几何画板在初中函数教学中的应用探析

几何画板在初中函数教学中的应用探析前苏联著名数学家A.H 柯尔莫戈洛夫所指出：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。

”作为数学教师应该尽可能的把抽象的问题直观化，把代数几何化。

因此，计算机多媒体技术迅速兴起和蓬勃发展，给学校教育带来了一场空前的变革，实现了计算机信息技术辅助教学。

数学软件《几何画板》因为具有容易学习、操作简单、功能强大等特点，已被广大中学数学教师引入课堂，实施信息技术与数学教学的整合。

函数是中学数学中最基本、最重要的概念，是常量数学转变成变量数学的标志，贯穿于初中数学始终，在整个初中阶段数学学科中起着不可替代的作用。

整个初中阶段，要学习正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数以及锐角三角函数，彼此间相辅相成，揭示了数形结合的重要思想。

师生在几何画板环境中作函数图象、度量点的坐标和线段长度等、动态观察、分析、讨论，产生有关函数的印象、猜想和结论，从而激发和提高了学生的学习兴趣，积极参与到教学活动中，有效地提高教学效率。

一、动态函数情景，诠释函数定义函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻画，函数定义是学习函数的基石，传统教学只是口头上举例，说明变化过程中的变量和常量，简简单单的就得到了函数定义，学生刚接触函数，弄不清楚函数定义，容易与二元方程弄混淆，同时很难弄清变化的过程和两个变量以及一一对应关系，学起来会比较困难。

在教学中利用几何画板设计动画教学，展示自行车动画，点击上面控速键就可以控制车速，在同一时间内，车速不一样致使自行车行驶的路程不一样，即S=10V(假设时间都是10 秒)，由此可以得到S 随V 的变化而变化，给定一个V 值（或S 值）就有一个对应的S 值（或V 值）（如图1）。

当拖动线段EF 时，自行车的车轮大小发生变化，从而得到自行车的车轮周长C=2πr 和车轮面积S=πr2，由于π是圆周率，是一个固定的常数，因此可以得到C 或S 随r 的变化而变化，给定一个r 值（或C 或S 值）就有一个对应的C 或S 值（或r 值）（如图2）。

这样的动态教学可以激发学生学习热情，让学生观其形，闻其音，丰富学生的感观，使学生自然地深入教师精心设计的情景中，不知不觉地自主思索着，积极参与教学中，乐此不疲地学习着。

图 1 图2二、动点运动成线，勾画函数图象函数图象是数学教学中的难点，是初中数学教师一直想攻克的难题。

传统课堂上教授函数图象需要让学生先列表，再描点，最后连线得到函数图象，比较繁琐，并且费时费力，学生听起课来很难感受和接受点动成线，也就得不到函数图象，课堂变得枯燥乏味，学生没有学习兴趣，逐渐听不懂，学不会，最终会导致讨厌学习数学。

利用几何画板来进行函数图象的教学，可以利用其“动”的一面，演示点动成线，将抽象内容变得形象化、直观化和具体化，让学生切实直观感受，并且可以让学生变换函数和动点进行实际操作，真正感受点动成线，激发学生学习的潜能，提高学生的积极性，主动参与教学，也就让课堂活了起来，学习自然就轻松了。

学生点击动画点按钮，点 A 就开始运动，由点动成线，从而得到正比例函数图象是一条过原点的直线（如图3），一次函数的图象是一条直线（如图4），二次函数的图象是一条抛物线（如图5）和反比例函数的图象是两支双曲线（如图6）。

图 3 图 4图 5图6学生通过学习函数之后，很多学生很难理解函数与图象之间的对应关系。

在点运动后得到的函数图象上让学生任意找一些点，然后度量坐标，就能得到点的坐标，接着让学生验证这些点的坐标是否满足函数的解析式，学生验证后点的坐标都满足函数解析式（如图7），由学生再找一些满足函数解析式的点，利用几何画板的绘图里的绘制点进行绘点，可以得到绘制的点在函数图象上（如图8）。

由此得到函数图象上的点的坐标满足函数的解析式，满足函数的解析式的点在函数图象上，因此函数与图象形成对应关系，使得学生的知识形成系统化和整体化。

图7图8图8传统讲授反比例函数图象时，课堂上老师只能草草画图，不能形象和直观地展示函数图象与坐标轴接近，不相交，致使学生很难理不相交”。

采用几何画板就解“与坐标轴无限接近，但永y 2x很形象和直观地展示这一特点。

如建立函数的图象，在图象上找A、B 两点，利用几何画板的度量，将两点的横纵坐标分别度量出来，制作两点的动画，课堂上先按下A 点动画，让学生观察A 点在第三象限的运动和数据的变化，接着再按下B 点动画，让学生观察B 点在第一象限的运动和数据的变化（如图9）。

老师问：当x 值越来越大，y 是如何变化的？学生会看到随着点A、B 向右运动，其数值发生变化，点A、B 与坐标轴的距离越来越小，越来越接近，A 点的横坐标的值越来越接近数值零，但是不会为零，B 点的纵坐标的值越来越接近数值零，但是不会为零。

学生得到x 值越来越大，y 值变得越来越小。

在第一象限A 点的x 值越来越大，y 值变得越来越小，而在第三象限B 点的x 值越来越大，y 值也变得越来越小（为反比例函数的增减性做铺垫）。

教师追问：图像上的A、B 两点会与两坐标轴相交吗？再此演示，学生猜想得到双曲线与坐标轴不相交。

教师进一步引导学生分析，得到双曲线与坐标轴不相交的原因是x 和y 不能为零。

图9通过图9 这样的演示，学生对双曲线的特点有了更加直观的感受和深刻的印象，并且更进一步帮助学生认识了函数和图像的关系。

学生经历几何画板的动态演示，在变化的点、变化的横纵坐标中寻找规律，理解自变量和函数值这两个变量之间的对应关系，弥补了传统教学无法展示点的变化和横纵坐标的动态变化，将抽象的思维过程形象地展示出来，让学生直观地感受，由此很容易地去接受。

最后师生共同总结双曲线特点：无限接近坐标轴，但永不相交。

三、图象动画重合，演绎函数平移传统讲授函数平移不能进行动态演示，只能利用特殊值得到点，再用待定系数法得到函数的解析式的举例说明，如讲授二次函数平移y = 2x2 + 3x +1向右平移１个单位，再向下平移２个单位，得到的函数解析式应该怎样表示？首先在二次函数y =2x2 +3x +1的图象上找三个点Ａ（０,１），Ｂ（－１,０），Ｃ（１,６），再将这三个点向右平移１单位，再向下平移２个单位，得到Ａ１（１,－２），Ｂ１（０,２），Ｃ１（２,－４），接着设函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法得到ａ＝２，ｂ＝－１，ｃ＝－２，即函数解析式为y = 2x2 - x - 2 ，而这两个函数的关系很难看出，运算过程比较复杂，稍微不慎就会出错，也就不能得所求函数解析式。

利用几何画板教学，可以让学生先感受函数的平移，再利用其度量可以得到平移前后两函数中点的变化，最后利用显示按钮得到平移后的函数解析式，让学生经历知识预见情景，先入为主，逐步引入，使得学生易接受和掌握。

如将二次函数平移y = 2x2 + 3x +1向右平移１个单位，再向下平移２个单位，得到的函数解析式应该怎样表示？利用几何画板先展示二次函数平移y= 2x2 + 3x +1向右平移１个单位，度量平移后点的坐标，得到这些点横坐标向右平移１个单位，纵坐标不变，显示平移函数解析式y=2x2-x，引导学生得到y=（2x-1）2+3(x-1)+1，并用几何画板展示y = 2x2 - x - 2 ，引导学生得到y + 2 = 2x2 - x ，猜想函数图象上下平移只变动纵坐标，横坐标不变。

利用几何画板的动态按钮平移顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）的二次函数，可以改变a、h 和k 的值，让学生自行操作，直观看到函数的平移，随着点A 平移到A1，它的横纵坐标的变化，猜想得到函数平移变化的特点，使得数学知识具有可操作性，让学生在玩中学习，不知不觉地就获得了知识（图10 和图11）。

利用几何画板展示各种函数平移，让学生有了初步认识，接着利用传统教学进行数值验证，从而得到了函数平移与点平移刚好相反的结论。

动态教学将抽象函数变得直观化、形象化和动态化，循序渐进，逐步引入，符合学生认知特点，同时学生感觉很新奇，极大地调动了学生的学习积极性，最终得到一句话的总结性知识语句，道出了点线面间的联系，将前后学习的知识联系起来，形成系统化的知识体系，顿时让学生豁然开朗，构成台阶式学习，稳稳当当地更上一层楼。

图10图11四、动态图象演示，缔造函数性质传统课堂上讲授函数的性质只是机械式讲解，没有动态变化，吸引不了学生的注意，激发不了学生的学习兴趣，掌握知识只能死记硬背，做题只会照搬照套，因此会频频出错。

利用几何画板可以将讲授函数性质的课堂变得生动有趣，紧紧吸引学生的眼球。

在用几何画板画出的函数图象上，让学生改变一些参数，如一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的a 和b 等，就能得到函数图象所过的象限或所在的象限，接着利用几何画板的动作按钮，进行动画展示反比例和二次函数的对称，初步得到它们是轴对称图形，反比例函数还是中心对称图形，学生变换函数中的参数，再进行动画演示，得到同样的结论，最后再拿出利用几何画板画的各种函数图象图片学生进行剪裁和折叠，加深印象，最终得到反比例和二次函数是轴对称图形，并找到它们的对称轴，反比例函数还是中心对称图形，同时确定出对称中心。

如在课堂上讲授二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的性质，学生改变a、b 和c 的值（或者分别点击动画参数）就能得到抛物线所在的象限，只变动a 值，得到当a>0 时，开口向上，a 值越大抛物线开口越小；当a<0 时，开口向下，a 值越大抛物线开口越大。

只变动c 值，得到抛物线上下平移（如图12）。

总结得到二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的抛物线开口方向与a 的正负有关，开口大小与a 值大小有关，对称轴与a 和b 有关（x= -b/2a），抛物线与y 轴的交点与c 值有关。

图12二次函数y=ax（2 a ≠ 0）的图象画出后，点击翻折按钮，红色的虚线曲线就会翻折（留下蓝色的曲线），然后与绿色的曲线重合，同时让学生变换函数解析式，再次进行操作，从而直观演示出抛物线是轴对称图形，接着让学生折叠用几何画板画出，并裁剪出各种二次函数，进一步加强学生的印象。

点击动画点按钮，A点就在函数图象上移动，同时A 点的横纵坐标的值在发生变化，很具体的可以看出，在曲线OA 段，函数图象呈下降趋势，A 点的横坐标在增大，其纵坐标在减小，但是A 点通过O 点后，函数图象呈上升趋势，A 点的横坐标在增大，其纵坐标在增大,学生变换函数解析式，再次展示和感受，最后总结得到，针对二次函数y=ax（2a≠0），当a>0，x<0（函数图象在对称轴的左侧）时，y 随x 的增大而减小；当a>0，x>0（函数图象在对称轴的右侧）时，y 随x 的增大而增大；当a<0，x<0（函数图象在对称轴的左侧）时，y 随x 的增大而增大；当a<0，x>0（函数图象在对称轴的右侧）时，y 随x 的增大而减小（图13）。