第四讲 一元二次方程根与系数的关系
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
问 题： 试 计 算 x1 x2 ,
x1 x2
方程 x 4x 1 0 的两个根分别是 x1 4 ，x2 1 方程 x 4x 1 0 化成一般形式是
计算：x1
x2 3
， x1 x2
4
x 2 3x 4 0
。
关于x的方程 x x1 x x2 0 的两个根分别是
x 13x 3 0 的两根，求斜边长。
2
新知拓展： 5、若方程x2+px+18=0的一根是另一根的2倍， 则p= 。 6、已知x1、x2是方程x2+mx+m-1=0的两个实
2 2 数根，且 x1 x2 17 ，求m的值；
课堂小结：
1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠ 0）根的情况由系数a、b、 c决定，有三种情形：
4 x1 1x2 1
新知拓展：
2、已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0
2
当m= 当m=
1 -1
时,此方程的两根互为倒数. 时,此方程的两根互为相反数.
新知拓展：
3、 已知一元二次方程3x2+kx-2=0的一个根是2， 求另一个根及k值。 4、如果直角三角形的两直角边是方程
2 2 2 b b 4 ac b b 4ac b b 4 ac b b 4 ac x1 . x1 , x2 , x2 . 2a 2a 2a 2a 2
计算： x1 x2
？ x1 x2 ？
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a
通过刚才研究发现，若方程x2+px+q=0有实数根， 则它的两根x1，x2与p，q之间有如下关系：
第四讲 一元二次方程根与系数的关系
第四讲 一元二次方程根与系数的关系练习1． 设a ，b 是方程x 2+x-2013=0的两个实数根，求a 2+2a+b 的值。
2． 已知方程2x 2+kx-2k+1=0的两个实数根的平方和为429，求k 的值。
3． 如果a ，b 为质数，且a 2-13a+m=0，x 2-13b+m=0,求ba ab +的值。
4． 已知x ，y 是正整数，并且xy+x+y=23，x 2y+xy 2=120，求x 2+y 2的值。
5． 若实数满足：16353,1625235353535=+++=+++y x y x ，求x+y 的值。
6． 已知3m 2-2m-5=0，5n 2+2n-3=0，其中m ，n 为实数，求|m-n 1|的值。
7．已知x1，x2是方程x2-2006x+2008=0的两个实数根，实数a,b 满足ax12006+bx22006=2006，ax12007+bx22007=0,求ax12008+bx22008的值。
8．设x1,x2是x2+x-5=0的两根，求x13-6x22的值。
9．已知关于x的二次方程x2-2mx+m=0的两根均大于1，求实数m 的取值范围。
10．已知实数a,b,c满足a+b+c=0，abc=2，|a|+|b|+|c|的最小值。
11．已知m,n是方程x2-x-4=0的两根，且m＞n,利用根与系数的关系2+3n2的值.求m12、已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根文2和4，乙由于看错了某一项的符号，误求得两根文-1和4，求ac b 32+的值。
13、已知关于一元二次方程(6-k)(9-k)x 2-(117-5k)x+54=0的两根均为整数，求所有满足条件的实数k 的值。
14、设a,b,c 为互不相等的实数，且满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+54141622222a a bc b a c b 求a 的值取值范围。
作业1． 已知a,b,c,d 是四个不同的实数，且(a+c)(a+d)=1，(b+c)(b+d)=1.试求(a+c)(b+c)的值。
一元二次方程根与系数的关系
12.4一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1·x2=。
2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。
反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。
[∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=]（4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数。
（7）解特殊的方程或方程组。
考题评析1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）（A）3，2（B）-3，-2（C）3，-2（D）-3，2考点：一元二次方程的根与系数关系。
一元二次方程根与系数的关系
第四讲 一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用1.解方程：0)10553(4222=--+--y x y x2.解方程组： ⎩⎨⎧=---=-02222y xy x y x3.小明用下面的方法求出方程032=-x 的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程4.已知实数a ，b 分别满足a 2-6a+4=0，b 2-6b+4=0，且a≠b，则b a a b +的值是（ ） A ．7B ．-7C ．11D ．-115.已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a-1=0有两根为x 1和x 2，且x 12-x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=-2C ．a=2D ．a=1或a=26.已知m 、n 是方程01222=++x x 的两根，则代数式mn n m 322++的值为（ ）A ．9B ．±3C ．3D ．57.已知关于x 的一元二次方程x 2-（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2−x 12−x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．8.若x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx+c=0的两个实数根，且|x 1|+|x 2|=2|k|（k 是整数），则称方程x 2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x 2-6x-27=0，x 2-2x-8=0，x 2+3x −427＝0，x 2+6x-27=0，x 2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x 2+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．9.已知x 1，x 2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a ，使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x 1+1）（x 2+1）为负整数的实数a 的整数值．10.已知：▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程04122=-+-x m mx x 的两个实数根． （1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB 的长为2，那么▱ABCD 的周长是多少？11.（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）12.（2013•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A 型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B 型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A 型车不少于B 型车的2倍，但不超过B 型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？13.（2013•来宾）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？14.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x 2-4＞0解：∵x 2-4=（x+2）（x-2）∴x 2-4＞0可化为（x+2）（x-2）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①⎩⎨⎧>->+0202x x ② ⎩⎨⎧<-<+0202x x 解不等式组①，得x ＞2，解不等式组②，得x ＜-2，∴（x+2）（x-2）＞0的解集为x ＞2或x ＜-2，即一元二次不等式x 2-4＞0的解集为x ＞2或x ＜-2．（1）一元二次不等式x 2-16＞0的解集为 ;（2）分式不等式 031>--x x 的解集为 ； （3）解一元二次不等式2x 2-3x ＜0．15.（2012•宜昌）[背景资料]低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计：一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg ；一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg ．[问题解决]甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议．2009年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg ．（1）2009年两校响应本校倡议的人数分别是多少？（2）2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长．2010年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍；2011年两校响应本校倡议的总人数比2010年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量．。
一元二次方程根与系数的关系
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
k 1 由根与系数的关系得x1 2+x2=
∴(
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
解二： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由根与系数的关系，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3 k =－2
答：方程的另#43;m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 , 又x1 1=
2 3
, x1 ·x2=-3
2 3 3
=
x1 x 2 x1 x 2
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2)2
-2x x
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
一元二次方程根与系数关系的证明：
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b 2b = = 2a a
X 1 x 2=
b b 2 4ac 2a
+
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
●
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2：已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k 使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
练习1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________， 1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是 ．4．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1-Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或1 5．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13 Ｄ．13- 6．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.7．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=． （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。
九年级数学一元二次方程的根与系数的关系
九年级数学一元二次方程的根与系数的关系嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个很有趣的话题——九年级数学一元二次方程的根与系数的关系。
你们知道吗，这个知识点可是让我们这些初中生头疼不已啊！不过别担心，我会让你们轻松愉快地掌握这个知识点的！我们来看看什么是一元二次方程。
简单来说，就是一个方程里有两个未知数，而且这两个未知数之间还有一个乘号。
比如说，我们要解这个方程：x^2 5x + 6 = 0。
这个方程里有两个未知数，分别是x和5。
而且，它们之间还有一个减号和一个乘号。
好了，现在我们要找出这个方程的根和系数。
那么，什么是根和系数呢？根就是方程里的未知数的值，而系数就是方程里每个未知数前面的数字。
比如说，在这个方程里，5就是系数，因为它前面有一个5。
那么，这个方程的根和系数分别是什么呢？我们先来看这个方程的两个根。
根据求根公式，我们可以得到：x1 = (5 + sqrt(25 48)) / 2 = (5 + sqrt(-3)) / 2 ≈ 1.96x2 = (5 sqrt(25 48)) / 2 = (5 sqrt(-3)) / 2 ≈ -0.96所以，这个方程的两个根分别是1.96和-0.96。
接下来，我们来看一下这个方程的系数。
在这个方程里，5就是系数，因为它前面有一个5。
那么，这个方程的系数就是5。
好了，现在我们已经知道了这个方程的根和系数。
那么，它们有什么关系呢？其实，根和系数之间的关系非常简单。
我们可以把系数看作是未知数前面的数字，而把根看作是未知数的值。
比如说，在这个方程里，5就是系数，而1.96和-0.96就是根。
我们可以用等式表示这种关系：5x1 = x1^2 5x1 + 65x2 = x2^2 5x2 + 6这就是一元二次方程的根与系数的关系。
希望你们能够理解并掌握这个知识点！学习数学就像是一场冒险，充满了未知和挑战。
但是，只要我们勇敢地面对这些挑战，就一定能够找到答案。
所以，伙计们，加油吧！让我们一起在数学的世界里畅游吧！。
一元二次方程根与系数的关系
（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5， 由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根， 求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0， 即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
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第四讲 一元二次方程根与系数的关系
【基础知识精讲】
1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则a b x x -=+21，
a c
x x =∙2
1 2．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，
则：0,0)1(21>>x x 时，有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>=∙>-=+002121a c x x a b x x 0,0)2(21<<x x 时，有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>=∙<-=+002121a c x x a b x x
0,0)3(21<>x x 时，有021<=∙a
c
x x
3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
0)(21212=++-x x x x x x
【例题巧解点拨】
1．探索韦达定理
例1、一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两根21,x x 为____________________， 求21x x +，21x x ∙的值。
2．已知一个根，求另一个根.
例2、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
3．求根的代数式的值
例3、设x 1，x 2是方程x 2
-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1) x 13
x 24
+x 14
x 23；
21
12)
2(x x x x +
4．求作新的二次方程
例4、1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.
2．已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元
二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+1
5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
例5、1、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为9
13，那么常数项应改为 。
2、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根，并且满足100
9
1)1)(1(=---βα，
求m 的值。
【同步达纲练习】
A 组
1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；
2
11
1x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 _________________ 。
4、关于x 的方程2x 2
+(m 2
–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.
5、若x 1 =23-是二次方程x 2
+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x 2 =
_____.
6、方程0322=+-m x x 的一个根为另一个根的2倍，则m= .
7、已知方程0)1(2=+++k x k x 的两根平方和是5，则k = .
8、已知方程01532
=+-x x 的两个根分别是21212()x x x x -=，,则 .
9、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且4
3
x 1x 12
1
-=+，
则m= 。
10、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍。
11、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，求k 的值。
B 组
1、（2009 茂名）设21,x x 是关于x 的方程0142
=-+-k x x 的两个实数根，那么是否存在实数k ，使得2121x x x x +>∙成立？请说明理由。
2、（2009 淄博）已知设21,x x 是关于x 的方程022
=+-a x x 的两个实数根，且
23221-=+x x ，
（1）求1x ，2x 及a 的值；（2）求21213
123x x x x ++-的值。