高考数学总复习 第2章 第11节 变化率与导数、导数的计算课时演练 新人教A版
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第11讲 变化率与导数、导数的计算
第11讲 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′|x＝x 0，即f′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导数的几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f(x)上点P(x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f(x)的导函数．2．3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[做一做]1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .2．(2014·高考江西卷)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2，2)． 答案：(－ln 2，2)1．辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．2．导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．[做一做] 3．(2015·保定市高三调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－eC.1eD ．－1e解析：选C.y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0，0)，代入切线方程得x 0＝e ，y 0＝1，∴k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝1e.4．函数y ＝11－x ＋11＋x 的导数为________．解析：y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫21－x ′＝－2（1－x ）′（1－x ）2＝2（1－x ）2. 答案：2（1－x ）2,[学生用书P 41～P 42])考点一__导数的运算________________________求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．[解] (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2. (4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2. (5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ， 则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5， 即y ′＝22x －5. [规律方法] 导数计算的原则和方法：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．1.求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝cos xsin x ；(3)y ＝e x ln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2.解：(1)y ′＝nx n －1e x ＋x n e x ＝x n －1e x (n ＋x )． (2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x . (3)y ′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x . (4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x .考点二__导数的几何意义(高频考点)____________导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点； (3)已知切线方程求参数值．(1)(2015·山东青岛模拟)曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝0 (2)(2014·高考课标全国卷Ⅱ改编)设曲线y ＝ax －ln x 在点(1，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3(3)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln 2B ．－ln 2 C.ln 22D ．－ln 22[解析] (1)由已知，点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上，所以切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－2)|x＝1＝1，由直线方程的点斜式得x －y －2＝0，故选A.(2)令f (x )＝ax －ln x ，则f ′(x )＝a －1x .由导数的几何意义可得在点(1，0)处的切线的斜率为f ′(1)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.(3)函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )＝e x －a ·e －x .又f ′(x )是奇函数，所以f ′(x )＝－f ′(－x )，即e x －a ·e －x ＝－(e －x －a ·e x )，则e x (1－a )＝e －x (a －1)，所以(e 2x ＋1)(1－a )＝0，解得a ＝1.所以f ′(x )＝e x －e －x .令e x －e －x ＝32，解得e x ＝2或e x ＝－12(舍去，因为e x >0)，所以x ＝ln 2.[答案] (1)A (2)D (3)A[规律方法] (1)求曲线切线方程的步骤：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点：①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．2.(1)(2015·广东肇庆模拟)若曲线y ＝32x 2＋x －12的某一切线与直线y ＝4x ＋3平行，则切线方程为________．(2)(2015·云南省调研)函数f (x )＝ln （2x ＋3）－2x 2x 的图象在点(－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：(1)设切点为(x 0，y 0)，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 0＋1，3x 0＋1＝4⇒x 0＝1.又y 0＝32x 20＋x 0－12＝2，则切点为(1，2)，故切线的方程为y －2＝4(x －1)⇒y ＝4x －2.(2)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫22x ＋3－4x x －[ln （2x ＋3）－2x 2]x 2＝2x2x ＋3－ln （2x ＋3）－2x 2x 2，则f ′(－1)＝－4，故该切线方程为y ＝－4x －2，切线在x ，y 轴上的截距分别为－12，－2，故所求三角形的面积为12.答案：(1)y ＝4x －2 (2)12,[学生用书P 42])交汇创新——导数与线性规划的交汇(2013·高考江苏卷)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．[解析] 由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A (12，0)，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是[－2，12]．[答案] [－2，12][名师点评] (1)本题以y ＝x 2在x ＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x ＋2y 的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇．(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用． (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．(2015·湖北武汉高三月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 015x 1＋log 2 015x 2＋…＋log 2 015x 2 014的值为________．解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.∴x 1·x 2·…·x 2 014＝12×23×34×…×2 0132 014×2 0142 015＝12 015.则log 2 015x 1＋log 2 015x 2＋…＋log 2 015x 2 014 ＝log 2 015(x 1·x 2·…·x 2 014)＝log 2 01512 015＝－1. 答案：－11．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1 D ．1解析：选B.∵y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ， ∴y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2015·河南郑州第一次质量预测)已知曲线y ＝x 22－3ln x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12 解析：选A.设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0， 由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2，∴x 0＝3.3．已知f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C.由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2解析：选A.∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1，故选A.5．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3D ．不确定解析：选C.依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6，f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x )>0，∴f (x )＝cos x ＋x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，又－π2<－π3<π3<π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3.6．函数y ＝sin x x 的导数为________．解析：y ′＝（sin x ）′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin xx 2.答案：x cos x －sin xx 27．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________． 解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8 8．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 解析：设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P 点坐标为(1，1)．∴点P 到直线y ＝x －2的距离d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.答案： 29．求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ； (2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3；(3)y ＝ln2x －12x ＋1. 解：(1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝x n －1(n lg x ＋1ln 10)． (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＋⎝⎛⎭⎫2x 2′＋⎝⎛⎭⎫1x 3′ ＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′ ＝－x －2－4x －3－3x －4＝－1x 2－4x 3－3x4.(3)y ′＝[ln(2x －1)－ln(2x ＋1)]′ ＝[ln(2x －1)]′－[ln(2x ＋1)]′ ＝12x －1(2x －1)′－12x ＋1(2x ＋1)′ ＝22x －1－22x ＋1 ＝44x 2－1. 10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， ∴当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过⎝⎛⎭⎫2，53， 斜率k ＝－1，∴斜率最小的切线方程为x ＋y －113＝0.(2)由(1)得k ≥－1， ∴tan α≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.1．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－23C.73D ．－13或53解析：选D.∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除．若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0.∴a＝－1，∴f (－1)＝－13.2．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1(x ∈[1，2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，2B.⎝⎛⎭⎫32，134 C.⎝⎛⎭⎫52，134D.⎝⎛⎭⎫52，2解析：选B.设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1，2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1.设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S普通梯形＝g （1）＋g （2）2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134，∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大． 3．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 016⎝⎛⎭⎫π2＝________．解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0， ∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 016⎝⎛⎭⎫π2＝504⎣⎡⎦⎤f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：0 4．(2015·浙江宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＜0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x (x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．答案：①②③5．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.6．(选做题)已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a ＞0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值．并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有：曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，得y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0.曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)，得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以两条切线不是同一条直线．。
2013届高考数学一轮复习课时检测 第二章 第十一节 变化率与导数 理
第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算一、选择题1.(2012·新田模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：由导数的几何意义可知，f ′(2)、f ′(3)分别表示曲线在x ＝2，x ＝3处的切线的斜率，而f (3)－f (2)表示直线AB 的斜率，即k AB ＝f (3)－f (2)．由图形可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)． 答案：B2．(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15解析：y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.答案：C3．(2011·湖南高考)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.22解析：y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin x sin x ＋cos x 2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：∵y ′＝2ax ，∴y ′|x ＝1＝2a .即y ＝ax 2在点(1，a )处的切线斜率为2a .直线2x －y －6＝0的斜率为2.∵这两直线平行，∴它们的斜率相等，即2a ＝2，解得a ＝1.答案：A5．(2012·泰安模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0.由2x 0－1x 0＝1，得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.答案：B6．(2011·湖北高考)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln2太贝克C ．150ln2 太贝克D ．150太贝克解析：因为M ′(t )＝－130M 0230t-·ln2，所以M ′(30)＝－160M 0ln2＝－10ln2.所以M 0＝600.所以M (t )＝600×230t-.所以M (60)＝600×2－2＝150(太贝克)．答案：D 二、填空题7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)， 则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.答案：－48．(2012·启东模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax －4(a ∈R)，若函数y ＝f (x )的图象在点P (1，f (1))处的切线的倾斜角为π4，则a ＝________.解析：f ′(x )＝－3x 2＋a ，y ＝f (x )的图象在点P 处的切线的倾斜角为π4，即f ′(1)＝tan π4，∴－3＋a ＝1，解得a ＝4. 答案：49．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有解． 又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，∴方程5ax 4＋1x＝0有解．∴5ax 5＝－1有解． 又∵x >0，∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 三、解答题10．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)法一：y ′＝e x ＋1′e x －1－e x ＋1e x －1′e x －12＝e x e x －1－e x ＋1e x e x －12＝－2e x e x－12.法二：∵y ＝e x －1＋2e x －1＝1＋2e x －1，∴y ′＝1′＋(2e x －1)′，即y ′＝－2exe x －12.11．已知曲线f (x )＝12e 2x －1在点A 处的切线和曲线g (x )＝12e －2x －1在点B 处切线互相垂直，O 为坐标原点且OA ·OB＝0，求△AOB 的面积．解：f ′(x )＝12e 2x －1·(2x －1)′＝e 2x －1，g ′(x )＝12e －2x －1·(－2x －1)′＝－e －2x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴＝y 12112x e-，y 2＝22112x e --，f ′(x 1)＝121xe -，g ′(x 2)＝221xe ---，∴x 1－x 2＝1，x 1x 2＝－14，∴x 1＝12x 2＝－12，∴y 1＝12y 2＝12，∴OA ＝22，OB ＝22， 即A (12，12)，B (－12，12)．∵OA ·OB＝0， ∴OA ⊥OB ，∴S △AOB ＝12×22×22＝14.12．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)． (1)求过点P 的切线方程；(2)求证：与曲线S 切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)的切线与S 至少有两个交点． 解：(1)设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0－x 30. 又f ′(x )＝3－3x 2，∴切线斜率k ＝y 0－2x 0－2＝3－3x 20. 即3x 0－x 30－2＝(x 0－2)(3－3x 20)． ∴(x 0－1)[(x 0－1)2－3]＝0. 解得x 0＝1或x 0＝1± 3.相应的斜率k ＝0或k ＝－9±63，∴切线方程为y ＝2或y ＝(－9±63)(x －2)＋2.(2)证明：与曲线S切于点(x0，y0)的切线方程可设为y－y0＝(3－3x20)(x－x0)，与曲线S的方程联立，消去y，得3x－x3－y0＝3(1－x20)·(x－x0)，即3x－x3－(3x0－x30)＝3(1－x20)(x－x0)．即(x－x0)2(x＋2x0)＝0，则x＝x0或x＝－2x0，因此，与曲线S切于点(x0，y0)(x0≠0)的切线，与S至少有两个交点。
高考数学 2.11变化率与导数、导数的计算课时体能训练
【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 2.11变化率与导数、导数的计算课时体能训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) (A)y ＝2x ＋1 (B)y ＝2x －1(C)y ＝－2x －3 (D)y ＝－2x －22.(2012·宁波模拟)若f(x)＝2xf′(1)＋x 2，则f′(0)等于( )(A)2 (B)0 (C)－2 (D)－43.y ＝sinx ＋tcosx 在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1，则t 等于( )(A)1 (B)2 (C)－1 (D)04.(预测题)已知函数f(x)＝xlnx.若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f(x)相切，则直线l 的方程为( )(A)x ＋y －1＝0 (B)x －y －1＝0(C)x ＋y ＋1＝0 (D)x －y ＋1＝05.(2012·杭州模拟)已知点P 在曲线y ＝x 4e 1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )(A)[0，π4) (B)[π4，π2) (C)(π2，3π4] (D)[3π4，π) 6.已知函数f(x)＝(1－a x)e x (x ＞0)，其中e 为自然对数的底数.当a ＝2时，则曲线y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的面积为( )(A)e (B)2e (C)3e (D)4e二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·哈尔滨模拟)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2 012＝4，函数f(x)＝x(x －a 1)(x －a 2)…(x－a 2 012)，则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为 .8.若函数f(x)＝4lnx ，点P(x ，y)在曲线y ＝f′(x )上运动，作PM⊥x 轴，垂足为M ，则△POM(O 为坐标原点)的周长的最小值为 .9.函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知函数f(x)满足如下条件：当x∈(－1,1]时，f(x)＝ln(x ＋1)，且对任意x∈R，都有f(x ＋2)＝2f(x)＋1.(1)求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求当x∈(2k－1,2k ＋1]，k∈N *时，函数f(x)的解析式.11.(易错题)函数f(x)＝ae x ，g(x)＝lnx －lna ，其中a 为常数，且函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此时平行线的距离.【探究创新】(16分)已知曲线C n ：y ＝nx 2，点P n (x n ，y n )(x n ＞0，y n ＞0)是曲线C n 上的点(n ＝1,2，…).(1)试写出曲线C n 在点P n 处的切线l n 的方程，并求出l n 与y 轴的交点Q n 的坐标；(2)若原点O(0,0)到l n 的距离与线段P n Q n 的长度之比取得最大值，试求点P n 的坐标(x n ，y n ).答案解析1.【解析】选A.因为y ′＝22(x 2)+，所以，在点(－1，－1)处的切线斜率k ＝ y ′|x ＝－1＝22(12)-+＝2，所以，切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1，故选A. 2.【解题指南】对f(x)求导时要注意到f ′(1)为常数，先求出f ′(1)，再求f ′(0).【解析】选D.f ′(x)＝2f ′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.3.【解析】选A.∵y ′＝cosx －tsinx ，当x ＝0时，y ＝t ，y ′＝1，∴切线方程为y ＝x ＋t ，比较可得t ＝1.4.【解析】选B.f ′(x)＝lnx ＋1，x ＞0，设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0lnx 0，切线的斜率为lnx 0＋1，所以lnx 0＋1＝00y 1x +，解得x 0＝1，y 0＝0，所以直线l 的方程为x －y －1＝0. 5.【解析】选D.∵y ＝x 4e 1+， ∴y ′＝x xx 2x 2x 4e 4e (e 1)(e )2e 1--=+++ ＝x x x x411e 22e 2e e ≥+++g ＝－1. 当且仅当x x1e =e ，即x ＝0时，“＝”成立. 又y ′＜0，∴－1≤y ′＜0.∵倾斜角为α，则－1≤tan α＜0，又α∈[0，π)，∴3π4≤α＜π，故选D. 6.【解析】选B.f ′(x)＝22x ax a x-+e x ， 当a ＝2时，f ′(x)＝22x 2x 2x -+e x ， f ′(1)＝21221-+×e 1＝e ，f(1)＝－e ，所以曲线y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y ＝ex －2e ，切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0，－2e)，所以，所求面积为12×2×|－2e|＝2e. 7.【解析】f ′(x)＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 2 012)＋x ·(x －a 2)(x －a 3)…(x －a 2 012)＋x(x －a 1)(x －a 3)…(x －a 2 012)＋…＋x(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 2 011)，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)…(－a 2 012)＝(a 1a 2 012)1 006＝22 012， ∴切线方程为y ＝22 012x. 答案：y ＝22 012x【变式备选】已知函数f(x)＝x ，g(x)＝alnx ，a ∈R.若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程.【解析】f ′(x)＝12x ，g ′(x)＝a x (x ＞0)，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝alnx 12x ＝a x ，解得a ＝12e ，x ＝e 2.∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e ， 所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)， 即x －2ey ＋e 2＝0.8.【解析】f ′(x)＝4x (x>0)，∴P(x ，4x )，M(x,0)， ∴△P OM 的周长为x ＋4x ＋224x ()x≥24＋216＝4＋22(当且仅当x ＝2时取得等号). 答案：4＋2 29.【解析】由y ＝x 2(x>0)，得y ′＝2x ，所以函数y ＝x 2(x>0)在点(a k ，a k 2)处的切线方程为：y －a k 2＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝k a ,2所以a k ＋1＝k a 2，a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 答案：2110.【解析】 (1)x ∈(－1,1]时，f(x)＝ln(x ＋1)，f ′(x)＝1x ＋1， 所以，函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y －f(0)＝f ′(0)(x －0)，即y ＝x.(2)因为f(x ＋2)＝2f(x)＋1，所以，当x ∈(2k －1，2k ＋1]，k ∈N *时，x －2k ∈(－1,1]，f(x)＝2f(x －2)＋1＝22f(x －4)＋2＋1＝23f(x －6)＋22＋2＋1＝…＝2k f(x －2k)＋2k －1＋2k －2＋…＋2＋1 ＝2k ln(x －2k ＋1)＋2k －1.11.【解析】f ′(x )＝ae x ，g ′(x)＝1x，y ＝f(x)的图象与坐标轴的交点为(0，a)，y ＝g(x)的图象与坐标轴的交点为(a,0)，由题意得f ′(0)＝g ′(a)，即a ＝1a. 又∵a ＞0，∴a ＝1.∴f(x)＝e x，g(x)＝lnx ，∴函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线方程分别为：x －y ＋1＝0，x －y －1＝0，∴两平行切线间的距离为 2.【方法技巧】求曲线的切线方程求曲线的切线方程，一般有两种情况：(1)求曲线y ＝f(x)在(x 0，f(x 0))处的切线，此时曲线斜率为f ′(x 0)，利用点斜式可得切线方程为y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)求曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，此时需要设出切点A(x A ，y A )，表示出切线方程，再把P(x 0，y 0)的坐标代入切线方程，解得x A ，进而写出切线方程.【变式备选】已知函数f(x)＝(x －a)2(x －b)(a ，b ∈R ，a ＜b).(1)当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程.(2)设x 1，x 2是f ′(x)＝0的两个根，x 3是f(x)的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2. 证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后成等差数列，并求x 4.【解析】(1)当a ＝1，b ＝2时，f(x)＝(x －1)2(x －2)，因为f ′(x)＝(x －1)(3x －5)，故f ′(2)＝1，f(2)＝0，所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2.(2)因为f ′(x)＝3(x －a)(x －a ＋2b 3)，由于a<b ，故a<a ＋2b 3.所以f(x)的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b 3.不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b 3，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f(x)的零点，故x 3＝b.又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3)，所以x 1，x 4，x 2，x 3成等差数列.所以x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b 3.【探究创新】【解析】(1)∵y ′＝2nx ，∴y ′|n x x ＝＝2nx n ，切线l n 的方程为：y －n ·x n 2＝2nx n (x －x n ).即：2nx n ·x －y －n ·x n 2＝0，令x ＝0，得y ＝－nx n 2，∴Q n (0，－nx n 2).(2)设原点到l n 的距离为d ，则d22=|P n Q n |所以n n 22n n n n n |x |n|x |d 1|P Q |14n x 21|2n x |4=≤=+g g g , 当且仅当1＝4n 2x n 2，即x n 2＝214n (x n ＞0)时，等号成立，此时，x n ＝12n ，所以，P n (12n ，14n ).。
高考数学一轮复习第二章第十一节变化率与导数的概念、导数的运算课时作业文(含解析)
第十一节变化率与导数的概念、导数的运算题号 123456答案(1 , f(1))处的切线斜率为()A. 2 B 1 C. 1 D . — 2则y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线斜率为—1. 答案：B2. (2013 •淄博模拟)已知函数f(x) = ax 2 + 3x — 2在点(2 , f(2))处的切线斜率为7,则 实数a 的值为()A.— 1 B . 1C.± 1 D . — 2解析: f ' (x) = 2ax + 3,依题意 f ' (2) = 7,即 4a + 3 = 7,得 a = 1,故选 B. 答案：B1 3.已知物体的运动方程是 s = 3t 3— 6t 2+ 32t(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为30的时刻是()A. 2秒或4秒B . 2秒或16秒 C. 8秒或16秒D . 4秒或8秒解析：瞬时速度v = s '= t 2— 12t + 32，令v = 0可得t = 4或t = 8.故选D. 答案：D4. (2014 •合肥模拟)若 f(x) = 2xf ' (1) + x 2，贝U f ' (0)等于( )A. 2 B . 0 C.— 2 D . — 4解析：f ' (x) = 2f ' (1) + 2x ,令 x = 1，则 f ' (1) = 2f ' (1) + 2,得 f ' (1) =— 2, 所以 f ' (0) = 2f ' (1 ) + 0=— 4. 答案：D点评：本题在对f(x)求导时易出错，原因是不能将2f '⑴ 看成x 的系数.1.设f(x)为可导函数,且满足lim X f 0(1)— f (1—2x )=—1,则曲线y = f(x)在点解析：limx f0f (1)— f (1 — 2x )2xlim x f0f (1 — 2x )—f (1)—2x=—1, 即y 'x =1= — 1 ,5. x21(2013 •天津河东区二模)已知曲线y= - —3ln x的一条切线的斜率为刁则切点的横坐标为()A.3 B . 2C.11 D. 2x 1解析：设切点的横坐标为x o,因为曲线y= 4 —3ln x的一条切线的斜率为？，所以y'x o 3 1 一= <)——，解得x o= 3(舍去x o= —2)，即切点的横坐标为 3.故选A.2 X o 2答案：A6. 若曲线y = x2在点(a, a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于()A. 2 B . 4C^/2 D.萌解析：T点(a , a2)在曲线y= x2上，y'= 2x,切线的斜率为k = y'| x=a= 2a,切线方程为y—a = 2a(x —a).令x= 0，得y i = —a , a 1 a3令y = 0,得x i = 2，由面积关系得2区i lly i| = 2，即4 = 2，解得a= 2.故选A.答案：A7.(2013 •江西卷)若曲线y = x" + 1( a€ R)在点(1 , 2)处的切线经过坐标原点，则a 解析：y'=ax "：贝U k =a，故切线方程y=ax过点(1 , 2)解得a = 2.答案：2& (2013 •山西太原一模)已知a€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ (a —3)x的导函数是偶函数，则曲线y = f(x)在原点处的切线方程为___________________________ .解析：f' (x) = 3x2+ 2ax + a —3，因为f' (x)是偶函数，所以该二次函数的对称轴为y 轴，所以a= 0,所以k = f ' (0) =—3，所以切线方程为y = —3x,即3x+ y = 0.答案：3x+ y= 0n n9. 已知函数f(x) = f' _______________________ — cos x + sin x，贝U f —的值为.解析：n n由题意，得f' (x) = —f' —sin x + cos x ? f' _=4 4—f'n n n —sin 一+ cos,, 4 4 42 2=2 - 1.2 1 + 2••• f(x)=( 一」2 — 1)cos x + sin x , •f4= (2— 1) cos4 +sin4 =匸答案：110. (2013 •江西卷)设函数 f(x)在(0,+^)内可导，且 f(e x ) = x + e x ，贝U f ' (1)=解析：分析：先求出函数f(x)的解析式，进而可求 f ‘ (1).解析：设 t = e x (t > 0)，则 x = In t ，故 f(t) = In t +1 , 1f ' (t) = t + 1，所以 f ' (1) = 1 + 1 = 2. 答案：211. 已知函数 f(x) = x + x —16.(1) 求曲线y = f(x)在点(2 , — 6)处的切线的方程；一 1 一(2) 如果曲线y = f(x)的某一切线与直线 y =— 4X + 3垂直，求切点坐标与切线的方程. 解析：⑴ 可判定点(2 , — 6)在曲线y = f(x) 上,因为f ' (x) = 3x 2+ 1,所以在点(2 , — 6)处的切线的斜率为 k = f ' (2) = 13.所以切线的方程为 y — ( — 6) = 13(x — 2)，即y = 13x — 32. 一 1 一(2)因为切线与直线y =— 4X + 3垂直， 所以切线的斜率 k = 4.设切点的坐标为(x o , y o )，贝U f ' (x 0) = 3x 2 + 1 = 4,x 0= 1,x 0=— 1 , 所以X 0=± 1,所以或y 0=— 14 y 0=— 18.所以切线方程为 y + 14= 4(x — 1)或y + 18= 4(x + 1), 即 y = 4x — 18 或 y = 4x — 14.3212 .已知函数 f(x) = x + (1 — a)x — a(a + 2)x + b(a , b € R). (1) 若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一3，求a , b 的值;(2) 若曲线y = f(x)存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围. 解析：f ' (x) = 3x + 2(1 — a)x — a(a + 2). f (0)= b = 0,7t(1)由题意得2f' ( 0)=—a (a + 2)=—3,解得 b = 0, a=— 3 或 a = 1.⑵因为曲线y = f(x)存在两条垂直于y轴的切线.所以关于x的方程f' (x) = 3x2+ 2(1 —a)x —a(a + 2) = 0有两个不相等的实数根, 所以△= 4(1 —a)2+ 12a(a + 2) >0,21即4a + 4a+ 1 >0,所以a^—，+ 1 1所以a的取值范围为—a, — 2 U —2, .。
高考数学一轮复习 第十一节变化率与导数的计算课件 新人教版
4.(文)能利用给出的基本初等函数的导数公式(gōngshì)和导 数
的四则运算法则求简单函数的导数. (理)能利用给出的基本初等函数的导数公式(gōngshì)和导 数
的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单 的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的 导数.
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线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二(dìèr)象限内，已知
曲线
C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为
.
第四十二页，共47页。
解析：∵y＝x3－10x＋3，∴y′＝3x2－10. 由题意，设切点(qiēdiǎn)P的横坐标为x0，且x0<0， 即 －10＝2，∴ ＝4，∴x0＝－2， ∴y0＝ －10x0＋3＝15. 故点P的坐标为(－2,15).
1.导数的概念
(1)函数f(x)从x1到x2的平均(píngjūn)变化率
函数f(x)从x1到x2的平均(píngjūn)变化率
为
，
若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均(píngjūn)变化率可
表示 为
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(2)f(x)在x＝x0处的导数(dǎo shù)
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
[自主(zìzhǔ)体验]
已知f(x)＝
＋4x，则f′(1)＝
.
解析：因为f(x)＝
＋4x，所以(suǒyǐ)f′(x)＝－
因此f′(1)＝－
＋4，解得f′(1)＝2.
答案(dá àn)：2
＋4，
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1.一质点(zhìdiǎn)沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位
高考数学总复习 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算课件 新人教A版
1．在曲线 y＝x2＋1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1
＋Δx,2＋Δy)，则ΔΔxy为( )
A．Δx＋Δ1x＋2
B．Δx－Δ1x－2
C．Δx＋2
D．2＋Δx－Δ1x
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解析：Δy＝(1＋Δx)2＋1－12－1＝(Δx)2＋2Δx， ∴ΔΔyx＝Δx＋2. 答案(dáàn)：C
)
A．y＝x－2
B．y＝－3x＋2
C．y＝2x－3
D．y＝－2x＋1
解析：y′＝x－x－2－22x＝－x－222，故 y′|x＝1＝－2，因此
所求切线方程为 y－(－1)＝－2(x－1)，即 y＝－2x＋1.
答案：D
第十七页，共55页。
4．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行(píngxíng)于直线y ＝3x，则点P的坐标为________．
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一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化 为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数(duìshù hán shù)的 求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函 数公式转化为和或差的形式．
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对较复杂的函数求导时，应先化简再求导， 特别是对数函数真数(zhēn shù)是分式或根式时，可运用对数的运 算性质转化真数(zhēn shù)为有理式或整式求解更为方便．
【互动探究】
若将本例改为“利用导数的定义求函数
y＝
1 的导 x
数”，结果如何？
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解：∵Δy＝
x＋1 Δx－
1＝ x
x－ x＋Δx x2＋x·Δx
＝
－Δx x2＋x·Δx x＋
2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_10变化率与导数、导数的计算课件文新人教A版
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝__a_xl_n_a__
f′(x)＝__e_x_
1 f′(x)＝__x_l_n__a
1 f′(x)＝__x___
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
．
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
．
f′xgx－fxg′x
(3)gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0)．
4．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1 中 n≠0
且 n∈Q*，(cos x)′＝－sin x.
(3)函数f(x)的导函数 fx＋Δx－fx
称函数f′(x)＝__Δl_ixm→_0_______Δ_x________为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式 原函数
f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝_α_x_α_－_1___ f′(x)＝_c_o_s_x___ f′(x)＝_－__s_i_n_x__
，即 x0＋a＝1.
又 y0＝ln (x0＋a)，所以 y0＝0，则 x0＝－1，所以 a＝2.
[答案] B
名师点拨 导数几何意义的应用及解法 (1)已知切点 A(x0，f(x0))求斜率 k，即求该点处的导数值 f′(x0)＝k； (2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k； (3)已知过某点 M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x0，f(x0))， 利用 k＝fxx11－ －fx0x0求解．
高考数学二轮复习 211 变化率与导数、导数的计算课件 理 新人教
(3)∵y＝－sinx2－cosx2＝12sin x，
∴y′＝12sin x′＝12(sin x)′＝12cos x；
(4)y＝1－1
x＋1＋1
x＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
∴y′＝(1－2 x)′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
(5)法一：设 y＝log2u，u＝3x＋1， 则 y′x＝y′u·u′x＝ul1n2·3＝3x＋31ln2. 法二：y′＝[log2(3x＋1)]′ ＝3x＋11ln2·(3x＋1)′＝3x＋31ln2. (6)y′＝[a3xcos(2x＋1)]′ ＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x·[cos(2x＋1)]′ ＝a3x·lna·(3x)′cos(2x＋1)＋a3x·[－sin(2x＋1)]·(2x＋1)′ ＝3a3xlna·cos(2x＋1)－2a3x·sin(2x＋1) ＝a3x[3lna·cos(2x＋1)－2sin(2x＋1)]．
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。
•2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
•3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。
•4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。
•5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。
3．(1)若曲线 y＝
在点
围成的三角形的面积为 18，则 a＝(
A．64
B．32
C．16
D．8
处的切线与两个坐标轴 )
∴与坐标轴围成的三角形面积为 S△＝12×3a× ∴a＝64，选 A. 答案：A
＝18.
(2)(2011 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f(x) ＝ex(x＞0)的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M， 过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于 N.设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是________．
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一、选择题1．(2011湖南高考)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12C ．－22D.22解析：y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x 2＝11＋sin 2x，所以＝11＋sinπ2＝12. 答案：B2．(2012临沂质检)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab为( )A.13B.23 C ．－23D ．－13解析：由y ＝x 3，得y ′＝3x 2，即该曲线在点P (1,1)的切线的斜率为3.由3×a b＝－1，得a b ＝－13. 答案：D3．(2012安徽“江南十校”联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋2， ∴f ′(1)＝－2. 答案：B4．(2011大纲全国高考)曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1 解析：由题意得：y ′＝(e －2x＋1)′＝e－2x(－2x )′＝－2e－2x，则在点(0,2)处的切线斜率为k ＝－2e 0＝－2，∴切线方程为：y ＝－2x ＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得C (23，23)．∴与y ＝0和y ＝x 围成三角形的面积为：S △OBC ＝12OB ×23＝12×1×23＝13.答案：A5．下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13B ．－13 C.53D ．－53解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∵a ≠0， ∴其图象为最右侧的一个．由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1. 由导函数f ′(x )的图象可知，a <0， 故a ＝－1，f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：B6．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1、x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)解析：由题意得f ′(x )＝ax ＋x ≥2a ，当且仅当a x＝x ， 即x ＝a 时取等号，所以f x 1－f x 2x 1－x 2>f ′(x )min ＝2a ≥2，∴a ≥1. 答案：D 二、填空题7．(金榜预测) 如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝______，f ′(5)＝______.解析：∵切线与y ＝f (x )交于点P (5，y 0)， ∴y 0＝－5＋8＝3.由导数的几何意义知f ′(5)＝－1. 答案：3 －18．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ＝x 3－10x ＋3，∴y ′＝3x 2－10.由题意，设切点P 的横坐标为x 0，且x 0＜0， 即3x 20－10＝2，∴x 20＝4，∴x 0＝－2， ∴y 0＝x 30－10x 0＋3＝15. 故点P 的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15) 三、解答题9．(理用)已知f (x )是二次函数，f ′(x )是它的导函数，且对任意的x ∈R ，f ′(x )＝f (x ＋1)＋x 2恒成立．(1)求f (x )的解析式；(2)设t >0，曲线C ：y ＝f (x )在点P (t ，f (t ))处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为S (t )．求S (t )的最小值．解析：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (其中a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＋c .由已知得，2ax ＋b ＝(a ＋1)x 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝02a ＋b ＝2a a ＋b ＋c ＝b，解得a ＝－1，b ＝0，c ＝1，∴f (x )＝－x 2＋1.(2)由(1)得，P 点坐标为(t,1－t 2)，切线l 的斜率k ＝f ′(t )＝－2t . ∴切线l 的方程为y －(1－t 2)＝－2t (x －t )， 即y ＝－2tx ＋t 2＋1.从而可知l 与x 轴的交点为A (t 2＋12t ，0)，l 与y 轴的交点为B (0，t 2＋1)，∴S (t )＝t 2＋124t(其中t >0)．∴S ′(t )＝t 2＋13t ＋13t －14t2.当0<t <33时，S ′(t )<0，S (t )是减函数； 当t >33时，S ′(t )>0，S (t )是增函数． ∴S (t )min ＝S (33)＝439. 9．(文用)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．解：(1)f ′(x )＝a －1x ＋b2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3a －12＋b 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94b ＝－83.由a ，b ∈Z ， 故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点(x 0，x 0＋1x 0－1)． 由f ′(x 0)＝1－1x 0－12知，过此点的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝[1－1x 0－12](x －x 0)．令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为(1，x 0＋1x 0－1)．令y ＝x 得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)． 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12|x 0＋1x 0－1－1|·|2x 0－1－1|＝12|2x 0－1||2x 0－2|＝2. ∴所围三角形的面积为定值2.10．(理用)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6a x －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0， 即3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)∵直线m 恒过定点(0,9)，先求直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)，∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将点(0,9)代入，得x 0＝±1， 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，即有x ＝－1或x ＝2， 当x ＝－1时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 当x ＝2时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9. ∴公切线是y ＝9.又有f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12，∴x ＝0或x ＝1. 当x ＝0时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 当x ＝1时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10， ∴公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述公切线是y ＝9，此时k ＝0.10．(文用)设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，通过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1.①y 1＝－x 21＋92x 1－4.②①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0，得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0， 解得x ＝92或x ＝2.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为(92，－4)．。