3.6利用空间向量解决距离问题
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利用空间向量解决空间距离问题
(1,
2,
3)
D
x 选A1E与BD1的两点向量为D1A1 1, 0, 0, A
得A1E与BD1的距离
d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
直线到平面旳距离：
d
|
AP n |
平面到平面旳距离：
n
异面直线旳距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1旳中点，求下列问题：
z (1) 求B1到面A1BE旳距离；
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1旳中点，求下列问题：
(4) 求异面直线D1B与A1E旳距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
练习1：
已知棱长为1旳正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 旳中点，求点A1到平 面DBEF旳距离。
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习2：
已知棱长为1旳正方体ABCD－A1B1C1D1， 求平面DA1C1和平面AB1C间旳距离。
已知正方形ABCD旳边长为4，CG⊥平面
ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD旳中点，
求点B到平面GEF旳距离。
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
练习7：
在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4旳正三角
形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ，
利用空间向量研究距离问题课件——2025届高三数学一轮复习
3
直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离,
1
1
′=(-1,0,1),=(0,1, ),′·= ,
3
3
|′|= 2,||= 1 +
1 10
= ,
9 3
1
3
′·
5
cos<′,>=
=
= ,
10
10
|′||| 2×
3
<′,>∈[0,π],
(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,已知E为CC'上一点,且2CE=EC',
在平面CDD'C'内作EF∥A'B,交C'D'于点F,则直线EF与A'B之间的距离
为
38
6
.
【解析】以A为坐标原点,AB,AD,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直
1
角坐标系,如图,则A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1, ),
中点,则MR∥OD,因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR∥平面OCD,
因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD,
所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥C以RN∥平面OCD,
因为MR∩RN=R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,
5
6
3
= ,
5
考点二点面距及其应用
[例2]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,
∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.
直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离,
1
1
′=(-1,0,1),=(0,1, ),′·= ,
3
3
|′|= 2,||= 1 +
1 10
= ,
9 3
1
3
′·
5
cos<′,>=
=
= ,
10
10
|′||| 2×
3
<′,>∈[0,π],
(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,已知E为CC'上一点,且2CE=EC',
在平面CDD'C'内作EF∥A'B,交C'D'于点F,则直线EF与A'B之间的距离
为
38
6
.
【解析】以A为坐标原点,AB,AD,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直
1
角坐标系,如图,则A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1, ),
中点,则MR∥OD,因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR∥平面OCD,
因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD,
所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥C以RN∥平面OCD,
因为MR∩RN=R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,
5
6
3
= ,
5
考点二点面距及其应用
[例2]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,
∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.
用空间向量研究距离、夹角问题全文
MN ( 1 1 )2 (0 1 )2 ( 1 0)2 2 .
22
22
2
y
x
【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂 直，点M在AC上，点N在BF上，若CM = BN = 2，求MN的长.
2
解2：设 AB a, AD b, AF c . 则
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(4) 求直线FC1到平面AB1E的距离.
D1
C1
解 : FC1 //平面AB1E,直线FC1到平面AB1E的距离 A1
B1
等于点C1到平面AB1 E的距离.
E
由(3)知平面AB1E的一个法向量为n (1, 2, 2). 易知C1(0,1,1), B1(1,1,1),C1B1 (1,0,0).
D1 A1
E
D
C1 B1
F
C
A
B
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(1) 求点A1到直线B1E的距离;
D1
C1
解 : 如图示,以D为原点建立空间直角坐标系, 则有
A1
B1
1 A1(1, 0,1), B1(1,1,1), E(0, 0, 2).
z0 ,
0
取y
1, 则z
1,
x
1.
∴平面D1CB1的一个法向量为n (1,1,1).
D
A x
C y
B
点B到平面D1CB1
的距离为
|
BC n |n|
用空间向量处理空间距离问题
O(0 , 0 , 2 ). y y 2 2 2 可得 OP = ( 0 , , - 2 ), OD = ( - , , 2 2 2
数理化学习 ( 高中版 ) 与 CD 1 的距离. 解 : 以 D 为坐标原点, 分别以 DA、 DC、 DD 1 为 x、 y、 z 轴, 建立空间直角坐标系 , 则 H ( 3 , 2 , 0 ), C ( 0 , 4 , 0), G ( 0 , 4 , 1), D 1 ( 0 , 0 , 2 ). y y 所以HG = ( - 3 , 2, 1 ), D 1C = ( 0 , 4 , - 2 ), y D 1G = ( 0 , 4 , - 1 ). 设 n = ( x, y, z) 是异面直线 HG 与 CD 1 的 公垂线的方向向量, 则 y n# HG = 0 , y n# D 1 C = 0 , 即 - 3x + 2y + z = 0 , 4y - 2z = 0 . 取 z= 2 ,得 x = 2 ). 所以异面直线 HG 与 CD 1 的距离为 y | D 1G # n | 6 61 d = = . | n | 61 点评: 用向量法求异面直线间的距离的步 骤是: ¹ 求两条异面直线公垂线的方向向量 n; º 在 两异 面直 线 上各 取 一点 G、 D 1, 得 向量 y y D 1G; » 求 D 1G 在 n 上的射影长 . 五、 求线面、 面面之间的距离 线与面、 面与面的距离都可以化归为点到 平面的距离求解 . 例 5 ( 2009年高考 重庆卷 ) 如图 7, 在五面 体 ABCDEF 中, AB M P DC, N BAD = , CD = 2 AD = 2 , 四边形 ABFE 为 平行四边形, FA L 平面 ABCD, FC = 3 , ED = EFCD 的距离. y y y 解 : 以点 A 为坐标原点, AB, AD, AF 的方向 # 22# 7 . 求 : 直线 AB 到平面 4 4 ,y= 1 ,则 n = ( , 1 , 3 3 为 x、 y、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 , 则 A(0 , 0, 0 ), C ( 2 , 2 , 0 ), D ( 0 , 2 , 0). y 设F(0 , 0 , z 0 ) ( z 0 > 0 ), 可得 FC = ( 2 , 2 , - z0 ). y 由 | FC | = 3 ,即 2 + 2 + z0 = 3 , y y 解得 F ( 0 , 0 , 1 ), 即 FC = ( 2 , 2, - 1 ), FD = (0 , 2 , - 1 ). 因为 AB M DC, DC < 面 EFCD, 所以直线 AB M 面 EFCD. 所以直线 AB 与平面 EFCD 的距离等于点 A 到平面 EFCD 的距离 . 设 n = ( x, y, z) 是平面 EFCD 的一个法向 量, 则 2x + 2y - z = 0 , 即 y 2y - z = 0 . n # FD = 0 , 取 y= 1 ,得x= 0 , z= 2 , 则 n = (0 , 1 , 2 ). 所以点 A 到平面 EFCD 的距离为 y | AF #n | = 2 = 2 5 d= . | n| 5 5 2 5 . 5 点评 : 当直线和平面平行时, 线面距离就转 从而直线 AB 到平面 EFCD 的距离为 化为点面距离求解 , 解题的关键是建立坐标系, 求出平面的法向量 , 正确运用公式 . 在例 4 中, 如果要求平面 CD 1B 1 与平面 A 1BD 的距离, 可转 化为直线 D 1B 1 与平面 A 1BD 的距离求解. 5高中数学课程标准 6 指出 : 立体几何教学 采用传统的综合法与向量法相结合 , 以向量法 为主 , 这充分体现向量的工具作用 , 是一种全新 的视角. 用向量法求空间距离 , 把传统的形式逻 辑证明转化为数值运算 , 即借助向量法使解题 模式化, 具有通用性和操作性 , 简化求解过程, 方便易行 . 福建省诏安一中 ( 363500) y n # FC = 0 ,
立体几何中的向量方法二空间距离问题数学选修
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式
x2 y2 z2
(其中
a
(x,
y,
z)
)
，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60)
6
所以 | AC1 | 6
回到图形问题
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6倍。
2、向量法求点到平面的距离：
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
AA EA, AA AF < EA, AF >=π-θ（或θ），
l 2
EA2
2
AA
AF 2
2EA
AF
m2 d 2 n2 2mncos
当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
d l2 m2 n2 2mncos
3. 异面直线间的距离
已知a,b是异面直线，n为的 法向量
n (1 , 3
1 3
EG
2x 2y 0 2x 4 y 2Z
,1) ,BE (2,0,0)
F
0
A
E
| n BE| 2 11
B
y
d
.
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2 11 .
11
2.(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已 知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
利用空间向量研究距离问题-高考数学复习
.
17
17
考点二
例2
点到平面的距离
如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC 1 F所截而
得到的，其中 AB ＝4， BC ＝2， CC 1＝3， BE ＝1.
(1)求 BF 的长；
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 D (0，0，0)， B (2，4，0)，
A (2，0，0)， C (0，4，0)，
[解] 设 n 为平面 AEC 1 F 的一个法向量，
设 n ＝( x ， y ， z )， ＝(0，4，1)， ＝(－2，0，2)，
0 × + 4 × + 1 × = 0，
· = 0，
由൝
得ቊ
−2 × + 0 × + 2 × = 0，
· = 0，
4＋ = 0，
由于 ＝
1
0， ，0
2
，
又由(1)知平面 PEF 的法向量为 n ＝(2，2，3)，
｜ · ｜
所以点 A 到平面 PEF 的距离为
＝
｜｜
17
即直线 AC 到平面 PEF 的距离为
.
17
1
2
3
4
5
6
1
17
＝
，
17
17
2. 如图所示，在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AD ＝ AA 1＝1， AB ＝
2 357
17
.
建系如图，则 A (2，0，0)， D 1(0，0，1)， C (0，4，0)，
E (1，2，0)， 1 ＝(0，4，－1)， 1 ＝(1，2，－1)，
所以｜ 1 ｜＝ 6 ，所以 D 1 E ＝ 6 .
17
17
考点二
例2
点到平面的距离
如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC 1 F所截而
得到的，其中 AB ＝4， BC ＝2， CC 1＝3， BE ＝1.
(1)求 BF 的长；
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 D (0，0，0)， B (2，4，0)，
A (2，0，0)， C (0，4，0)，
[解] 设 n 为平面 AEC 1 F 的一个法向量，
设 n ＝( x ， y ， z )， ＝(0，4，1)， ＝(－2，0，2)，
0 × + 4 × + 1 × = 0，
· = 0，
由൝
得ቊ
−2 × + 0 × + 2 × = 0，
· = 0，
4＋ = 0，
由于 ＝
1
0， ，0
2
，
又由(1)知平面 PEF 的法向量为 n ＝(2，2，3)，
｜ · ｜
所以点 A 到平面 PEF 的距离为
＝
｜｜
17
即直线 AC 到平面 PEF 的距离为
.
17
1
2
3
4
5
6
1
17
＝
，
17
17
2. 如图所示，在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AD ＝ AA 1＝1， AB ＝
2 357
17
.
建系如图，则 A (2，0，0)， D 1(0，0，1)， C (0，4，0)，
E (1，2，0)， 1 ＝(0，4，－1)， 1 ＝(1，2，－1)，
所以｜ 1 ｜＝ 6 ，所以 D 1 E ＝ 6 .
第1课时 用空间向量研究距离问题 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
A(0,0,0),C(1,1,0),N 1,0,
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
空间向量解决空间距离问题PPT教学课件
取x＝1，得平面A1BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
z
D1 A1
E
C1 B1
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n2 3A来自xCyB
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，
DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示
位。
让我们走近这两位先哲，让他们思想 的光环也闪耀在我们这一代人的心中！
综合性学习
我所了解的孔子和孟子
圣人孔子
• 孔子，名丘，字仲尼， 春秋时期鲁国人。他 的祖先是宋国贵族， 大约在孔子前几世没 落了，失掉了贵族的 地位，《史记》称 “孔子贫且贱”，孔 子自己也说：“吾少 也贱，故能多鄙事。” （《论语·子罕》）
孔子十五岁立志学习，先后 做过吹鼓手、仓库和牧场管 理员、小司空(掌管工程)及 司寇(掌管刑法)，曾拜老子 为师；五十多岁后周游列国， 宣传自己的政治主张。晚年 收徒讲学，并著书立说，编 修整理了《诗》、《书》、 《礼》、《乐》、《周易》、 《春秋》等书，直至七十三 岁逝世。
孔府
亚圣孟子
战国时期伟大的思想家， 名轲，邹（今山东邹县） 人。他幼年丧父，家庭贫 困，在母亲的教导下勤奋 学习。青年时以士的身份 游说诸侯，推行自己的政 治主张，后来退居讲学。 孟子继承和发展了孔子的 思想，提出一套完整的思 想体系，对后世产生了极 大的影响，被尊奉为“亚 圣”。
n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
第7讲 利用空间向量求空间角、空间距离
[注意] 直线与平面所成角的范围为[0，π2]，而向量之间的夹角的范围为 [0，π]，所以公式中要加绝对值．
6
利用空间向量求空间角、空间距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
3．二面角
(1)若 AB，CD 分别是二面角αl-β 的两个平面内与棱 l 垂直的异面直线，
则二面角(或其补角)的大小就是向量A→B与C→D的夹角，如图①.
逻辑推理
的距离问题和简单夹角问题.
2.平面与平面的夹 数学运算
2.了解向量方法在研究立体几何问题中 角(二面角)
直观想象
的作用
3.距离问题
2
利用空间向量求空间角、空间距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
01 02
知识特训 能力特训
3
利用空间向量求空间角、空间距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
01
知识特训
范围为(0，π)，所以公式中要加绝对值．
5
利用空间向量求空间角、空间距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
2．直线与平面所成角 如图所示，设 l 为平面α的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面α 的法向量，θ为 l 与α所成的角，则 sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝||aa|·|nn||.
(3)点到平面的距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
如 B 到图平所面示，α 已的知距离AB为为|B→平O|面＝_α_|A的→_B_|n一_·_| 条_n_| 斜__线__段．，n 为平面 α 的法向量，则点
11
利用空间向量求空间角、空间距离
《高考特训营》 ·数学 返 回
[记结论·提速能] 【记结论】
9
利用空间向量求空间角、空间距离
《空间向量及其运算》距离
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点， 点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过 点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的 角为，则点P到平面的距离 n
P
d PO PA sin
1
A
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6倍。
思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1 B1 D C
D1
C1Βιβλιοθήκη (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离）
补充作业：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
4.异面直线的距离:
①作直线a、b的方向向量a、 b，求a、b的法向量n，即此 异面直线a、b的公垂线的方 向向量； ②在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； ③求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距 离为
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 设 n ( x , y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量， A1 1 则 n A E 0, 1 x y 0, y 2 x , 2 即 z 3 x, n D1 B 0, x y z 0, 取x＝1，得其中一个n (1, 2, 3) A 选A1 E与BD1的两点向量为 D1 A1 1, 0, 0 , D1 A1 n 14 得A1 E与BD1的距离 d 14 n
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G
d
| n BE| n
2 11 . 11
x D
F A
C长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
d
AB n
A1
N
D1
F E
C1
n
x
A
M B1 D B
C
d
PA n n
例1、已知正方形ABCD的边长为4， CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
x D F A
C
E
y
B
例 :1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝ 2，求点 z B 到平面 EFG 的距离 . G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2), D C
x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )
1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
2 x 2 y 0 F n EF， n EG 2 x 4 y 2 0
和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行 平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的 长叫做这两个平行平面间的距离。
空间“距离”问题
一、 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
2 2 2 2 a x y z 利用公式 a a 或
(其中 a ( x, y, z) ) ，可将两点距离问题
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| PA n |
.
A
O
|n| 这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
二、求点到平面的距离
方法指导：若点P为平面α外一点，点A为平面α内任 一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式 为
（4）两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异 面直线的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段 的长度，叫两异面直线的距离。 （5）直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点 到这个平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平 面的距离叫做这条直线和平面的距离。 （6）两平行平面间的距离
解：如图建立坐标系 C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). z CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2 x 2 y 4 z 0 n AB 0
D1 C1 A1
B1 C y
D A B
x
课堂小结： 本节主要内容是用向量知识来解决空间中的 距离问题，与以前方法比较，它有效地避免 了做距离的麻烦；另外求距离时要注意各种 距离之间的转化。
1 1 1
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
1
C
在两直线上各取点 C, A,CA (2,0,0).
A
B
x
E
y
| n CA | 2 3 CE与 AB1的距离d . |n| 3
练习
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面 直线DA1与AC的距离。 z
例2
△ ABC 中 , AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
C1 A1
z
B1
C A B
x
E
y
例2
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
△ ABC 中 , AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
A
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习1: SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , 求A到平面SCD的距离。 z
S A B x C D y
练2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
转化为求向量模长问题
二、求点到平面的距离 如何利用空间向量求点到平面的距离：
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
y
三、求异面直线的距离
M
a
A
n
d
AB n n
N
B
b
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向 量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为
B n A
b a
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
空间向量 在立体几何中的应用
一、回顾知识
1.距离定义 （1）点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足 之间的距离叫这点到这条直线的距离。
（2）点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足 之间的距离叫这点到这个平面的距离。 （3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行 线间的距离。