高考文科数学解答题专项训练(含解析)

20XX届高考文科数学---解答题专项训练中档题满分练(一)1．(2015·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝33，sin (A＋B)＝69，ac＝23，求sin A和c的值．2．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．3.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．4．(2015·湖北高考)设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2) 当d>1时，记c n＝a nb n，求数列{c n}的前n项和T n.中档题满分练(二)1．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a ＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.(1)求函数f (x )的解析式及其对称轴方程；(2)若f (α)＝43，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π6的值．2．(2015·西安调研)对于给定数列{a n }，如果存在实常数p ，q ，使得a n ＋1＝pa n ＋q 对于任意n ∈N *都成立，我们称数列{a n }是“M 类数列”．(1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n ＝3n ，求它对应的实常数p ，q 的值；(2)若数列{c n }满足c 1＝－1，c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，求数列{c n }的通项公式，判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由．3.如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．4．某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b－)，(a，b)，(a－，b)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b－)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b)其中a，a－分别表示甲组研发成功和失败；b，b－分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．中档题满分练(三)1．已知向量a ＝(2sin x ，－cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，f (x )＝a·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．3．(2015·浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n . ①求P n ；②若16P n ＋6n 3n ≤40027成立，求n 的最大正整数值．压轴题突破练1．(2015·四川高考)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．2．(2015·北京高考)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．3．(2015·浙江高考)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1，1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1，1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，半焦距为c，B(0，1)为其上顶点，且a2，c2，b2依次成等差数列．(1)求椭圆的标准方程和离心率e；(2)P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且k BP·k BQ＝e2.(ⅰ)试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；(ⅱ)△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．参考答案中档题满分练(一)1．解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69.因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角．所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223.由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin A sin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.2．解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B －包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种． 所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89. 3．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线， 所以AA 1⊥平面ABC . 因为直线BC ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知可知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以，MD 綉12AC ，OE 綉12AC ， 因此MD 綉OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形， 则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)， 使直线DE ∥平面A 1MC .4．解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或 ⎩⎨⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.中档题满分练(二)1． 解 (1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3sin(2ωx ＋φ)(其中cos φ＝a a 2＋3，sin φ＝3a 2＋3)，由题意知：f (x )的最小正周期为π，由2π2ω＝π，知ω＝1，由f (x )最大值为2，故a 2＋3＝2，又a ＞0，∴a ＝1，则有cos φ＝12，sin φ＝32，取φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )． 故f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由f (α)＝43知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝43，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19.2．解 (1) ∵b n ＝3n ， 则b n ＋1＝3n ＋3＝b n ＋3，由“M 类数列”定义，得p ＝1，q ＝3. (2)∵c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)， ∴c n ＋1－c n ＝－2n (n ∈N *)，则c 2－c 1＝－2，c 3－c 2＝－4，c 4－c 3＝－8，… ∴c n －c n －1＝－2n －1(n ≥2)， 以上式子累加得c n ＝－(1＋2＋4＋…＋2n －1)＝1－2n (n ≥2)， 其中c 1＝－1也满足上式． 因此c n ＝1－2n (n ∈N *)，则c n ＋1＝1－2n ＋1＝2(1－2n )－1＝2c n －1， {c n }是“M 类数列”．3．(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ， 所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF . 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ， 即K 为OB 的中点． 再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ， 即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18. 4．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1， 其平均数为x －甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29. 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1， 其平均数为x －乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625.因为x －甲＞x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是 (a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )， 共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，因此f (x )的取值范围是[－3，2]．(2)依题意，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得2cos A ＝1，∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ∴4＝42－3bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4·sin π3＝ 3.2．解 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为p ＝110. 3．(1)证明 设E 为BC 的中点，连接AE ，A 1E ，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)解作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，又DE∩BC＝E，A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4.DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝7 2.所以sin ∠A1BF＝7 8.4．解 (1)依题意，a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2)， ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. 又S 4＝a 1（1－34）1－3＝80，∴a 1＝2.因此数列{a n }的通项公式a n ＝2·3n －1. (2)①由(1)知，a n ＋1＝2·3n ，依题意，d n ＝2·3n －2·3n －1n ＋1＝4·3n －1n ＋1，1d n ＝n ＋14·3n －1.∴P n ＝24×1＋34×3＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1，(*)则13P n ＝24×3＋34×32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14·3n ，(**)(*)－(**)，23P n ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋14·3n ＝12＋14·13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋14·3n ＝58－2n ＋58·3n .∴P n ＝1516－2n ＋516·3n －1.因此16P n ＋6n 3n ＝15－2n ＋53n －1＋6n 3n ＝15－153n ，解不等式15－153n ≤40027，3n ≤81，则n ≤4.所以n 的最大正整数为4.压轴题突破练1．(1)解 由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )， 所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． (2)证明 由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0， 解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2 ＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0， 于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0， 令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)， 其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)，由u ′(x )＝1－1x ≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e)＝e －2＜1， 即a 0∈(0，1)，当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0， 再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )＜0，从而f (x )＞f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而f (x )＞f (x 0)＝0；又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x ＞0，故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0，综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．2．解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1， －y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3，2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1. (3)直线BM 与直线DE 平行，理由如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1.又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)． 令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2， 直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2， 因为k BM －1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）＝0，所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE ，综上可知，直线BM 与直线DE 平行．3．解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1， 故对称轴为直线x ＝－a 2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2， 由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－32≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2， 由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0. 故b 的取值范围是[－3，9－45]．4．解 (1)由题意知b ＝1，a 2＋b 2＝2c 2，又a 2＝b 2＋c 2，解之得a 2＝3，c 2＝2，椭圆的标准方程为x 23＋y 2＝1，离心率e ＝23＝63. (2)(ⅰ)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，且P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋3y 2＝3，得(3＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－3＝0. Δ＝(2mn )2－4(3＋m 2)×(n 2－3)＝12(m 2－n 2＋3)＞0(*)⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mn 3＋m 2，y 1y 2＝n 2－33＋m 2.∵k BM ·k MN ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝e 2＝23， ∴3(y 1－1)(y 2－1)＝2x 1x 2＝2(my 1＋n )(my 2＋n )，∴(2m 2－3)y 1y 2＋(2mn ＋3)(y 1＋y 2)＋2n 2－3＝0，∴(2m 2－3)n 2－33＋m 2＋(2mn ＋3)－2mn 3＋m2＋2n 2－3＝0， 整理得n 2－2mn －3m 2＝0，∴(n －3m )(n ＋m )＝0，∴n ＝－m 或n ＝3m .所以直线PQ 的方程为x ＝my －m ＝m (y －1)(舍)或x ＝my ＋3m ＝m (y ＋3)，所以直线PQ 过定点，定点M 的坐标为(0，－3)．(ⅱ)由题意，∠PBQ ≠90°，若∠BPM ＝90°，或∠BQM ＝90°，则P 或Q 在以BM 为直径的圆T 上，即在圆x 2＋(y ＋1)2＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y ＋1）2＝4，x 2＋3y 2＝3.解之得y ＝0，或y ＝1(舍去)．因此P 或Q 只能是椭圆的左右顶点．又直线PQ 过定点M (0，－3)，∴k PQ ＝－3－00±3＝±3. 故△PBQ 可以是直角三角形，此时直线PQ 的斜率为±3.。