空间向量解决空间距离问题
利用空间向量解决空间距离问题
(1,
2,
3)
D
x 选A1E与BD1的两点向量为D1A1 1, 0, 0, A
得A1E与BD1的距离
d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
直线到平面旳距离：
d
|
AP n |
平面到平面旳距离：
n
异面直线旳距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1旳中点，求下列问题：
z (1) 求B1到面A1BE旳距离；
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1旳中点，求下列问题：
(4) 求异面直线D1B与A1E旳距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
练习1：
已知棱长为1旳正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 旳中点，求点A1到平 面DBEF旳距离。
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习2：
已知棱长为1旳正方体ABCD－A1B1C1D1， 求平面DA1C1和平面AB1C间旳距离。
已知正方形ABCD旳边长为4，CG⊥平面
ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD旳中点，
求点B到平面GEF旳距离。
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
练习7：
在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4旳正三角
形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ，
用空间向量研究距离、夹角问题全文
MN ( 1 1 )2 (0 1 )2 ( 1 0)2 2 .
22
22
2
y
x
【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂 直，点M在AC上，点N在BF上，若CM = BN = 2，求MN的长.
2
解2：设 AB a, AD b, AF c . 则
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(4) 求直线FC1到平面AB1E的距离.
D1
C1
解 : FC1 //平面AB1E,直线FC1到平面AB1E的距离 A1
B1
等于点C1到平面AB1 E的距离.
E
由(3)知平面AB1E的一个法向量为n (1, 2, 2). 易知C1(0,1,1), B1(1,1,1),C1B1 (1,0,0).
D1 A1
E
D
C1 B1
F
C
A
B
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(1) 求点A1到直线B1E的距离;
D1
C1
解 : 如图示,以D为原点建立空间直角坐标系, 则有
A1
B1
1 A1(1, 0,1), B1(1,1,1), E(0, 0, 2).
z0 ,
0
取y
1, 则z
1,
x
1.
∴平面D1CB1的一个法向量为n (1,1,1).
D
A x
C y
B
点B到平面D1CB1
的距离为
|
BC n |n|
用空间向量解决空间角和距离问题
0，π2
二面角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，
n2，则|cos
θ|＝
|cos〈n1，n2〉|
＝
|n1·n2| |n1||n2|
[0，π]
知识点二 利用空间向量求距离(※) 点到平面的距离：用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下： 先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面 的 法 向 量 上 的 射 影 长 . 如 图 ， 设 n ＝ (a ， b ， c) 是 平 面 α 的 一 个 法 向 量 ， P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到 平面 α 的距离 d＝|P→P|n0|·n|＝|ax0－x＋ab2＋y0－b2＋y＋c2 cz0－z|.
证明
②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角 的正弦值.
解答
类型二 求二面角问题 例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点， 求二面角A－A1D－B的余弦值.
解答
反思与感悟 求角二面角时，可以用方向向量法，也可以采用法向量 法求解.
2.向量法求距离(※) (1)求 P，Q 两点间的距离，可转化为求P→Q的模. (2)点到平面距离的求法：设 n 是平面 α 的法向量，B 是平面 α 外一点，A 是平面 α 内一点，AB 是平面 α 的一条斜线，则点 B 到平面 α 的距离为
→ d＝|A|Bn·|n|.
(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，利用(2)中的方法求解.
4 2×2
2＝12，
且〈P→B，D→B〉∈[0，π]，∴〈P→B，D→B〉＝π3， ∴BD 与平面 ADMN 所成的角为π6.
(优选)空间向量的距离问题
M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
2 ∴ MC (
2
a,
2 a, 0) ,
2 MN
2
(0,
1
a,
1
a)
,
2
22
z
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量,
∴ n MC 2 ax ay 0 且
P
2
n MN a y a z 0 22
P
n
则 d=| PO |=| PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥n .
A O
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
解得 2 x y z , 2
∴可取 m ( 2,1, 1)
D M
A
x
MA ( 2 a, 0, 0) 2
∴ n MN , n MC
N
Cy
B
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
小结
1、E为平面α外一点,F为α内任意一 点, n为平面α的法向量,则点E到平面的 距离为: d | n EF |
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60)
6 所以 | AC1 | 6
回到图形问题
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
2025年高考数学一轮复习-8.7-利用空间向量研究距离问题【课件】
·
·
·e= ·e,故其模为
·
3.点到平面的距离公式
如图,点P为平面α外一点,点A为平面α内的定点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于
点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量
· |·|
的长度,则PQ=|· |=|
|=
.
||
第八章
立体几何初步、空间向量与立体几何
第七节
利用空间向量研究距离问题
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的
距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的
作用.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
2
2
.
【解析】依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离,而=(2,1,1),所
|·| |−1×2+0×1+1×1| 1 2
以平行平面α,β间的距离d=
=
= = .
2 2
||
(−1)2 +02 +12
核心考点·分类突破
考点一点线距及其应用
[例1](1)空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离
则=(-2,1( 2) 2 = 3.
·
=
|−2×1+1×0+0×(−1)|
2
= 2,所以点P(-1,2,1)到
4.(不能正确使用公式)若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两
利用空间向量解决空间距离问题
2x, 3x,
D A
x
得A1E与BD1的距离
d D1A1 n n
14 14
Cy
B
B1到面A1BE的距离
2)A1E
=(-1,1 2
,0),A1B=(0,1,-1)设n
(
x,
y,
z
)为面A1BE的法向量，
则
n
A1E
0,
n A1B 0,
x 1 y 0, 2 y z 0,
则D1
(0,
Hale Waihona Puke 0,1),B(1,1,
0),
A1
(1,
0,1),
E(0,
1 2
,1)
z
A1E
1,
1 2
,
0
,
D1B 1,1, 1
D1
E
C1
n
A1E
0,
x 1 y 0, 2
A1
B1
n D1B 0, x y z 0,
即zy
n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
即zy
2x, 2x,
z
D1 A1
利用空间向量研究距离问题-高考数学复习
17
17
考点二
例2
点到平面的距离
如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC 1 F所截而
得到的，其中 AB ＝4， BC ＝2， CC 1＝3， BE ＝1.
(1)求 BF 的长；
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 D (0，0，0)， B (2，4，0)，
A (2，0，0)， C (0，4，0)，
[解] 设 n 为平面 AEC 1 F 的一个法向量，
设 n ＝( x ， y ， z )， ＝(0，4，1)， ＝(－2，0，2)，
0 × + 4 × + 1 × = 0，
· = 0，
由൝
得ቊ
−2 × + 0 × + 2 × = 0，
· = 0，
4＋ = 0，
由于 ＝
1
0， ，0
2
，
又由(1)知平面 PEF 的法向量为 n ＝(2，2，3)，
｜ · ｜
所以点 A 到平面 PEF 的距离为
＝
｜｜
17
即直线 AC 到平面 PEF 的距离为
.
17
1
2
3
4
5
6
1
17
＝
，
17
17
2. 如图所示，在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AD ＝ AA 1＝1， AB ＝
2 357
17
.
建系如图，则 A (2，0，0)， D 1(0，0，1)， C (0，4，0)，
E (1，2，0)， 1 ＝(0，4，－1)， 1 ＝(1，2，－1)，
所以｜ 1 ｜＝ 6 ，所以 D 1 E ＝ 6 .
用空间向量研究距离、夹角：距离问题
用空间向量研究距离、夹角:距离问题学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用．导语如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A 处，修建一个蔬菜存储库．如何在公路上选择一个点，修一条公路到达A 点，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？一、点到直线的距离问题1如图，已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点．如何利用这些条件求点P 到直线l 的距离？提示设AP →＝a ，则向量AP →在直线l 上的投影向量AQ →＝(a ·u )u .在Rt △APQ 中，由勾股定理，得点P 到直线l 的距离为PQ ＝|AP →|2－|AQ →|2＝a 2－(a ·u )2.知识梳理PQ ＝(|AP →|2－|AQ →|2)＝a 2－(a ·u )2.问题2类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？提示在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．例1如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为平面A 1ABB 1的中心，E 为BC的中点，求点O 到直线A 1E 的距离．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，E 12，1，0，O 1，12，12，因为A 1E —→＝－12，1，－1u ＝A 1E —→|A 1E —→|＝－13，23，－23，取a ＝OA 1—→0，－12，12所以a 2＝12，a ·u ＝－23.所以点O 到直线A 1E 的距离为a 2－(a ·u )2＝12－49＝26.反思感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．跟踪训练1如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知AB ＝3，AD＝4，PA ＝1，求点P 到BD 的距离．解如图，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (3,0,0)，D (0,4,0)，所以PB →＝(3,0，－1)，BD →＝(－3,4,0)，取a ＝PB →＝(3,0，－1)，u ＝BD →|BD →|＝－35，45，0则a 2＝10，a ·u ＝－95，所以点P 到BD 的距离为a 2－(a ·u )2＝10－8125＝135.二、点、直线、平面到平面的距离问题3已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点．如何求平面α外一点P 到平面α的距离？提示过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则点P 到平面α的距离为PQ ＝|AP →·n ||n |.知识梳理PQ ＝|AP →·n ||n |.注意点：(1)实质上，n 是直线l 的方向向量，点P 到平面α的距离就是AP →在直线l 上的投影向量QP →的长度．(2)如果一条直线l 与一个平面α平行，可在直线l 上任取一点P ，将线面距离转化为点P 到平面α的距离求解．(3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P ，可将两个平行平面的距离转化为点P 到平面β的距离求解．例2如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离；(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E 1，12，0，F 12，1，0.设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则DH →＝xDE →＋yDF →＋zDP→＝x ＋12y ，12x ＋y ，z ，x ＋y ＋z ＝1，PE →1，12，－1PF →12，1，－1所以DH →·PE →＝x ＋12y ＋1212x ＋y z＝54x ＋y －z ＝0.同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0，又x ＋y ＋z ＝1，解得x ＝y ＝417，z ＝917.所以DH →＝317(2,2,3)，所以|DH →|＝31717.因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)由题意得，AC ∥EF ，直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离，由(1)知AE →＝0，12，0平面PEF 的一个法向量为n ＝(2,2,3)，所求距离为|AE →·n ||n |＝117＝1717.反思感悟用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP →，α内两不共线向量，平面α的法向量n )．(4)求距离d ＝|AP →·n ||n |.跟踪训练2如图所示，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高．解设正四棱柱的高为h (h >0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A (0,0，h )，B 1(1,0,0)，D 1(0,1,0)，C (1，1，h )，则AB 1—→＝(1,0，－h )，AD 1—→＝(0,1，－h )，AC →＝(1,1,0)，设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AB 1—→＝0，·AD 1—→＝0，－hz ＝0，－hz ＝0，取z ＝1，得n ＝(h ，h ,1)，所以点C 到平面AB 1D 1的距离为d ＝|n ·AC →||n |＝h ＋h ＋0h 2＋h 2＋1＝43，解得h ＝2.故正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为2.1．知识清单：(1)点到直线的距离．(2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化．2．方法归纳：数形结合、转化法．3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的1．已知A (0,0,2)，B (1,0,2)，C (0,2,0)，则点A 到直线BC 的距离为()A ．223B ．1C ．2D ．22答案A解析∵A (0,0,2)，B (1,0,2)，C (0,2,0)，AB →＝(1,0,0)，BC →＝(－1,2，－2)，∴点A 到直线BC 的距离为d＝223.2．若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA ＝PB ＝PC ＝1，则点P 到平面ABC 的距离是()A ．66B ．63C ．36D ．33答案D解析以P 为坐标原点，分别以PA ，PB ，PC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)．可以求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)，则d ＝|PA →·n ||n |＝33.3．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离为()A ．36B ．33C ．233D ．32答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，D (0，0,1)，A (1,0,1)，所以DA 1—→＝(1,0，－1)，DC 1—→＝(0,1，－1)，AD →＝(－1,0,0)，设平面A 1C 1D 的一个法向量为m ＝(x ，⊥DA 1—→，⊥DC 1—→，－1＝0，－1＝0，＝1，＝1，故m ＝(1,1,1)，显然平面AB 1C ∥平面A 1C 1D ，所以平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离d ＝|AD →·m ||m |＝13＝33.4．已知直线l 经过点A (2,3,1)，且向量n ＝(1,0，－1)所在直线与l 垂直，则点P (4,3,2)到l 的距离为________．答案22解析因为PA →＝(－2,0，－1)，又n 与l 垂直，所以点P 到l 的距离为|PA →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22.练习1.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝a ，AA 1＝2a ，则点D 1到直线AC 的距离为()A ．3aB ．3a 2C ．22a 3D ．32a 2答案D 解析方法一连接BD ，AC 交于点O (图略)，则D 1O ＝32a2所求．方法二如图建立空间直角坐标系，易得C (a ，a ,0)，D 1(0，a ,2a )，取a ＝CD 1—→＝(－a ,0,2a )，u ＝AC →|AC →|＝22，22，0则点D 1到直线AC 的距离为a 2－(a ·u )2＝5a 2－12a 2＝32a 2.2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是()A ．32B ．22C ．3D ．32答案B解析∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2，1,1)，OA →＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，∴两平面间的距离d ＝|n ·OA →||n |＝|－2＋0＋1|2＝22.3．已知动直线l 过点A (1，－1,2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3,0,4)，则P (3,5,0)到l 确定的平面的距离为()A ．5B ．14C ．145D ．45答案C解析∵PA →＝(－2，－6,2)，PA →·n ＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n |＝5，∴点P 到直线l 的距离d ＝|PA →·n ||n |＝145.4．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝5，AB ＝12，则直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离是()A ．5B ．8C ．6013D ．133答案C解析以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,12,0)，D 1(0,0,5)．设B (x ,12,0)，B 1(x ,12,5)(x >0)．设平面A 1BCD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，由n ⊥BC →，n ⊥CD 1—→，得n ·BC →＝(a ，b ，c )·(－x ,0,0)＝－ax ＝0，n ·CD 1—→＝(a ，b ，c )·(0，－12,5)＝－12b ＋5c ＝0，所以a ＝0，b ＝512c ，所以可取n ＝(0,5,12)．又B 1B —→＝(0,0，－5)，所以点B 1到平面A 1BCD 1的距离为|B 1B —→·n ||n |＝6013.因为B 1C 1∥平面A 1BCD 1，所以B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离为6013.5．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离等于()A ．23B ．223C ．233D ．43答案D解析以D 1为坐标原点，分别以D 1A 1——→，D 1C 1—→，D 1D —→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(2,2,0)，C 1(0,2,0)，E (2,1，2)，F (1,2,2)．B 1E —→＝(0，－1,2)，B 1F —→＝(－1,0,2)，设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·B 1E —→＝0，n ·B 1F —→＝0，－y ＋2z ＝0，－x ＋2z ＝0，令z ＝1，得n ＝(2,2,1)．又∵B 1C 1——→＝(－2,0,0)，∴点C 1到平面B 1EF 的距离d ＝|n ·B 1C 1——→||n |＝|－2×2＋0＋0|22＋22＋1＝43.6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为()A ．32B ．24C ．12D ．33答案B解析以{DA →，DC →，DD 1—→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，C 1O —→＝12C 1A 1——→＝12，－12，0ABC 1D 1的一个法向量为DA 1—→＝(1,0,1)，点O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|DA 1—→·C 1O —→||DA 1—→|＝122＝24.7．Rt △ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P 到斜边AB 的距离是________．答案3解析以C 为坐标原点，CA ，CB ，CP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (4,0,0)，B (0,3,0)，，0所以AB →＝(－4,3,0)，AP →4，0取a ＝AP →4，0u ＝AB →|AB →|＝－45，35，则P 到AB 的距离为d ＝a 2－(a ·u )2＝16＋8125－25625＝3.8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie nao)，如图．已知在鳖臑P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为________．答案2解析以B 为坐标原点，BA ，BC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，如图，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，P (2，0,2)，C (0,2,0)，由M 为PC 的中点可得M (1,1,1)．BM →＝(1,1,1)，BA →＝(2,0,0)，BP →＝(2,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ABM 的一个法向量，n ·BA →＝0，n ·BM →＝0，2x ＝0，x ＋y ＋z ＝0，令z ＝－1，可得n ＝(0,1，－1)，点P 到平面MAB 的距离为d ＝|n ·BP →||n |＝ 2.9．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，M 为BB 1的中点，N 为BC 的中点．(1)求点M 到直线AC 1的距离；(2)求点N 到平面MA 1C 1的距离．解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，M (2,0,1)，C 1(0,2,2)，直线AC 1的一个单位方向向量为s 0＝0，22，22AM →＝(2,0,1)，故点M 到直线AC 1的距离d ＝|AM →|2－|AM →·s 0|2＝5－12＝322.(2)设平面MA 1C 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·A 1C 1—→＝0，n ·A 1M —→＝0，2y ＝0，2x －z ＝0，取x ＝1，得z ＝2，故n ＝(1,0,2)为平面MA 1C 1的一个法向量，因为N (1,1,0)，所以MN →＝(－1,1，－1)，故N 到平面MA 1C 1的距离d ＝|MN →·n ||n |＝35＝355.10．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段DD 1的中点，F 为线段BB 1的中点．(1)求直线FC 1到直线AE 的距离；(2)求直线FC 1到平面AB 1E 的距离．解建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(1,1,1)，，0，1C 1(0,1,1)，A (1,0,0)．(1)因为AE →1，0FC 1—→1，0所以AE →∥FC 1—→，即AE ∥FC 1，所以点F 到直线AE 的距离即为直线FC 1到直线AE 的距离．u ＝AE →|AE →|＝－255，0AF →，1AF →2＝54，AF →·u ＝510，所以直线FC 1到直线AE ＝305.(2)因为AE ∥FC 1，所以FC 1∥平面AB 1E ，所以直线FC 1到平面AB 1E 的距离等于C 1到平面AB 1E 的距离．C 1B 1——→＝(1,0,0)，AB 1—→＝(0,1,1)，设平面AB 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AB 1—→＝0，·AE →＝0，＋z＝0，x＋12z＝0，取z＝2，可得n＝(1，－2,2)，所以C1到平面AB1E的距离为|C1B1——→·n||n|＝13，所以直线FC1到平面AB1E的距离为13.11．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足AP→＝34AB→＋12AD→＋23AE→，则P到AB的距离为()A．34B．45C．56D．35答案C解析如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，AB→，AD→，AE→可作为x，y，z轴方向上的单位向量，因为AP→＝34AB→＋12AD→＋23AE→，所以AP→，12，AB→＝(1,0,0)，|AP→·AB→||AB→|＝34，所以P点到AB的距离d＝|AP→|2－|AP→·AB→|AB→||2＝181144－916＝56.12．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为()A ．3λB ．22C ．23λD ．55答案D 解析以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则M (2，λ，2)，D 1(0,0,2)，E (2,0,1)，F (2,2,1)，ED 1—→＝(－2,0,1)，EF →＝(0,2,0)，EM →＝(0，λ，1)．设平面D 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·ED 1—→＝－2x ＋z ＝0，n ·EF →＝2y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0,2)，所以点M 到平面D 1EF 的距离为d ＝|EM →·n ||n |＝25＝255.因为N 为EM 的中点，所以N 到平面D 1EF 的距离为55.13．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为__________．答案32解析如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0，0,1)，M 1，1，12，A (1,0,0)，∴AM →0，1，12AC →＝(－1,1,0)，AD 1—→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AC →＝0，·AD 1—→＝0，x ＋y ＝0，x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32.又MN ∥AD 1，且MN ＝12AD 1，故MN ∥平面ACD 1，故直线MN 到平面ACD 1的距离为32.14．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．答案217解析建立如图所示的空间直角坐标系，则，12，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A —→，12，－C 1B 1——→＝(0,1,0)，C 1B —→＝(0,1，－1)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ,1)，1A →·n ＝32x ＋12y －1＝0，1B →·n ＝y －1＝0，解得n 1，则所求距离为|C 1B 1——→·n ||n |＝113＋1＋1＝217.15．如图，在四棱锥P －ABCD 的平面展开图中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∠HDC ＝∠FAB ＝90°，则四棱锥P －ABCD 外接球的球心到平面PBC 的距离为()A ．305B ．306C ．55D ．56答案C 解析该几何体的直观图如图所示，分别取AD ，BC 的中点O ，M ，连接OM ，PM ，PO ，∵PO ＝1，OM ＝2，PM ＝PB 2－BM 2＝6－1＝5，∴OP 2＋OM 2＝PM 2，∴OP ⊥OM ，又∵PO ⊥AD ，∴由线面垂直的判定定理得出PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系．则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (－1,2,0)，D (－1,0,0)，P (0,0,1)，设四棱锥P －ABCD 外接球的球心为N (0,1，a )，∵PN ＝NA ，∴1＋(1－a )2＝1＋1＋a 2，解得a ＝0.设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，PB →＝(1,2，－1)，PC →＝(－1,2，－1)，NP →＝(0，－1,1)，·n ＝0，·n ＝0，＋2y －z ＝0，x ＋2y －z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0,1,2)，则四棱锥P －ABCD 外接球的球心到平面PBC 的距离为d ＝|NP →·n ||n |＝|－1＋2|5＝15＝55.16．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CA ＝2，侧棱AA 1＝2，D 是CC 1的中点，则在线段A 1B 上是否存在一点E (异于A 1，B 两点)，使得点A 1到平面AED 的距离为263.解假设存在点E 满足题意．以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，D (0,0,1)，B (0,2,0)，AA 1—→＝(0,0,2)，BA 1—→＝(2，－2,2)．设BE →＝λBA 1—→，λ∈(0,1)，则E (2λ，2(1－λ)，2λ)，AD →＝(－2,0,1)，AE →＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，设n ＝(x ，y ，z )为平面AED 的一个法向量，·AD →＝0，·AE →＝0，2x ＋z ＝0，(λ－1)x ＋2(1－λ)y ＋2λz ＝0，取x ＝1，则y ＝1－3λ1－λ，z ＝2，即n ，1－3λ1－λ，AED 的一个法向量．因为点A 1到平面AED 的距离d ＝|AA 1—→·n ||n |＝263，所以26 3＝又λ∈(0,1)，所以λ＝1 2 .故存在点E，且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为26 3.。
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n
a
b
P
AP ?
n?
A
n 是与 a, b
都垂直的向量
作业 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 1，E为D1C1的中点，求下列问题：
求异面直线D1B与A1E的距离.
z
E
D1
A1
C1
B1
D
C
A
y
x
B
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴， DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 z 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 E D1 C1 设n ( x, y, z )是与 A1E , D1B都垂直的向量， 1 A1 则 B1 n A E 0, x y 0, 1 2 n D1 B 0, x y z 0, D y 2 x, C 即 取x＝ 1，得其中一个n (1, 2,3) z 3x, B 选A1E与BD1的两点向量为D1 A1 1,0,0 , A D1 A1 n 14 得A1E与BD1的距离 d 14 n
二、直线到平面的距离
l
| AP n | d n
A
P
d
O
n
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
三、平面到平面的距离
n
P
| AP n | d n
d
A
O
四、异面直线的距离
| AP n | d n
空间距离问题的向量解法
一、求点到平面的距离
一般方法：Leabharlann 利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段，再计算这个 垂线段的长度。
P
d
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
| AP n | d n
A
P
n
d
O
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
y
x
四种距离的统一向量形式：
直线到平面的距离： | AP n | d 平面到平面的距离： n
异面直线的距离：
点到平面的距离：
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。