向量法求空间距离
向量法求空间的距离问题
又PA 平面EDB，EG 平面EDB PA // 平面EDB
x
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 解：因为PD 平面ABCD，所以PD是平面ABCD的法向量。
由(1)知D(0， 0) P(0，1) 0，， 0，， 1 1 B(11，，E (0， ， ) ，0) 2 2 1 1 PD (0， 1)， (1， ， ) 0， EB 2 2
S z
A B x C
D y
练习2:
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d PA n n
x D
F A
C
E
y
B
练习3:
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 z 平面AMN与平面EFDB的距离。
P F
D A
E
C B
作业：如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
z
y
x
二面角 A-PB-C 的余弦值为
3 3
2、点与直线的距离：
P
(先求 cos AP, a )
A
O
l
a
例1：在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中，E、F分别是BB1，
用向量法求空间距离
用向量法求空间距离湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点，DQ=41DB ，求P 、Q 两点间的距离.解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则0)4141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21－4141(－，，=.46=,即P 、Q 两点的距离为46. 二、 求点到直线之间的距离已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d .则有><⋅=⋅cos ，所以cos >=<故><⋅=∠⋅==QP PQO PQ PO d sin sin=⋅==xa图2例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2).所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故d =13286213168=-= 所以点O 1到直线AC 的距离为132862. 三、 求点到平面的距离如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d，所以d ==><⋅=cos .例3 如图5，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点，N 为AC 与BD 的交点，求点B 到平面CMN 的距离. 解 如图5，以CE CB CD 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.因为AB=2，AF=1，所以)12222(CM ，，=，)02222(CN ，，=)02(0CB ，，=设平面CMN 的法向量为)(x z y ，，=，则有图4yxx⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n CM 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++0222202222y x z y x 令x=1,得y=-1，z=0，所以)01(1，，-=.所以点B 到平面CMN的距离1==d .四、 求异面直线间的距离如图6，假设a 、b 是异面直线，平移直线a 至a ′且交b 于点A ，那么直线a ′和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n ⊥a ,n ⊥b ，即n 为异面直线a 、b 的公垂线的方向向量.所以异面直线a 的b 的距离等于直线a 上任意一点至平面α的距离.若F ∈a ，E ∈b ，则异面直线a 、b之间的距离d =⋅=><⋅=cos ，即为异面直线a 、b 之间的距离.例4 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1C 1与B 1C 的距离. 解 如图7所示，以1DD DC DA 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则有1)01－(C B 0)11－(C A 111－，，，，，==.设B C A 111与的公垂线的方向向量为)(x z y ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0B 0111C n C A n 即⎩⎨⎧=--=+-00z x y x 令x=1,得y=1，z=-1，所以)11(1-=，，又)010(11，，=B A ，x所以A 1C 1与B 1C的距离3331===d . 五、 求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用d =求它们之间的距离.例5 如图8，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1 C 1D 1的中点.求平行平面AMN 与平面EFDB 的距离. 解 以1CC 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ，则0)0(1)121(0)1021(，，，，，，，，=-=-=.设平面EFDB 的法向量为)(x n z y ，，=，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-021021z y z x 取1=z ,则2==y x ，所以)12(2，，=，所以平行平面AMN 与平面EFDB的距离32==d .x。
利用空间向量解决空间距离问题
2x, 3x,
D A
x
得A1E与BD1的距离
d D1A1 n n
14 14
Cy
B
B1到面A1BE的距离
2)A1E
=(-1,1 2
,0),A1B=(0,1,-1)设n
(
x,
y,
z
)为面A1BE的法向量，
则
n
A1E
0,
n A1B 0,
x 1 y 0, 2 y z 0,
则D1
(0,
Hale Waihona Puke 0,1),B(1,1,
0),
A1
(1,
0,1),
E(0,
1 2
,1)
z
A1E
1,
1 2
,
0
,
D1B 1,1, 1
D1
E
C1
n
A1E
0,
x 1 y 0, 2
A1
B1
n D1B 0, x y z 0,
即zy
n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
即zy
2x, 2x,
z
D1 A1
3.2空间距离的向量求法(四)教案
3.2 立体几何中的向量方法(空间距离的求法)【教学目标】1.理解空间距离（点到点，点与直线，点与平面，异面直线，直线与平面和平面到平面的距离）的 有关概念。
2.能借助向量的方法求空间的距离。
【知识梳理】向量法求距离的方法：（1）点面距离的向量公式：平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是在向量n 方向射影的绝对值，即||n n MP d =.（2）线面、面面距离的向量公式：（可转化为点面距离求解）（3）异面直线的距离的向量公式：设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是在向量n 方向射影的绝对值，即||n n MP d =.例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1.求：（1）A 、B 两点间的距离；解：设,,===,,1||||||<===（1）||=∴∴ A 、B （2）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为z y x ++=，由AB n ⊥得0z 3y 2x 30)()z y x (=++⇒=++⋅++①； 由CD n ⊥得0y 0b )c z b y a x (=⇒=⋅++②，令x=1，则由①、②可得z=-1，∴-=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为21||d ===⋅=. 【说明】对于图形是“斜”的，求夹角与距离的问题，虽然不便于建立空间直角坐标系，同样也可以利用平面的法向量转化为向量的计算问题.例2．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2，2==AD AB（1）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（2）求点E 到平面ACD 的距离.（1）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (-1，0，0)，C (0，3，0)，A (0,0,1),E (21,23,0),).0,3,1(),1,0,1(--=-=CD BA∴,42=∙=CD BA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos（2）解：设平面ACD 的法向量为n =(x,y,z ),则⎪⎩⎪⎨⎧=-∙=∙=--∙=∙,0)1,3,0(),,(,0)1,0,1(),,(z y x AC n z y x n ∴⎩⎨⎧=-=+.03,0z y z x 令y=1，得n=(-3,1,3)是平面ACD 的一个法向量.又),0,23,21(-=∴点E 到平面ACD 的距离h=.72173|||·|==n n EC 例3. 如图所示,已知四边形ABCD 、EADM 和MDCF 都是边长为a 的正方形,点P,Q 分别是ED 和AC 的中点.求:(1)P 点到平面EFB 的距离;(2)异面直线PM 与FQ 的距离. 解：建立空间直角坐标系，使得Ｄ（０，０，０）、 Ａ（a ，０，０）、Ｂ（a,a,0）,Ｃ(0,a,0)、Ｍ(0,0,a)、Ｅ(a,0,a)、Ｆ(0,a,a)，则由中点坐标公式得：P(2,0,2aa ),Q(0,2,2a a ).（1）设),,(z y x =是平面的法向量， 因为),,0().0,,(a a a a -=-=,0000z y x az ay ay ax EF n ==⇒⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅取x=y=z=1 则)1,1,1(= 又)2,0,2(a a =所以所求的距离为.33||a n d ==（2）设),,(z y x =是两异面直线的公垂线上的方向向量，则由),2,2(),2,0,2(a a a FQ a a PM --=-=得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-022022az y a x a z a x a，取x=1,可得：)1,1,1(-=e 而3||.),0,,0(=-=⋅=a a 所以所求的距离为a e d 33||==例4．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900，侧棱AA 1=2，D 、E 分别为CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ΔABD 的重心G ，求点A 1到平面AED 的距离. 解：如图建立以C 为原点的坐标系C-xyz ，设CA=2a,则A （2a ，0，0），B （0，2 a ，0）， D （0，0，1），E （a ，a ，1），A 1（2a ，0，2），)31,32,32(a a G )2,0,0(),0,1,1(),1,0,2(1==-=AA ， 设平面AED 的法向量为),,(z y x n =， 点A 1到平面AED 的距离为：362|)2()(22)(00|||222=+-+⋅+-⋅+⋅==x x x x x x n d例5．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 、F 分别在A 1B 、B 1D 1上，且1111111,33A F AB B F B D ==⑴求证：EF//平面ABC 1D 1 ⑵求EF 与平面ABC 1D 1的距离解：⑴建立如图坐标系B-xyz ，则),3,3(),32,0,32(a aa F a a E ，故),,0(),0,0,(),3,3,3(1a a BC a aa a ==-=设),,(z y x n =是平面ABC 1D 1的法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001BC ⎩⎨⎧=+=⇒00az ay ax 令z=1得)1,1,0(-=，0)1,1,0()3,3,3(=-⋅-=⋅aa a ，⊥∴，故EF//平面ABC 1D 1⑵由（1）得：)32,0,32(a a BE =，32)1,1,0()32,0,32(aa a n BE =-⋅=⋅∴ 32a d ==∴ 【知识方法总结】1．理解空间各种距离的定义，并掌握它们之间相互转化，如异面直线间距离可转化到线面距离、面面距离，而线面距离、面面距离又可转化到点面距离求解。
用向量法求空间距离
ABC Dmn1图向量法求空间距离向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。
1.异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的射影长，即||n d =证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==,||||)(⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++=||||||n n AB d ⋅==∴2平面外一点P 到平面α的距离如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即||n d =因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。
再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。
一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。
[例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。
图2A BC M N1A 1B1C 图3几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ，、)0,0,0(A)81,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则)2,0,0(),0,43,43(),81,41,43(1==-=AA AM MN ，设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有)0()1,1,3(8),81,83(81830434********>-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+=++-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥z zz z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是5521)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||22201011011=+-+-⋅==><⋅=AA n AA AA d [例2]如图5，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知2=AB ，,51=AA E 、F 分别为D D 1、B B 1上的点，且.11==F B DE （Ⅰ）求证：⊥BE 平面ACF ；（Ⅱ）求点E 到平面ACF 的距离.分析：题中几何体易找到共点且相互垂直的三个基向量，故可通过建立空间直角坐标系来达到解题目的。
向量法求空间距离
向量法求空间距离（教师用）淄博五中 孙爱梅一．重点：掌握空间各种距离概念，并能进行他们之间的转化，能通过向量计算求出这些距离.二．难点：异面直线及点面距离求法.三．知识点及例题【知识点一】 两点的距离公式应用空间中两点的距离公式：A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，x 2），则｜AB →｜＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2.〖例1〗如图，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，棱长为1，｜AN ｜＝2｜CN ｜， ｜BM ｜＝2｜MC ′｜，求MN 的长.解：由题意得A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），C ′（0，1，1）∵｜AN ｜＝2｜CN ｜，∴N （13，23，0），又∵｜BM ｜＝2｜MC ′｜，∴M （13，1，23） ∴｜MN ｜＝（13－13）2＋（1－23）2＋（23－0）2＝53，即MN 的长为53. 注：此类题目直接套用公式，准确、迅速找到空间两点坐标是解题关键.【知识点二】通过向量求空间线段的长.｜a →｜＝a →2〖例2〗如图，在60°的二面角的棱上，有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长度.解：∵＜AC →，BD →＞＝60°，∴＜CA →，BD →＞＝120°，又∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →， 故有｜CD →｜2＝CD →2＝（CA →＋AB →＋BD →）·（CA →＋AB →＋BD →）＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，则CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，∴｜CD →｜2＝62＋42＋82－2×6×8×12＝68，∴｜CD →｜＝217.注：使用向量法对此题计算时，由于考虑到未知条件CD ，故应用已知的AB →，AC →，BD→三个向量将未知向时CD →表示出来，再利用｜CD →｜2＝CD →2这一知识解题.【知识点三】求点到平面距离｜AB →｜＝｜OA →｜｜c os ＜OA →，n →＞｜＝｜OA →·n →｜｜n →｜＝｜OA →，e →｜（其中n →为α的一→.〖例3〗正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求点F 到平面A 1D 1E的距离.解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线分别x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D 1－xyz . F （0，1，2），D 1（0，0，0），A 1（2，0，0），E （2，2，1），D 1A →＝（2，0，0），D 1E →＝（2，2，1）.设n →＝（x ，y ，z ）为平面A 1D 1E 的一个法向量，则n →·D 1A →＝0，且n →·D 1E →＝0， ⎩⎨⎧2x ＝0 2x ＋2y ＋z ＝0，则x ＝0，令z ＝2，y ＝－1，即n →＝（0，－1，2）， 又D 1F →＝（0，1，2），∴点F 到平面A 1D 1E 的距离.【思考】若G 、H 分别为D 1D ，AA 1中点，如何求平面A 1D 1与平面HGB 距离？ 思路：易证平面A 1D 1E ∥平面HGB ，只须求B 到平面AD 1E 的距离就可.d ＝｜D 1F →·n →｜ ｜n →｜＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜12＋22＝35＝355，即F 到面A 1D 1E 的距离为355. 注：①用向量求点面距离可避免了过点向面作距离的麻烦.②注意面面距离与点面距离的转化.l 1，l 2为异面直线，AB 为l 1，l 2公垂线估，C 、D 分别为l 1，l 2上任意两点，则异面直线l 1，l 2的距离d ＝｜AB →｜＝｜CD →｜·｜c os ＜CD →·n →＞｜＝｜CD →·n →｜ ｜n →｜＝｜CD →·e →｜（其中n →为公垂线AB 的一个方向向量，e →为公垂线AB 的一个单位方向向量）. 〖例4〗在直三棱柱ABD －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB 1＝1，直线B 1C 与平面ABC 所成的角为30°，试求异面直线A 1C 1与B 1C 距离.解：以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.∵B 1B ⊥平面ABC ，∴∠B 1CB 为B 1C 与平面ABC 所成角，∴∠B 1CB ＝30°， Rt △B 1BC 中，BB 1＝1，∴BC ＝3，又AB ＝1，Rt △BAC 中，ACA 1（0，0，1），C 1（0，1，1），A 1C 1→＝（0，1，0），B 1（1，0，1），C （0，1，0），B 1C →（－1，1，－1），且A 1B 1→＝（1，0，0），设n →＝（x ，y ，z ）为异面直线A 1C 1与B 1C 公垂线的一个方向向量，则n →·A 1C 1→＝0，n →·B1C →＝0⎩⎨⎧y ＝0 －x ＋y －z ＝0，∴y ＝0，令x ＝1，则z ＝－1，∴n →＝（1，0，－1）， 则两异面直线A 1C 1与B 1C 是距离d ＝｜A 1B 1→·n →｜ ｜n →｜＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜2＝22. 注：用向量求异面直线距离可避免做异面直线的公垂线段麻烦.课堂测试1、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为（ ） A ．58 B ．12 C ．23 D ．418，∠＝A ．62 B ．6 C ．12 D ．1443、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线AC 与BC 1间距离.4、正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，求点D1到BDE 的距离.1、如图，建立空间直角坐标系D－xyz，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上.①当2｜C1Q｜＝｜QC｜时，求｜PQ｜.②当点Q在棱CC1上移动时，探究｜PQ｜的最小值.2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，⑴求证：平面A1BC1∥平面ACD1；⑵求⑴中两个平面距离.。
向量法求空间的距离和角
所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一 个法向量，因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0)， ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲 由眄 即 取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, )，且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为 。 2
例1：如图1所示： 三棱柱ABC - A1 B1C1中，CA=CB， AB = AA1， ? BAA1 60o， （ 1）求证：AB^ A1C （2）若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B， AB =CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解：由(1)知OC ^ AB，OA1 ^ AB， 又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B，交线 为AB，所以OC ^ 平面AA1 B1 B， 故OA、OA1、OC两两相互垂直。 建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量，则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲 即 可取n = ( 3,1, -1)， 眄 镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |
高考专题向量法求空间距离
高考专题：向量法求空间的距离基础知识梳理(1)点到平面的距离(如图1)：平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅.(2)异面直线的距离(如图2)：设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅(3)线到平面的距离(如图3)：平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅.(4)平面到平面的距离(如图4)：平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅.图1nPM αb a图2n PMlαMPn图3β图4nPM αl典型例题剖析例1：如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，求异面直线1AA 与1BD 的距离。
变式：如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，求面对角线C B 1与体对角线1BD 的距离。
例2：在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点． 求1B 到面EFBD 的距离ABCD1A 1B 1C 1D ABCD1A 1B 1C 1D变式：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB ＝CC 1＝a ，BC ＝b.(1)设E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； (2)求证：A1C 1⊥AB ；(3)求B 1到平面ABC 1的距离．例3：三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A '' 是矩形，。
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一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d| AP|sin
P
n
| AP n |
sin
d
AP n
d | AP n |
Sz
(2)求 二 面N角CMB的 大 小 ；
(3)求 点B到 平 C面MN 的 距.离
N
C
O
y
B
A
M
x
2 ) A 1 E = ( - 1 , 1 2 , 0 ) , A 1 B = ( 0 , 1 , - 1 ) 设 n (x ,y ,z ) 为 面 A 1 B E 的 法 向 量 ，
则
n
得 A1E与 BD 1的 距 离d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
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A1 E
0,
x 1 y 0 , 2
z
n A1 B 0 , y z 0 ,
即
y z
2x, 2x,
取x＝1，得平面A1BE的
D1
一个法向量n(1,2,2) A 1
E
C1
B1
选 点 B 1 到 面 A 1 B E 的 斜 向 量 为 A 1 B 1 0 , 1 , 0 ,
则 D 1(0 ,0 ,1 ),B (1 ,1 ,0 ),A 1 (1 ,0 ,1 ),E (0 ,1 2,1 )
z
设 n A1 E(x ,y ,1z ,)是 12,与 0A ,1 E ,D D 11 B B 都 垂 1,1 直 , 的 1向 量 ， D 1
则 n A1E 0,
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面
ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，
求点B到平面GEF的距离。
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
练习7：
在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角
形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ，
M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面
CMN的距离. (1)证 明 A：CSB;
n
O
A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
二、直线到平面的距离
l
d | AP n |
n
P
n
d
O A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
d | AP n |ຫໍສະໝຸດ nAn
P
d
O
四、异面直线的距离
n
d | AP n | a
P
n
AP ?
b
n?
A
n 是与 a , b 都垂直的向量
x 1 y 0 , 2
A1
n D1B 0, x y z 0 ,
E
C1
B1
x 选 即A 1 E 与 zy B 3D 2xx1 的 ,, 取 两 x 点 ＝ 1 向 ， 量 得 为 其 D 中 1 A 一 1 个 1 n , 0 , 0 ( 1 , , 2 , A3 )D
(2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
z
D1
A1
D
A
x
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
平面到平面的距离： 异面直线的距离：
| AP n | n
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(1) 求B1到面A1BE的距离； z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
练习3:
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求直线DA1和AC间的距离。
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
D
得 B 1到 面 A 1B E 的 距 离 为 dA 1B n 1n2 3A
x
Cy
B
解 ： 1 ) 以 D 为 坐 标 原 点 ， D A 所 在 的 直 线 为 x 轴 ， D C 所 在 的 直 线 为 y 轴 ，
D D 1 所 在 的 直 线 为 z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D x y z ， 如 图 所 示
练习4：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,
∠ACB=900,AA1= 2 ,
求B1到平面A1BC的距离。C1 z
A1
B1
C
A
B
x
y
练习5：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
AC=BC=AB=1, AA1= 2
z
求B1到平面A1BC的距离。 C1
A1
B1
C
xA M
B y
练习6：