向量法求空间点到平面的距离
向量法求空间距离
C
By
D
xA
五、二面角
n1 n2
n1 n2
cosθ n1 n2 |n1||n2 |
例4、(2008浙江).如图矩形ABCD和梯形BEFC
所在平面互相垂直,BE//CF,∠BCF=∠CEF=900
AD= 3 ,EF=2。
求证:1）AE//平面DCF.2）当AB长为何值是时，
二面角A－EF－C的大小为600？
DH (
2, 2
2 ,1) 2
D
Cy
xA
BB
练习：如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD
是平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知
∠ABC=450，AB=2，BC=2√2，SA=SB=√3.
（1）求证：SA⊥BC；（2）求直线SD与平
面SAB所成角的正弦值。
zS
22
11
n (1,1, 2)
一.求点到平面的距离
A
n
O
P
A到面α的距离
d | APn | |n|
例1、已知正方体ABCD的边长为4，CG⊥面 ABCD，CG＝2，E、F分别是AB、AD的中点， 求点B到平面GEF的距离。
zG
n (1,1,3)
DP
xEF
B
y
二.直线到平面的距离
A
nC
a
B
d = |AB·n| |n|
四、线面角
Bl
an
A
C
sinθ= |a n| |a||n|
例3、（2008·海南、宁夏理科卷）如图，已知
点P在正方体的对角线BD1上，∠PDA＝600．
（Ⅰ）求DP与CC1所成角的大小； 450
（Ⅱ）求DP与平面AA1D1D所成角的大小．
用空间向量求点到面的距离
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
工绝具对值.
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
uuur
则n·uEuFur ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
uur
用空间向量求点到面的距离
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin u u ur
d| AP|sin
AP
P
r
u u ur r
n
| AP n |
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
向量法求空间点到平面的距离课件
a•b abcos(为a与b的夹角）
学习交流PPT
2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
学习交流PPT
3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
学习交流PPT
1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
学习交流PPT
y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
学习交流PPT
4
练习1
点到平面距离公式向量推导过程
点到平面距离公式向量推导过程点到平面的距离是根据点到平面最近的一点和该点之间的距离来计算的。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标为(x0,y0,z0)。
我们可以用向量的方式推导点到平面的距离公式。
1.首先，我们可以用平面上的两个向量a和b的向量积来表示平面的法向量n。
设平面上的两个点为P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)，则向量a 可以表示为a=P1P2=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，向量b可以表示为b=PN=(x0-x1,y0-y1,z0-z1)。
根据向量积的性质，平面的法向量n可以表示为n=a×b。
2. 接下来，我们需要求出点P到平面的最近点Q的坐标(xq, yq, zq)。
根据平面的法向量n和点P到Q的向量QP的向量积为零，即n · QP = 0。
向量QP可以表示为QP = PQ = (xq - x0, yq - y0, zq - z0)。
将向量n和向量QP带入上述等式，我们可以得到：n · QP = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) · (xq - x0, yq - y0, zq - z0) = 03.将上述等式展开，我们可以得到三个方程：(x2 - x1)(xq - x0) + (y2 - y1)(yq - y0) + (z2 - z1)(zq - z0) = 0x2(xq - x0) - x1(xq - x0) + y2(yq - y0) - y1(yq - y0) +z2(zq - z0) - z1(zq - z0) = 0x2xq - x2x0 - x1xq + x1x0 + y2yq - y2y0 - y1yq + y1y0 + z2zq - z2z0 - z1zq + z1z0 = 04.移项整理上述方程，得到：(x2 - x1)xq + (y2 - y1)yq + (z2 - z1)zq = x2x0 + y2y0 + z2z0 - x1x0 - y1y0 - z1z05.根据平面的法向量和平面上的一点可以表示平面的方程，我们可以得到：n·P=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)·(x0,y0,z0)=Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1)6. 由于平面上的最近点Q与平面上的一点P位于同一条直线上，所以点Q也满足平面的方程。
点到平面距离公式向量推导过程
点到平面距离公式向量推导过程点到平面的距离是指从点到平面上的最短距离，即垂直于平面的线段的长度。
我们可以通过向量的投影来推导点到平面的距离公式。
设平面上一点为A，法向量为n，空间内一点为P。
假设P到平面的垂足为H，连接PH，有以下向量关系：1.向量PH垂直于平面：PH⋅n=02.向量AP平行于平面：AP⋅n=03.向量AH垂直于平面：AH⋅n=0根据上述向量关系，我们可以求得向量PH。
首先，假设平面上一点A为原点，两个平面内的向量可以用坐标表示，向量PH可表示为向量P减去向量H：PH=P-H根据第一条向量关系，我们知道PH⋅n=0，即(P-H)⋅n=0。
展开计算得：(P-H)⋅n=P⋅n-H⋅n=0我们知道H⋅n=0，即垂足H在平面上，所以上式变为：P⋅n=0这表示向量P平行于向量n，即向量P和向量n共线。
因此，可以设向量P=t⋅n，其中t为实数。
代入上式得：t⋅n⋅n=0n⋅n=0由于向量n不为零向量，n⋅n不为零，所以只有t=0，即向量P为零向量，也就是说向量P在平面上。
接下来我们计算向量AP：AP=A-P由于设点A为原点，所以A向量的坐标为(0,0,0)，代入上式得：AP=-P根据第二条向量关系，我们知道AP⋅n=0，即-P⋅n=0，进一步展开计算得：-P⋅n=0P⋅n=0和前面得到的结果相同，即向量P和向量n共线。
此时，我们可以得到向量P和向量n的夹角θ：cosθ = P⋅n / (，P，⋅，n，)因为向量n是单位向量，所以，n，=1，上式变为：cosθ = P⋅n / ，P根据余弦定理，cosθ = ，PH， / ，P，所以上式可以转化为：PH， = ，P，⋅cosθ这表示点到平面距离等于点P到垂足H的距离，也就是我们所要求的最短距离。
综上所述，点到平面的距离公式可以推导为：PH， = ，P，⋅cosθ其中，P为点的向量，n为平面的法向量，θ为点P和法向量n的夹角。
高考专题向量法求空间距离
高考专题：向量法求空间的距离基础知识梳理(1)点到平面的距离(如图1)：平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅.(2)异面直线的距离(如图2)：设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅(3)线到平面的距离(如图3)：平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅.(4)平面到平面的距离(如图4)：平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅.图1nPM αb a图2n PMlαMPn图3β图4nPM αl典型例题剖析例1：如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，求异面直线1AA 与1BD 的距离。
变式：如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，求面对角线C B 1与体对角线1BD 的距离。
例2：在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点． 求1B 到面EFBD 的距离ABCD1A 1B 1C 1D ABCD1A 1B 1C 1D变式：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB ＝CC 1＝a ，BC ＝b.(1)设E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； (2)求证：A1C 1⊥AB ；(3)求B 1到平面ABC 1的距离．例3：三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A '' 是矩形，。
空间点到面距离公式向量法
空间点到面距离公式向量法好的，以下是为您生成的文章：在咱们学习数学的奇妙世界里，有一个超实用的家伙，那就是空间点到面距离公式向量法！这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们轻松打开好多几何难题的大门。
还记得我之前监考的一场考试，有一道题就是关于求空间点到面的距离。
当时大部分同学都愁眉苦脸的，抓耳挠腮，那场面真是让人又着急又觉得好笑。
其实啊，如果他们能把这个向量法给吃透，这道题根本就不在话下。
咱们先来说说这个向量法到底是啥。
简单来说，就是通过向量的运算来求出空间点到平面的距离。
假设平面的法向量为\(\vec{n}\)，平面上任意一点为\(P\)，要求距离的点为\(Q\)，那么点\(Q\)到平面的距离\(d\)就可以用公式\(d = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\)来计算。
可别被这一堆字母和符号给吓到啦！咱们来仔细琢磨琢磨。
比如说，有一个平面方程是\(Ax + By + Cz + D = 0\)，那它的法向量\(\vec{n}\)就可以表示为\((A,B,C)\)。
给大家举个例子哈。
假设平面方程是\(2x + 3y - z + 5 = 0\)，点\(Q(1,2,3)\)，咱们在平面上随便找一个点\(P(0,0,-5)\)，那\(\vec{PQ} = (-1,-2,8)\)。
平面的法向量\(\vec{n} = (2,3,-1)\)。
接下来算距离，先算\(\vec{PQ} \cdot \vec{n} = (-1)×2 + (-2)×3 + 8×(-1) = -2 - 6 - 8 = -16\)，\(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}\)。
所以距离\(d = \frac{|-16|}{\sqrt{14}} = \frac{16}{\sqrt{14}} =\frac{8\sqrt{14}}{7}\)。
法向量求点到面的距离公式
法向量求点到面的距离公式在三维空间中，点到面的距离是一个非常常见的计算问题。
为了解决这个问题，我们可以使用法向量求解点到面的距离公式。
下面我们来逐步介绍这个公式的推导过程。
首先，我们需要知道什么是法向量。
在三维空间中，每一个平面都有一个垂直于该平面的向量，这个向量就被称为法向量。
它的方向指向平面的“外部”，也就是指向离平面最远的一侧。
现在，假设我们有一个平面，设平面上的一点为P，平面的法向量为N。
我们需要求解点P到平面的距离，记为d。
我们可以选取平面上的另外一个点Q，然后计算点P到点Q的距离，记为h。
根据勾股定理，我们有：h = PQ - d因为点Q在平面上，所以向量PQ一定与法向量N垂直。
因此，向量PQ可以拆分成两个分量，一个在法向量N上的投影，一个在平面上的投影。
设PQ的长度为L，那么它在法向量N上的投影为L cos θ，其中θ是法向量N与向量PQ的夹角。
于是，我们有：h = L cosθ将L cosθ带入上面的勾股定理中，得到：d = sqrt(PQ - h) = sqrt(PQ - L cosθ)现在的问题是如何求解L和θ。
我们可以通过向量点乘来计算向量PQ和法向量N之间的夹角θ，具体计算如下：cosθ = (PQ·N) / (|PQ| |N|)其中，PQ·N表示向量PQ和法向量N的点乘积，|PQ|和|N|分别表示向量PQ和法向量N的模长。
另外，PQ·N的结果也可以看作是向量PQ在法向量N上的投影，乘以向量PQ和法向量N的夹角的余弦值。
现在，我们已经得到了点到面的距离公式：d = sqrt(PQ - L cosθ)其中，PQ和N的值可以通过平面上的两个点坐标计算得到，cos θ可以通过向量点乘计算得到。
这个公式可以很方便地应用到实际问题中，例如碰撞检测、物体之间的距离计算等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的 平面的一个法向量? 例 1、在空间直角坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2) 3 y x ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 4 ∴ 即 ∴ ( x , y , z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2 z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6)
AB ( 2,1,0), CB ( 2,0,0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
n CB 0 ( x, y, z) ( 2,0,0) 0 ∴ y z ( x, y, z) (0, 1,1) 0
EF (2, 2, 0), EG ( 2, 4, 2), BE (2, 0, 0)
F
E B
A 设平面 EFG 的一个法向量 为 n ( x, y, z )
y
n EF， n EG 2 x 2 y 0 2 x 4 y 2 0 1 1 n ( , ,1) 3 3
量的方向，可以得到点 B到平面的距离为 BO
。
3、因此要求一个点到平 面的距离，可以分为以 下三个步骤：（ 1）找 出从该点出发的平面的 任一条斜线段对应的向 量；（2）求出该平 面的一个法向量；（ 3）求出法向量与斜线段 对应的向量的数量积 的绝对值再除以法向量 的模，即可求出点到平 面距离。
2、向量数量积公式 a b a b cos (为a与b的夹角）
二、新课 向量法求点到平面的距 离
B
n
A O
1、剖析：如图， BO 平面，垂足为O, 则点B到平面的距离就是 线段BO的长度。
2、若AB是平面的任一条斜线段，则在 RtBOA中， BO BA cosABO BA BA BO BA BO BA BO BO , 如果令平面的法向量为n, 考虑到法向 AB n n
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d=
2 2
课下作业、在三棱锥 B ACD中, 平面ABD 平面ACD，若棱长 AC CD AD AB 1，且BAD 300，求点D到平面ABC 的距离。（答案 d 39 ） 13
小结：向量法求点到平 面的距离 要求一个点到平面的距 离，可以分为以下三个 步骤： （ 1）找出从该点出发的平 面的任一条斜线段对应 的向量； （2）求出该平面的一个法 向量； （3）求出法向量与斜线段 对应的向量的数量积的 绝对值 再除以法向量的模，即 可求出点到平面距离。
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到面 距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、 AD 的中点， GC⊥平面 ABCD， 且 GC＝2， z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， D C F(4,2,0)，G(0,0,2)． x
| n BE| 2 11 d n 11
点评：斜线段也可以选 择BF或者BG都行，
练习1
练习 2、如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA= AC=1, BC= 2 ,求点 P 到面 PBC 的距离.
解:建立坐标系如图,
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),