N为复合数的FFT算法
FFT的算法原理应用
FFT的算法原理应用FFT（快速傅里叶变换）是一种用于计算傅里叶变换的算法，它通过分治法和迭代的方式，将O(n^2)时间复杂度的离散傅里叶变换（DFT）算法优化到O(nlogn)的时间复杂度。
FFT算法在信号处理、图像处理、通信系统等领域应用广泛。
1.算法原理：FFT算法的核心思想是将一个长度为n的序列分解为两个长度为n/2的子序列，然后通过递归的方式对子序列进行FFT计算。
在将子序列的FFT结果合并时，利用了傅里叶变换的对称性质，即可以通过递归的方式高效地计算出整个序列的FFT结果。
具体来说，FFT算法可以分为升序计算和降序计算两个过程。
升序计算是将原始序列转换为频域序列的过程，而降序计算则是将频域序列转换回原始序列的过程。
在升序计算中，序列的奇数项和偶数项被分开计算，而在降序计算中，FFT结果被奇数项和偶数项的和和差重新组合成原始序列。
2.算法应用：2.1信号处理：FFT算法在数字信号处理中广泛应用，可以将信号从时域转换为频域，从而实现滤波、降噪、频谱分析等操作。
例如，在音频处理中，可以利用FFT算法对音频信号进行频谱分析，从而实现声音的等化处理或实时频谱显示。
2.2图像处理：FFT算法在图像处理中也有重要的应用。
图像的二维傅里叶变换可以将图像从空间域转换为频域，从而实现图像的频域滤波、频域增强等操作。
例如，可以通过对图像进行傅里叶变换，找到图像中的频域特征，进而实现图像的降噪、边缘检测等功能。
2.3通信系统：FFT算法在通信系统中也有广泛应用，特别是在OFDM （正交频分复用）系统中。
OFDM系统可以将高速数据流分成多个低速子流，然后利用FFT对每一个子流进行频域调制，再通过并行传输的方式将它们叠加在一起。
这样可以提高信号的传输效率和容量，降低频率的干扰。
2.4数据压缩：FFT算法在数据压缩领域也得到了广泛应用。
例如，在JPEG图像压缩算法中，就使用了离散余弦变换（DCT），它可看做是FFT的一种变种。
DFT算法原理、FFT的算法原理
DFT 算法原理快速傅氏变换（FFT ）是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设x(n)为N 项的复数序列，由DFT 变换，任一X （m ）的计算都需要N 次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N 项复数序列的X （m ）,即N 点DFT 变换大约就需要N2次运算。
当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT 中，利用WN 的周期性和对称性，把一个N 项序列（设N=2k,k 为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT 变换需要（N/2）2次运算，再用N 次运算把两个N/2点的DFT 变换组合成一个N 点的DFT 变换。
这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）2=N+N2/2。
继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。
而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT 运算单元，那么N 点的DFT 变换就只需要Nlog2N 次的运算，N 在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT 的优越性。
、FFT 的算法原理FFT 算法的输出X(K)为自然顺序，但为了适应原位计算，其输入序列不是按x(n)的自然顺序排序，这种经过M-1次奇偶抽选后的排序为序列的倒序。
因此，在运算之前应先对序列x(n)进行倒序。
倒序的规律就是把顺序数的二进制位倒置，即可得到倒序值。
倒序数是在M 位二进制数最高位加一，逢2向右进位。
用一个N点复序列的FFT同时计算两个N点实序列离散傅里叶变换
⽤⼀个N点复序列的FFT同时计算两个N点实序列离散傅⾥叶变换⼀、功能⽤⼀个N点复序列快速傅⽴叶变换算法来同时计算两个N点实序列的离散傅⽴叶变换。
⼆、⽅法简介假设x(n)与y(n)都是长度为N的实序列，为计算其离散傅⽴叶变换X(k)与Y(k)，我们将x(n)与y(n)组合成⼀个复数序列h(n)，h(n)=x(n)+jy(n)通过FFT 运算可以获得h(n)的离散傅⽴叶变换H(k)，H(k)可表⽰为H(k)=X(k)+jY(k)根据求得的H(k)，并利⽤DFT的奇偶共辄性，我们得到X(k)和Y(k)为X(k)=12[H(k)+H∗(N−k)]Y(k)=−j2[H(k)−H∗(N−k)]三、使⽤⽅法/************************************x ----长度为n。
开始时存放要变换的实数据，最后存放变换结果的前n/2+1个值，其存储顺序为[Re(0),Re(1),...,Re(n/2),Im(n/2-1),...,Im(1)]。
其中Re(0)=X(0),Re(n/2)=X(n/2)。
根据X(k)的共轭对称性，很容易写出后半部分的值。
y ----长度为n。
开始时存放要变换的实数据，最后存放变换结果的前n/2+1个值，其存储顺序为[Re(0),Re(1),...,Re(n/2),Im(n/2-1),...,Im(1)]。
其中Re(0)=Y(0),Re(n/2)=Y(n/2)。
根据Y(k)的共轭对称性，很容易写出后半部分的值。
n ----数据长度，必须是2的整数次幂，即n=2^m。
************************************/#include "fft.c"void r2fft(double *x, double *y int n){int i, n1;double tr, ti;n1 = n / 2;fft(x, y, n, 1);for(i = 1; i < n1; i++) {tr = (x[i] + x[n - i]) / 2;ti = (y[i] - y[n - i]) / 2;y[i] = (y[n - i] + y[i]) / 2;y[n - i] = (x[n - i] - x[i]) / 2;x[i] = tr;x[n - i] = ti;}}fft.c⽂件参见{ Processing math: 100%。
复合数傅里叶变化算法文档
N 为复合数的FFT 算法因为以2为基数的FFT 运算程序简单，效率很高，使用起来非常方便，所以在求一些复合数()*N p q =的傅里叶变换时可以尽量使用以2为基数的FFT 运算，已达到简化，提高运算效率的目的。
一、算法原理快速傅里叶变化的基本思想就是要将N 点的DFT 的运算尽量分解成若干短序列的DFT 的组合，以减少运算工作量。
如果N 可以分解为两个正数p 和q 的乘积，N=p*q ，可以将N 分解成p 个q 点的DFT 或者q 个p 点的DFT ，以此减少工作量。
于是，可以将()x n 首先分成p 组，即p 组()(1)(2)0,1,2,1(1)x pr x pr x pr r q x pr p ⎧⎪+⎪⎪+=-⎨⎪⎪+-⎪⎩这p 组序列每一组都是一个长度为q 的有限长序列，例如N=15，取p=3，q=5，则可将()x n 分为3组，每组各有5个序列值，其分组情况为3组()()()()()()()()()()()()()()()03691214710132581114x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩然后将N 点DFT 运算也分解为p 组1111(1)(1)()()()(1)(1)q q q N nk prk pr k pr p NNNN n r r r X k x n W x pr Wx pr Wx pr p W ----++-======+++++-∑∑∑∑111(1)0()(1)(1)q q q p r k kp r kp k p r k N N N N N r r r x p r W W x p r W W x p r p W----====+++++-∑∑∑11()p q lk prkN Nl r W x pr l W --===+∑∑由于/prk rk rkNN pq W WW==，因为上式中第二个和式代表的就是一个q 点的DFT 运算，即1()()q rkl q r Q k x pr l W -==+∑0,1,21k q =-式中，()l Q k 就是第l 序列的q 点DFT 。
基2FFT算法分析的介绍
快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley 和Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT 的出现和发展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。
FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。
DFT 的定义式为)(k X =)()(10k R W n x N N n knN∑-= 在所有复指数值knN W 的值全部已算好的情况下，要计算一个)(k X 需要N 次复数乘法和N －1次复数加法。
算出全部N 点)(k X 共需2N 次复数乘法和)1(-N N 次复数加法。
即计算量是与2N 成正比的。
FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而减少运算量。
N W 因子具有以下两个特性，可使DFT 运算量尽量分解为小点数的DFT运算：（1） 周期性：k N n N kn N nN k N W W W )()(++== （2） 对称性：k N N k NW W -=+)2/(利用这两个性质，可以使DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。
例子：求当N ＝4时，X(2)的值)()]3()1([)]2()0([)()]3()1([)]2()0([)3()2()1()0()()2(04240464442404324对称性－＝周期性W x x x x W x x W x x W x W x W x W x W n x X n n +++++=+++==∑=通过合并，使乘法次数由4次减少到1次，运算量减少。
N为复合数的FFT算法
9
第10讲 快速傅里叶变换 4.7 利用FFT分析时域连续信号频谱
频谱分析是指计算信号各个频率的幅值, 相位和功率 4.7.1 基本步骤 ▪ 处理过程分析
jIm[z]
A
B
o
R e[z]
o
R e[z]
X (e j ) 沿单位圆采样
X (ej)
沿AB弧采样
o
o
A
B
(a )
(b )
❖ 线性调频z变换就是利用FFT快速计算螺旋线采样的算法
3
第10讲 快速傅里叶变换
4.6.1 算法基本原理
N1
设有限长序列x(n)的Z变换为 X(z) x(n)zn
n0
为适应z可以沿Z平面更一般的路径取值，沿Z平面上的一段螺线 作等分角的采样，采样点zk为
•A/D: 时域离散化,得到采样序列x(n)，其频谱用X(ejω)表示
X(ej)T 1m X cj Tj2 Tm
11
第10讲 快速傅里叶变换
sc(t)
LPF
H a(j)
xc(t)
A/D x(n)
D FT v(n)
w(n)
V(k)
•w(n): 窗函数.为进行FFT，须对x(n)加窗处理，即v(n)=x(n)w(n)
F 1 fs NT N
( fs 为采样频率)
• 谱线间距: 即频谱分辨率，指可分辨两频率的最小间距
14
第10讲 快速傅里叶变换
F 1 fs NT N
( fs 为采样频率)
数字信号处理15-4.3基2频抽FFT+4.4复合数FFT
n0
l0
r0
由于 WNprk WNrk/ p Wqrk ，因此
q 1
M l (k) x( pr l)Wqrk r0
是一个q点DFT，这样X(k)可写成：
p 1
X (k) WNlk M l (k) l0
可见，一个N=pq点的DFT可用p个q点的DFT来组成。
16
N=pq DFT
一 个
点 的 分 组 示 意 图
17
N为复合数的FFT算法
在最一般的情况下，设N=r1r2···rL，其中 r1～rL是L个素因子。首先把N分解为两个因子， 即N=r1q1，其中q1＝r2r3···rL，并用以上讨论的方 法将DFT分解为r1个q1点DFT；然后，将q1分解 为q1=r2q2，其中q2=r3r4···rL，即将每一个q1点 DFT分解为r2个q2点DFT；这样，通过L次分解， 最后达到rL点DFT。这种算法可以使DFT的运算 获得最高效率。
18
x1(n)
x(n+N/2)
WNn
1
[x(n)x(n+N/2)]WNn
频率抽取法蝶形运算单元 x2 (n)
5
x(0)
x1(0)
x(1)
x1(1)
N / 2点
x(2)
x1(2)
DFT
x(3)
x1(3)
k=0, 2, 4, 6
x(4)
WN0
x2(0)
1
x(5)
WN1 1
x2(1)
N / 2点
1
WN0 1
WN2 1
WN0 1
WN2 1
X(0) WN0 X(4) 1
X(2) WN0 X(6) 1
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(课后习题详解 快速傅里叶变换(FFT))
4.2 课后习题详解4-1 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘40ns ，每次复加5ns ，用它来计算512点的DFT[x （n ）]，问直接计算需要多少时问?用FFT 运算需要多少时间?若做128点快速卷积运算，问最低抽样频率应是多少?解：①直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N （N-1）。
②利用FFT计算：复乘次数为，复加次数为N㏒2N 。
（1）直接计算复乘所需时间复加所需时间所以（2）用FFT 计算复乘所需时间复加所需时间所以4-2 N ＝16时，画出基-2按频率抽选法的FFT 流图采用输入自然顺序，输出倒位序），统计所需乘法次数（乘±1，乘±j 都不计在内）。
根据任一种流图确定序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）的DFT 。
解：按频率抽取法的FFT 流图中的复数乘法出现在减法之后，其运算量为复数乘法：；复数加法：；由于N ＝16，有，，，不需要乘法。
按频率抽取，见图4-1（a ）。
图4-1（a ）运算量：复数乘法：由于，，，不需要乘法。
由图P4.2（a ）可知，共有的个数为1＋2＋4＋8＝15有的个数为1＋2＋4＝7所以总的乘法次数为32-15-7＝10（个）复数加法：举例：对序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）可表示为由于N ＝16，可采用P4.2（b ）的流图。
设Xi （k ）＝（i ＝1，2，3，4）分别为第i 级蝶形结构的输出序列，则由P4.2（b ）的流图可知由于采用的是顺序输入、逆序输出的结构，因此输出X （k ）与X 4（k ）为逆序关系，即，为k 二进制逆序值由此可知，x （n ）的DFT 为X （4）＝X 4（2）＝32，X （12）＝X 4（3）＝12图4-1（b ）4-3 用MATLAB 或C 语言编制以下几个子程序。
（1）蝶形结运算子程序；（2）求二进制倒位序子程序；（3）基-2 DIT FFT 流程图，即迭代次数计算子程序。
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n0
n0
0≤k≤M-1
将公式中的nk做一变换
nk
1 2
[n2
k2
(k
n)2 ]
代入公式, 整理后得到
X
(zk
)
W
k2 2
N 1
[x(n) AnW
n2 2
]W
(k n)2 2
(卷积形式 )
n0
N 1
与卷积公式比较 g(k) h(k) g(n)h(k n)
n0
0≤k≤M-1
Chirp-Z变换的FFT 算法 直接计算Chirp-Z变换公式的计算量很大, 但可以将其转换为卷 积形式, 从而利用FFT算法, 提高运算速度
6
第10讲 快速傅里叶变换
• Chirp-Z变换公式的卷积形式
N 1
N 1
X (zk ) x(n)zkn x(n) AnW nk
• DFT(FFT)运算: 加窗后的DFT是
N 1
j 2 nk
V (k) v(n)e N
n0
0≤k≤N-1
12
第10讲 快速傅里叶变换
谱分析范围与频率分辨率 对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题：即谱分析范围 与频率分辨率
• 谱分析范围(所能分析的最高频率)受采样频率的限制 • 频率分辨率用频率采样间隔F描述，表示谱分析中能够分辨的 两个频谱分量最小间隔。F较小时，称频率分辨率较高
x(n)
g(n)
h(n)
A－ nW n2 / 2
h(n) ＝W －n2 / 2
X(zn) 1 / h(n)
8
第10讲 快速傅里叶变换
4.6.2 Chirp-Z变换的特点 与标准DFT(FFT)算法相比较， Chirp-Z变换有以下特点: 输入序列和输出序列长度不需要相等, 且二者均可为素数 分析频率点zk的起始点z0及相邻两点的夹角φ0是任意的(即
n2
当 g(n) x(n)AnW 2
n2
h(n) W 2
X(zk)可表示成卷积形式
7
第10讲 快速傅里叶变换
k2
X (zk ) W 2 [g(k) h(k)] k=0, 1, …, M-1
• 卷积形式的Chirp-Z公式可采用FFT算法，从而提高运算速度
• Chirp-Z变换的计算框图如下
1.0
o
Re[z] • W0: 表示螺线的伸展率
螺线采样
序列的DFT是Chirp-Z变换的特例
5
第10讲 快速傅里叶变换
Chirp-Z变换公式
将zk=AW-k代入x(n)的Z变换变换表达式中,得到
N 1
N 1
X (zk ) x(n)zkn x(n) AnW nk
n0
n0
jIm[z]
A
B
o
Re[z]
o
Re[z]
沿单位圆采样
X(ej)
X(ej)
沿AB弧采样
o
o AB
线性调频z变换(a就) 是利用FFT快速计算螺(b)旋线采样的算法
3
第10讲 快速傅里叶变换
4.6.1 算法基本原理
N 1
设有限长序列x(n)的Z变换为 X (z) x(n)zn
•A/D: 时域离散化,得到采样序列x(n)，其频谱用X(ejω)表示
X (e j )
1 T
X
m
c
j
T
j
2m
T
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第10讲 快速傅里叶变换
LPF
A/D
sc(t)
xc(t)
x(n)
Ha(j )
V(k ) DFT v(n)
w(n)
•w(n): 窗函数.为进行FFT，须对x(n)加窗处理，即v(n)=x(n)w(n)
时域连续信号离散傅里叶分析的处理步骤如下图示
LPF
A/D
sc(t)
xc(t)
x(n)
Ha(j )
V(k ) DFT v(n)
w(n)
10
第10讲 快速傅里叶变换
LPF
A/D
sc(t)
xc(t)
x(n)
Ha(j )
V(k ) DFT v(n)
w(n)
•LPF : 避免在模拟信号转换成序列时, 可能出现的频谱混叠现象
显然，数字域频率间隔Δω=2π/N 对应的模拟域谱线间距应为
F 1 fs NT N
( fs 为采样频率)
• 谱线间距: 即频谱分辨率，指可分辨两频率的最小间距
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第10讲 快速傅里叶变换
谱分析范围与频率分辨率
有限长序列v(n)=x(n)w(n)的DFT相当于v(n)FT的等间隔采样
V (k) V (e j ) 2 k N
V(k)是sc(t)的离散频率函数， V(k)的第k点对应的模拟频率为:Biblioteka kT
2k
NT
fk
2
k
k NT
第10讲 快速傅里叶变换 4.5 N为复合数的FFT算法
1
第10讲 快速傅里叶变换 4.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法
FFT算法用于计算有限长序列的z变换X(z)在z平面单位圆上N 个等间隔抽样点zk上的采样值
实际应用中在很多情况下并不一定需要计算全部频谱值,而仅 需对某一频带内的信号频谱作较密集的分析
4
第10讲 快速傅里叶变换
zk
A0e
W j0 0
k
e
jk0
A W e k j(0 k0 ) 00
zk参数的物理意义
jIm[z]
0 (M－I) 0
• A0: 起始采样点z0
－1
•θ0: 起始采样点z0的相角
zM－ 1
W0 A0
A0
z0
0
•φ0: 两相邻采样点之间的角度差
n0
为适应z可以沿Z平面更一般的路径取值，沿Z平面上的一段螺线 作等分角的采样，采样点zk为
zk=AW-k k=0, 1, …, M-1 M为采样点的总数
式中: A和W都是任意复数, 设 A A0e j0 W W0e j0
综合上式得到
zk
A0
e
W j0 0
k
e
jk0
A W e k j(0 k0 ) 00
频率分辨率是任意的)， 因此可从任意频率上开始， 对输 入数据进行窄带高分辨率的谱分析 谱分析路径可以是螺旋形的 Chirp-Z变换在一定条件下就是序列的DFT
9
第10讲 快速傅里叶变换 4.7 利用FFT分析时域连续信号频谱
频谱分析是指计算信号各个频率的幅值, 相位和功率 4.7.1 基本步骤 处理过程分析
另外，采样也不一定局限于单位圆上，而需要计算出某一螺 旋线上的等角度间隔的采样值
例如语音信号分析时，往往在靠近语音信号序列z变换的 极点的螺旋线上进行采样，可以使语音信号的共振峰变得 更尖锐，便于精确确定共振峰频率
2
第10讲 快速傅里叶变换
4.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法
jIm[z]