空间向量与空间距离

空间向量与空间距离1.了解点到直线、平面距离的概念．2.会用空间向量求点到直线、平面距离．空间距离的向量求法1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B→的长度．()所成向量AB(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．()(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A.534 B.532 C.532 D.132答案：C3．已知直线l 过点A (1，－1，2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3，0，4)，则P (3，5，0)到l 的距离为( )A ．5B ．14 C.145 D.45 答案：C4．已知直线l 与平面α相交于点O ，A ∈l ，B 为线段OA 的中点，若点A 到平面α的距离为10，则点B 到平面α的距离为________．答案：5探究点一 点到直线的距离如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，AB＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离．[解] 因为AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，所以A ′(0，0，3)，C (1，2，0)，B (1，0，0)，所以直线A ′C 的方向向量A ′C →＝(1，2，－3)．又BC→＝(0，2，0)， 所以BC →在A ′C →上的射影长为|BC →·A ′C →||A ′C →|＝414. 所以点B 到直线A ′C 的距离d ＝|BC →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·A ′C →|A ′C →|2＝ 4－1614＝2357.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长；(4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．1.已知正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1C ，D 1A 1的中点，求点A 到EF 的距离．解：以D 点为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA ＝2，则A (2，0，0)，E (0，2，1)，F (1，0，2)，则EF →＝(1，－2，1)，F A →＝(1，0，－2)．|EF →|＝12＋（－2）2＋12＝6，F A →·EF→＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， F A →在EF →上的射影长为|F A →·EF →||EF→|＝16. 所以点A 到EF 的距离d ＝|F A |2－⎝ ⎛⎭⎪⎫162 ＝296＝1746.探究点二 点到平面的距离四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．(1)求证：DE ∥平面PFB ；(2)求点E 到平面PFB 的距离．[解] (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，2)，F (1，0，0)，B (2，2，0)，E (0，1，1)． FP→＝(－1，0，2)，FB →＝(1，2，0)，DE →＝(0，1，1)， 所以DE →＝12FP →＋12FB →，又因为DE ⊄平面PFB ，所以DE ∥平面PFB .(2)因为DE ∥平面PFB ，所以点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·FB →＝0n ·FP →＝0⇒⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0， 令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，所以n ＝(2，－1，1)．又因为FD→＝(－1，0，0)， 所以点D 到平面PFB 的距离d ＝|FD →·n ||n |＝26＝63. 所以点E 到平面PFB 的距离为63.用向量法求点面距的方法与步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标．(4)利用公式即可求得点到平面的距离.2.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离；(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0. 设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则DH→＝xDE →＋yDF →＋zDP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y ，12x ＋y ，z (x ＋y ＋z ＝1)， PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－1. 所以DH →·PE →＝x ＋12y ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y －z ＝54x ＋y －z ＝0. 同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0， 又x ＋y ＋z ＝1，所以可解得x ＝y ＝417，z ＝917.所以DH →＝317(2，2，3)．所以|DH →|＝31717. 因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)连接AC ，设AH ′⊥平面PEF ，垂足为H ′，则AH′→∥DH →，设AH ′→＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ≠0)，则EH ′→＝EA →＋AH ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0＋(2λ，2λ，3λ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ，2λ－12，3λ. 所以AH ′→·EH ′→＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0，即λ＝117.所以AH ′→＝117(2，2，3)，|AH ′→|＝1717， 又AC ∥平面PEF ，所以AC 到平面PEF 的距离为1717.1．空间距离的种类(1)空间中的距离有：点与点的距离、点到线的距离、点到面的距离、线与线的距离、线与面的距离、面与面的距离．(2)空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解．2．点面距、线面距、面面距的求解方法线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即如图，点B 到平面α的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪|AB →|·cos 〈AB →·n 〉 ＝|AB →·n ||n |. [说明] ①|AB →·n ||n |表示向量AB →在向量n 方向上投影的绝对值，也是其投影的大小，因此，点B 到平面α的距离也可以表示成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·n |n |或⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·n |n |. ②由于n |n |＝n 0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d ＝|AB →·n 0|.1．若三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足P A ＝PB ＝PC ＝1，则点P 到平面ABC 的距离是( ) A.66 B.63 C.36 D.33 解析：选D.分别以P A ，PB ，PC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)．可以求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1，1，1)，则d ＝|P A →·n ||n |＝33.2．已知直线l 经过点A (2，3，1)，且向量n ＝(1，0，－1)所在直线与l 垂直，则点P (4，3，2)到l 的距离为________．解析：因为P A →＝(－2，0，－1)，又n 与l 垂直，所以点P 到l 的距离为|P A →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22. 答案：223．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解：建系如图，则A (2，0，0)，E (0，2，1)，F (1，0，2)，G (2，1，0)，所以AG→＝(0，1，0)， GE→＝(－2，1，1)，GF →＝(－1，－1，2)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，点A 到平面EFG 的距离为d ，则⎩⎨⎧n ·GE →＝0n ·GF →＝0，所以⎩⎨⎧－2x ＋y ＋z ＝0，－x －y ＋2z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝z ，所以n ＝(z ，z ，z )， 令z ＝1，此时n ＝(1，1，1)， 所以d ＝|AG →·n ||n |＝13＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33.[A 基础达标]1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2，1)，点A (－1，3，0)在α内，则P (－2，1，4)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.103解析：选D.由已知得P A →＝(1，2，－4)，故点P 到α的距离d ＝|P A →·n ||n |＝|－2－4－4|3＝103. 2．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上取一点E ，使∠EAB ＝∠EAD ＝60°，则线段AE 的长为( )A.52B.62C. 2D. 3解析：选C.建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，E (x ，y ，1)， 故cos ∠EAB ＝AE→·AB →|AE →||AB →|＝xx 2＋y 2＋1＝12，cos ∠EAD ＝AE →·AD →|AE →||AD →| ＝yx 2＋y 2＋1＝12.于是x ＝y ＝22，故|AE→|＝12＋12＋1＝ 2.3．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是( )A.655 B.455 C.255D.55解析：选B.建立空间直角坐标系如图所示， 则BA→＝(0，2，0)，BE →＝(0，1，2)，设∠ABE ＝θ，则cos θ＝|BA→·BE →||BA →||BE →|＝225＝55， sin θ＝1－cos 2θ＝25 5.故A 到直线BE 的距离 d ＝|AB →|sin θ＝2×255＝455. 4．正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.32B.24 C 12D.33解析：选B.以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，C 1O →＝12C 1A 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－12，0，平面ABC 1D 1的法向量DA 1→＝(1，0，1)，点O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|DA 1→·C 1O →||DA 1→|＝122＝24.故选B.5．如图，ABCD ­EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足AP →＝34AB →＋12AD →＋23AE →，则P 到AB 的距离为( )A.34 B.45 C.56D.35解析：选C.如图，分别以AB 、AD 、AE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，AB→、AD →、AE →可作为x 、y 、z 轴方向上的单位向量， AP →＝34AB →＋12AD →＋23AE →， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫34，12，23， AB →＝(1，0，0)，AP →·AB →|AB →|＝34，所以P 点到AB 的距离 d ＝|AP →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·AB →|AB →|2 ＝181144－916＝56.6．直角△ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P 到斜边AB 的距离是________．解析：以C 为坐标原点，CA ，CB ，CP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (4，0，0)，B (0，3，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，95，所以AB →＝(－4，3，0)，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，0，95，所以AP →在AB 上的投影长为|AP →·AB →||AB →|＝165， 所以点P 到AB 的距离为d ＝|AP →|2－⎝⎛⎭⎪⎫1652＝16＋8125－25625＝3.答案：37．在底面是直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则AD 到平面PBC 的距离为________．解析：AD 到平面PBC 的距离等于点A 到平面PBC 的距离．由已知可知AB ，AD ，AP 两两垂直．以A 为坐标原点，AB→，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，P (0，0，2)，D (0，1，0)，则PB→＝(2，0，－2)，BC →＝(0，2，0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧2a －2c ＝0，b ＝0，取a ＝1，得n ＝(1，0，1)，又AB →＝(2，0，0)， 所以d ＝|AB→·n ||n |＝ 2.答案： 28．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为________．解析：过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N (图略)． 则可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32，MN ＝1. 由于BD→＝BM →＋MN →＋ND →， 所以|BD→|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2×(0＋0＋0)＝52，所以|BD →|＝102. 答案：1029．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，M 为BB 1的中点，N 为BC 的中点．(1)求点M 到直线AC 1的距离； (2)求点N 到平面MA 1C 1的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，M (2，0，1)，C 1(0，2，2)，直线AC 1的一个单位方向向量为s 0＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22，22，AM →＝(2，0，1)，故点M 到直线AC 1的距离d ＝|AM →|2－|AM →·s 0|2＝5－12＝322.(2)设平面MA 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1C 1→＝0且n ·A 1M →＝0，即(x ，y ，z )·(0，2，0)＝0且(x ，y ，z )·(2，0，－1)＝0，即y ＝0且2x －z ＝0，取x ＝1，得z ＝2，故n ＝(1，0，2)为平面MA 1C 1的一个法向量，与n 同向的单位向量为n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255.因为N (1，1，0)，所以MN →＝(－1，1，－1)，故点N 到平面MA 1C 1的距离d ＝|MN →·n 0|＝355.10．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥A 1D .(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离．解：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE ＝x ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E (1，x ，0)，A (1，0，0)，C (0，2，0)．(1)证明：因为DA 1→·D 1E →＝(1，0，1)·(1，x ，－1)＝0，所以DA 1→⊥D 1E →，即D 1E ⊥A 1D .(2)因为E 为AB 的中点，则E (1，1，0)，从而D 1E →＝(1，1，－1)，AC →＝(－1，2，0)，AD 1→＝(－1，0，1)， 设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，。