几何画板二次函数案例
几何画板二次函数案例
几何画板二次函数案例二次函数在几何画板中的应用非常广泛，下面我将为你提供一个案例，详细解释如何使用二次函数来构建一个几何图形。
案例：构建一个抛物线喷泉喷泉是一种常见的城市景观和装置，它通过一个喷水装置将水以特定的形式喷射出来，形成美丽的水柱。
在这个案例中，我们将使用二次函数来模拟喷泉的形状。
首先，让我们定义一个二次函数来描述喷泉的形状。
假设水柱的高度(h)是和喷射距离(x)相关的，我们可以使用以下二次函数来描述这种关系：h(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是需要确定的常数。
喷泉的形状通常是一个开口朝下的抛物线，所以a的值应该小于0。
接下来，我们将确定a、b和c的值。
为了简化问题，我们假设喷泉的最高高度是10米，并且喷射的最远距离是20米。
我们可以选择两个点来确定这个二次函数的值。
假设我们选择喷泉的两个关键点分别是(0,0)和(20,10)。
将这两个点带入二次函数的方程，我们可以得到以下两个方程：0=a*0^2+b*0+c=>c=010=a*20^2+b*20+0=>400a+20b=10通过解这个方程组，我们可以得到a和b的值。
解方程组可以得到a=-0.0125和b=0.25、所以二次函数的方程为：h(x)=-0.0125x^2+0.25x现在，我们可以使用这个二次函数来绘制喷泉的形状。
通过在几何画板上画出一系列点，然后使用平滑曲线连接这些点，我们可以得到整个喷泉的形状。
首先，我们选择几个x的值，例如x=0,2,4,...,20。
然后，我们使用二次函数计算对应的h(x)的值。
最后，在几何画板上画出这些点，并使用平滑曲线连接它们。
通过加入适当的颜色和细节，我们可以使这个几何图形更加真实和立体感。
我们还可以添加其他元素，如水柱顶部的喷雾效果。
通过调整二次函数的参数，我们可以自由地改变喷泉的形状和高度。
这使得几何画板成为优秀的工具，用于设计和模拟各种喷泉的形状，并选择出最佳的设计。
探索二次函数性质(几何画板动态)
几何画板运用于探索二次函数性质（y=ax2）（动态）二次函数图像的性质是初三学习的一个难点，通过改变二次函数系数大小，直观看见图像变化，采取动态比较过程，学生更容易吸收理解，下面我将介绍具体操作过程：
打开几何画板：步骤1准备工作：绘图→网络样式→方形网格
得到如图所示：
y=ax2的图像性质
步骤2绘制函数图像：数据→新建参数→名称输入a→点击确定→绘图→绘制新函数，
在弹出的方框中选择“方程→符号y=”，
选择参数a，并依次在方框中选择*、x、^、2,；点击确定即可。
具体操作方法见下图
步骤3设置动态系数：
选中参数后选择编辑→操作类按钮→动画
如下图所示更改参数（如图中所示范围为参数变化范围可根据自己需求设置），其中标签为按钮名称。
完成后如图所示点击a<0按钮即可生成动画：
同理：按照上述方法操作可制作而成系数为正时。
也可以再绘制y=x2图形作为参考。
用几何画板研究二次函数性质
用几何画板研究二次函数性质迄今为止，绝大部分教师都是利用几何画板来探讨二次函数开口方向、开口大小、对称轴等. 本文是利用几何画板从二次函数的重要点之间形成的关系来展开研究和探讨.二次函数中的重要点主要指与x轴的交点、与y轴的交点、顶点. 为方便起见，下面研究二次函数y=ax2+bx与x轴的交点、顶点之间形成的关系. 对y=ax2+bx+c假设（1）c=0；（2）与x轴的交点为A，B；（3）顶点为C；（4）b≠0.一、用几何画板探求问题蕴涵的规律性1. 确定系数a和ba和b是二次函数y=ax2+bx的系数，它们的值是可以任意变化. 在坐标轴x 轴上任取一点t，过t点作x轴的垂线l，在垂线l上任取一点B’，度量B’的纵坐标，并更改结果的标签为b. 这样就确定了系数b. 然后，度量点t的横坐标，并与任一个大于零的数作为纵坐标，在垂线l上画点m，过点t和m作射线r，最后在射线r上任取一点A’并度量A’的纵坐标，并更改结果的标签为a，这样就确定了系数a（在这里只讨论a>0的情况）.确定了系数a和b之后，然后为动点a和动点b建立动画，并分别改标签为“动点a”和“动点b”. 如图1所示.2. 计算并画点首先，根据系数a和b绘制函数y=ax2+bx的图象. 如图2所示.其次，根据系数a和b计算与x轴交点A，B及抛物线顶点C的坐标.然后，绘制点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），并连结AC和BC，度量∠ACB的度数.3. 度量角的度数以上操作完成之后，度量∠BCA的度数. 下面用几何画板来探求这个角度与系数a和b的关系. 提出以下问题：（1）当b取某个值时，使a发生变化时，∠BCA的度数如何变化？（2）当a取某个值时，使b发生变化时，∠BCA的度数又如何变化？对于第一种情况，单击“动点a”按钮，可以看到不管a是不断减小还是a是不断增大，∠BCA的度数未发现任何变化. 如图3和4所示.对于第二种情况，单击“动点b”按钮，可以发现当b的绝对值越来越大时，∠BCA的度数越来越小，反之，当b的绝对值越来越小时，∠BCA的度数越来越大. 如图5和6所示.因此，函数与x轴的两个交点和顶点构成的∠BCA的度数与系数a和b的关系借助几何画板，可以得出以下结论：结论1系数b固定，无论系数a怎么变化，∠ACB的度数不变.结论2系数a固定，则∠ACB的度数随着b的绝对值的增大而减小；∠ACB 的度数随着b的绝对值的减小而增大.二、代数方法验证结论通过讨论，得出了∠ACB与系数a，b的变化. 其实，以上结论也可以用代数方法进行验证.由此可见，∠ACB只与系数b有关，而与系数a无关. 因此，只要确定了b 值，不管a如何变化，∠ACB永远保持不变.对于a<0，结论同样成立.针对以上结论，教师在教学过程中或者让学生进行数学实验时，就可以设计一些思考题，开阔学生思考问题的空间，全方位认识二次函数y=ax2+bx蕴涵的有趣的规律.三、拓展与延伸1. 根据结论确定b值借助以上结论，可以展开进一步的思考，b取何值时，∠ACB是直角或等于60°？可以做以下实验：（1）单击“动点b”按钮，使b发生变化，同时，观察∠ACB的变化，当∠ACB=90°时，再次单击“动点b”按钮，停止b的变化，这时的b值即是所求，可以看出等于2或-2. 如图7和8所示.（2）单击“动点b”按钮，使b发生变化，同时，观察∠ACB的变化？当∠ACB=60°时，再次单击“动点b”按钮，停止b的变化，这时的b值即是所求，可以看出等于3.4或-3.4. 如图9和10所示.根据以上实验，可以得出以下结论：结论3函数y=ax2+bx中的b=2或-2时，△ACB为等腰直角三角形.结论4函数y=ax2+bx中的b=3.4或-3.4时，△ACB为等边三角形.2. 坐标平移对角的影响坐标平移包括横坐标上（下）平移和纵坐标左（右）平移. 由此，可进一步思考如下问题：坐标平移对以上结论将造成什么影响？利用几何画板，可以继续做以下实验：（1）纵坐标左（右）平移：设将y轴向左（右）平移h个单位，∠ACB如何变化？（2）横坐标上（下）平移：设将x轴向上（下）平移h个单位，∠ACB如何变化？对于第（1）种情况，当y轴向左（右）平移了h个单位后，函数图象与x 轴的交点未发生变化，顶点也不变，因此，∠ACB的度数也不改变. 但是，函数的表达式由y=ax2+bx变成了y=a（x±h）2+b（x±h），该表达式可变形如下：y=ax2+（b±2ah）x+ah2±bh，令a’=a，b’=b±2ah，c’=ah2±bh，则该表达式为y=a’x2+b’x+c’ ，根据上述结论，可以得出：结论5 当二次函数y=a’x2+b’x+c’中的系数满足a’=a，b’=b±2ah和c’=ah2±bh 关系时，以上结论同样成立.对于第（2）种情况，当x轴向上（下）平移h个单位，函数图象与x轴的交点位置则发生了变化，∠ACB也跟随变化. 根据图象可以看出，可以得出以下结论：结论6 当x轴向上平移h个单位时，∠ACB不断减小.结论7 当x轴向下平移时，当且仅当h<|-|时，∠ACB不断增大，否则图象与x轴无交点.著名数学家欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，也需要实验. ”同时，《数学课程标准》中指出：“20世纪以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展. ”因此，利用信息技术构建实验情境，通过运用实验方法，进行数学教学活动，已越来越显示了现代教育技术手段在数学教学中的创造性应用.。
完整版)《几何画板》在初中数学教学中的应用实例
完整版)《几何画板》在初中数学教学中的应用实例几何画板》是一种有效的辅助教学工具，能够帮助初中数学教师实现“数形结合”的教学理念。
它具有很强的实用性，不仅能够减轻教师的工作负担，同时也能够改变教学环境，为问题的有效解决提供便利。
通过利用《几何画板》的大信息量储备，学生可以根据自身的需求进行查阅和研究，从而更好地掌握数学知识。
二、《几何画板》的主要功能几何画板》提供了多种绘图功能，包括画点、画圆、画线等，可以准确制作各种图形。
此外，它还提供了旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能，并且具有强大的度量和计算功能，能够动态演示数据变化，制表等。
此外，它还提供了图表功能，可以建立直角坐标系、极坐标系，方便作出直线、二次曲线，绘制点和函数图象。
总之，《几何画板》是一种非常实用的辅助教学工具，可以帮助学生更好地掌握数学知识。
教师可以将其融入到几何学科的教学中去，使原本抽象的知识形象化、生活化，从而提高数学教学质量。
提供了一般软件所具备的编辑功能，同时能为所绘图形添加颜色。
最新版新增加了常用符号及数学公式编辑功能，并支持插入对象功能，如BMP位图、PowerPoint幻灯片、声音（.wav）、电影（.avt）、Excel表格、Word文档等。
甚至可以通过打“包”直接调用应用程序，进行超级链接（网），并可利用剪贴板将绘制图形转换到其它Windows应用程序中，以达到交换信息的目的。
教学中应用实例：例1：在《轴对称》这一节中，通过操作按钮，使学生更直观地感受轴对称的概念与性质。
如图所示，通过将图形沿着轴对称线进行翻转，可以得到对称的图形。
例2：对于“一次函数y=kx+b（k≠0）的性质”的研究，学生需要清楚y=kx+b（k≠0）在k>0或k0时，它的图象经过第一、三象限；当k<0时，它的图象经过第二、四象限。
在老师的演示下，学生可以自己动手作图与观察比较老师作图，从而更轻松地理解一次函数的图及性质。
例3：验证勾股定理。
用《几何画板》探究函数f(x)=ax2+bx+c的性质2014.12修改2
2
（图 1）
2
（图 2）
2
由上图可得:连续改变 a 的取值，形如函数 y=ax （a>0 或 a<0）的图像是抛物线，其图像呈动态连续变 化状态，并在几何画板的界面上会出现当 a>0（a<0） ，b=c=0 时，得到二次函数 y=ax 的图像（图 1）所示： “千手观音”的形状，很容易发现 a 的大小决定抛物线的开口方向， 性质 1：当 a>0 时,抛物线的开口向上，且 a 越大，开口越小，a 越小，开口越大。 当 a<0 时,抛物线开口向下，a 越大，开口越大，a 越小，开口越小。 综上｜a︱越大，开口越小，｜a︱越小，开口越大。 性质 2：抛物线 y=ax 的对称轴是 y 轴（直线 x=0）.顶点坐标是（0,0）. 性质 3：一般的（图 2） ，当 a>0 b，c 取任意值时,函数图像是抛物线，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 减小，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；图像有最低点，函数有最小值。 当 a<0，b，c 取任意值时时, 函数图像是抛物线，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称 轴的右侧，y 随 x 的增大而减小；图像有最高点，函数有最大值。 性质 4：抛物线的对称轴方程是: x＝－
a>0 2 2 2 2
a=0
a<0
b>0
b=0
b<0
b>0
b=0
b<0
b>0
b=0
b<0
1
c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0 c>0 c=0 c<0
如何利用几何画板做二次函数关于y=x对称的图像
如何利用几何画板做二次函数关于y=x对称的图像如何利用几何画板做二次函数关于y=x对称的图像函数图像时不能被反射的，只是使用自定义变换或者构造轨迹实现你的要求。
假设二次函数是y=x²。
1、绘制函数y=x²。
2、绘制直线y=x。
（不能是函数图像，必须是绘制直线，否则不能成为镜面）。
3、在抛物线上任意绘制一点A，以直线为镜面反射A，得到点B。
4、选定点A和B，“变换”-“创建自定义变换”。
5、选定抛物线，“变换”-执行“新创建自定义变换”。
如何利用几何画板动画显示二次函数y=x2和函数y=1/x图象的对称性以函数y=1/x为例进行讲解。
1、“绘图”-“绘制新函数”，绘制y=1/x；2、作直线y=-x；（不能用绘制图像方法，而是选中原点和点（1，-1）构造直线）3、在直线上任画一个可动点A，选中动点A和直线，做垂线；4、构造直线和y=1/x图像的两个交点B和C；5、度量点A和点B、点A和点C的距离，度量值尽量靠近；6、在直线上拖动点A，可以直观观察到点B和点C到对称轴线的距离始终相等，且直线BC与对称轴线垂直。
如何用几何画板做二次函数图像课件1、可以绘图---绘制新函数---输入函数解析式2、可以建立三个参数,利用三个参数在新建函数（或绘制新函数）建立参数函数解析式,改变参数就可以改变图形.如何用几何画板动态演示二次函数函数图像1、快速地作出我们想要的二次函数的图象；2、动态演示几种形式的二次函数的图象，帮助学生理解二次函数的图象、性质及几种形式的二次函数图象之间的平移与对称关系；3、动态演示二次函数的函数值随自变量的变化而变化的情景.你是需要哪种动态平移翻折因点而动每个都不太一样如何用几何画板作二次函数图二次函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，是以变化与对应为基础的重要数学概念。
要让学生理解二次函数的变量之间的相互依赖关系，清楚地看到二次函数的几种形式y=ax2、y=ax2 +k、y=（x－h）2、y=a（x－h）2+k、y=ax2+bx+c之间的平移、对称关系，需要给学生提供大量的图象素材，让学生观察、分析与对比。
用几何画板探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
用几何画板探究二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质资料编号:202211051045在探究二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质时,我们可以利用配方法把一般式化为顶点式进行探究,配方过程如下:c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=222222244 a b ac a b x a 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,其图象的对称轴为直线a b x 2=,顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,22.当a b x 2=时,函数取得最值,最值为a b ac y 442-=:当0>a 时,a b ac y 442min -=;当0<a 时,ab ac y 442max -=.虽然我们可以用学习顶点式的成果来研究一般式,但我们还不能对一般式有一个全面的了解和掌握,如b a ,的符号与对称轴的位置关系、抛物线与y 轴的交点与c 的关系以及抛物线与x 轴的相交情况等.下面,我们通过制作几何画板课件,设置c b a ,,三个参数,来探究一下二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质.几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在x 轴上任意作出一点A ,选中点A 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出x 轴的垂线.单击“点工具”,在x 轴上方的垂线上任取一点B ,在x 轴下方的垂线上任取一点C .选中点B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段BC .选中垂线BC 并隐藏.单击“点工具”,在线段BC 上任取一点,标签设为a .选中点a ,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点a 的纵坐标.选中点a 纵坐标的度量值,右单击,选择“度量值的标签”,在“标签”中输入a .如图1所示.单击确定.2.用同样的方法制作参数c b ,.依次单击“绘图”、“隐藏网格”,如图2所示.3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“a的值”、“*”、“x”、“∧”、“2”、“+”、“b的值”、“*”、“x”、“+”、“c的值”,如图3所示.单击确定,作出函数()c+=2的图象.如图4所示.f+bxaxx4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数解析式,右单击,选中“函数的标签”,在“标签”中输入“y”,如图5所示.单击“确定”.5.单击“点工具”,在抛物线上任取一点P,选中点P和x轴,依次单击“构造”、“平行线”,交抛物线于另一点Q.双击点P,选中点Q,依次单击“变换”、“缩放”,设置“固定比”为“1/2”,如图6所示.单击“确定”,作出线段PQ的中点'Q.6.选中直线PQ、点P、点Q并隐藏,选中点'Q和x轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为红色.选中点'Q并隐藏.如图7所示.7.单击抛物线与y轴的交点处,得到点M.选中点M,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点M的纵坐标.如图8所示.8.选中点a,修改点的颜色为浅蓝色;选中点b,修改点的颜色为粉红色;选中点c,修改点的颜色为浅绿色.如图8所示.经此一步,完成作图.课件探索对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,课件设置了三个参数c b a ,,,通过拖动点c b a ,,,使这三个参数可以在一定范围内变化,以观察函数图象的变化与这三个参数之间的关系.探究参数a 对函数图象的影响（1）拖动点a 在线段AB 上移动,此时0>a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越小,函数图象的开口越_________;（2）拖动点a 在线段AC 上移动,此时0<a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越大,函数图象的开口越_________.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,函数图象开口_________,当0<a 时,函数图象开口_________,并且a 越小,函数图象的开口越_________,a 越大,函数图象的开口越_________.探究参数b a ,对函数图象的影响在由二次函数的一般式化为顶点式的过程中,我们得到函数图象的对称轴为直线ab x 2-=,这说明抛物线的对称轴与b a ,有着直接的关系,同时参数b a ,的改变也必将影响抛物线的变化.我们来实际操作一下.（3）把点a 移动到线段AB 上,此时0>a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现:当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧.（4）把点a 移动到线段AC 上,此时0<a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现: 当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0,0>>b a 或0,0<<b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧;当0,0<>b a 或0,0><b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧.特别地,当0=b 时,函数图象的对称轴是_________.由此,我们可以根据b a ,的符号确定抛物线对称轴与y 轴的相对位置关系,也可以根据抛物线的对称轴与y 轴的相对位置关系,确定b a ,的符号.实际上,当b a ,同号时,02<-=a b x ,抛物线的对称轴位于y 轴的左侧;当b a ,异号时,02>-=ab x 抛物线的对称轴位于y 轴的右侧.如此,我们探究参数b a ,对二次函数图象影响的过程,经历了由观察到推理,由感性认识到理性认识的过程.探究参数c 对函数图象的影响（5）拖动点c 在线段HI 上移动,观察函数图象的变化,不难发现,函数图象与y 轴的交点的纵坐标,等于_________的值.当0>c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交;当0=c 时,函数图象经过_________;当0<c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交.因此,参数c 的值,决定了函数图象与y 轴的相交情况.实际上,对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当函数图象与y 轴相交时,令0=x ,则=y _________,所以函数图象与y 轴的交点为_________.二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质的应用例1. 用配方法将二次函数6422++-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,则k h a ++的值为【 】（A ）5 （B ）7 （C ）1- （D ）2-解析 ∵()()81261122642222+--=+-+--=++-=x x x x x y ∴8,1,2==-=k h a ∴7812=++-=++k h a ∴选择答案【 B 】.例2. 关于抛物线122+-=x x y ,下列说法错误的是【 】（A ）开口向上（B ）顶点在x 轴上（C ）对称轴是直线1=x（D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小解析 ()22112-=+-=x x x y .对于（A ）,01>=a ,抛物线开口向上.故（A ）正确;对于（B ）,抛物线顶点坐标为()0,1,在x 轴上.故（B ）正确;对于（C ）,抛物线的对称轴为直线1=x .故（C ）正确;对于（D ）,当1>x 时,y 随x 的增大而增大.故（D ）错误.∴选择答案【 D 】.例3. 若二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a _________。
二次函数y=ax^2+b的图像及性质
想一想：y=－2x 、y=－2x +3和y=－2x －
2 2 2
2的图像,它们的开口方向如何？位置关系如何？
教师几何画板演示a<0情况
jkjj ff ff ff ff ff ff ff ff f
函数y=-2x2+3的图象可由y=2x2的图象沿y轴向上平移3个 单位长度得到.
-10 -5
4
y
2
y=-2x2+3
当x=0时，函数取得最大 值， y最大值＝0，且y没 有最小值，即y≤0
问题1：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x2、
y=2x2+1和y=2x2－1的图像？ 一、填表：
x
... ... ... ... -2 -3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 ... ... ... ...
当x<0时，函数值y随 x值的增大而减小； 当x>0时，函数值y随 x值的增大而增大
3.
y=ax2(a>0)
4.
顶点就是原点（0，0），顶 点是图像的最低点，开口向 上，图像向上无限延伸
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说明： 本案例是苏科版九年级（下）数学第6章二次函数如何运用“几何画板”教学的案例，其他版本的教材也可参考使用。
运用“几何画板”教学二次函数的案例江苏省泰兴市黄桥初级中学 马京城函数是研究现实世界数量关系及变化规律的重要数学模型，在研究二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与性质、平移、翻折变换等问题时，我用“几何画板”辅助教学活动，引导学生“操作、观察----比较、猜想、探索---抽象和概括”，和学生们共同探究二次函数的有关问题，感觉比采用传统的教学手段，效果要好得多。
现按照教学顺序，将我在教学中的案例片段一一展示，供老师们参考。
一、 探究)0(2≠=a ax y 图象、性质与系数a 的关系学生会用描点法画二次函数2x y =的图象后，在多媒体教室进行以下教学。
首先，教师将事先做好的“几何画板”文件（如图1）分发给学生，图中点A 为x 轴上的动点，)0(2≠=a ax y 中系数a 的值等于点A 的横坐标。
探究序列：（1）用鼠标拖动点A（在x轴上原点向右运动）时，改变了)0yax=a(2≠中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化；（2）拖动点A（在x轴上原点向左运动）时，改变了)0axy中(2≠=aa的值，体会图象开口方向和开口大小变化；（3）归纳发现：系数a的作用是a>0时，抛物线开口向（填上或下）；a<0时，抛物线开口向（填上或下）；a越大，抛物线开口越（填大或小）；a越小，抛物线开口越（填大或小）。
教师将事先做好的“几何画板”文件（如图2）分发给学生，图中点P为抛物线上的动点，探究序列：(1) a>0时,拖动点P，当点P在抛物线上从左到右运动（即点P的横坐标逐渐增大），观察点P的纵坐标是逐渐增大还是逐渐减小（2）a<0时，拖动点P ，当点P 在抛物线上从左到右运动（即点P 的横坐标逐渐增大），观察点P 的纵坐标是逐渐增大还是逐渐减小 （3）归纳：当自变量变化时，函数值如何变化以及函数的最大（或小）值情况。
（4）验证图象的对称性：如图2，标记y 轴为镜面，作出点P 关于y 轴的对称点P ’，有什么发现拖动点P 时，它的对称点P ’将怎样移动由此你得出什么结论设计意图：在学生会用描点法画二次函数)0(2≠=a ax y 的图象后，使用图1这个课件，目的是让学生探究和体会a 值的变化带来图象的开口方向和开口大小变化. 使用图2这个课件，目的是让学生直观认识函数增减性和验证图象的对称性。
运用规律，解决问题：（1）二次函数(a)23x y -=；(b)232x y =(c) 234x y =的图象的开口大小顺序应为（ ）A ．（a ）＞（b ）＞（c ）B ．（a ）＞（c ）＞（b ）C ．（b ）＞（c ）＞（a ）D ．（b ）＞（a ）＞（c ） （2）下列说法错误的是（ ）A.二次函数22x y -=中，当x=0时，y 有最大值是0；B.二次函数24x y =中，当x>0时，y 随x 的增大而增大； C.在三条抛物线22x y =，25.0x y -=，2x y -=中，22x y =的 图象开口最大，2x y -=的图象开口最小；D.不论a 是正数还是负数，抛物线)0(2≠=a ax y 的顶点一定是坐标原点(3) 已知点（－2，1y ），（－1，2y ），（3，3y ）都在函数2x y =的图象上，则正确的是（ ） A ．1y <2y <3y B ．1y <3y <2y C ．3y <2y <1y D ．2y <1y <3y设计意图：及时训练，可以巩固所学，加深理解。
二、探究)0(2≠+=a c ax y 图象、性质以及上、下平移在学生会画12+=x y 、22-=x y 的图象后，进行以下活动。
将事先做好的“几何画板”文件（如图3、图4）分发给学生，图中点C 为y 轴上的动点，c x y +=2中c 的值等于点C 的纵坐标。
探究序列：（1）如图3，用鼠标上下移动点C ，体会c 的值变化时函数c x y +=2图象的变化，与函数2x y =的图象有什么关系你能归纳)0(2≠+=a c ax y的图象和性质吗（2）c的值变化时，图象如何移动你能用简洁的语言归纳出抛物线上、下平移的规律吗发现：c值在变化，图像在左右平移。
c值增大，图像____移（填上或下）；c值减小，图像____移（填上或下）。
设计意图：图3、图4主要是让学生体会上下移动点C时函数c=2xy+图象的变化以及与2xy=的关系，解决上下平移问题。
运用规律，解决问题：（1）函数y= x2－4的图象与y 轴的交点坐标是（）A.（2，0）B.（－2，0）C.（0，4）D.（0，－4）（2）抛物线y＝－2x2的开口方向_______，顶点坐标是_______，对称轴是_______；（3）函数的122+y的图象沿y轴向=x-22--=xy图象可以由函数3____平移 ____个单位而得到。
三、探究)0h=aay图象、性质以及左、右平移x()(2≠-在学生会画)0xahy的图象后，进行以下活动。
)((2≠-=a将事先做好的“几何画板”文件（如图5）分发给学生，图中点H 为x 轴上的动点，)0()(2≠-=a h x a y 中h 的值等于点H 的横坐标。
探究序列：（1）用鼠标左右移动H 点，看函数2)(h x y -=图象的变化，与2x y =的图象有什么关系你能归纳)0()(2≠-=a h x a y 的图象和性质吗 （2）h 的值变化时，图象如何移动你能用简洁的语言归纳出抛物线左、右平移的规律吗发现：h 值在变化，图像在左右平移。
h 值增大，图像____移；（填左或右）h 值减小，图像____移（填左或右）。
（3）验证图象的对称性：如图5，在抛物线上任取一点P ，过顶点H 作x 轴的垂线，标记该垂线为镜面，作出点P 关于该垂线的对称点P ’，有什么发现拖动点P 时，它的对称点P ’将怎样移动由此你得出什么结论设计意图：图5主要是让学生体会左右移动点H 时函数2)(h x y -=图象的变化以及与2x y =的关系，解决左右平移问题,及再次验证图象的对称性。
运用规律，解决问题：（1）函数2)2(--=x y 的开口方向_______，顶点坐标是_______，对称轴是_______；（2）函数的2)4(2+-=x y 图象可以由函数22x y -=的图象沿x 轴向____平移 ____个单位而得到。
四、探究)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与系数的关系在学生会画)0(2≠++=a c bx ax y 的图象后，进行以下活动。
将事先做好的“几何画板”文件（如图6）分发给学生，图中点A 、B 、C 分为坐标轴轴上的动点，点A 、B 的横坐标和点C 的纵坐标分别对应)0(2≠++=a c bx ax y 中的系数a 、b 、c 。
拖动点A 、B 、C 就可改变a 、b 、c 三个参数，从而引起二次函数的形状改变，这样就可以研究变化某一个参数所引起的二次函数图像变化的特点了。
探究序列：（1）拖动点A ，观察函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的变化，体会影响图象开口方向和开口大小的因素是什么归纳a 的作用； （2）用鼠标拖动点B ，观察图象的变化，发现b 的作用是:由对称轴的位置和a 的符号决定，对称轴在y 轴的左侧时，a 和b 符号_____；对称轴在y 轴的右侧时，a 和b 符号______。
（3）用鼠标拖动点C ，观察图象沿怎样的路径运动发现c 的作用是：确定抛物线与y 轴的交点的位置，交与正半轴则c 为_____（填正或负），交与负半轴，则c 为_____（填正或负）。
（4）缺项探究：拖动点A 、B 、C 通过改变a 、b 、c 参数，观察a 、b 、c 中有一个或若干个为0的情况下函数图象形状的改变。
探究后完成下表：a=0,b=0,,c=0,设计意图：图6中改变a 、b 、c 三个参数，从而引起二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的形状改变。
分别体会a 、b 、c 的变化带来图像的变化，归纳a 、b 、c 的作用。
五、探究)0()(2≠+-=a k h x a y 以及图象平移规律可在学生会将一般式)0(2≠++=a c bx ax y 转化为顶点式)0()(2≠+-=a k h x a y 后，进行以下活动。
将事先做好的“几何画板”文件（如图7）分发给学生，图中点A 、H 、K 分为x 轴上的动点，点A 、H 、K 的横坐标分别对应)0()(2≠+-=a k h x a y 中的a 、h 、k 。
拖动点A 、H 、K 就可改变a 、h 、k三个参数，从而引起二次函数的形状改变，这样就可以研究变化某一个参数所引起的二次函数图像变化的特点了。
探究序列：（1）拖动点K ，观察k 的变化和图象移动情况，你有什么发现（2）拖动点H ，观察h 的变化和图象移动情况，你又有什么发现（3）绘制出顶点（h ，k ），追踪顶点，慢慢拖动点K 、H ，观察顶点的运动路径，有什么发现（4）你认为是什么因素决定了图象的上下移动又是什么因素决定了图象的左右移动你能用简洁的语言归纳出抛物线平移的规律吗设计意图：图7中改变k 、h 两个参数，从而引起二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的形状改变。
分别体会k 、h 的变化带来图像的变化，归纳k 、h 的作用。
运用规律，解决问题：（1）将抛物线y =21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是____；（2）将抛物线y =3422+-x x 向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得的抛物线表达式是____；（3）将抛物线y =3422+-x x 向____平移____个单位，再向____平移____个单位后得抛物线y =5622+-x x 。
六、验证)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点情况在学生理解了判断图象与x 轴交点情况就是判断方程)0(02≠=++a c bx ax 有无实数根的前提条件即ac b 42-的符号的前提下进行。
将事先做好的“几何画板”文件（如图8）分发给学生，图中点A 、B 、C 分为坐标轴轴上的动点，点A 、B 的横坐标和点C 的纵坐标分别对应)0(2≠++=a c bx ax y 中的系数a 、b 、c 。
通过拖动点C 上下移动图象，观察代数式ac b 42-的值改变，同时观察图象与x 轴交点情况进行验证。
设计意图：验证ac b 42-的符号和图象与x 轴交点情况之间关系 问题：在平面直角坐标系中，抛物线y =3422+-x x 与x 轴的交点的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0七、以抛物线为载体的动点问题问题：（2011年山东威海改编）如图9，抛物线c+=2交x轴y+axbx于点A(-3,0)，点B(1,0),交y轴于点E(0，-3)．点C是点A关于点B的对称点，直线y=-x+m过点C，交y轴于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值；对问题（2）用“几何画板”探究如下：（1）如图10，度量出点K的横坐标和线段HG的长；（2）以点K的横坐标和线段HG的长分别作为点M的横坐标和纵坐标，绘制出点M；（3）追踪点M,用鼠标拖动点K，当点K在线段AB上运动时，点M的轨迹图是抛物线的一部分，发现线段HG的长与点K的横坐标存在二次函数关系，且线段HG的长度的最大值就是二次函数图象的顶点的纵坐标的值；（4）由学生讨论完成线段HG长度的最大值的求法（提醒学生注意自变量取值范围）。