从利用几何画板进行一次函数教学说开去解读

从利用“几何画板”进行“一次函数”教学说开去文海中学 汪小莲对于“一次函数的图象”（第二课时）即一次函数的性质（新浙教版八年级上册）的课堂教学，这堂课是在本校借助“几何画板”智能教学来完成的一次“一次函数的图象”教学，在课中“一次函数的性质”得出顺理成章,课堂教学自然流畅、轻松和谐,师生互动、人机交流充分、深入。

大致的教学过程节录如下：师：在前一节课中，学习了一次函数b kx y +=的图象是一条直线，在表达式中，常数是k 、b ,它们有可能是哪些数?生：正数，负数，0（其中有部分学生更正到k ≠0）。

师：书上对一次函数b kx y +=已作强调k ≠0,当k=0时是什么情形?老师等会给你们揭开谜底。

下边老师借助“几何画板”超级画板制作一下直线b kx y +=（在边制作边对话中,征求学生意见将自变量x 的取值范围设为（-100，100）。

本课中老师是现场制作课件，我们认为这样的教学场景最真实，最令人信服，因为在利用课件进行教学时，许多听课老师及学生怀疑很多演示是一种演示预设和预定，如果是这样数学的探究与师生的活动就失去了意义。

）师：刚才，同学们已说k ,b 是常数，但具体的数值不清楚，有可能大于零也有可能小于零，这时我们不妨插入变量对象k 和b ,看看k 和b 的变化分别对直线b kx y +=产生的影响（教师边说边制作，并征求学生意见将k 、b 的取值范围扩大为（—10，10），以便能充分说明k 、b 大于零、小于零的情况），见下图。

同学们非常主动、积极、涌跃，因为该班学生操作“几何画板”软件有一定基础。

最后，教师确定了其中的两名同学，强调分别改变k ，b 的取值，让同学们仔细观察直线b kx y +=有何变化？（此处为什么要分别改变k ，b 的取值，教师需要给学生讲清楚，这是渗透数学思维的一个好机会）上台的学生首先改变了b 的取值（即先向右拉动b 的控制键）。

生：向上移动…(另一部分同学喊道：“向上平移”。

老师示意把b 的控制键向左拉动。

)生：向下平移。

师： b 可为0吗？（并示意拉动控制键让b =0）,直线有何特殊之处？生（张锐）：直线过一、三象限，且过原点。

师：这时的表达式为…这是…函数(老师拉长着语气说)。

生：表达式为kx y =,是正比例函数。

师：刚才张锐同学说“直线过一、三象限”，还有可能过哪几象限？(众)生：二、四象限,师：究竟在什么情况下直线过一、三象限和二、四象限?能总结一下吗?学生口述,老师板书结论:k >0, 直线kx y =过一、三象限；k <0, 直线kx y =过二、四象限。

师：通过b 的控制键拉动，大家已经知道将直线在进行“平移”，“平移”能说明前后两直线的位置关系为…生：…在改变b 时，这些直线都平行。

师：是b 改变，才有始终平行的结论，还是其中有一个量不改变时才有平行哟？（略有停顿），我们来研究一下k 吧。

(示意左右拉动k 的控制键)，是平移吗？生：不对，k 的变化导致直线向右和向左偏,是k 不变才有平行的位置关系。

(老师抓住时机将学生的结论提炼为“如k 同b 不同，则两直线平行”,教师示意进一步演示。

)生（七嘴八舌）：远离x 轴，接近x 轴…师：“远离” “接近”是什么意思?能用数学语言或利用数学某些概念说明吗？ 生：与x 轴正方向夹角变大了。

师：好了，就是k 越大，直线与x 轴正方向夹角越大？（反问的语气，老师把k 的控制键向左拉动）。

生（自言自语）：变小，变小…与x 轴平行(教师拉动k 的控制键, 在k =0处停顿了一会儿。

通过“几何画板”来穷其学生的问题或疑惑是值得提倡的,只有这样学生的问题意识与研究问题的意识才会得以培养与形成。

)师:嗯,大家观察很仔细,当k =0时,直线是存在的,即b y =,它是一条平行于x 轴的直线, 我已为你们揭开了上课初的谜底。

刚才有同学从“夹角”这个角度观察直线的变化是正确的，不过要首先规定一下“夹角”的意思 ，（语气较重地）：“直线与x 轴正方向所成的锐角”。

请同学们再观察一下,什么时候直线与x 轴正方向所成的锐角越来越大,什么时候又越来越小?可以在前面来演示。

约3分钟后，学生纷纷得出了：当k>0时，k越大，则直线与x轴正方向的夹角越大；当k<0时，k越大直线与x 轴正方向的夹角越大，教师并作了板书。

师：刚才研究的成功之处是将k分为k>0，k< 0来研究的，类似张锐同学的结论，这时的直线在哪几象限?（要求同学可以上台演示, 老师在各小组巡视、指导。

这时教师始终把“几何画板”作为学生的研究实验平台，而不是教师所专用。

同学们的讨论很热烈）学生（其中一组）：当k>0时，直线始终过一、三象限；当k< 0时，直线始终过二、四象限。

师(反问)：它好象是过三个象限哪？学生：因为b不确定。

师：哦，b确定不确定，直线始终过两个象限是定的。

在前面研究中,有同学们说k 的变化导致直线向右和向左偏,看来他的结论很形象直观，相信大家都有同感。

“向右偏，向左偏”是针对什么位置而言的或是参照哪条直线来说的？（众）生：竖直的位置，相对于y轴。

师：总结一下究竟如何“偏”。

(在课中，教师在许多地方都让学生去总结与反思，这种能力与习惯的培养非常好，这就是教学中的“授之以鱼不如授之以渔”的道理) 学生口头结论：当k>0时，直线向右偏；k< 0时，直线向左偏。

师：好的，刚才的结论是用一种感性的生活语言来表达的，能不能用专业的数学语言来表达一下呢？下面我利用一只小蚂蚁在直线上的爬动来研究一下它的坐标变化。

（老师选定了一支k>0的直线，并通过“作图”—“点”—“函数曲线上的点”作点A，设置动画（频率为3000，便于观察）,并通过“测量工具”分别测量出点A的横、纵坐标(如下图)。

教师让A点从下至上，从上至下分别演示了几次并提醒学生观察点A的运动与它的横、纵坐标变化）。

（点评：教师注意到了对学生数学语言的训练，而且利用动画让学生对坐标进行观察，有助于学生结论的得出。

）众生（马上）：x增大，y增大；x减小，y减小。

也有学生喊到：x、y同向变化。

再次取定k<0演示，学生很快得到了“x增大，y减小；x减小，y增大”的结论(教师板书一次函数的性质,并迁移到正比例函数的性质,只要k确定就能确定正比例函数和一次函数的性质)…(练习题略)课上到这里，本节课所要完成的重要内容都已顺利揭示出来，本节课的结论和过程的动手探究全部是学生自己的劳动智慧与成果的展示，而不单单是“几何画板”技术的展示。

课上的很轻松、很自然、很真实。

对于同一课时几次公开课的比较，“几何画板”在数学课堂教学中具有非常突出的优势。

一是它直观、明了、便捷地展示教学素材，有利于揭示教学内容的核心目标或结论，有利于突破关键环节和重点内容,使学生思维递进无障碍。

在九年义务教育实验教材中，“一次函数的性质”安排在初三下学期，新浙版却安排在八年级上册，如按平时、平常的教学处理，一定是“教师讲的直接，学生学的生硬”。

因为在初中学习阶段，函数的变量思想与函数的性质探索是最大的难点内容，通过“几何画板”将形象直观的感受逐步过渡到抽象概括，从而使“一次函数的性质”的形成水到渠成，一气呵成，成功地将函数的“数”与“形”进行了有机的结合，使学生理解起来不吃力，反倒乐于去研究。

如果让学生与教师在黑板上一个一个画图来研究正比例、一次函数的图象与性质，恐怕三节课就不够，“几何画板”正好将这些无效的、重复的劳动转变成了有效、有价值的探究。

二是“几何画板”的引入将一次函数的研究素材由少数、特殊的几个演变成了无数、任意的素材。

本节课的内容是通过画正比例函数x y x y x y x y 2,3,,21-====的图象来研究正比例函数的性质，而研究一次函数的性质是通过x y x y x y x y 5,6,,62=+-=-=+=这几个具体的例子来开展的。

教材设计很简约，实际上探究一次函数的一般性质通过这几个特殊的素材是远远不够的，也就是说通过这几个特殊的素材提炼出更具一般性的结论（即性质）是不科学、不恰当的，这样的结论是靠不住、也是无效的。

从这几个“特殊”到“一般”缺乏数学的依据,这不是科学的研究方法，这种探究只是做秀与走过场。

长此以往，学生也易形成“别想了，别探了，按照老师讲的听,说的办，没错的，每次也就这么忽悠我们的”的负面心理，从而丧失对学生批判意识的培养。

三是由于分别插入了变量k 和 b ，分拆了学生的思维单元，有利于学生分类研究问题，使思维清晰、有条理。

同时也使得k 与b 分别对直线产生何种影响一目了然。

如果把k 与b 放在一起而设问“k 、b 的变化能引起直线b kx y +=哪些的变化”，这样层次含混，不容易分析。

四是基于“几何画板”的数学实验平台和动态演示平台，学生容易从中挖掘出新成果。

“几何画板”具有在运动过程中保持图形的几何关系不变的特点，随时可以进行动态变化，为认识概念本质改善了认知环境。

如本文中的“平行”，当k<0时的直线与x 轴正方向所成的锐角比较等，这些是书中未涉及到的内容，但利用“几何画板”顺便让学生了解一下未尝不可，况且是学生乐于了解和能理解的前提下。

这一点也启示我们的教学：“过程到位，其结果必定到位”。

五是“几何画板”加大了师生的交互程度，充分的人机交流和师生通过计算机的交流丰富与宽泛了“课堂教学是师生对话交流的过程”。

在实际的教学中会有不断的问题y 的了解等都是节外生枝，要解决学生的疑问,单单借产生, 如本课中的平行，直线b用现有设备是不够的,但通过“几何画板”立马可以得到解决,使学生理解更透彻更清楚,大大地增加了课堂教学容量,提高了课堂教学效益。