高三文科数学小综合专题练习--应用问题
高考专题高三文科数学总复习专项强化训练(三)数列的综合应用.doc
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1.设{a n},{b n}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是( )A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6【解析】选A.设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,由题可得d=-1,q=,于是a2=3>b2=2,故选A.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得所以==2++.当x,y同号时,+≥2;当x,y异号时,+≤-2.所以的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).答案:(-∞,0]∪[4,+∞)2.已知数列{a n},{b n}满足a1=1,且a n,a n+1是函数f(x)=x2-b n x+2n的两个零点,则b10等于( )A.24B.32C.48D.64【解析】选D.依题意有a n a n+1=2n,所以a n+1a n+2=2n+1.两式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又因为a n+a n+1=b n,所以b10=a10+a11=64.3.设{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值【解析】选C.因为{a n}是等差数列,所以S n=n2+n.因为S5<S6,S6=S7>S8,所以S n关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d<0,S6与S7均为S n的最大值,S9<S5,a7=S7-S6=0,故选C.4.(2015·北京模拟)已知函数f(x)=把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( )A.a n=,n∈N*B.a n=n(n-1),n∈N*C.a n=n-1,n∈N*D.a n=2n-2,n∈N*【解析】选C.当x≤0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x>0时,若x=n,n∈N*,则f(n)=f(n-1)+1=…=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=…=f(x-[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表x的整数部分, 由f(x)=x得f(x-[x]-1)=x-[x]-1,其中-1<x-[x]-1<0,没有这样的x. 所以g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,…,通项a n=n-1,故选C.【加固训练】定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足:a n=(n ∈N*),若对任意正整数n,都有a n≥a k(k∈N*)成立,则a k的值为( ) A. B.2 C.1 D.4【解析】选 A.a n=,==,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,a n+1>a n,故数列{a n}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故a k的值为.5.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(n∈N*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( )A.600天B.800天C.1000天D.1200天【解析】选B.由第n天的维修保养费为(n∈N*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=++,当且仅当=时取得最小值,此时n=800,故选B. 【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A.1和20B.9和10C.9和11D.10和11【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑的距离的和是S=10(i-1)+10(i-2)+…+10(i-i)+10[(i+1)-i]+…+10(20-i)=10+=10(i2-21i+210).所以当i=10或11时,S有最小值.二、填空题6.(2015·镇江模拟)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=lg x n,则a1+a2+…+a99的值为.【解析】因为y=x n+1(n∈N*),所以y′=(n+1)x n(n∈N*),所以y′|x=1=n+1, 所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=,所以x n=,所以a n=lgx n=lg=lg n-lg(n+1),所以a1+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+…+(lg99-lg100) =lg1-lg100=-2.答案:-27.某厂生产微机,原计划第一季度每月增产台数相同,在生产过程中,实际二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产微机台.【解析】原计划第一季度三个月分别生产a 1,a 1+d,a 1+2d 台微机,现在实际上生产了a 1,a 1+d+10,a 1+2d+25台.由题意得211d 20d 5a 1000,a d 70,⎧+-+=⎨=+⎩解得1d 10,a 80,=⎧⎨=⎩故第一季度实际生产微机台数是3a 1+3d+35=305. 答案:3058.数列{a n }的前n 项和为S n ,若数列{a n }的各项按如下规律排列: ,,,,,,,,,,…,,,…,,…,有如下运算和结论:①a 24=;②数列a 1,a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9+a 10,…是等比数列; ③数列a 1,a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9+a 10,…的前n 项和为T n =;④若存在正整数k,使S k <10,S k+1≥10,则a k =.其中正确的结论有 .(将你认为正确的结论的序号都填上) 【解析】依题意,将数列{a n }中的项依次按分母相同的项分成一组,第n 组中的数的规律是:第n 组中的数共有n 个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n 组中的各数和等于=, 对于①,注意到21=<24<=28,因此数列{a n }中的第24项应是第7组中的第3个数,即a 24=,因此①正确. 对于②③,设b n 为②③中的数列的通项,则b n ==,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n 项和等于×=,因此②不正确,③正确.对于④,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的a k应是第6组中的第5个数,即a k=,因此④正确.综上所述,其中正确的结论有①③④.答案:①③④三、解答题9.(2014·天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n,证明:若a n<b n,则s<t.【解析】(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+2x2+4x3,x i∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i=1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+（a n-1-b n-1）q n-2+（a n-b n）q n-1≤（q-1）+（q-1）q+…+（q-1）q n-2-q n-1所以,s<t.10.(2015·洛阳模拟)在数列{a n}中,a1=-5,a2=-2,记A(n)=a1+a2+…+a n,B(n)=a2+a3+…+a n+1,C(n)=a3+a4+…+a n+2(n∈N*),若对于任意n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)求数列{|a n|}的前n项和.【解析】(1)根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列, 所以A(n)+C(n)=2B(n),整理得a n+2-a n+1=a2-a1=-2+5=3.所以数列{a n}是首项为-5,公差为3的等差数列,所以a n=-5+3(n-1)=3n-8.(2)|a n|=3n8,n2,3n8,n3,-+≤⎧⎨-≥⎩记数列{|a n|}的前n项和为S n.当n≤2时,S n==-+n;当n≥3时,S n=7+=-n+14,【加固训练】已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式.(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和.【解析】(1)设等差数列的公差为d,根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1,进而得a1a3=-8,即(a2-d)(a2+d)=-8,所以1-d2=-8,解得d=±3.当d=3时,a1+3=-1,得a1=-4,此时a n=-4+(n-1)×3=3n-7;当d=-3时,a1-3=-1,得a1=2,此时a n=2+(n-1)×(-3)=-3n+5.所以{a n}的通项公式为a n=3n-7或a n=-3n+5.(2)d=3时,a2=-1,a3=2,a1=-4,此时a2,a3,a1成等比数列;当d=-3时,a2=-1,a3=-4,a1=2,此时a2,a3,a1不是等比数列,故a n=3n-7,这个数列的第一、二两项为负值,从第三项开始为正值.方法一:当n≤2时,|a n|=7-3n,这是一个首项为4,公差为-3的等差数列,故S n=4n+×(-3)=-+;当n>2时,|a n|=a n=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列,故S n=|a1|+|a2|+a3+a4+…+a n=(4+1)+[2+5+…+(3n-7)]=5+=-+10.所以S n=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为S n=方法二:设数列{a n}的前n项和为T n,则T n==-.由于n≤2时,|a n|=-a n,所以此时S n=-T n=-+;当n>2时,S n=(-a1-a2)+(a3+a4+…+a n)=-T2+(T n-T2)=T n-2T2=-+10.所以S n=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为S n=11.已知{a n}是由正数组成的数列,a1=1且点(,a n+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b1=1,b n+1=b n+n a2,求证:b n·b n+2<+1.【解题提示】(1)由点在函数图象上即可得出a n+1与a n的关系,从而可写出通项公式.(2)结合(1)找出b n+1与b n的关系式,从而可得b n,然后利用作差法比较大小.【解析】(1)由已知,得a n+1=a n+1,得a n+1-a n=1,又a1=1,所以数列{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列.故a n=1+(n-1)×1=n.(2)由(1),知a n=n,从而b n+1-b n=2n.b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.因为b n·b n+2-+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1)=-5·2n+4·2n=-2n<0,所以b n·b n+2<+1.【方法技巧】数列与函数的综合一般体现在两个方面:(1)以数列的特征量n,a n,S n等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系.(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.【加固训练】已知数列{a n}的前n项和为S n,对一切正整数n,点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点P n(n,S n)的切线的斜率为k n.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设Q={x|x=k n,n∈N*},R={x|x=2a n,n∈N*},等差数列{c n}的任一项c n ∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,110<c10<115,求{c n}的通项公式. 【解析】(1)因为点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,所以S n=n2+2n(n∈N*).当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n+1.(2)因为Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*},所以Q∩R=R.又因为c n∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,所以c1=6,因为{c n}的公差是4的倍数,所以c10=4m+6(m∈N*).又因为110<c10<115,所以,解得m=27,所以c10=114,设等差数列{c n}的公差为d,则d===12,所以c n=6+(n-1)×12=12n-6,所以{c n}的通项公式为c n=12n-6.12.已知数列{a n}中,a1=2,a2=3,其前n项和S n满足S n+2+S n=2S n+1+1(n∈N*);数列{b n}中,b1=a1,b n+1=4b n+6(n∈N*).(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.(2)设c n=b n+2+(-1)n-1λ·n a2(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有c n+1>c n成立.【解题提示】【解析】(1)由已知,得S n+2-S n+1-(S n+1-S n)=1,所以a n+2-a n+1=1(n≥1).又a2-a1=1,所以数列{a n}是以a1=2为首项,1为公差的等差数列.所以a n=n+1.又b n+1+2=4(b n+2),所以{b n+2}是以4为首项,4为公比的等比数列.所以b n=4n-2.(2)由(1)知a n=n+1,b n=4n-2,则c n=4n+(-1)n-1λ·2n+1,要使c n+1>c n成立,需c n+1-c n=4n+1-4n+(-1)nλ·2n+2-(-1)n-1λ·2n+1>0恒成立,即3·4n-3λ(-1)n-12n+1>0恒成立,所以(-1)n-1λ<2n-1恒成立.①当n为奇数时,即λ<2n-1恒成立,当且仅当n=1时,2n-1有最小值1,所以λ<1;②当n为偶数时,即λ>-2n-1恒成立,当且仅当n=2时,-2n-1有最大值-2,所以λ>-2.结合①②可知-2<λ<1,又λ为非零整数,则λ=-1.故存在λ=-1,使得对任意n∈N*,都有c n+1>c n成立.【误区警示】遇到式子中含有(-1)n的问题时要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论,本题的易错点就是忘掉对n的奇偶性的讨论. 【加固训练】已知等差数列{a n}的公差为2,其前n项和S n=pn2+2n(n∈N*).(1)求p的值及a n.(2)若b n=,记数列{b n}的前n项和为T n,求使T n>成立的最小正整数n的值.【解题提示】【解析】(1)方法一:因为{a n}是公差为2的等差数列,所以S n=na1+d=na1+×2=n2+(a1-1)n.又由已知S n=pn2+2n,所以p=1,a1-1=2,所以a1=3,所以a n=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,a n=2n+1.方法二:由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,所以a2=3p+2.又此等差数列的公差为2,所以a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以a n=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,a n=2n+1.方法三:由已知a1=S1=p+2,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2, 所以a2=3p+2,由已知a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以a n=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,a n=2n+1.(2)由(1)知b n==-,所以T n=b1+b2+b3+…+b n=+++…+=1-=.因为T n>,所以>,所以20n>18n+9,即n>,又n∈N*,所以使T n>成立的最小正整数n=5.13.某工厂年初用98万元购买一台新设备,第一年设备维修及燃料、动力消耗(称为设备的低劣化)的总费用12万元,以后每年都增加4万元,新设备每年可给工厂收益50万元.(1)工厂第几年开始获利?(2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:①年平均获利最大时,以26万元出售该设备;②总纯收入获利最大时,以8万元出售该设备.问哪种方案对工厂合算?【解析】(1)由题设每年费用是以12为首项,4为公差的等差数列,设第n年时累计的纯收入为f(n).所以f(n)=50n-[12+16+…+(4n+8)]-98=40n-2n2-98.获利即为:f(n)>0,所以40n-2n2-98>0⇒n2-20n+49<0⇒10-<n<10+,又n∈N,所以n=3,4,5, (17)所以当n=3时,即第3年开始获利.(2)①年平均收入==40-2（n+）≤40-4=12(万元),当且仅当n=,即n=7时等号成立.即年平均收益最大时,总收益为:12×7+26=110(万元),此时n=7.②f(n)=-2(n-10)2+102,所以当n=10时,f(n)max=102,总收益为102+8=110万元,此时n=10.比较两种方案,总收益均为110万元,但第一种方案需7年,第二种方案需10年,故选择第一种方案.【加固训练】有一种零存整取的储蓄项目,在每月某日存入一笔相同金额,这是零存;到期可以提出全部本金和利息,这是整取,它的本利和公式如下:本利和=每期存入的金额×[存期+×存期×(存期+1)×利率].(1)试解释这个本利和公式.(2)若每月初存入100元,月利率为5.1%,到第12个月底的本利和是多少?(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1%,希望到第12个月底取得本利和2000元,那么每月初应存入多少?【解析】(1)设每期存入的金额为A,每期利率为P,存期为n,则各期的利息之和为nAP+(n-1)AP+…+2AP+AP=,所以本利和为nA+=A(元).(2)到第12个月底的本利和为100=1597.8(元).(3)设每月初应存入x元,则有x=2000,解得x≈125.2.所以每月初应存入125.2元.关闭Word文档返回原板块。
【全国百强校】江苏省南通中学高三高考小题专题复习数学练习：综合运用
南通中学数学高考小题专题复习练习综合运用考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束。
将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（共12题，每题5分）1、设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中 元素的个数为 ________．2、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．3、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤， 若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ________．4、1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有_______个5、定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧-=101s gn x 000<=>x x x ，则不等式：x x x s g n )12(2->+的解集是________．6、满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 ________．7、若不等式的值等于则实数的解集为a x a x x ],5,4[4|8|2-≤+-________．8、已知集合2{|320}A x ax x x R =-+=∈至多有一个元素，则a 的取值范围________． 若至少有一个元素，则a 的取值范围________．9、设[]x 表示不超过x 的最大整数(例[5、5]=5,[－5、5]=－6),则不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为10、 记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． 若Q P ⊆，正数a 的取值范围是11、已知集合2{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=，0m ≠其中,A B =且,则q 的值为________．12、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是AS ，由S的3个元素构成的所有集合中，的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}不含“孤立元”的集合共有个.南通中学数学高考小题专题复习练习题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、设命题:p 函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ．命题:q 函数()2lg 1y x ax =-+的值域为R ．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的范围．综合运用1、 12 ； 2．12； 3、 92； 4、54 ；5、3x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 6、 2 ； 7、 16提示：等价于(4)(5)0x x --≤；8、 9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ 当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ∆=-=；当A 中有0个元素时，980a ∆=-<； 当A 中有两个元素时，980a ∆=-> 9、提示：2[]5[]6x x -+≤0 ∴ 2[]3x ≤≤ ∴ 24x ≤<∴不等式2[]5[]6x x -+≤0 的解集为{}24x x ≤< 10、 a>2 提示：a>-1时，解集为P =（-1，a ）因为Q P ⊆，a>2; a<-1时，解集为P =（a ，-1）因为Q P ⊆，舍; a=-1时，解集为P = φ因为Q P ⊆，舍∴a>2 11、q=-12 12．依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：{}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共6个.13、解：若p 真，则()220140a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得12a >． 若q 真，则()240a --≥，解得2a ≤-或者2a ≥． 因为命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题， 所以命题p 和q 有且仅有一个为真．所以实数a 范围为：2a ≤-或122a <<.。
2019届高三文科数学小综合专题练习——应用题
2009届高三文科数学小综合专题练习——应用题东华高级中学赵金国老师提供1．某公司生产的品牌服装年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1．9万元，设)(x R （单位：万 元）为销售收入，根据市场调查，⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-=)10(3200)100(30110)(3x x x x x R ,其中x 是年产量（单位：千件）．（1）写出利润W 与年产量x 的函数解析式（2）年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大？2．设计一幅宣传画，要求画面面积为24840cm ，画面的宽与高的比为λ（1<λ)，画面的上、下各留cm 8 空白，左、右各留cm 5空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求]43,32[∈λ，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?3．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用)(x f 表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=).3016(,1073)1610(,59)100(,436.21.0)(2x x x x x x x f (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？(2)一个数学难题，需要55(或以上)的接受能力，上课开始30分钟内, 求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟?(3)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值(5)(10)(30)6f f f M +++=，它能高于45吗？4．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x ．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．5．某公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？6．某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；（2）该企业现已筹集到10万元资金，并准备全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？ xx图1 图27．某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图①中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图③中折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）．（1）分别写出国外市场的日销售量()f t 、国内市场的日销售量()g t 与第一批产品A 上市时间t 的关系式；（2）第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？天))天)图①图②图③8．某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件． 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的5.1倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2009年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？9．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（420<a，且a为偶数)，每人每年可创利10万140<2元．据评估，在经营条件不变的前提下，若．裁员．．x人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.1x万元，但公司需付下岗职员每人每年4万元的生活费，并且该公司正常运转情况下，所裁人数不超过50人，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？10．设某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元（a为正常数），现在决定从中分流x万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加%2x（100<x）．而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造0<产值a2.1万元．（1）若要保证第二产业的产值不减少，求x的取值范围；（2）在（1）的条件下，问应分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？11．某国由于可耕地面积少，计划从今年起的五年填湖围造一部分生产和生活用地，若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x（亩）的平方成正比，其比例系数为a，设每亩水面的年平均经济效益为b元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c元（其中c b a,,均为常数，且bc>）．（1）若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值；（2）如果填湖造地面积按每年%1的速度减少，为保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积不能超过现有水面面积的%25，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几．注：根据下列近似值进行计算：.93.099.0,94.099.0,95.099.0,96.099.0,97.099.0,98.099.0765432≈=≈≈≈≈12．某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需要走多少千米到达A 城？13．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （10<<x ），则出厂价相应提高的比例为x 7.0，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价—每辆车的投入成本）×年销售量．（1）若年销售量增加的比例为x 4.0，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（2）年销售量关于x 的函数为x x x y 则当),352(32402++-=为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？14．一根水平放置的长方形枕木的安全 负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比．（1）将此枕木翻转 90（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？15．某企业用49万元引进一条年产值25万元的生产线，为维护该生产线正常运转，第一年需要各种费用6万元，从第二年起，每年所需各种费用均比上一年增加2万元．⑴该生产线投产后第几年开始盈利（即投产以来总收入减去成本及各年所需费用之差为正值）？⑵该生产线生产若干年后，处理方案有两种：方案①：年平均盈利达到最大值时，以18万元的价格卖出； 方案②：盈利总额达到最大值时，以9万元的价格卖出．问哪一种方案较为合算？请说明理由． （14分）16．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：880312800012+-=x x y (1200≤<x )．已知甲、乙两地相距100千米． （1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？17．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为(024)t ≤≤．（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象．18．某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a 千瓦时，本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时到0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k ），即是:新增用电量=期望电价实际电价-k ,该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；（2）设0.2k a =，当电价最低定为多少时，仍可保持电力部门的收益比上年至少增长20%？19．请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？20．某城市2008年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的%6，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，根据城市规划，汽车保有量不能超过60万辆．（1）如果每年新增汽车数量控制在3万辆，汽车保有量能否达到要求？（需要说明理由）（2）在保证汽车保有量不超过60万辆的前提下，每年新增汽车数量最多为多少万辆？参考答案:1．解：⑴W=R(x)-10-1．9x=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--)10(9.13170)100(10301.83x x x x x（2）当100<<x 时，)81(1012x w -='．令9,0=='x w 当90<<x 时0>'w ，当109<<x 时，0<'w ；故9=x 处W 有唯一极大值也是最大值；当10>x 时，w 是减函数，所以年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大．2．解：设画面高为xcm ，宽为xcm λ，则48402=x λ ,设纸张面积为S ，则有160)1016()10)(16(2+++=++=x x x x S λλλ， 将λ1022=x 代入上式得)58(10445000λλ++=S , 当)185(85,58<==λλλ即时，S 取得最小值， 此时，高： cm x 884840==λ，宽： cm x 558885=⨯=λ 如果]43,32[∈λ，可设433221≤<≤λλ，则由S 的表达式得)5858(1044)()(221121λλλλλλ--+=-S S =)58)((104421121λλλλ-- 由于058,85322121>->≥λλλλ故 因此0)()(21<-λλS S ,所以)(λS 在区间［43,32］内单调递增．从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，)(λS 取得最小值 答：画面高为88要求]43,32[∈λ,当32=λ时，所用纸张面积最小．3．解：（1）0<x ≤10时，有f(x)=-0．1x 2+2．6x+43=-0．1(x-13)2+59．9故当0<x ≤10时，时，f(x)递增，最大值为f(10)=-0．1×(-3)2+59．9=59;显然，当16<x ≤30时，f(x)递减，f(x)<-3×16+107=59．因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟；(2) 依题意, 当0<x ≤10时，令f(x)≥55,则(x-13)2≤49,∴6≤x ≤10; （7分）当10<x ≤16时，f(x)=59符合要求；（8分）当16<x ≤30时，令f(x)≥55,则x ≤1731 因此，学生达到（或超过）55的接受能力的时间为1731－6＝1131 (分钟)；(3)f(5)=53．5, f(10)=59, f(15)=59, f(20)=47，f(25)=32, f(30)=17所以M=6173********.53+++++≈44．6<45． 故知平均值不能高于45．4．解: (1)改进工艺后，每件产品的销售价为()201x +，月平均销售量为()21a x -件，则月平均利润()()2120115y a x x =-⋅+-⎡⎤⎣⎦（元）， ∴y 与x 的函数关系式为()235144y a x x x =+-- ()01x << ．(2)由()2542120y a x x '=--=得112x =，23x =-（舍）, 当102x <<时0y '>；112x <<时0y '<， ∴函数()235144y a x x x =+-- ()01x <<在12x =取得最大值． 故改进工艺后，产品的销售价为12012⎛⎫+ ⎪⎝⎭30=元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．5．解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得 3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥ 目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥l作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． ………………8分如图：作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，． ∴点M 的坐标为(100200)，． max 30002000700000z x y ∴=+=（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．6．（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为)(x f 万元，B 产品的利润为)(x g 万元，由题设x k x f 1)(=，x k x g 2)(=，由图知41)1(=f ，411=∴k ，又25)4(=g ，452=∴k ， 从而：)0(41)(≥=x x x f ，)0(45)(≥=x x x g …………………（5分）（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入x -10万元，设企业利润为y 万元 则x x x g x f y -+=-+=10454)10()(，100≤≤∴x 令t x =-10，则1665)25(414541022+--=+-=t t t y )100(≤≤t ， 当25=t 时，062541665max ⋅==y （万元），此时75342510⋅=-=x ∴当A 产品投入753⋅万元，B 产品投入256⋅万元时，企业获得最大利润为06254⋅万元．7．解：（1）2,030,()6240,3040.t t f t t t ⎧=⎨-+<⎩≤≤≤ ………………………………………2分 23()6,040.20g t t t t =-+≤≤……………………………………………4分（2）每件产品A 的销售利润()h t 与上市时间t 的关系为3,020,()60,2040.t t h t t ⎧=⎨<⎩≤≤≤……………………………………………………5分设这家公司的日销售利润为(),F t 则22233(62),020203()[()()]()60(62),203020360(66240),304020t t t t t F t f t g t h t t t t t t t t t ⎧-++⎪⎪=+=-++<⎨⎪⎪-+-+<⎩≤≤≤≤ 22233(8),020,20360(8),2030,20360(240),3040.20t t t t t t t t t ⎧-+⎪⎪=-+<⎨⎪⎪-+<⎩≤≤≤≤…………………7分当020t ≤≤时，22727()48(48)0,2020F t t t t t '=-+=-≥ 故()F t 在[0,20]上单调递增，此时()F t 的最大值是(20)60006300;F =<当2030t <≤时，令2360(8)6300,20t t -+>解得70303t <<； 当3040t <≤时，2233()60(240)60(30240)63002020F t t =-+<-⨯+=． 答：第一批产品A 上市后，在第24,25,26,27,28,29天，这家公司的日销售利润超过6300元．8．解：（1）由题意可知，当0=m 时，1=x ，∴13k =-即2=k ， ∴231x m =-+，每件产品的销售价格为8161.5x x+⨯元． ∴2009年的利润)168(]1685.1[m x xx x y ++-+⨯= m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(116[≥++++-=m m m （2）∵0m ≥时，16(1)81m m ++≥=+． ∴82921y ≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =时，max 21y =． 答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．9．解：，设裁员x （x 050x N *(,]∈∈）人，可获得的经济效益为y 万元，则y 2a x 1001x 4x ()(.)=-+-21x 2a 70x 20a 10[()]=---+x 050x N *(,]∈∈当0a 705070a 120x a 70y ,,,<-≤<≤=-即时取到最大值；当a 7050120a 210x 50y ,,,-><<=即时取到最大值；答：当 70a 120<?时，公司应裁员a 70-人，经济效益取到最大值 当120a 210<<，公司应裁员50人， 经济效益取到最大值10．（1）由题意，得⎩⎨⎧≥+-<<a a x x x 100%)21)(100(1000 …………3分50005010002≤<⇒⎩⎨⎧≤-<<⇒x x x x …………6分（2）设该市第二、三产业的总产值增加)500)((≤<x x f 万元，则(],60)(,50,)(,50,010]3025)55[(50)110(502.1100%)21)(100()(max 22a x f x x f x x a x x a axa a x x x f ==∴∈---=--=+-+-=时单调递增时分 即应分流出50万人才能使该市第二、三产业的总产值增加最多11．解：填湖面积 填湖及排水设备费 水面经济收益 填湖造地后收益x （亩） ax 2（元） bx cx（1）收益不小于支出的各件可以表示为bx ax cx +≥2，所以.0)]([,0)(2≤--≤-+b c ax x x c b ax …………3分分亩为此时所填面积的最大值时又显然7.,0,0 ab c a b c x b c a --≤≤∴>> （2）设该地现在水面m 亩，今年填湖造地y 亩，,25.0%)11(%)11(%)11(%)11(432m y y y y y ≤-+-+-+-+则 …………9分 即..20,499.01)99.01(5m y m y ≤≤--所以 因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的.201 …………12分12．解：根据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB 中，由余弦定理得： 71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β， 734cos 1sin 2=-=ββ． ()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α()β+︒-︒-︒=18060180sin()143523712173460sin cos 60cos sin 60sin =⨯+⨯=︒-︒=︒-=βββ．……9分在△ACD 中，由正弦定理得：1514352321143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=αA CD AD ． 答：此人还得走15千米到达A 城．…………12分13．解：（1）由题意得：上年度的利润的150005000)1013(=⨯-万元； 本年度每辆车的投入成本为)1(10x +⨯万元；本年度每辆车的出厂价为)7.01(13x +⨯万元；本年度年销售量为).4.01(5000x +⨯ ………………2分因此本年度的利润为分则上年度有所增加为使本年度的年利润比所以解得由分6.650,,.650,1500015000150018004).10(1500015001800)4.01(5000)9.03()4.01(5000)]1(10)7.01(13[22 <<<<>++-<<++-=+⨯⨯-=+⨯⨯+⨯-+⨯=x x x x x x x x x x x x y（2）本年度的利润为).55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f ………………7分则).3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2--=+-⨯='x x x x x f由3,95,0)(==='x x x f 或解得（舍去）． …………9分分万元最大利润为本年度的年利润最大时所以当取得最大值时当是减函数时当是增函数时当12.20000,,95.20000)95()(,)(,95.)(,0)(,)1,95(;)(,0)(,)95,0(max ====∴<'∈>'∈x f x f x f x x f x f x x f x f x14．解：（1）安全负荷221lad k y ⋅=（k 为正常数），翻转90︒后，222l da k y ⋅=． ∵a d y y =21， ∴当0<d<a 时，21y y <，安全负荷变大；当0<a<d 时，12y y <，安全负荷变小；当d=a 时，21y y =，安全负荷不变．（2）设截取的宽为a ，高为d ，则222)2(R d a =+，即22244R d a =+． ∵枕木长度不变，∴2ad u =最大时，安全负荷最大．u(a)=a(R 2－14a 2)， u' = 34a 2－R 2 ， 令u'=0，则a= 2 3 3R 时，u 最大，即安全负荷最大．15．⑴设这条生产线投产后第n 年开始盈利，设盈利为y 万元，则 y ＝25n －()162492n n n -⎡⎤+⨯-⎢⎥⎣⎦＝－n 2＋20n －49 由y ＝－n 2＋20n －49＞0得 10n＜10 ∵n ∈N * ∴n ＝3时，即该生产线投产后第三年开始盈利．⑵方案①：年平均盈利为4920y n n n =--+≤-20＝6 （万元） 当n ＝7时，年平均盈利最大，若此时卖出，共获利6×7＋18＝60（万元）方案②：y ＝－n 2＋20n －49＝―（n ―10）2＋51当且仅当n ＝10时，即该生产线投产后第10年盈利总额最大，若此时卖出，共获利51＋9＝60万元因为两种方案获利相等，但方案②所需的时间长，所以方案①较合算．16解：（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时， 要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17．5升．（2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()h x 升， 依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤ 332280080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤ 令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11．25升．17．（1）设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨．则4006024)y t t =+-≤≤令x =；则26x t =且012x ≤≤，224001012010(6)40(012)y x x x x ∴=+-=-+≤≤∴当6x =，即6t =时，min 40y =即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．（2）依题意24001012080x x +-<，得212320x x -+<，解得48x <<，即83248,33t <<<<； 即由328833-=，所以每天终有8小l 时供水紧张．18．解：（1）设下调后的电价为x 元/千瓦时，依题意知用电量增至0.4k a x +-，电力部门的收益为 ()()0.30.550.750.4k y a x x x ⎛⎫=+⋅-≤≤ ⎪-⎝⎭（2）依题意有 ()[]0.20.3(0.80.3)(10.2)0.40.550.75a x a x x ⎧⎛⎫⋅-≥⨯-⋅+⎪ ⎪-⎝⎭⎨⎪≤≤⎩解得：0.600.75x ≤≤答：当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．19．解：设1OO 为xm ,则由题设可得正六棱锥底面边长为=m ）于是底面正六边形的面积为（单位：2m ）2262)x x ==+- 帐篷的体积为（单位：m 3）231()2)(1)112)232V x x x x x x ⎡⎤=+--+=+-⎢⎥⎣⎦求导数，得2()3)V x x '=- 令()0V x '=解得2-=x (不合题意，舍去),2=x ．当21<<x 时，()0V x '>,V(x)为增函数；当2<x<4时，()0V x '<,V(x)为减函数．所以当2=x 时,V(x)最大．答当1OO 为m 2时，帐篷的体积最大．20．解：设2008年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012 对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b +++++⨯=+x b n n06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+=(1)当3=x 万辆时，150200.9430n n b -=-⨯≤则每年新增汽车数量控制在3万辆时，汽车保有量能达到要求．(2)如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ 3,2,1=n ） 则1110.94300.946010.94n n x ---⨯+≤-， 即1111.8(20.94)11.8(1)10.9410.94n n n x ---⨯-≤=⨯+--． 对于任意正整数n ，1111.8(1) 3.610.94x -≤⨯+=- 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，6.3≤x （万辆）． 答：若每年新增汽车数量控制在3万辆时，汽车保有量能达到要求；每年新增汽车不应超过3．6万辆，则汽车保有量定能达到要求．。
高三文科数学综合练习题
高三文科数学综合练习题一、选择题1. 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图象开口朝上，且顶点坐标为 (1, 2)，则下列选项中可能是函数的表达式是：A) y = x^2 + 4x + 3B) y = -x^2 - 2x + 1C) y = -x^2 - 4x - 3D) y = x^2 - 2x - 12. 若集合 A = {2, 4, 6, 8, 10}，集合 B = {1, 3, 5, 7, 9}，则下列选项中正确的是：A) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}B) A ∩ B = { }C) A - B = {2, 4, 6, 8, 10}D) B - A = {1, 3, 5, 7, 9}3. 在坐标平面上，直线 L1 的斜率为 3，直线 L2 过点 (2, 4) 且与直线 L1 垂直，则直线 L2 的斜率为：A) -1/3B) -3C) 1/3D) 34. 若一元二次方程 x^2 - 5x + k 的两个解互为相反数，则实数 k 的取值范围是：A) k ≤ 5/4B) k ≥ 5/4C) k ≤ -5/4D) k ≥ -5/45. 若直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，则其斜边的长为：A) 5B) 6C) 7D) 8二、填空题1. 解方程组{ 2x - 3y = 7{ 3x + y = 11得到的解为 x = __ ，y = __。
2. 在算术数列 {a_n} 中，已知 a_1 = 2，a_4 = 8，则公差 d = __ 。
3. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 4，求 f(-1) = __ 。
4. 已知向量 a = 2i + 3j，b = -i + 4j，则 3a - 2b = __ 。
5. 已知概率 P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，事件 A 与事件 B 相互独立，则事件 "A 并 B" 发生的概率为 __ 。
高三下学期综合训练题二(文数)
D．不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直
9．若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
10．在 中， ，则 的形状为
（）
A．直角三角形B．正三角形
C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形
14．等比数列 =。
15．经过圆 上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，则线段PQ中点的轨迹方程为
。
16．已知A、B、C是△ABC的三个内角，若
，则角C的大上为。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知函数
（I）求函数 的最大值及对应的x的取值集合；
故椭圆C的方程为 ………………4分
（II）设
则A、B坐标是方程组 的解。
消去 ，则
，………………7分
所以k的取值范围是 ………………12分
22．解：（I）
…………3分
调递减区间为 ………………6分
（II）由 ，
故a的取值范围是 ……………………12分
4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DD1的中点，则AA1与平面AEF所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
5．记函数 的取值范围是（）
A．（0，1）B．
C． D．
6．已知c、d为非充要条件D．既不充分也不必要条件
19．本小题满分12分
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=1，AB= ，BC= ，AA1= 。
（I）求证：A1B⊥B1C；
（II）求二面角A1—B1C—B的大小。
专题03：临考强化文科数学小题综合提分专练(解析版)
专题03：临考强化文科数学小题综合提分专练（解析版）一、单选题1．已知集合{}2823A x x x =-<-，{}2430B x x x =-+<，则A B =（ ）A ．()1,2B ．()2,3C ．(),3-∞D ．()1,3【答案】C 【分析】解出集合A 、B ，利用并集的定义可求得集合A B .【详解】{}{}()2823510,2A x x x x x =-<-=<=-∞，{}()24301,3B x x x =-+<=，因此，(),3A B ⋃=-∞. 故选：C. 2．已知复数2iz i i=++(i 为虚数单位)，则z =（ ）A ．BC 1D【答案】B 【分析】根据复数运算整理得到1755z i =+，由模长运算可求得结果. 【详解】()()()22117222555i i i i z i i i i i i i -+=+=+=+=+++-，z ∴==故选：B.3．勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明．相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理．我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”．西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理．毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……，如设勾为21n （1,2,3,4,5,n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅），则弦为（ ） A ．2221n n -+ B ．241n + C ．222n n + D ．2221n n ++【答案】D 【分析】设设斜边为x ，则股为1x -，根据勾股定理即可得结果. 【详解】依题意设斜边为x ，则股为1x -，∴()()222211x n x =++-，解得2221x n n =++， 故选：D ．4．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】B 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B. 【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 5．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．73B ．143C ．3D ．6【答案】A 【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.7．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题. 8．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D 【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->； 当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．9．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ）A B C D【答案】D 【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值． 【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．10．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则（ ） A ．a <0 B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C 【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为4，焦距为过椭圆C 的上端点B 作圆222x y +=的两条切线，与椭圆C 分别交于另外两点M ，N .则BNM 的面积为（ ） A ．6 B ．14425C ．125D ．152【答案】B 【分析】根据椭圆的短轴长为4，焦距为22，求得椭圆方程，再设直线BN 的方程，利用直线与圆相切，求得直线方程，与椭圆方程联立，求得M ，N 的坐标即可. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为4，焦距为22，22,2,6b c a ===，所以椭圆方程为22164x y +=，如图所示：设直线BN 的方程为2y kx =+， 则原点到直线BN 的距离为21d k=+，又因为直线BN 与圆222x y +=相切， 221k=+1k =±，则直线BN 的方程为2y x =-+，由222164y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即122,55N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 同理求得122,55M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以BNM 的面积为112421442225525S MN BD ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯+= ⎪⎝⎭，故选：B12．已知ln 0(),0xe xf x x ⎧-<⎪=≥，若方程1()02f x x b --=有两个不相等的实根，则实数b 的取值范围是（ ）A ．1[0,)2B ．12ln 2(,)22-C ．2ln 2[0,)2- D ．2ln 2(,)2-+∞ 【答案】C 【分析】转化为1ln 012()()12,02x e x x g x f x x x x ⎧--<⎪⎪=-=≥的图象与y b =有两个不同的交点，利用导数研究函数()g x 的性质，作出函数()g x 的图象，根据图象可得结果. 【详解】令1012()()12,02x e x x g x f x x x x ⎧--<⎪⎪=-=≥，当0x <时，1()ln 2xg x e x =--1()2x g x e '=-， 由()0g x '<，得1ln ln 22x <=-，由()0g x '>，得ln 20x -<<， 当0x ≥时，1()2g x x =，1()2g x '=， 由()0g x '<，得1x >，由()0g x '>，得01x <<，所以()g x 在(,ln 2)-∞-上递减，在(ln 2,0)-上递增，在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，又ln 211(ln 2)(ln 2)22g e--=-⨯--=，1(1)2g =，作出函数()g x 的图象如图：因为方程1()02f x x b --=有两个不相等的实根， 所以()yg x =的图象与y b =有两个不同的交点， 由图可知，012b ≤<-2ln 22-=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题13．已知向量()1,a x =，(),4b x =，则当2a =时，b =___________. 19【分析】由模的坐标运算求得x 值，再求b ． 【详解】由已知2212a x =+=，解得3x =± 所以21631619b x =+=+=1914．甲､乙两人下棋，甲获胜的概率为15，和棋的概率为12，则乙不输的概率为___________.【答案】45 【分析】 乙不输即是乙获胜或甲乙和棋，由互斥事件概率加法公式可求. 【详解】 解：记“甲获胜”为事件A ，记“和棋”为事件B ，记“乙获胜”为事件C ，则()()()()()11113,,11525210P A P B P C P A P B ===--=--=， 所以，乙不输的概率为：()()()1342105P P B C P B P C ==+=+=. 故答案为：45. 15．三棱锥A BCD -的一条棱长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为___________.【答案】53π 【分析】首先分析线面间的关系，得到平面ABC ⊥平面BCD 时，三棱锥A BCD -的体积最大，得到此时6AD 2=，接着确定球心的位置，根据勾股定理及线面间的关系，最后获得外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】解：由题意画出三棱锥的图形，其中1AB BC CD BD AC =====，AD a =.取BC ，AD 的中点分别为E ，F ，可知AE BC ⊥，DE BC ⊥，且AEDE E =，∴BC ⊥平面AED ，∴平面ABC ⊥平面BCD 时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时AD a ====设三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，由球体的对称性知，球心O 在线段EF 上，∴OA OC R ==，又4EF ===，设OF x OE x ==-，，在三角形AOF 中：222221R ()x 2AD OF =+=+⎝⎭,在三角形OEC 中：2222211R ()x 22OE BC ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴222221442R x x ⎛⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得x =.∴球的半径R 满足2225R 12=+=⎝⎭⎝⎭，∴三棱锥外接球的表面积为25544123R πππ=⨯=. 故答案为：53π. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16．已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R ωωωω=+->∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有极值点，则ω的取值范围是___________. 【答案】3370,,16816⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】由题设得())24f x x πω=-，根据区间内没有极值点，应用整体代入法列不等式得183216k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩或387216k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩且102ω<≤，即可求ω的范围. 【详解】()21111(sin )sin 2sin 2cos 2)222224f x x x x x x πωωωωω=+-=-=-， ∴(),2x ∈ππ上2(2,4)444x πππωωπωπ-∈--，()f x 没有极值点， ∴22422442k k πππππωπωππ-≤-<-≤+或322422442k k πππππωπωππ+≤-<-≤+， ∴183216k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩或387216k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，而4(2)244x x ππωωωππ---=≤且0>ω得：102ω<≤， ∴0k =，3016ω<≤或37816ω≤≤. 故答案为：3370,,16816⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换化简函数式，由区间内不存在极值点列不等式组求参数范围.。
高考文科数学应用性问题复习
专题九；高考文科数学应用性问题复习（文科）考点回顾 一、经典例题剖析例1（07重庆文）用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架；要求长方体的长与宽之比为2；1；问该长方体的长、宽、高各为多少时；其体积最大？最大体积是多少？分析；本例考查了函数模型在实际问题中的应用以及导数法求最值。
解析；设长方体的宽为x （m ）；则长为2x(m)；高为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=230(m)35.441218＜＜x x xh .故长方体的体积为).230()(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='令V ′（x ）＝0；解得x=0（舍去）或x=1；因此x=1.当0＜x ＜1时；V ′（x ）＞0；当1＜x ＜32时；V ′（x ）＜0；故在x=1处V （x ）取得极大值；并且这个极大值就是V （x ）的最大值。
从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3）；此时长方体的长为2 m ；高为1.5 m.答；当长方体的长为2 m 时；宽为1 m ；高为1.5 m 时；体积最大；最大体积为3 m 3。
点评；审清题意；理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。
例2(07湖北文)某商品每件成本9元；售价为30元；每星期卖出432件；如果降低价格；销售量可以增加；且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位；元；030x ≤≤）的平方成正比；已知商品单价降低2元时；一星期多卖出24件．（I ）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；（II ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？分析；本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识；考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．解析；（Ⅰ）设商品降价x 元；则多卖的商品数为2kx ；若记商品在一个星期的获利为()f x ； 则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+；又由已知条件；2242k =·；于是有6k =；所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，． （Ⅱ）根据（Ⅰ）；我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---．故12x =时；()f x 达到极大值．因为(0)9072f =；(12)11264f =；所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大．点评；准确进行导数运算；掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键。
高考数学(文科)大二轮总复习：小题综合限时练5 Word版含解析
限时练(五)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知集合A ＝{x | lg(x ＋1)≤0}，集合B ＝{x |2x ≤1}，则A ∩B ＝( )． A ．{x |－1＜x ≤1} B ．{x |x ≤0} C ．{x |－1＜x ≤0}D ．{x |x ≤1}解析 集合A ＝{x | lg(x ＋1)≤0}＝(－1,0]，集合B ＝{x |2x ≤1}＝(－∞，0]，则A ∩B ＝(－1,0]． 答案 C 2．已知复数z ＝2i1＋i，则z ·z ＝( )． A ．1－i B ．2 C ．1＋iD ．0解析 z ＝2i1＋i ＝1＋i ，则z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2.答案 B3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2，a 5是方程2x 2－3x －2＝0的两个根，S 6＝( )． A.92 B ．5 C ．－92D ．－5解析 由根与系数的关系可知a 2＋a 5＝32，由等差数列的性质知a 2＋a 5＝a 1＋a 6，根据等差数列的求和公式得S 6＝6(a 1＋a 6)2＝92.答案 A4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )．A．3 B．4C．5 D．6解析按照程序框图中的赋值语句要求将几次循环结果计算得出，通过判断语句，知每次运算依次为1×1＋1＝2,2×2＋1＝5,3×5＋1＝16,4×16＋1＝65，当i＝4时，计算结果为a＝65＞50，此时输出i＝4.答案 B5．下列选项中，说法正确的是()．A．“∃x0∈R，x20－x0≤0”的否定是“∃x∈R，x2－x＞0”B．若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角C．若am2≤bm2，则a≤bD．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件解析特称命题的否定是全称命题，选项A中“存在x0”的否定应该是“任意的x0”，所以A错误；当两向量共线反向时，数量积也是负值，所以B错误；C选项忽略了m＝0的情况，错误；命题“p∨q为真”分为三种情况，p真q 假；q真p假；p和q都真；而p∧q为真是p和q都真，所以显而易见选项D 正确．答案 D6．已知平面向量a＝(1,2)，a·b＝10，|a＋b|＝53，则|b|＝()．A．5 2 B．25C．3 2 D．2 5解析|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝5 3.解得|b|＝5 2.答案 A7．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin ωx的图象，则只要将f (x )的图象( )．A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度解析 根据函数图象先确定参数值，由图象知函数周期为π，故ω＝2，图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，则2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，故φ＝π3.根据图象平移的规律，可知f (x )的图象向右平移π6可得到g (x )的图象． 答案 B8．设a ＝log 2.83.1，b ＝log πe ，c ＝log e π，则( )． A ．a ＜c ＜b B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析 易知0＜b ＜1,1＜a ＝log 2.83.1＜log 2.8π，又1＞log π2.8＞log πe ＞0， ∴1＜log 2.8π＜log e π＝c ， ∴1＜a ＜c ，∴b ＜a ＜c . 答案 C9．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x ，则y ＝f (x )的图象大致为( )．解析f(x)＝x2＋2x＋1－2x＝(x＋1)2－2x，令g(x)＝(x＋1)2，h(x)＝2x，则f(x)＝g(x)－h(x)，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)与h(x)的图象共有三个交点，其横坐标从小到大依次设为x1，x2，x3，在区间(－∞，x1)上有g(x)＞h(x)，即f(x)＞0；在区间(x1，x2)上有g(x)＜h(x)，即f(x)＜0；在区间(x2，x3)上有g(x)＞h(x)，即f(x)＞0；在区间(x3，＋∞)上有g(x)＜h(x)，即f(x)＜0.答案 A10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()．A.x29－y216＝1 B.x24－y23＝1 C.x216－y29＝1 D.x23－y24＝1解析如图所示PF1⊥PF2，故圆的半径为5，|F1F2|＝10，又ba＝43，∴a＝3，b＝4.答案 A二、填空题11．在△ABC中，若2sin A＝sin C，a＝b，则角A＝________.解析根据正弦定理，可将条件化为c＝2a，又b＝a，根据余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝22，A＝π4.答案 π412．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的准线相切，则a ＝______. 解析 抛物线的准线方程为y ＝－14a ，圆的方程可转化为(x －3)2＋y 2＝16，圆与准线相切，可得到14a ＝4，解得a ＝116. 答案 11613．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析 根据三视图，可知原几何体是一个棱长分别为2、2、1的长方体和一个横放的直三棱柱的组合体，三棱柱底面是一个直角边分别为1、1的直角三角形，高是2，所以几何体体积易求得是V ＝2×2×1＋12×1×1×2＝5. 答案 514．已知变量x ，y 的值如表所示：如果y 与x 线性相关且回归直线方程为y ^＝b ^x＋72，则b^＝________.解析 根据所给的三对数据，得到x ＝2＋3＋43＝3，y ＝5＋4＋63＝5，∴这组数据的样本中心点是(3,5)，∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5＝3b ^＋72，∴b^＝12. 答案 1215.定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )＜1，则b ＋1a ＋2的取值范围是________．解析 根据导函数图象可知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (2a ＋b )＜1＝f (4)，所以依题意可得到⎩⎨⎧2a ＋b ＜4，a ＞0，b ＞0，画出a ，b 的可行域，则所求b ＋1a ＋2可看作点(a ，b )与(－2，－1)连线斜率，画图易知答案．答案 (14，52)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三文科数学小综合专题练习——应用问题一、选择题1. 某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍.10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数是A.640B.1280C.2560D.51202. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区的时间为A.5.0小时B.1小时C.5.1小时D.2小时 3. 客车从甲地以h km 60的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以h km 80的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间的关系图象中，正确的是4. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t 时刻，两车的位置相同D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面5. 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t （分钟）与打出电话费s （元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差A.10B.20C.30D.340二、填空题6. 某人向东走了x 千米，然后向右转0120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好tOB As 50 100 15013千米，那么x 的值是___________.7. 里氏震级M 的计算公式为：0lg lg A A M -=,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅是001.0，则此次地震的震级为_________;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍.8. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价 （单位：元/千瓦时）低谷月用电量 （单位：千瓦时） 低谷电价 （单位：元/千瓦时）50及以下的部分 568.0 50及以下的部分 288.0 超过50至200的部分 598.0 超过50至200的部分318.0超过200的部分 668.0 超过200的部分 388.0若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9．有一批材料可以建成m 200的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大 面积为________．(围墙厚度不计)10．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增00x ，八月份销售额比七月份递增00x ，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________． 三、解答题11. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的C B A ,,三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求DEF ∠的余弦值。
12．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为80004852+-=x x y ，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？13.某地上年度电价为8.0元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至55.0元～75.0元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与)4.0(-x 元成反比例．又当65.0=x 时，8.0=y . (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为3.0元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加0020？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]14. 假设某市2008年新建住房400万平方米，其 中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长008. 另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面 积的比例首次大于0085？（参考数据：59.108.1,47.108.1,36.108.1654≈≈≈)15. 某市2008年共有1万辆燃油型公交车,有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加0050,试问: (1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车?(2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？(48.03lg ,30.02lg ,82.2657lg ===)16. 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 的北偏西030且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。
假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.⑴ 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？⑵ 为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；⑶ 是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由.17. 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x +万元。
假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。
⑴ 试写出y 关于x 的函数关系式；⑵ 当640=m 米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？18. 两县城A 和B 相距km 20，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在半圆弧AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为065.0. ⑴ 将y 表示成x 的函数；⑵ 讨论中函数的单调性，并判断弧半圆弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。
参考答案一、选择题1.B2.B3.C4.A5.A 二、填空题6.4；7.10000,6；8.4.148；9.22500m ； 10.20. 三、解答题11.解：作//DM AC 交BE 于N ，交CF 于M ．22223017010198DF MF DM =+=+=， 222250120130DE DN EN =+=+=，2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=． ．．．．．．6分在DEF ∆中，由余弦定理2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯.12.解 (1)每吨平均成本为xy(万元)．则32488000524880005=-⋅≥-+=x x x x x y ，当且仅当xx 80005=，即200=x 时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为)(x R 万元，则)2100( 1680)200(5180004854040)(22≤≤+--=-+-=-=x x x x x y x x R .)(x R 在]210,0[上是增函数，210=∴x 时，)(x R 有最大值为1660 1680)200(512=+--x . ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．13.解 (1)∵y 与)4.0(-x 成反比例，∴设)0( 4.0≠-=k x ky ．把8.0,65.0==y x 代入上式，得2.0=k .∴2514.02.0-=-=x x y ， 即y 与x 之间的函数关系式为251-=x y .(2)根据题意，得)201()3.08.0(1)3.0()2511(00+⨯-⨯=-⋅-+x x ．整理，得03.01.12=+-x x ，解得6.0,5.021==x x .经检验6.0,5.021==x x 都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是75.0~55.0，故5.0=x 不符合题意，应舍去．∴6.0=x . 答 当电价调至6.0元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加0020.14.解（1）设中低价房的面积形成的数列为}{n a ，由题意可知}{n a 是等差数列，其中50,2501==d a ,则n n S n a n n 22525,200502+=+=,令4750225252≥+n n ,即019092≥-+n n ,而n 是正整数，∴10≥n .因此到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列}{n b ，由题意可知}{n b 是等比数列,其中08.1,4001==q b ,则1)08.1(400-⋅=n n b .由题意可知n n b a 85.0>, 即85.0)08.1(400200501⋅⋅>+-n n .当5=n 时，5585.0b a <, 当6=n 时，6685.0b a >, 因此满足上述不等式的最小正整数n 为6. 因此到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于0085.15.解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ,其中5.1,1281==q a ,则在2015年应该投入的电力型公交车为1458617=⋅=q a a （辆）. （2）记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+n n S S ，于是50005.11)5.11(128>--=n n S （辆），即326575.1>n两边取常用对数，则32657lg 5.1lg >⋅n ，即3.72lg 3lg 2lg 5657lg ≈-->n ,又*∈N n ，因此8≥n .所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31.16.解法一：⑴设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则300)31(900)3090cos(203024009002002+-=-⋅⋅⋅-+=t t t S故31=t 时，330,310m in ==V S . 即，小艇以330海里/小时的速度航行， 相遇时小艇的航行距离最小 ⑵设小艇与轮船在B 处相遇由题意可知，)3090cos(30202)30(20)(00222-⋅⋅⋅-+=t t t V ,化简得：675)431(400900600400)(222+-=+-=t t tt V .由于)210(≤≤t ，即21≥t , 所以当1t=2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时。