北京市海淀区2014年高三一模数学(理科)试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2014.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,B y y x x A ==∈，则A B = （ ）A.12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.{}2C.{}1D.ϕ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. (1,0) B. (0,2) C.()0,1 D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是（ ）A B C D 4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为（ ）A.20x y --=B.20x y -+=C.0x y +=D.20x y +-=5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -== ”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有（ ）A. 4种B.5种C.6种D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.11.如图，AB 切圆O 于B，AB =1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆22104x y mx ++-=与抛物线24y x =的准线相切，则m =_______．13.如图，已知△ABC 中，30BAD ∠= ，45CAD ∠= ，3,2AB AC ==， 则BDDC=_____________.14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d ， （2,3,4,n = ）．若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sin cos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t . （Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围.AB俯视图主视图侧视图为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A–DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.1图 图 2B F已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值；(Ⅱ)对任意实数a ，曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且△MAB 为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：△MAB 不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =- ， 则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由； （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. C2. D3. D4. A5. B6. B7. C8. B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 96 10.16 11. 2 12. 3413. 14. 9；3 (本题第一空3分，第二空2分)三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15．解：（Ⅰ）π()sin 3f x x = ---------------------------2分(1)(0)(0)1f f g -=------------------------------3分πsin sin 03=-=-------------------------------5分 （Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f t g t t t t t ππ+-==+-+- ------------------------------6分πππsin cos cos sin sin 3333t t t ππ=+- ------------------------------7分1ππsin 233t t =- ------------------------------8分ππsin()33t =-- ------------------------------10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-， ------------------------------11分所以 π1s i n ()[1,]332t π-∈-， -----------------------------12分 所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2- -----------------------------13分16.解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分（Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，354(35)7X a =⨯+-⨯元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分{说明：X 取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止} X分{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}13231()1361471541892031010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1655==165.5()10元 --------------------------------------11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.17．（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD . --------------------------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥.由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD . 如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz - --------------------------4分 不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==. 由图1条件计算得，AEBC =，BF =则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),E D B A F C --------5分(0,1,DC AD == . 由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA. -----------------------------------6分 设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.y y +==⎪⎩令1z =，则1y x ==，所以1)=-n .------------------------------------8分平面DCB 的法向量为EA所以cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n， 所以二面角A DC B --------------------------------9分（Ⅲ）设AM AF λ=，其中[0,1]λ∈.由于AF = ，所以AM AF λλ== ，其中[0,1]λ∈ --------------------------10分所以,0,(1EM EA AM λ=+=-⎝--------------------------11分 由0EM ⋅=n0λ=-(1- ---------------------------12分解得3=(0,1)4λ∈.-----------------------------13分所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =.-------------14分（Ⅰ）e ax y a '=， -----------------------------------2分因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L ：2y x m =+，所以120m =⨯+且0|2x y ='=. ----------------------------------4分 解得1m =，2a = -----------------------------------5分（Ⅱ）法1：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ,a R ∈，都有e ax ax b >+，即∀x ,a ∈R ，e 0ax ax b -->恒成立， --------------------------------------6分 令()e ax g x ax b =--， ----------------------------------------7分 ①若a=0，则()1g x b =-，所以实数b 的取值范围是1b <； ----------------------------------------8分 ②若0a ≠,()(e 1)ax g x a '=-，由'()0g x =得0x =， ----------------------------------------9分 '(),()g x g x 的情况如下：-----------------------------------------11分所以()g x 的最小值为(0)1g b =-， -------------------------------------------12分 所以实数b 的取值范围是1b <；综上，实数b 的取值范围是1b <． --------------------------------------13分法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ,a R ∈，都有e ax ax b >+，即∀x ,a ∈R ，e ax b ax <-恒成立， -------------------------------------------6分 令t ax =，则等价于∀t ∈R ，e t b t <-恒成立，令()e t g t t =-，则 ()e 1t g t '=-， -----------------------------------------7分 由'()0g t =得0t =， ----------------------------------------9分 '(),()g t g t 的情况如下：分 所以 ()e t g t t =-的最小值为(0)1g =， ------------------------------------------12分 实数b 的取值范围是1b <． --------------------------------------------13分（Ⅰ） 设00(,)A x y ,00(,)B x y -， ---------------------------------------1分因为ABM ∆为等边三角形，所以00|||1|y x =-. ---------------------------------2分 又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200|||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ 消去0y ， -----------------------------------------3分 得到 2003280x x --=，解得02x =或043x =-，----------------------------------4分当02x =时，||AB =； 当043x =-时，||AB =. -----------------------------------------5分{说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB :y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得222(23)6390k x kmx m +++-=， ------------------6分由0∆>得到 222960m k --< ① ----------------------------7分所以122623kmx x k +=-+,121224()223my y k x x m k+=++=+， ----------------------------8分 所以2232(,)2323km mN k k -++，又(1,0)M如果ABM ∆为等边三角形，则有MN AB ⊥， --------------------------9分所以1MNk k ⨯=-， 即222313123mkk km k +⨯=---+， ------------------------------10分 化简2320k km ++=，② ------------------------------11分由②得232k m k +=-，代入① 得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得 2340k +<，不成立， -------------------------------------13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故ABM ∆不能为等边三角形. -------------------------------------14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ----------------8分 设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈- -----------------9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调所以，有12x x =⇔||||MA MB =， ---------------------------------11分 因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠.所以||||MA MB ≠， ---------------------------------13分 所以ABM ∆不可能为等边三角形. ---------------------------------14分20.解：（Ⅰ）设点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123,,B B B ,由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)B B ,设2(,)B x y ，1223(3,2),(2,2)A A A A =-= ，1223(,2)(5,2)B B x y B B x y =-=-- ，，由正交点列的定义可知 12120A A B B ⋅= ,23230A A B B ⋅=,即32(2)0,,2(5)2(2)0x y x y --=⎧⎨-+-=⎩ 解得25x y =⎧⎨=⎩所以点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)B B B .------3分 （Ⅱ）由题可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)B B B B B B λλλ=-==-，,123λλλ∈，，Z 因为1144,A B A B 与与相同，所以有123123-+-=9,13+3+3=1.2λλλλλλ⎧⎨⎩（）（） 因为123λλλ∈，，Z ，方程（2）显然不成立，（Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，都存在整点列()A n 无正交点列. -------------------------9分5n n ∀≥∈，N ，设1(,),i i i i A A a b +=其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,1i n =-若有序整点列123,,,n B B B B 是点列123,,,n A A A A 正交点列, 则1(,),1,2,3,,1i i i i i B B b a i n λ+=-=-，则有 11=1111=11,(1).(2)n n i i i i i n n i i i i i b a a b λλ--=--=⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑ ①当n 为偶数时，取1,(0,0)A 1,=3=,1,2,3,,1-1i i i a b i n i ⎧=-⎨⎩为奇数，，为偶数.由于123,,,n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =- . 等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列； ②当n 为奇数时，取1,(0,0)A 11=3,2a b =,1,=3=,2,3,,1-1i i i a b i n i ⎧=-⎨⎩ 为奇数，，为偶数,由于123,,,n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =- . 等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列.综上所述，5n n ∀≥∈，N ，都不存在无正交点列的有序整数点列()A n ----------13分。