空间向量距离的计算课件

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用空间向量求点到面的距离 PPT

2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤，n
O
为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________．解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1，设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，则n·E→F＝0，且n·P→E＝0，所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解：建系如图,建立空间直角坐标系，
求向量求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)

二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC．又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO．又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO．如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|

用空间向量研究距离、夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修

(1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
问题二、如何利用方向向量、法向量求异面直线的夹角、直线与平面所成夹角、平面与平面夹角、二面角？
1、异面直线的夹角
范围：[0°,90°]
l1
u
v
l2
uv
cos cos u,v
uv
2、直线与平面的夹角
教学目标
(1)学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量法
(2)能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题 (3)提高分析与推理能力和空间想象能力
问题与例题
问题一、立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何用空间向量解决这些问题呢？
课后作业
课时作业（四）A组：教材P43第9、10题 B组：教材P43第15、18题
与β的夹角为_3___.
3.如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求（1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值（2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值（3）平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．
课堂小结
1、向量法求点到直线（平行直线）的距离． 2、向量法求点到平面（直线到平面、平面到平面）的距离． 3、向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角．
范围：[0°,90°]
l
u
n
un
sin cos u, n
un
3、平面与平面的夹角
范围：[0°,90°]
n2
n1
cos cos n1, n2 n1 n2
n1 n2
例题3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，

3.2.4 利用空间向量求空间距离课件(人教A版选修2-1)4

→NE·A→P＝0， N→E·A→C＝0，
即－x，12，1－z －x，12，1－z
，0，＝0， 3，1，＝0，
－z ＝0，化简得－ 3x＋12＝0.
x＝ ∴
63，
z＝1.
即 N 点的坐标为 63，0，1，从而 N 点到 AB 和 AP 的距
离分别为 1， 63. 点评：(1)本题利用题设条件将点到直线的距离转化为到
为 1.
(2)由已知有E→A⊥E→B1，B→1A1⊥E→B1，故二面角 AEB1A1 的平面角 θ 的大小为向量B→1A1与E→A的夹角．
( ) 因B→1A1＝B→A＝ 0，0， 2 ，E→A＝－ 23，－12， 2，
故 cos θ＝|E→ E→AA· ||BB→→11AA11|＝ 36，即 tan θ＝ 22.
解析：(1)如图，连接 BD 交 AC 于点 O，因为 BC＝CD，即△BCD 为等腰三角形，又 AC 平分∠BCD，故 AC⊥BD. 以 O 为坐标原点，O→B，O→C，A→P的方向分别为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 OC＝CDcos π3 ＝1，而 AC＝4，得 AO＝AC－OC＝3，又 OD＝CDsin π3 ＝ 3. 故 A(0，－3,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，D(－ 3，0,0)．因 PA⊥底面 ABCD，可设 P(0，－3，z)，因为 F 为 PC 的中点，所以 F0，－1，z2. 又A→F＝0，2，2z，P→B＝( 3，3，－z)，
点评：用空间向量求异面直线间的距离由两种方法：① 求公垂线的长度，用空间中两点间距离公式求解；②转化为点到直线的距离求解．
变式
训练
2.
如图，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB ＝∠ACD＝π3 ，F 为 PC 的中点，AF⊥PB.

用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时+用空间向量研究距离问题)课件

= -,
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2

1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版数学选择性必修

空间向量的夹角和距离公式PPT教学课件

3
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h，那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C
锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
1 13
问题2、解答过程中的
A
3
×2
BC ·AEcosθ·AD其中 1 AEcosθ·AD可表示意思？
2
分析：
B θ
E C
∵AEcosθ＝ED
1
D ∴S△AED＝ 2 ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE 分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。
结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’
2 B’
3
C’
B’
1
A
C
C

用向量法求空间距离课件

奇异点
在某些情况下，向量法求空间距离可能会遇到奇异点，即某些点的坐标值可能为无穷大或不确定。对于这些点，应采取适当的处理方式，如排除或进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标系、极坐标系等。不同的坐标系可能会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以用于解决其他几何问题。

空间向量求距离PPT课件

D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n (x, y, z)x
D
C
n
EF，n
EG
2x 2y 0 2x 4 y 2
0
F
n ( 1 , 1 ,1) ,BE (2,0,0) A
M
22
解得 2 x y z ,
A
2
x
B
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
第6页/共17页
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 GEF的距离。
.
练习5
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求
异面直线DA1与AC的距离。z
D1
C1
A1
B1
D
A x
第15页/共17页
C y
B
练习6:如图,
ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与面ABCD所成的角为45，点S到面ABCD的距离为1，求AC与SD的距离。
z S
B
Ay
xC
D
第16页/共17页
n CE 0 即 x y 0
(
x,
y,
z).则
A1
C1
z
B1
n AB1 0
2x 2 y 4z 0
C
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)

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G
x D F A
C
E
y
B
例: 1 如图，已知正方形
ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到 z 平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| n|

A
O
| PA | | n | | cos PA, n |
=
| PA n | |n|
.
这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点（常选特殊点）的向量在平面的法向量上的投影的绝对值
例1、已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥ 平面ABCD，GC=2,E、F分别是AB、AD的 z 中点，求点B到平面GEF的距离。
2 2 1 1 a , 0, 0) N ( a , a, a ) ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, ∴ M ( 2 2 2 2
1 1 2 2 z ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC 2 N ∴ n MC ax ay 0 且 C D y 2 a a M n MN y z 0 2 2 2 A 解得 x y z , B 2 x ∴可取 n ( 2,1, 1)
F A
C
E
y
B
练习2: 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，求AC与平面DA1C1的距离 DA n D1 C1 d n
A1 B1
D
A B
C
三、求平面与平面间距离
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，
求平面A1DC1与平面AB1C的距离
D1 A1 B1 C1
d
C
DA n n
∴d
MA n n a a A MNC 即点到平面的距离为 . 2 2
二、求直线与平面的距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d
| n BE| n
2 11 . 11
x D
一、求点到平面的距离
如图 A , 空间一点 P 到平面的距离为 d,已知平面的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
E
பைடு நூலகம்
y
B
2 11 2 11 .点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11 11
• 求点到平面的距离的步骤：
• ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标； • ⑵ 求平面的一个法向量的坐标； • ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标； • ⑷ 代入公式求出距离.
练习1:
EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )
x
F
D
C
取n (1,1, 3) ,BE (2,0,0)
d | n BE| n
2 x 2 y 0 n EF， n EG 2 x 4 y 2z 0 A
如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N D M A B C
解：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz 则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
学习目标：
1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的距离； 2．能用向量方法解决点面、线面、面面的距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用； 3. 探究题型，总结解法步骤。
复习回顾：
1.我们所学距离有哪几种？
2.已知，A(1,2,0),B(0,1,1),C(1,1,2) 试求平面ABC的一个法向量.
D
A B
练习3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
d
AB n n
A1
N
D1
F E
C1
M B1 D
C B
y
x
A
小结：
怎样利用向量求距离？点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面法向量上投影的绝对值。 •直线到平面的距离：转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。