在信号检测中发挥了重要作用，通过对信号的统计特性进行分析，实现信号的有
效检测。
VS
常见的多用户检测算法包括匹配滤波 器、最小均方误差、最大似然等，这 些算法在理论上均可以利用随机过程 理论进行推导和优化。
无线通信中的信号处理
无线通信环境复杂多变，信号处理技术对于保证通信系统的 稳定性和可靠性至关重要。利用随机过程理论，可以对无线 信道中的噪声、干扰等影响因素进行分析和控制，提高信号 传输的质量和可靠性。
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性 和可交换性等性质，这些性质在 计算和推导中具有重要应用。
数学期望的运算
数学期望的运算包括求和、乘法 、极限等运算，这些运算在计算 随机变量的数学期望时是必要的 。
方差与协方差
方差的定义
方差是随机变量与其数学期望的差的平方的平均值， 用于描述随机变量取值分散的程度。
在数字信号处理、控制系统分析和离 散时间系统模拟等领域中广泛应用， 通过Z变换可以将离散时间序列转换 为复平面上的函数，从而更好地分析 系统的频率响应和稳定性。
05
随机过程优化
最优估计理论
最小方差无偏估计
在所有无偏估计中，具有最小方差的估计被称为最小方差无偏估 计。
一致性估计
随着样本量的增加，估计值会逐渐接近真实值，这种估计被称为一 致性估计。
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，其 值可以为正、负或零。
随机过程[2]
![随机过程[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/9e7d0841c850ad02de8041e2.png)
由以上定义可得 (1) mZ(t)=mX(t)+jmY(t) t∈T
(2) DZ(t)= DX(t)+DY(t)
t∈T
(3) CX(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t) s,t∈T
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
举例
Zt = ∑ X k e j ( ω t +Φk ) ,t ∈ R , 其中ω0为正常数, n为 设
解
mX (t ) = E[ X t ] = 0
− ∞ < t < +∞
RX ( s, t ) = E[ X s X t ]
= E[ A ]cos ω s cos ωt + E[ AB](sin ω s cos ωt + cos ω s sin ωt )
2
+ E[ B 2 ]sin ω s sin ωt 2 = σ cos ω (t − s ) − ∞ < s, t < +∞
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
5. 均方值函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 E[Xt]2存在 则称E[Xt]2为随机过程X的均方值函数，记为ΦX(t).即 ΦX(t)= E[Xt]2 t∈T
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程的数字特征有如下关系 CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) DX(t)=CX(t,t) ΦX(t)=RX(t,t) t∈T t∈T s,t∈T
0
n
固定正整数, X 1 , X 2 , L , X n , Φ1 , Φ 2 , L , Φ n 是相互独立 的实随机变量,且 EX k = 0, DX k = σ k2 , Φk～U[0,2π], k=1,2,…,n. 计算S.P.{Zt ,t∈R}的均值函数和相关函数.
[西安电子科大通信原理讲义]07通信原理第七讲(可编辑)
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《通信原理》第七讲§2．4 随机过程通过线性系统通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？v t 等于输入信号v t 与系统的单位冲击响应h t 的卷线性系统的响应 0 i 积，即∞v t v t ?h t v τ h t ?τ dτ（2.4-1 ）0 i ∫?∞ i若h t ?H ωv t ?V ω，v t ?V ω，，则有0 0 i iV ωH ωV ω（2.4-2 ）0 i若线性系统是物理可实现的，则tv t v τh t ?τdτ（2.4-3 ）0 ∫?∞ i或∞v t h τv t ?τdτ（2.4-4 ）0 ∫0 i如果把v t 看作是输入随机过程的一个样本，则v t 可看作是输出随机过i程的一个样本。
显然，输入过程ξ t 的每个样本与输出过程ξ t 的相应样本之i间都满足式（2.4-4 ）的关系。
这样，就整个过程而言，便有∞ξt h τξt ?τdτ（2.4-5）0 ∫0 i假定输入ξ t 是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程ξt 的统计特i性。
ξ t一、输出过程 0 的数学期望∞∞∞E [ξ t ] E [ h τ ξ t ?τ dτ ] h τ E [ξt ?τ ]dτ a ? h τ dτ0 ∫0 i ∫0 i ∫0因为∞H ω∫0 h t ej ωt dt求得∞H 0 ∫0 h t dt所以E [ξ t ] a ?H 0 （2.4-6）由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H 0的乘积，且E[ξ t ]与t无关。
ξ t二、输出过程 0 的自相关函数R t ,t E [ t t ]+τ ξ ξ +τ0 1 1 0 1 0 1[ ∞∞ ]E h α ξ t ?α dα h β ξ t+τ?β dβ∫ i 1 ∫ i10 0∞∞h α h β E [ξ t ?α ξ t+τ?β ]dαdβ∫∫ i 1 i 10 0根据平稳性E [ξ t ?α ξ t +τ?β ] R τ+α?βi 1 i 1 i于是∞∞R t ,t +τ h α h β R τ+α?β dαdβR τ（2.4-7）0 1 1 ∫∫i 00 0可见, ξ t 的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t 无关。
随机过程讲义 第一章
第一章 随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。
在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。
将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。
1． 随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。
其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。
随机过程的两种描述方法： 用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。
记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。
参数T 一般表示时间或空间。
常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。
当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。
随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。
S 中的元素称为状态。
状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。
实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。
例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。
西安电子科技大学讲义 随机过程的变换和滤波
第五章随机过程的变换和滤波概率论的主要应用之一，是从可利用的资源汇总，对随机变量做出估计。
一般将，这种问题的最优解是很难分析的。
然后，若只允许对数据进行线性运算，以及“最优性”是在均方意义下理解的话，那么问题就大大简化，这就是线性均方估计问题。
这个问题最早由维纳考虑并解决，与此同时，柯尔莫哥洛夫也独立的完成了此项工作。
他的解法完全基于正交性原理。
可简单的将此原理推广到随机过程；因而，各种看起来似乎没有关系的估值问题，都可以作为这个原理的明显应用来处理，而不需要用到变分法或任何其它高级的工具，也不需要一次又一次的重复地解同样的问题。
在下面的讨论中，我们将讨论随机信号的最优处理问题。
分别针对时间连续和时间离散的信号，将介绍在最小均方意义下具有最优逼近特性的变换。
随后我们讨论离散变化，最有线性变化和最优线性滤波的关系。
5.1 时间离散Karhunen-Loeve 变换在所有的线性变换中， Karhunen-Loeve 变换（KL变换）是一个在最小均方意义下最佳逼近随机过程的变换。
同时，KL变换是一个具有不相关系数的信号展开。
这种特性在很多数字信号处理方面如编码和模式识别有重要的应用。
这种变换适用于连续时间和离散时间信号处理。
本节将详细讨论离散情况。
不失一般性， 考虑零均值实随机过程12,.n n x x x x R x ⎛⎫ ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭（5.1） 设 12{,,,}n U u u u =是 n 维实向量空间 n R 的一组正交基， 随机过程 x可被表示为：x U α=（5.2）这里 U 可看成由正交基构成的正交矩阵， 12(,,,)T n a ααα=。
可以看出：.TU x α=(5.3)假定：(),,1,2,,.i j j ij E i j n ααλδ== (5.4) 这里 ,1,2,,j i n λ= 是未知的实数， 且 0.j λ≥ 由（5.3）和 （5.4）可知(),,1,2,,.T T i j j ij E u xx u i j n λδ==（5.5）令：{}Tx x R E xx =(5.6)那么， （5.5）可被写成：,,1,2,,.T i j j ij x x u R u i j n λδ==（5.7）通过观察，我们可发现下列方程的解,1,2,,j u j n =也满足方程（5,7）.,1,2,,.j j j xxR u u j n λ==由于 x xR 是一个协方差矩阵，他的特征值问题具有下列特征值： 1． 特征值是实数。
电子科技大学 随机过程 覃思义 第一章1sjgc1.4
m 1 n 1
若存在实数 I, 使对任意的ε> 0, 存在δ> 0, 只要
λ max {( xi 1 xi ), ( y j 1 y j )} δ
0 i n 1 0 j m 1
（ 时, 对任意分点及 xi *，y j *) 的任意取法, 不等式
a f ( x )d [ g ( x )] a
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b b
3) 设α,β是任意常数，则
f ( x ) d [ g ( x )].
随机变量的数字特征
以上三个等式成立的意义是: 当等号右边存 在时, 左边也存在并相等. 4) 若a < c <b, 则有
a f ( x )dg ( x ) c b a f ( x ) dg ( x ) c f ( x ) dg ( x )
dF ( x ) F ( x ) p ( x ) 0 , dx
若R-S积分存在则
f ( x )dF ( x ) f ( x ) p ( x )dx
电子科技大学
随机变量的数字特征
二、二元R-S积分简介
假定二元函数 F ( x , y ) 满足下述条件: 1) 对于平面上任意矩形 a1 x b1 , a2 y b2 ,有
均成立.
则记
a xb c yd
f ( x , y )dF ( x , y ) lim σ
λ 0
lim f ( x i* , y * ) F ( xi , x i 1 ; y j , y j 1 ) I j
λ 0 j 0 i 0
m 1 n 1
称 积 分 I 为 f ( x, y ) 关 于 F ( x, y ) 在 矩 形 {( x, y ) : a x b, c y d } 上的 R-S 积分.
随机过程-电子科技大学-彭江燕 (1)
5.4 齐次马氏链的状态为揭示齐次马氏链的基本结构，需对其状态按概率特性进行分类，状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础.EX.1设系统有三种可能状态E={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.电子科技大学电子科技大学以X (n )表示系统在n 时刻的状态, 并设{X (n ),n ≥0}是一马氏链. 在没有维修及更换的条件下, 其自然转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P 由矩阵P 可见，从“1”或“2”出发经有限次转移后总能到达“3”状态，而一旦到达“3”状态则永远停留在“3”.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.一、刻画状态特性的几个特征量二、状态类型分类三、状态类型判别条件四、状态间的关系五、状态空间的分解电子科技大学一、刻画状态特性的几个特征量定义5.4.4，记及对1,≥∈∀n E j i },)0(11,)(,)({ˆ)(i X n k j k X j n X P f n ij =−≤≤≠==称为(n 步)首达概率.系统从状态“i ”出发经过n 步转移后首次到达状态“j ”的概率特别地称)(n ii f 为首返概率；5.4 齐次马氏链的状态电子科技大学∑∞==1)(n n ijf称为最终概率.定义5.4.5 自状态i 出发迟早(最终)到达j 的概率为})0()(,1{i X j n X n P f ij ==≥=使存在定理5.4.1(首达概率表示式)有，及对1,≥∈∀n E j i ;10)1)(≤≤n ij f 2) 首达概率可以用一步转移概率表示为为状态i 的最终返回概率.ii f ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠=电子科技大学j i i i j i ji i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 证1）显然ii 1i 2j2）分析示意图如下})0(1,,2,1,)(,)({)(i X n k j k X j n X P f n ij =−=≠== .)0(1,,2,1,})({,)(⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−====∈≠i X n k i k X j n X P E i j i k k k ∪第1步第2步第n 步()01;n ij f ≤≤电子科技大学⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧===−==−≠≠≠−i X j n X i n X i X P n j i j i j i n )0(})(,)1(,,)1({11112 ∪∪∪()(),{()},1,2,,1(0).k n ij k i j f P X n j X k i k n X i ≠⎧⎫⎪⎪====−=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∪∑∑∑≠≠≠−=j i ji j i n 112 })0()(,)1(,,)1({11i X j n X i n X i X P n ===−=− ji i i j i j i ii j i n n p p p 1211112−−∑∑∑≠≠≠=定义5.4.2 对j ∈E , 称})0(,)(,1:min{i X j n X n n T ij ==≥=为从i 到达j 的首达时间.注：若右边是空集, 则令T ij =∞.随机变量EX.2在股票交易过程中令状态空间为E ={－1, 0, 1}各状态分别代表“下跌”,“持平”,“上升”.若X (0)=0, 有使<<<<k n n n 21电子科技大学 ,1)(,,1)(,1)(21===k n X n X n X }0)0(,1)(:min{01===X n X n t k 则121},,,,min{n n n n k == 注1T ij 表示从i 出发首次到达j 的时间.T ii 表示从i 出发首次回到i 的时间.注2 T ij 与首达概率之间有关系式：,2,1,,,},)0({)1)(∞=∈===n E j i i X n T P f ij n ij.,},)0({)2E j i i X T P f ij ij ∈=∞<=若X (0)=0, 有使 <<<<k n n n 21续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3}, “1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常,“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P T 13(1)1313{1(0)1}f P T X ====131,20p =ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 系统的工作寿命，有电子科技大学(2)1313{2(0)1}f P T X ===13{(0)1}P T n X ≥=研究首达概率和首达时间有实际工程意义.……13{(0)1}P T n X ≥=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P [0,],n 是系统在内运行的可靠性有1113122321,400p p p p =+=13{(0)1}k nP T k X ∞====∑()13n k nf∞==∑电子科技大学定理5.4.2概率与首达概率有关系式，任意步转移及对1,≥∈∀n E j i ∪∞==⊂==1}{})(,)0({m ij m T j n X i X 因证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X })(,)0({j n X i X ==故.)(1)()(m n jjnm m ijn ijpfp−=∑=电子科技大学})0()({)(i X j n X P P n ij===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=====i X j n X m T P nm ij )0(})(,{1∪},)0()({})0({1m T i X j n X P i X m T P ij nm ij ======∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X ∪nm ij m T j n X i X 1},)(,)0({=====})(,)0({j n X i X ==故电子科技大学马氏性})()({})0(,11,)(,)({1j m X j n X P i X m k j k X j m X P nm ==⋅=−≤≤≠==∑=})()({1)(j m X j n X P f nm m ij ===∑=()1{(0)}{()(0),}nn ijij ij m P P T m X i P X n j X i T m =======∑.)(1)(m n jjnm m ijpf−=∑=定义5.4.1使，若存在对1,,≥∈∀n E j i ,0)(>n ijp称自状态i 可达状态j ,记为.j i →定理5.4.3的充分必要条件是0>ij f .j i →证:必要性因01)(>=∑∞=m m ijij ff 至少存在一个n 使,有)(>n ijf ()()()1nn m n m ijijjjm pfp−==∑()(0)0n ijjj fP ≥>定义5.4.3称若,,0}{E j T P ij ∈=∞=∑∞===1)(][n n ijij ij nfT E μ为从状态i 出发, 到达状态j 的平均时间(平均步数).充分性因j i →使，存在1≥n 01)()()(>=∑=−nm m n jjm ijn ijpfp则在中至少有一个大于零，故)()1(,,n ijijff 01)(>=∑∞=m m ijij ff 特别当i=j 称jj μ为状态j 的平均返回时间.电子科技大学二、状态类型分类状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础, 能有效地揭示其深刻的统计规律.续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∞→100100100lim )(n n P该系统的状态“3”是吸收态, 经有限步均会被吸收, 直观分析可得有必要分析各种状态的类型.电子科技大学定义5.4.6对状态i ∈E , 最终返回概率为f ii ，若f ii <1，称状态i 是非常返的(或瞬时的).若f ii =1，称状态i 是常返的；若马氏链的每个状态都是常返的, 则称为常返马氏链.f ii =1表示系统从状态i 出发几乎必定会返回状态i .定义5.4.7对常返状态i ∈E , 平均返回时间为μii ，若μii <+∞, 称状态i 是正常返的；进一步, 根据常返状态的平均返回步数再划分为两类.注若μii = +∞, 称状态i 为零常返的。
随机过程讲义(第一章)
P (Ω ) = 1 ；
对任意两两不交的至多可数集 {An } ⊂ F ， P⎛ ⎜ U An ⎞ ⎟ = P ( An ) ⎝n ⎠ ∑ n
称 P(⋅) 为 F 上的概率测度， (Ω, F , P) 称为概率空间。
1
1.4 随机变量的概念 定义：设 (Ω, F , P ) 为一概率空间， X = X ( w) 为 Ω 上的一个实值函数，若对 任意实数 x ，X −1 ((−∞, x) ) ∈ F ， 则称 X 为 (Ω, F , P ) 上的一个 （实） 随机变量。 称 F ( x) = P( X < x ) = P( X ∈ (−∞, x)) = P X −1 ((−∞, x) ) 为随机变量 X 的 分布 函数。 随 机 变 量 实 质 上 是 (Ω, F ) 到 (R, B ( R ) ) 上 的 一 个 可 测 映 射 ( 函 数 ) 。 记
_______
2
α 1 , α 2 Lα m ， ∑∑ ϕ (t l − t k )α l α k ≥ 0 ；
l =1 k =1
m
m
5) ϕ ( w) 为 R n 上的连续函数。 6) 有限多个独立随机变量和的特征函数等于各自特征函数的乘积； 7) 设 X = (ξ1 , Lξ n ) 为 n 维 随 机 向 量 ， 特 征 函 数 为 ϕ ( w1 ,L wn ) , 则
n→∞
敛到随机变量 X ；
2)
若 E X n 存在， 且 lim E X n − X
n→∞
p
p
则称 X 1 , X 2 , L X n ,L p 阶收敛到 = 0，
随机变量 X ，特别当 p = 2 ，称为均方收敛。
3) 4)
若 P lim X n = X = 1 ，称 X 1 , X 2 , L X n ,L 几乎必然收敛到随机变量 X 。
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第一章随机过程 1
第一章随机过程
本章主要内容：
随机过程的基本概念
●随机过程的数字特征
●随机过程的微分和积分计算
●随机过程的平稳性和遍历性
●随机过程的相关函数及其性质
●复随机过程
●正态分布的随机过程
第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。
例如，骰子的6面，点数总是1～6，假设A面点数为1，那么无论你何时投掷成A面，它的点数都是1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。
但生活中，许多参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。
这些随时间变化的
随机变量就称为随机过程。
显然，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。