朱伟达——_三_向量
向量三重叉积
向量三重叉积一、向量的叉积简介向量是数学中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
向量叉积是向量运算中的一种重要操作，它不仅在数学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要作用。
叉积的运算结果是一个向量，它的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并且符合右手定则。
叉积的模长表示两个向量之间的夹角的正弦值乘以两个向量的模长的乘积。
向量叉积的几何意义十分直观，它表示了两个向量所张成的平行四边形的面积。
二、向量叉积的定义和性质2.1 定义给定两个向量A=(A x,A y,A z)和B=(B x,B y,B z)，它们的叉积定义为：A×B=(A y B z−A z B y,A z B x−A x B z,A x B y−A y B x)2.2 右手定则叉积的方向满足右手定则，即将右手从向量A的方向转向向量B的方向，这时右手的大拇指所指的方向就是叉积的方向。
2.3 叉积的模长向量叉积的模长可以使用行列式的形式表示：∥A ×B ∥=∣∣∣∣∣∣∣i j k A x A y A z B x B y B z ∣∣∣∣∣∣∣ 即：∥A ×B ∥=√(A y B z −A z B y )2+(A z B x −A x B z )2+(A x B y −A y B x )2 2.4 叉积的几何意义向量叉积的几何意义是两个向量所张成的平行四边形的面积。
设θ为两个向量的夹角，则有：∥A ×B ∥=∥A ∥⋅∥B ∥⋅sinθ三、向量三重叉积的定义和性质3.1 定义向量的三重叉积是指将三个向量进行叉积操作的过程。
给定三个向量A =(A x ,A y ,A z )，B =(B x ,B y ,B z )和C =(C x ,C y ,C z )，它们的三重叉积定义为：A ×(B ×C )3.2 三重叉积的性质向量的三重叉积具有以下性质：1.结合律：(A×B)×C=A×(B×C)2.分配律：(A+B)×C=A×C+B×C3.乘法因子：A×(B×C)=(A⋅C)B−(A⋅B)C四、向量三重叉积的应用向量三重叉积在物理学和工程学中有着广泛的应用。
三维向量叉乘运算公式 行列式
三维向量叉乘运算公式1.概述在数学和物理学中，向量是一个常见的概念，它在描述空间中的位置、速度、力等方面起着重要作用。
在三维空间中，有时需要对两个向量进行叉乘运算，以得到一个新的向量。
本文将介绍三维向量叉乘运算的公式以及其行列式表示。
2.三维向量叉乘运算公式设有两个三维向量a = [a1, a2, a3]和b = [b1, b2, b3]，它们的叉乘运算结果为一个新的向量c = [c1, c2, c3]。
其叉乘运算公式可以表示为：c1 = a2b3 - a3b2c2 = a3b1 - a1b3c3 = a1b2 - a2b13.叉乘运算的几何意义叉乘运算的结果向量c与原始向量a和b都垂直，且其方向由右手螺旋定则确定。
这意味着向量c与向量a和b组成的平行四边形的面积等于向量c的模长。
4.叉乘运算的行列式表示向量叉乘运算也可以用行列式来表示。
设有向量a和b，其叉乘运算结果向量c可以表示为以下行列式形式：| i j k || a1 a2 a3 || b1 b2 b3 |其中i、j、k分别为标准基向量，a1、a2、a3、b1、b2、b3分别为向量a和b的分量。
通过行列式展开，可以得到向量c的分量表达式，与上述叉乘运算公式相同。
5.叉乘运算的性质叉乘运算具有以下重要性质：- 叉乘运算满足分配律：a×(b+c) = a×b + a×c- 叉乘运算不满足交换律：a×b ≠ b×a- 叉乘运算结果为零的条件：当向量a与向量b共线时，它们的叉乘结果为零向量- 叉乘运算的模长与夹角关系：|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ为a和b之间的夹角6.应用领域三维向量叉乘运算在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，叉乘运算常用于求解法向量和实现多边形表面积计算；在物理学中，它被用于描述力矩和角动量等物理量。
7.结语本文介绍了三维向量叉乘运算的公式、几何意义、行列式表示和性质，以及其在实际应用中的重要性。
三维空间的向量
b a +b 图1 a 三维空间的向量 平面与直线【内容提示】 本章讨论三维空间的向量及其运算——向量加法、数乘向量以及内积，并且利用向量研究平面与直线以及它们之间的位置关系．线性代数的主要研究对象n 维向量是从三维向量的概念发展而来，因此，了解直观的三维空间有助于更好地理解抽象的n 维空间．本章中三维向量及其运算首先作为一个几何系统提出，经过空间直角坐标系建立向量的坐标后，转化为一个代数系统．这两个系统之间保持着完全的一致性，这一过程再现了人类的认识过程．对一组三维向量位置关系的讨论为下一步研究n 维向量组的线性关系提供了直观的背景材料．而平面与直线对研究线性方程组提供了直观背景．第一节 三维向量及其线性运算在中学物理中讨论过一种既有大小又有方向的量，称为矢量，例如力、速度、位移等等．在数学中这种量称为向量．物理学中的矢量大多除了大小、方向外，还与起点（或作用点等）有关，而本书中讨论的向量与起点无关，即：大小相等、方向一致的向量被认为是相等的，而无论它的起点在那里，这种向量称为自由向量．通常将向量看作一个有向线段，有向线段的长度表示向量的大小，称为向量的模（或长度），有向线段的方向表示向量的方向．以点A 为起点、点B 为终点的向量记作，有时也用粗斜体字母表示三维向量，例如a ，b ，r 等等．向量a 的模用|a |表示，||=|AB |（|AB |表示线段AB 的长度）．模为1的向量称为单位向量，模为0的向量称为零向量，通常用o 表示，零向量的方向被认为是任意的．如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量共线，向量a 与b 共线记作a //b ．零向量方向任意，因此认为零向量与任何向量共线．如果一组向量可以放到同一个平面上，则称这组向量共面．共线的向量一定共面．一、向量的线性运算1、 向量加法a ，b 是两个向量，将向量b 的起点放在向量a 的终b a +b 图2 a点，以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量称为向量a 与b 的和，记作a +b ，（见图1）．例如AC BC AB =+．称这种方法为三角形法．物理学中力的合成、位移的叠加就是向量加法的实际应用．用中学物理学中定义力的合成的平行四边形法也可以计算向量的加法，其结果是一致的．（见图2）2、数乘向量k 是个实数，a 是个向量，依照下列方法定义的向量称为k 与a 的数量乘积，记作k a ． k a 的大小依下列规定：|k a |=|k||a |；其中|k a |表示k a 的模，|k|表示k 的绝对值，|a |表示a 的模．k a 的方向遵循下列规定：若k >0，k a 与a 方向相同，若k <0，k a 与a 方向相反．若k =0，依照模与零向量的规定，k a =o ．向量加法与数乘向量合称向量的线性运算．a 1，a 2，…，a s 是一组向量，k 1，k 2，…，k s 是一组实数，k 1a 1+k 2a 2+…+k s a s 称为向量组a 1，a 2，…，a s 的一个线性组合．如果存在一组实数k 1，k 2，…，k s ，使得b =k 1a 1+k 2a 2+…+k s a s ，则称b 可以被向量组a 1，a 2，…，a s 线性表示或线性表出，其中k 1，k 2，…，k s 称为组合系数．不难验证，向量的线性运算满足下列运算法则：（1）向量加法满足交换律，即a +b =b +a ； （1）这从图2中即可看出．（2）向量加法满足结合律，即(a +b )+c =a +(b +c )； （2）三个向量的和向量是以这三个向量为三条棱的平行六面体的体对角线（对顶线），而其中两个向量的和是它们所在的侧面的对角线，再与第三条棱相加即得到体对角线，这与相加的先后顺序无关．（见图3）零向量o 在向量加法中有着特殊的地位，即：（3）对于任意向量a ，有a +o =a ； （3） 在三维空间全部向量的范围内，对于每一个向量，都一定存在一个和它大小相等，方向相反的向量，用一个数学表达式来表示，即：（4）对于任意向量a ，一定存在一个向量b ，使a +b =o ； （4） 我们称这个向量b 为向量a 的负向量，用-a 表示．（5）对于任意向量a ，1a =a ； （5）（6）k ，l 是任意两个实数，(kl ) a =k (l a ) （6）（7）(k +l ) a =k a +l a ； （7）（8）k (a +b )= k a +k b ． （8） 这八条运算法则是线性运算最基本的法则．看起来这些法则都是很显然的，有些甚至好象没必要，然而，人们通过长期实践观察，发现这八条法则每一条都是独立的，即其中任何一条都不能用逻辑手段通过其它几条推导出来，但是线性运算的全部性质都可以利用这八条图3法则推导出来，而如果缺少其中任何一条则有些性质不能通过逻辑推导出来．因此，在线性代数中，这八条法则称为线性运算公理系统，它是线性代数的理论基础．除这八条法则外，线性运算还满足下列几条主要性质：零向量的唯一性——在全部三维向量中，只存在唯一一个零向量．负向量的唯一性——任意向量只有唯一一个负向量．对于任意向量a ，0a =o ； （9） 对于任意实数k ，k o =o ； （10） 对于任意向量a ，(-1)a = -a ； （11） 如果k a =o ，那么，k =0或a =o 中至少有一个成立（称为消去律）． （12） 规定a -b =a +(-b )，因此，向量的减法不被看作是个独立的运算．不难看出，a -b 是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量．例1 用向量证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：如图，设四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O 点，因为O 点平分AC 、BD ，所以向量 =，= 又 =+，=+ 所以AB =DC （向量相等包括：长度相等，方向一致）．即：四边形ABCD 的一组对边平行且相等， ABCD 是平行四边形．从这个例子可以看出，用向量处理几何问题往往非常简练．二、向量的共线与共面定理1.1 （数轴原理）如果向量a ≠o ，那么向量b 与向量a 共线的充分必要条件是：存在唯一一个实数λ，使b =λa ．证明：由数乘向量的定义．充分性是显然的．下面证明必要性：设 b //a ，取λ满足： |λ|=ba ，当b 与a 同向时，λ=|λ|；当b 与a 反向时，λ= -|λ|．用数乘向量的定义可以验证，b =λa ．证明λ的唯一性：如果存在λ1，λ2，使λ1a =b ，λ2a =b ，则有λ1a -λ2a =o ，即(λ1-λ2) a =o （向量线性运算的基本性质7）．由消去律，因为a ≠o ，所以λ1-λ2=0，即λ1=λ2．▐这个定理也可以这样叙述：一条直线上的所有向量都可以被这条直线上的一个非零向量线性表出，并且，表示方法是唯一的．这个定理是建立数轴的理论基础．推论 向量a ，b 共线的充分必要条件是：存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a +λ2b =o证明：首先证明充分性：不妨设λ1≠0，则a =21λλ b ，因此a //b ． 证明必要性：若a ，b 都是零向量，结论成立．如果a ≠o ，由定理1.1，b =λa ，即-λa +1b =o ▐B ACD O过去我们熟悉的数轴是：在一条直线上取定一个坐标原点O 与单位长度1，直线上任意一点P 对应唯一一个实数x （称为P 点的坐标），x 的绝对值等于线段OP 的长度（或P 点到O 点的距离），当P 点在O 点右侧时x 为正，当P 点在O 点左侧时x 为负．下面我们利用定理1.1建立数轴上的点与实数的对应法则： i 是个与直线l 平行的单位向量，O 是l 上一定点，P 是直线l 上任意一点，做向量，由于与i 共线并且i ≠o ，所以存在唯一一个实数λ，使OP ＝λi ，λ即Ｐ点的坐标．（图４）不难看出，两种方法建立的直线上点与实数的对应关系是一致的．将定理1.1推广到平面，我们有定理1.2 平面上所有向量可以被这个平面上两个不共线的向量线性表出，并且表示方法是唯一的．证明：a ，b 是平面Π上两个不共线的向量，（因为零向量与任何向量共线，所以a 、b 都不会是零向量），c 是平面Π上任一向量．设c 的起点为O ，终点为P ，即c =．将a 、b 的起点放在O 点．从P 点做两条直线l 1，l 2分别平行于向量a 、b 所在直线．因为：a 、b 不共线，并且P 点在a 、b 所在的平面上，所以l 2一定与a 所在直线相交，设交点为A ；l 1一定与b 所在直线相交，设交点为B ．四边形OAPB 是平行四边形，OP 是它的对角线，c ==+．因为//a ，//b ，并且a ，b 都不是零向量．由定理1.1，存在唯一一组实数k 1，k 2，使得 c = k 1a +k 2b ．▐推论1 三向量共面的充分必要条件是：其中一个向量可以被其余向量线性表出． 证明：充分性显然．必要性：设向量a ，b ，c 共面，如果a ，b 共线，由定理1.1，结论成立．如果a ，b 不共线，由定理1.2，结论成立．推论2 三向量a ，b ，c 共面的充分必要条件是：存在不全为零的实数λ1，λ2，λ3，使 λ1a +λ2b +λ3c = o ．向量的共线与共面统称为线性相关．一般地，如果存在不全为零的实数λ1，λ2，…，λs ，使λ1a 1+λ2a 2+…+λs a s =o ，则称向量a 1，a 2，…，a s 线性相关，否则称为线性无关．不难得到一组向量线性相关的充分必要条件是：其中一个向量可以被其余向量线性表出．请读者试着证明（参考图3）：定理1.3 三维空间任意向量可以被三个不共面的向量线性表出，并且表示方法是唯一的．推论 三维空间任意四个或更多向量线性相关．Pl 1 图4l第二节向量的坐标一、空间直角坐标系在空间选定一点O作为坐标原点，以O点为起点做三条相互垂直的数轴，分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴（简称x轴，y轴，z轴），就构成一个空间直角坐标系，记这个坐标系为[O；x，y，z]．让这三条轴的排列顺序依照右手法则，即令右手拇指竖起指向Oz轴的正向，其余四指伸开指向Ox轴正向，然后旋转弯曲2指向Oy轴正向．（也可以令右手的拇指、食指、中指相互垂直，它们依次指向Ox轴、Oy 轴、Oz轴的正向），这个坐标系称为右手系．坐标系中的每两条轴确定一个平面，分别称为XOY坐标面、YOZ坐标面、XOZ坐标面．P是空间一点，过P点分别做与Ox轴、Oy轴、Oz轴垂直的平面，每个平面与坐标轴有一个交点，与Ox轴的交点对应实数a、与Oy轴的交点对应实数b、与Oz轴的交点对应实数c，则三元有序数组(a，b，c)称为P点的坐标（见图6）．空间每一个点都对应一组坐标，不同点的坐标不相同．反之，任给一个三元有序数组(a，b，c)，在Ox轴上选定实数a所对应的点，在Oy轴上选定实数b所对应的点，在Oz 轴上选定实数c所对应的点，分别过这三个点做与Ox轴、Oy轴、Oz轴垂直的平面，这三个平面两两垂直，因此，有唯一一个交点，三元有序数组(a，b，c)就是这个交点的坐标．不同的三元有序数组对应的交点也不相同．所以，在空间建立一个直角坐标系后，空间的点与它的坐标即三元有序数组(a，b，c)之间存在一一对应关系．今后我们经常记坐标为(a，b，c)的点P为P(a，b，c)．二、向量的坐标r是个向量，在空间建立直角坐标系[O；x，y，z]，将r的起点放到坐标原点O，设r 的终点为P，即r=，若P点坐标为(a，b，c)，则定义三元有序数组(a，b，c)为向量r 的坐标，记作r=(a，b，c)．（注意：向量OP的坐标与点P的坐标表示方法不同，分别为：点P(a，b，c)与向量=(a，b，c)．）以上是用通常的方法定义向量的坐标．为了进一步研究向量，下面用单位向量的观点定义向量的坐标．以空间一点O为起点，做三个相互垂直（两两垂直）的单位向量i，j，k，这三个向量的顺序符合右手法则，即构成一个空间直角坐标系，记作[O；i，j，k]，（图7）．{i，j，k }称为这个坐标系的基向量组，也叫坐标基架，简称基．由于它们相互垂直并且都是单位向量，所以称为标准正交基．将向量r 分解为三个向量OA ，OB ，OC 之和，r =++ 其中，，分别与i ，j ，k 共线，由上一节定理1.3，这个分解式是唯一的．而由上一节定理1.1，存在唯一一个三元有序数组(a ，b ，c )，使=a i ，=b j ，=c k即 r =a i +b j +c k （1） 三元有序数组(a ，b ，c )称为向量r 的坐标，记作r =(a ，b ，c ) （2）（1）式称为向量r 的分量表达式，（2）式称为向量r 的坐标表达式，其中a 、b 、c 分别称为向量r 的第一、第二、第三分量．对照图6、图7，显然对于同一个向量，两种定义是一致的．而采用第二种定义，下面我们将看到，等式r =(a ，b ，c )=a i +b j +c k （3）有着非常重要的作用．（注：点的坐标与坐标系的原点有关，而自由向量的坐标与坐标系的原点无关．事实上，用上述方法建立坐标系与定义向量的坐标并不需要坐标原点，今后我们经常记坐标系[O ；i ，j ，k ]为{i ，j ，k }）．例1 i =（1，0，0），j =（0，1，0），k =（0，0，1）；o =（0，0，0）．三、 用坐标进行向量运算向量加法：设a 的坐标为（a 1，a 2，a 3），b 的坐标为（b 1，b 2，b 3），则a =（a 1，a 2，a 3）= a 1i +a 2j +a 3k ；b =（b 1，b 2，b 3）= b 1i +b 2 j +b 3ka +b =(a 1i +a 2j +a 3k )+(b 1i +b 2 j +b 3k )=(a 1+b 1) i +(a 2+b 2) j +(a 3+b 3) k由（1）式，(a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3)就是a +b 的坐标．数乘向量：λa =λ(a 1i +a 2j +a 3k )=λa 1i +λa 2 j +λa 3k ；(λa 1，λa 2，λa 3)就是λa 的坐标．因此， a +b =（a 1，a 2，a 3）+（b 1，b 2，b 3）=(a 1+b 1，a 2+b 2， a 3+b 3)； （4）λa =λ（a 1，a 2，a 3）=(λa 1，λa 2，λa 3) （5）向量的模（长度）：r =(a ，b ，c )，将向量r 的起点放在坐标原点O ，设终点为P ，则r =OP ，由图7，r 的模|r |就是P 点到原点的距离．因为线段OP 是以OA ，OB ，OC 为三条棱的长方体的体对角线，所以|r |=222c b a ++（6） 例2 A 点坐标为（a 1，a 2，a 3），B 点坐标为（b 1，b 2，b 3），求向量的坐标 解：因为OA +AB =OB ，即AB =OB –OA ，而 OB =（b 1，b 2，b 3），OA =（a 1，a 2，a 3） 所以，=（b 1，b 2，b 3）–（a 1，a 2，a 3）=（b 1–a 1，b 2–a 2，b 3–a 3）． 因为向量的模等于A ，B 两点之间的距离，由此得到空间两点A （a 1，a 2，a 3）、B （b 1，b 2，b 3）之间的距离公式：d (A ，B )=233222211)()()(a b a b a b -+-+- （7）四、 向量的方向角与方向余弦首先定义两向量之间的夹角：设a 、b 都是非零向量，将a 、b 的起点放在一起，将a 、b 看成两条边，就形成两个角，规定其中不超过π的那个角为向量a 、b 之间的夹角．记作< a ，b >．显然0≤< a ，b >≤ π．将向量r 的起点放在空间直角坐标系的原点，用角α，β，γ分别表示r 与x 轴，y 轴，z 轴的夹角．即α=<r ，i >；β=<r ，j >；γ=<r ，k >，数组（α，β，γ）称为向量r 的方向角．零向量不确定方向，因此零向量没有方向角．任何非零向量都有唯一一组方向角．用向量的方向角可以表示向量的方向，但是，任意三个角不一定构成一组方向角，构成一组方向角的三个角之间应该满足的数量关系也不是很明显的，所以用方向角表示向量的方向不很方便．向量的方向通常用方向余弦表示．如果向量r ≠o ，称（cos α，cos β，cos γ）为r 的方向余弦，其中α，β，γ是向量r 的方向角．由于当0 ≤x ≤π时，余弦函数cos x 单调，所以方向角与方向余弦一一对应．如果r =（x ，y ，z ），显然有cos α=x r ；cos β=y r ，cos γ=z r ， (8)或 x =|r |cos α， y =|r |cos β，z =|r |cos γ． (8’) 不难看出，cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 (9)这也是一组数构成一个向量的方向余弦的充分必要条件．如果将一个向量的方向余弦也看作是一个向量，显然它是与这个向量方向一致的一个单位向量．如果r ≠o ，用r 0表示与r 方向一致的单位向量：r 0=1r r ． (10)一个向量可以用其模与方向余弦表示为：r =|r |（cos α，cos β，cos γ）．(11) 或 r =|r |r 0(11’) 例3 求与三个坐标轴夹角相等的方向角．解：设此方向角为（α，β，γ），因为 α=β=γ， cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1解得 cos α=cos β=cos γ=31±．满足这一条件的角有两个，即（arccos 31，arccos 31，arccos 31）， （arccos 31，约0.3π）， 与 （arccos 31-，arccos 31-，arccos 31-）， （arccos 31-，约0.8π）．第三节向量的内积一、内积的定义在物理学中一个质点在力F （矢量）的作用下经过位移s （矢量）所做的功w （标量）等于这个力在位移方向上的分力乘以位移的距离．w 可以用F 与s 的运算表示为w =|F ||s |cos <F ,s >定义1.1 向量a 、b 的模|a |、|b |以及a 、b 之间夹角余弦的乘积称为向量a 与b 的内积．记作a ·b （读作“a 点b ”，内积亦称点积）．即a ·b =|a ||b |cos <a ,b >(1)向量的内积是个数量，是用两个向量运算出的一个数量．二、内积的性质由内积的定义可以直接看出向量的内积满足交换率1、a ·b =b ·a (2)这一性质称为向量的内积具有对称性．2、a ·(b +c )=a ·b +a ·c (3)证明：图8中的两个平面都与向量a 所在直线垂直，b 的终点即c 的起点在平面1上，c 的终点在平面2上，因此b +c的终点也在平面2上．两条虚线分别在两个平面上，所以都与a 所在直线垂直．因此可以看出：|b +c |cos <a ,b +c >=|AC |；|b |cos <a , b >=|AB |；|c |cos <a ,c >=|BC |．所以，|b +c |cos <a ,b +c >=|b |cos <a ,b >+|c |cos <a ,c >由此得到向量的内积与加法满足分配律．▐ （注：内积运算优先于加法运算，所以（3）式右端没有加括号）3、（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ） (4)(4)式称为准结合律．我们只证明前一个等式，由交换律即可得到第二个等式：由定义 （λa ）·b =|λa ||b |cos <λa ，b >； |λa |=|λ||a |，当λ ≥ 0时， |λa |=λ|a |，<λa , b >=<a ，b >．所以 （λa ）·b =|λa ||b ||cos <λa ，b >=λ|a ||b |cos <a ，b >=λ（a ·b ）；当λ<0时， |λa |= −λ|a |，<λa ，b >=π−<a ，b >，cos <λa ，b >= −cos <a ，b >． 所以 （λa ）·b =|λa ||b ||cos <λa ，b >=−λ|a ||b |（−cos <a ，b >）=λ(a ·b )．▐图8注意上式等号左边λa 是数量与向量的数乘运算，λ（a ·b ）是数量λ与数量a ·b 的普通乘法．性质2、3合称为向量的内积具有线性性．4、a ·a ≥ 0；当且仅当a =o 时，a ·a =0 （称为向量的内积具有正定性） 今后我们记a ·a 为a 2．当a 、b 中有一个是零向量时，显然a ·b =0．因为零向量不确定方向，可以认为零向量垂直于任意向量．从向量内积的定义可以看出，定理1.4 a ·b =0的充分必要条件是a ⊥b ．设 r =(a ，b ，c )=a i +b j +c kr ·i =(a i +b j +c k )·i =a ； 或 r ·i =|r |cos <r ，i >=a ；r ·j =(a i +b j +c k )·j = b ； 或 r ·j =|r |cos <r ，j >=b ；r ·k =(a i +b j +c k )·k =c ． 或 r ·k =|r |cos <r ，k >=c ．向量的坐标就是这个向量与基向量组的内积．从右边三个式子也可以看出用向量方法建立坐标系与定义向量的坐标并不需要坐标原点，用基本单位向量组{i ，j ，k }就可以建立坐标系．因为空间任意向量都可以被三个不共面的向量唯一分解，即使{i ，j ，k }不相互垂直，只要它们不共面，就可以作为坐标系的基来建立坐标系．这种不需要基本单位向量相互垂直的坐标系称为仿射坐标系．三、用坐标计算向量的内积设a 的坐标为（a 1，a 2，a 3），b 的坐标为（b 1，b 2，b 3），即a =（a 1，a 2，a 3）=a 1i +a 2j +a 3k ，b =（b 1，b 2，b 3）=b 1i +b 2j +b 3ka ·b =（a 1i +a 2j +a 3k ）·（b 1i +b 2j +b 3k ）=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3，所以a ·b =∑=31i i i ba （5）例1 用内积表示向量的模与两个向量之间的夹角．由内积定义得到： |a(6)此处a 2表示a ·a ．如果a 、b 都不是零向量，则cos <a , b >=·a b a b =∑∑∑===31231231i i i ii ii b a b a (7) 零向量不确定方向，因而也不存在与其它向量的夹角．由|cos <a ,b >|≤1，得到一个代数中很重要的不等式，31||i i i a b =∑等号成立的充分必要条件是a 1，a 2，a 3与b 1，b 2，b 3成比例，在几何中就是a //b ．这个不等式可以推广到n 项．例2 设c =a ―b ，则c ·c =（a ―b ）·（a ―b ）=a ·a +b ·b ―2a ·b即 |c |2=| a |2+|b |2―2| a ||b | cos < a , b >．图9中，a =CB ，b =CA ，c =AB ，|a |=|CB |=a ，|b |=|CA |=b ，|c |=|AB |=c ．以上等式就是余弦定理：c 2=a 2+b 2―2abcos ∠C例3 证明平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和（广义勾股定理）．如图10，AC 与BD 是平行四边形ABCD 的对角线． =+；=CD BC +；=- 22+=2)(++2)(+=2)(++2)(- =22+•2AB BC ++22+•2AB BC -=2（22+） 即 22||||BD AC +=22||||BC AB ++22||||AD CD +第四节三维空间的平面与直线一、平面及其方程经过空间一点可以且只能做一个平面与已知直线垂直．设n 是一个非零向量，如果它与平面Π垂直，则称n 为Π的法向量．给定平面Π上一个定点M 0与Π的法向量n ，这个平面就完全确定了．下面讨论在空间直角坐标系[O ；x ，y ，z ]下过定点M 0（x 0，y 0，z 0），以非零向量n =（a ，b ，c ）为法向量的平面方程（见图11）．设M （x ，y ，z ）为空间一动点，M 点在Π上的充分必要条件是：向量M 0与n 垂直，而两向量垂直的充分必要条件是内积为0，即 n ·M 0=0．将n 与M 0的坐标代入，得到 a (x –x 0)+b (y –y 0)+ c (z –z 0)=0 (1) 称为平面的点法式方程．任何平面上都存在点，都有法向量，所以，任何平面的方程都是一次方程，今后我们称一次方程为线性方程．那么，是否任何一个线性方程都表示一个平面呢？三个变量的线性方程的一般形式为ax +by +cz +d =0 (2)其中a ，b ，c 不全为0．这个方程显然一定有解．设(x 0，y 0，z 0)是方程（2）的一组解，则ax 0+by 0+cz 0+d =0 (3) B CD图10 图11C B A 图9(2)式减(3)式，得到a (x –x 0)+b (y –y 0)+c (z –z 0)=0这是一个经过点(x 0，y 0，z 0)，以n =(a ，b ，c )为法向量的平面方程．方程（2）称为平面的一般方程．综上所述，任何平面的方程都是线性方程，任何线性方程都表示平面．例1 方程x +2y –5z +3=0表示一个平面，(1，2，-5)是它的一个法向量．将它化为点法式方程：解：(0，1，1)是方程的一组解，所以这个平面的点法式方程为：x +2(y –1)–5(z –1)=0例2 方程 x +2y –5z =0 表示一个平面，(1，2，-5)是它的一个法向量，方程常数项为0，故(0，0，0)是方程的解，这个平面经过坐标原点．例3 方程 x +2y –1=0 表示一个平面，n =(1，2，0)是它的一个法向量，因为n 垂直于z 轴，所以这个平面平行于z 轴．注意方程x +2y –1=0在平面直角坐标系中表示一条直线，而在空间直角坐标系中表示一个平面，它可以看作是XOY 平面上的直线x +2y –1=0沿着平行于z 轴方向延伸而成．（见图12）例4 求经过点（1，2，3），法向量平行于y 轴的平面方程．解：j =(0，1，0)平行于y 轴，取j 为这个平面的法向量．所求平面方程为y –2=0，或写作y =2．这个平面垂直于y 轴．例5 求经过点(1，2，–3)与x 轴的平面方程．解：经过点(1，2，-3)的平面方程为a (x –1)+b (y –2)+c (z +3)=0因为x 轴在平面上，所以它的法向量垂直于i ，（a ，b ，c ）与i =（1，0，0）的内积为0，得到a =0．由于平面经过x 轴，所以坐标原点在平面上，将（0，0，0）代入b (y –2)+c (z +3)=0得到 –2b +3c =0取c =2，b =3．所求方程为 3(y –2)+2(z +3)=0二、平面与平面的位置关系Π1、Π2是空间两个平面，它们的方程分别为a 1x +b 1y +c 1z +d 1=0；a 2x +b 2y +c 2z +d 2=0n 1=（a 1，b 1，c 1），n 2=（a 2，b 2，c 2）分别为Π1、Π2的法向量．两个平面之间的位置关系可以通过它们的法向量之间关系反映出来．当n 1// n 2时，显然有Π1//Π2．根据向量共线的充分必要条件，因为n 1、n 2都不是零向量，所以存在λ≠ 0，使n 1=λn 2．若同时d 1=λd 2，则两平面重合．若d 1≠ λd 2，则两平面平行而不重合，此时两平面没有公共点，与此相对应的是方程组{a 1x +b 1y +c 1z +d 1=0a 2x +b 2y +c 2z +d 2=0 （4） 无解．（两个方程不相容）．若n 1、n 2不共线，即（a 1，b 1，c 1）与（a 2，b 2，c 2）不成比例，则两平面相交，它们的公共部分是一条直线，方程组（4）有无穷多组解．两平面之间的夹角（平面角）：当0 ≤ < n 1，n 2> ≤ 2时就是n 1与n 2的夹角< n 1，n 2>，当2π< < n 1，n 2> ≤ π时是-π< n 1，n 2>．所以两平面之间的夹角 <Π1，Π2>=arccos 1212·n n n n (5)例6 求过点P （x 0，y 0，z 0）且与平面ax +by +cz +d =0平行的平面方程．解：过一点与一已知平面平行的平面是唯一确定的．因为所求平面与平面ax +by +cz +d =0平行，所以，可以取n =（a ，b ，c ）为它的法向量，所求平面方程为a (x –x 0)+b (y –y 0)+c (z –z 0)=0例7 求过点P （1，3，-2）且与平面2x –y +3z –1=0和x +2y +2z –4=0都垂直的平面方程． 解：当两个平面不平行时，过一点且与这两个平面都垂直的平面是唯一确定的．设所求平面Π的方程为a (x –1)+b (y –3)+ c (z+2)=0，其法向量是n =（a ，b ，c ），由Π与两个平面都垂直可知，n ⊥（2，-1，3），n ⊥（1，2，2），即{ 2a -b +3c =0a +2b +2c =0解此方程组，取其一组解a =8，b =1， c =-5．所求平面Π的方程为8(x –1)+(y –3)-5(z+2)=0 请读者考虑：若两个已知平面平行，此时所给条件不能确定平面，按照以上方法求解平面方程会遇到什么问题？三、空间直线及其方程平面Π1、Π2的方程分别为a 1x +b 1y +c 1z +d 1=0； a 2x +b 2y +c 2z +d 2=0n 1=（a 1，b 1，c 1）与n 2=（a 2，b 2，c 2）分别为Π1、Π2的法向量．当n 1、n 2不共线时，两平面的公共部分是一条直线，所以方程组{a 1x +b 1y +c 1z +d 1=0a 2x +b 2y +c 2z +d 2=0 （6） （a 1，b 1，c 1与a 2，b 2，c 2不成比例）表示一条直线，称为直线的一般方程． M 0（x 0，y 0，z 0）是空间一定点，r =（m ，n ，p ）是一个非零向量，经过M 0且平行于r 的直线是唯一确定的，下面推导它的方程：过M 0做一条直线l 与r 平行，M （x ，y ，z ）是空间一动点．M 点在直线l 上的充分必要条件是：向量M M 0//r ．因为r 不是零向量，根据向量共线的充分必要条件，存在λ，使 M 0=λr即 （x -x 0，y -y 0，z -z 0）=λ（m ，n ，p ）令λ取遍全体实数，得到动点M 的轨迹就是直线l ．将这个向量方程展开，得到r{x =x 0+λm y =y 0+λn （7） z =z 0+λp称为直线的参数方程．参看图13．它的向量形式是 （x ，y ，z ）=（x 0，y 0，z 0）+λ（m ，n ，p ）．（8）请读者根据图13中的虚线给出向量解释．将直线的参数方程改写为 000x x y y z z m n p ---== （9） 称为直线的点向式方程或对称式方程或标准方程．注意当分母中含有0时，例如m =0， 而n ，p 均不为0时，这个式子表示{x =x 0 00y y z z n p --=直线与直线的夹角直线l 1与l 2的方程分别为 111111x x y y z z m n p ---==； 222222x x y y z z m n p ---== l 1与l 2的夹角（0~2π）就是它们方向向量r 1=（m 1，n 1，p 1）与r 2=（m 2，n 2，p 2）之间的夹角或其补角．所以： cos <l 1，l 2>=|cos < r 1, r 2>|=1212·r r r r （10） 直线与平面的夹角设直线l 的方程为 000x x y y z z m n p---==， 平面Π的方程为 ax +by +cz +d =0，． 直线的方向向量r =（m ，n ，p ）与平面的法向量n =（a ，b ，c ）之间夹角为<r ，n >，直线与平面的夹角就是|2π-<r ，n >|，所以 sin <l ，Π>=|cos <r ，n >|=·r nr n（11） 例8 将下列直线l 的一般方程化为对称式方程与参数方程．{2x –y +3z –1=0 x +2y +2z –4=0 (l )解：直线l 的一般方程是用两个平面方程联立来表示两个平面的交线l ，因为l 同时在两个平面上，所以与两个平面的法向量都垂直．设直线l 的方向向量为r =（m ，n ，p ），方程组{2m -n +3p =0m +2n +2p =0 的解即为直线l 的方向向量．取方程组的一组非零解 r =(8，1，-5)． 再求出直线l 上的任意一个点：取方程组(l )的一组解（-2，1，2），得到直线l 的对称式方程为521182--=-=+z y x 参数方程为{x =-2+8λy =1+λz =2-5λ参数方程的向量形式为 (x ，y ，z )=(-2，1，2)+λ(8，1，-5)例9 求过点(x 0，y 0，z 0)与平面ax +by +cz +d =0垂直的直线方程以及垂足坐标． 解：设所求直线l 的方程为000x x y y z z m n p---==．因为l 与平面ax +by +cz +d =0垂直，所以l 的方向向量与平面的法向量平行，所求直线l 的方程为000x x y y z z a b c ---==． 将直线方程与平面方程联立，即可求出交点即垂足的坐标．（注意直线的对称式方程实际上是两个方程联立）．例10 M 0(x 0，y 0，z 0)是空间一点，平面Π的方程为ax +by +cz +d =0．求点M 0到平面Π的距离．解：这个问题可以利用例9的方法求出垂足坐标，然后求出两点距离即点到平面距离．但是这个方法比较麻烦，下面我们探讨用其它方法求解．参看图14，在平面Π上任取一点M 1，设其坐标为(x 1，y 1，z 1)，做向量10M M =(x 0-x 1，y 0-y 1，z 0-z 1)则M 0到Π的距离就等于10M M 的模乘以10M M 与Π的法向量n =(a ，b ，c )的余弦的绝对值，即：d (M 0，Π)=||10M M |cos <10M M ，n >|其中d (M 0，Π)表示M 0到Π的距离．利用向量的内积，得到 d (M 0，Π)=10·M M n n 将10M M 与n 的坐标代入，得到d (M 0，Π010101()()()]a x x b y y a z z -+-+-图15注意到（x 1，y 1，z 1）为平面上一点M 1的坐标，所以，Π的一般方程ax +by +cz +d =0可以写成点法式方程a (x –x 1)+b (y –y 1)+ c (z –z 1)=0．因此，)()()(101010z z a y y b x x a -+-+-=d cz by ax +++000方程 )(1222d cz by ax c b a +++++=0 （12）是以单位向量n 0称为平面的法式方程．点M 0到平面Π的距离就是将点的坐标代入平面的法式方程的左边，然后取绝对值．d (M 0，Π)= (13)过空间一点P 向一个平面Π引垂线，垂足称为点P 在这个平面上的投影，平面Π称为投影面．一条曲线上各点在一个平面上的投影所形成的曲线称为这条曲线在这个平面上的投影．一条直线l 在一个平面Π上的投影是一条直线．例11 求直线l 在平面Π上的投影．其中l 和Π的方程分别为：{ x +y –z –1=0 x –y +z +1=0(l ) 与 x +y +z =0 (Π)直线l 在平面Π上的投影是过直线l 做一个与投影面Π垂直的平面Π1（称为投影平面）与Π的交线．因此，只要求出Π1的方程与Π联立即可．方法一、设Π1的方程为 ax +by +cz +d =0因为Π1过直线l ，所以直线l 上任意一点满足Π1的方程（1），并且Π1的法向量与l 的方向向量垂直（2）．又Π1与Π垂直，所以Π1与Π的法向量相互垂直（3）．将此三个条件联立即可求出a 、b 、c 、d 之间的关系，从而求出Π1的方程．但是此题直线用一般方程给出，所以上述方法比较麻烦，要求解两个方程组．下面我们利用平面束方程求解．{ a 1x +b 1y +c 1z +d 1=0 a 2x +b 2y +c 2z +d 2=0(l ) 是直线的一般方程，方程 λ1(a 1x +b 1y +c 1z +d 1)+λ2(a 2x +b 2y +c 2z +d 2)=0表示一个平面，显然满足直线方程(l )的点都满足此方程，所以，此方程代表所有经过l 的平面，称为过l 的平面束方程．设Π1的方程为 x +y –z –1+λ(x –y +z +1)=0即 (1+λ)x +(1–λ)y +(λ–1)z +λ–1=0（这个平面束方程中不包括后一个平面x –y +z +1=0，由于这个平面显然不是所求平面Π1，这个假设是合理的）．因为Π1⊥Π，所以 1(1+λ)+1(1–λ)+1(λ–1)=0解得 λ= –1．所求投影方程为 l Π1 Π 图16。
立体几何中的向量方法(一)——方向向量与法向量
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例2：已知A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0,0,2) 求平面ABC的法向量.
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
a
A
u
C B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
uv
α
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / a u a u 0 ；
叫做平面 的法向量.
l
n
A
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
平面的法向量：
l
注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
n
互相平行;
三维向量与向量运算
三维向量与向量运算一、三维向量的定义在数学中，向量是指具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
三维向量是指由三个实数组成的有序数组，通常用大写字母加上一个箭头表示，如：→AB。
三维向量可以表示空间中的一个点或者一个对象的状态。
二、三维向量的表示方式三维向量可以用坐标表示，也可以用分量表示。
1. 坐标表示：三维空间中的每个点都可以用三个坐标值(x,y,z)来表示，其中x表示水平方向的坐标，y表示垂直方向的坐标，z表示垂直于水平面的方向的坐标。
2. 分量表示：三维向量的分量表示指的是将向量拆分为在三个坐标轴上的射影，可以表示为：→AB = a→i + b→j + c→k，其中a、b、c为实数，→i、→j、→k为单位向量，表示x、y、z轴的正方向。
三、三维向量的运算在向量的运算中，三维向量的加法、减法和数乘操作与二维向量类似。
1. 三维向量的加法两个三维向量的加法表示将其对应的分量相加，即：→AB + →CD = (a+c)→i + (b+d)→j + (e+f)→k。
2. 三维向量的减法两个三维向量的减法表示将其对应的分量相减，即：→AB - →CD = (a-c)→i + (b-d)→j + (e-f)→k。
3. 三维向量的数乘三维向量的数乘表示将其每个分量乘以同一个实数，即：k→AB = ka→i + kb→j + kc→k。
四、向量的数量和方向1. 向量的数量：向量的数量可以用向量的模表示。
在三维向量中，向量的模即为该向量的长度，可以使用勾股定理计算得到。
向量→AB 的模表示为|→AB| = √(a^2 + b^2 + c^2)。
2. 向量的方向：向量的方向可以由其单位向量表示。
单位向量是具有长度为1的向量，可以通过将向量除以其模得到。
三维向量的单位向量表示为：→n = (a/|→AB|)→i + (b/|→AB|)→j + (c/|→AB|)→k。
五、三维向量的应用三维向量在现实生活和学科中有广泛的应用。
高考数学中的三维向量解析及应用
高考数学中的三维向量解析及应用在高考数学中，三维向量是一个重要的概念。
三维向量是指具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。
它有很多应用，比如在几何学中用于描述线、面的方向和位置，可以用来解决几何问题；在物理学中，它可以用来描述力、速度、加速度等物理量，是物理学中的基本概念。
三维向量的表示首先，我们来看一下三维向量的表示。
三维向量通常用一个三元组表示，比如 (x,y,z)。
其中，x、y、z 分别表示向量在三个坐标轴上所对应的分量。
三维向量的加减三维向量的加法和减法与二维向量相似，只是应用的方向和维度不同而已。
两个向量相加或相减的结果，仍是一个向量。
其具体方法如下：(1) 两个向量相加：(x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂)=(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)(2) 两个向量相减：(x₁,y₁,z₁)-(x₂,y₂,z₂)=(x₁-x₂,y₁-y₂,z₁-z₂)三维向量的数量积和向量积数量积：两个向量的数量积，也叫点积，表示为 a·b，其结果是一个数，它等于两个向量之间夹角的余弦值与向量的模长的积。
具体方法如下：a·b=|a|·|b|·cosθ其中，|a|、|b| 分别表示向量 a 和向量 b 的模长，θ 表示向量 a和向量 b 之间夹角的余弦值。
向量积：两个向量的向量积，也叫叉积，表示为 a×b，其结果是一个向量，它的大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于两个向量所在的平面，遵循右手定则。
具体方法如下：a×b=|a|·|b|·sinθ·n其中，|a|、|b| 分别表示向量 a 和向量 b 的模长，θ 表示向量 a和向量 b 之间夹角的正弦值，n 表示垂直于向量 a 和向量 b 所在的平面的法向量。
三维向量的应用三维向量在几何学和物理学中有广泛的应用。
下面列举几个例子：(1) 空间几何问题三维向量在空间几何中有非常重要的应用。
三垂线定理向量证明
三垂线定理向量证明三垂线定理是平面几何中的一个重要定理，它可以用向量的方法进行证明。
本文将利用向量的性质和运算，通过证明三垂线定理，以展示向量方法在几何问题中的应用。
三垂线定理是指：对于一个三角形ABC，设D、E、F分别是BC、AC、AB上的三个垂足，则向量AD、BE、CF互相垂直且共面。
我们先来了解一下向量的基本概念和运算法则。
在平面几何中，向量可以用有向线段来表示，它具有大小和方向。
向量的加法、减法和数乘运算可以通过平移、共线和相似三个运算法则进行。
在证明三垂线定理时，我们可以使用向量的垂直性和共面性来证明。
设向量AD=a，向量BE=b，向量CF=c。
我们需要证明a⋅b=0，b⋅c=0，c⋅a=0，且a、b、c共面。
我们来证明a⋅b=0。
根据向量的性质，当两个向量垂直时，它们的点积为0。
因为AD和BE分别是BC和AC的垂线，所以它们与BC和AC互相垂直。
即a⋅BC=0，b⋅AC=0。
根据向量的运算法则，我们可以得到a⋅b+0+0=a⋅b=0。
因此，a和b互相垂直。
接下来，我们证明b⋅c=0。
同样地，根据向量的性质，我们可以得到BE和CF与AC和AB互相垂直。
即b⋅AC=0，c⋅AB=0。
根据向量的运算法则，我们可以得到0+b⋅c+0=0，即b⋅c=0。
因此，b和c互相垂直。
我们证明c⋅a=0。
根据向量的性质，我们可以得到CF和AD与AB和BC互相垂直。
即c⋅AB=0，a⋅BC=0。
根据向量的运算法则，我们可以得到0+0+c⋅a=0，即c⋅a=0。
因此，c和a互相垂直。
至此，我们已经证明了a⋅b=0，b⋅c=0，c⋅a=0，即向量AD、BE、CF 互相垂直。
接下来，我们需要证明a、b、c共面。
为了方便证明，我们可以使用向量的混合积来判断三个向量是否共面。
向量的混合积定义为a⋅(b×c)，其中b×c表示向量b和向量c的叉乘。
假设向量b和向量c在同一平面上，那么它们的叉乘b×c也在同一平面上。
三个向量内积公式
三个向量内积公式内积（亦称点积、数量积或标量积）是两个向量的数值运算，结果是一个标量（实数），表示两个向量之间的相似程度。
三个向量的内积公式如下：1.标量投影公式（Scalar Projection Formula）：向量A在向量B上的投影即向量A在向量B方向上的长度。
设向量A为a，向量B为b，则向量A在向量B上的投影为a·b / |b|，其中·为点积运算，|b|为向量B的模（长度）。
2.向量投影公式（Vector Projection Formula）：向量A在向量B上的投影是一个向量，其大小为向量A在向量B 方向上的长度，方向与向量B相同。
设向量A为a，向量B为b，则向量A在向量B上的投影为(a·b / |b|)·(b / |b|)，其中·为点积运算，|b|为向量B的模（长度）。
3.向量夹角余弦公式（Cosine Formula for Vectors）：两个非零向量的夹角余弦值可以通过它们的内积和模的乘积与它们的夹角余弦值的关系来计算。
设向量A为a，向量B为b，则两个向量的夹角余弦为cosθ = (a·b) / (|a| |b|)，其中·为点积运算，|a|和|b|分别为向量A和向量B的模（长度）。
拓展：内积在向量运算和几何中具有重要的应用，例如可以用来判断向量的正交性、计算向量的投影、计算向量的夹角等。
此外，内积还可以用来定义正交基、用于求解线性方程组、衡量向量的相似性等领域。
内积有许多性质和定理，例如共线定理（内积为零表示向量正交）、柯西-施瓦茨不等式等，这些性质和定理在向量计算中具有重要的作用。
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4.平行向量
平行向量是指方向相同或相反的向量,也叫共线 向量.即两个向量平行或两个向量共线意义相同. 从几何图形上看，任意一组平行向量都可以平移 到同一直线上.
若 a 是一个非零向量，b =m a ，则 b ∥ a . 这里m为全体实数，当m为0时，b = 0 ，因此 规定零向量平行于任一向量.
如图，有多边形 … An , 则向量
A1
An An-1
A1 A2 A3
1 n
A A 就是向量 A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 ,
…
，的和向量 : An 1 A n …. A
n 1 An
A2
A1 A2 A2 A3 A3 A4
.
A3
2.向量的减法
已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向 量的运算叫做向量的减法. 向量减法是向量加法的逆运算. 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
2.把握例题特征，重视“作图”、“识图” 训练
教材中涉及“作图”和“识图”的例题 涉及作图
22.7 22.8 22.9 例 1、例 2、例 3 例 2、例 4、例 5 例 3（会识和向量、差向量） 例 2（会识相等向量、平行向量 、相反向量） 24.6 例 1、例 4、例 5 例 3（会识平行向量 ） 例 3（会识平行向量、差向量） 、 24.7 例 1、例 2、例 5 例4 （会识相等向量、 相反向量、 平行向量、 和向量、 差向量 ） 例 6（会识平行向量、和向量 ） 占比
向量进入中学在国外要更早一些
美国在上世纪50年代就在中学引入向量（先在11年级， 后在9年级） 英国由剑桥大学出版社出版的SMP教材（始于1961年）， 在初中教材中有“平移与向量”、“实用的向量”、 “向量几何”等章节. 法国初三教材（85年版）有“平移与向量”，初四（法 国初中学制四年）有“向量相等、向量坐标、向量加法” 等内容.
（三）向 量
崇明县教师进修学校 朱伟达
第一讲 中学向量教学的历史发展、基本 内容及教学定位 1.向量发展简史 关于向量的历史，可以追溯到公元前 350年前.
到19世纪末20世纪初，人们才把空间 的性质与向量运算联系起来，使向量成 为具有一套优良运算通性的数学体系．
向量的形成与发展大体经历了四个阶段的转折
高中部分（三大块）
第一块：向量的数量积
第二块：向量的坐标表示
第三块： 空间向量及应用（理科拓展）
5.向量知识结构
向量的加法
ห้องสมุดไป่ตู้
初 中 部 分
平面向量
向量的运算
向量的减法
向量的线性组合 向量的应用
实数与向量的积
向量的分解
阅读材 料：向 量方法 证几何 问题
向量的坐标表示
向量的数量积
平面向量基本定理
考虑到教育是国力的基础，如果我
国中学生的数学水平远远落后于世界平
均水平之下，则给我们带来的困难，将
会比我们现在努力改进，充实数学内容，
提高教师准备程度等等遇到的困难，大
得无可比拟.
3.中学引入向量的意义
向量为什么受到如此厚爱呢？ 张奠宙教授说：说来简单，无非是向量“能 算”.
有了向量，使“点”可以运算，许多很费事
向量的线性组合.
初中向量基本内容
（2）3个运算 向量的加法，向量的减法，实数与向量相乘. 其中向量加法和减法运算包括4个法则 向量加法和数乘运算中的5个运算律 （3）1个定理 平行向量定理 如果向量 b 与非零向量 a 平 行，那么存在唯一的实数m，使b =ma .
高中向量基本内容
量证明三角形的中位线定理，这里仅仅是一种
学习欣赏，不作一般要求.
第二讲
初中向量具体内容剖析
（一）向量的有关概念
1.有向线段与向量
有向线段是规定了方向的线段. 向量是既有大小又有方向的量（也叫矢量）. 有向线段有三个要素：起点，方向，长度（大小）. 向量有两个要素：大小，方向.
D
C
1.
教材采用过程模式呈现内容，设臵了“问题”、 “思考”、“想一想”、“议一议”等栏目. 这些栏目往往是问题的关键点， 相关知识的连接点， 新知识的生长点. 因此准确理解和正确处理这些内容是教学设计
的一个关键.
第二讲
初中向量具体内容剖析
例如，在引入实数与向量相乘运算部分，教材 设臵了如下“思考”： 思考：几个相同向量相加，是否能像几个相同 的数相加一样，把它表示为乘法运算的形式？ 这个“思考”，至少有两个作用： 1.是一个切入点，认知的起点; 2.激发认知冲突. 数的情况是这样,那么向量呢?它引导学生在一 个已有的思维模式下去思考新的问题.
y
P
6.单位向量
O
x
图3-2
长度为1的向量叫做单位向量. 单位向量有无数个.不同的单位向量，是指 它们的方向不同.
对任意非零向量 a ，与它同方向的单位向 量记作 a 0 ，且.
a0 1 a a
（二）向量的线性运算
1.向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加 法. 当两个向量不平行时，运用向量加法的三 角形法则或平行四边形法则. 当两个向量平行时，可以平移到一条直线 上采用“首尾相接”进行.
高 中 部 分
空间向量 （理科拓展）
空间向量的坐标表示
空间向量的应用
6.初中向量内容安排
八（下） 、九（上）向量内容 八（下）第二十二章 四边形 第四节 平面向量及加减运算 22.7 平面向量（1 课时） 22.8 平面向量的加法（2 课时） 22.9 平面向量的减法（2 课时） 阅读材料 用向量方法证明几何问题 九（上）第二十四章 相似形 第四节 平面向量的线性运算 24.6 实数与向量相乘（3 课时） 24.7 平面向量的线性运算（2 课 时）
记忆水平特征:能识别、再认、再现；能作简 单套用、能按照示例模仿.
属于解释性理解水平的（水平2）
理解有向线段、相等向量、相反向量、平行向量、单 位向量、实数与向量相乘的意义.（会解释概念） 初步掌握向量加法的三角形法则、多边形法则、向量 减法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则； 会用作图方法求两个向量的和向量、差向量；对于给 定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘 所得的向量.（会画图表示） 初步掌握向量的线性运算，会利用向量的线性运算及 其运算律对向量算式进行计算、化简.(会化简算式)
解释性理解水平的特征：
明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，
能用自己的语言或转换方式正确表述知识内容；
在一定的变式情境中能区分知识的本质属性和 非本质属性，会把简单变式转换为标准式，并 解决有关问题.
在初中向量不作探究性理解水平（水平3） 要求
教学时要严格控制难度，一般不推广、不拓展、 不深化.例如，对向量加法、数乘向量的运算 律，不要求进行论证.课本介绍了利用数乘向
向量进入中学在国外要更早一些
德国巴伐利亚州92年版教材七年级有“平移 （位移矢…）”八年级有“向量概念”等章节. 俄罗斯课程标准（03年版） ，在初中有“向 量、向量的长、向量的运算、向量坐标、向量 在两个不共线方向上的分解、向量的数积、几 何中的坐标和向量方法、坐标法、向量法”等
内容.
齐民友教授说：
4.中学向量基本内容
中学向量基本内容可以概括为：初中931，高
中三大块.
初中931：即9个基本概念，3个运算，1个定理.
高中三大块：即向量的数量积，向量的坐标表
示，空间向量及应用（理科拓展）.
初中向量基本内容
（1）9个基本概念
有向线段、向量、相等向量、相反向量、平行
向量、零向量、单位向量、向量的线性运算、
●
引入向量的定义和运算；
由向量的几何表示到坐标表示；
由三维向量拓展到n维向量空间； 计算机的问世使向量代数更添光彩.
2.向量进入中学教材
我国在八十年代，向量进入中学教材. 九十年代，三维向量进入立体几何. 上海教材在部分专家的力挺之下，率先在九十年代全 面推行向量方法. 2004年，《上海市中小学数学课程标准》（试行稿） 首次计划在初中引入向量， 2007年试验课本开始实施，这在国内开了一个先河.
教材选择了第一种处理方式.
它通过“思考”这个切入点，得出正整数与向量 的积（ a a+ a+ =3 a ）和负整数与向量的积（（a ）+a （- ）+a （- ）a =-3 ），进而是有理数 与向量的积（如图：
OA AB BC a
OB
的积.以一个“低起点、小步子”的方式实现了 a “跨越”.
7.教学定位
（1）拓展数学观念； （2）落实基本要求； 达到“三会”：会解释概念； 会画图表示； 会化简算式. （3）打下应用基础.
《课程标准》三级认知水平目标：
记忆水平（水平1）; 解释性理解水平（水平2）;
探究性理解水平（水平3）.
属于记忆水平的（水平1） :
知道向量的概念、要素及表述；知道零向量的意义及 特点；知道向量减法是向量加法的逆运算；知道向量 加法的交换律、结合律；知道实数与向量相乘的运算 律；知道向量分解的含义；知道一个非零向量与同方 向单位向量之间的联系；知道一个向量的线性组合等.
向量减法的三角形法则：
如图，若 OA a, OB b ， 则 BA 就是向量 a、 b 的差向 量 a b . 向量减法的三角形法则 要特别注意差向量的方向， 其箭头是指向被减向量. O