高中数学第一章计数原理简单计数问题课件北师大版
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高中数学 第一章 计数原理 1-2-2 排列的应用(一)课件 北师大版选修2-3
【解析】 (1)本题是有限制条件的数字排列问题，条件是 末位必须排1，3，5，首位不能排0.
第一步：排末位有A31种方法：第二步：排首位有A41种方 法；第三步：排中间两个位置有A42种方法，∴共有 A31·A41·A42＝144种方法．
(2)若用(1)中的方法，先排末位有A31种方法(从0，2，4中选 一个)则排首位就涉及到末位排的是0还是2，4中的一个，所以， 本小题需分类讨论：①若末位排0，则有A53个；②若末位不排 0，则末位有A21种排法．再排首位有A41种，再排中间两位有A42 种，∴末位不是0的有A21·A41·A42个．
A．294种
B．278种
C．252种
D．362种
【解析】 法1：甲先从两端选一个位置，有A21种选法，其 余有A72种排法；甲不参排，则有A73种排法．
∴共有A21A72＋A73＝294.选A. 法2：中间是一个特殊位置(甲不能站)，先排中间位置有A71 种方法．再排两端，有A72种方法，由分步计数原理可知，共有 A71·A72＝294 种不同排法．选A.
由①②知，共有A53＋A21A41A42＝156(个)．
(3)第一类：首位可排4，5，有A21种，其余各位有A53种，此 类共有A21·A53种；
第二类：首位排3，下一位可排2，4，5有A31种，其余两位 有A42种，此类共有A31A42种；
第三类：首位排3，下一位排1，第三位可排4，5中的一个 有A21种，第四位可从剩下的3个数中取一个有A31种，
B．12
C．6
D．4
【解析】 排列总数 A44＝24，其中 0 排在个位(能被 5 整除) 有 A33＝6 个；0 排在首位(不是四位数)有 A33＝6 个．
∴共有 A44－2A33＝12 个． 【答案】 B
高中数学第一章计数原理2排列第1课时排列与排列数公式ppt课件北师大版选修
解答
类型二 例2 解
列举法解决排列问题
从1,2,3,4 这 4个数字中，每次取出 3 个不同数字排成一个三位数， 画出下列树形图，如下图.
写出所得到的所有的三位数.
由上面的树形图知，所有的三位数为 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,34 2,412,413,421,423,431,432，共24个三位数.
问题，与顺序有关， 故选3个座位安排三位客人是排列问题.
解答
(2)从集合 M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个 x2 y2 焦点在 x 轴上的椭圆方程a2＋b2＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 x2 y2 线方程a2－b2＝1?
解
x2 y2 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程a2＋b2＝1 表示焦点在
⑤10个车站，站与站间的车票.
解析
答案
反思与感悟Leabharlann 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题.
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位
安排三位客人，又有多少种方法？ 解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题 .“ 入座 ” 问题同 “ 排队 ”
解答
类型三 例3 计算下列各题：
(1)A3 10；
解 A3 10＝10×9×8＝720.
4 A5 ＋ A 9 9 (2) 6 5 ； A10－A10
排列数及其应用
命题角度1 由排列数公式进行化简与求值
解
4 A5 ＋ A 9×8×7×6×5＋×9×8×7×6 9 9 6 5 ＝ A10－A10 10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个 元素不同),就是不同的组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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知识梳理
典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
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随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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知识梳理
典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
计数原理(优秀课件)
分类要做到 " 不重不漏 ". 分类后再分别 对每一类进行计数 ,最后用分类加法计 数原理求和 , 得到总数. 分步要做到 " 步骤完整". 完成了所有 步骤 , 恰好完成任务 ,当然步与步之间要 相互独 立 .分步后再计算每一步的 方法 数, 最后根据分步乘法计数 原理, 把完成 每一步方法数相乘 , 得到总数.
小结
1. 本节课学习了那些主要内容？
答:分类记数原理和分步记数原理。 2.分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？
不同点什么？
联系
区别一
区别二
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情，缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
区别三
各类办法是互斥的、 并列的、独立的
各步之间是相关联的
例题
例1 书架的第 1层放有4本不同的计算机书 , 第2层放有3本不同的文艺书 , 第3 层放有2 本 不同的体育书 .
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
用两个计数 原理解决计 数问题时 ,最 重要的是在 开始计算 之 前要进 行仔 细分析 需 要分类还是 需要分步 .
问题2: 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去 C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多 少种不同的走法?
北 A村 中 南 B村
北 南 C村
问题2: 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村
2019高中数学第一章计数原理1.3组合课件北师大版
不同元素中取出m个元素的一个组合.
一二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关.
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时, n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的
定义 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
表示法 ������nm
组合数 乘积式 公式 阶乘式
������nm
=
������nm ������mm
=
n(n-1)(n-2)…(n-m + m!
1)
������nm
抽调方法.
方法二(间接法):不考虑是否有外科专家,共有C160种选法; 考虑选取 1 名外科专家参加,有C41 ·C65种选法; 没有外科专家参加,有C66种选法.所以共有: C160 − C41 ·C65 − C66=185 种抽调方法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,分类解答.
名的选法有C42种,
根据分步乘法计数原理,因此共有不同的选法C62
·C42
=
6×5 2×1
×
4×3 2×1
=90
∴C������������
=
������+ 1 ������+1
C������������++11
=
������ ������-������
C������������-1.
探究一
一二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关.
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时, n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的
定义 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
表示法 ������nm
组合数 乘积式 公式 阶乘式
������nm
=
������nm ������mm
=
n(n-1)(n-2)…(n-m + m!
1)
������nm
抽调方法.
方法二(间接法):不考虑是否有外科专家,共有C160种选法; 考虑选取 1 名外科专家参加,有C41 ·C65种选法; 没有外科专家参加,有C66种选法.所以共有: C160 − C41 ·C65 − C66=185 种抽调方法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,分类解答.
名的选法有C42种,
根据分步乘法计数原理,因此共有不同的选法C62
·C42
=
6×5 2×1
×
4×3 2×1
=90
∴C������������
=
������+ 1 ������+1
C������������++11
=
������ ������-������
C������������-1.
探究一
高中数学 第一章 计数原理 排列(第一课时)课件 北师大版选修23
∴1＜m≤8,当m=2时，n=15,当m=3,4,5,6,7,8时，n均不为整
数，所以n=15,m=2.
故原有15个车站，现有(xiàn yǒu)17个车站.
第二十四页，共29页。
1.（5分）（2010·邯郸高二检测）用0、1、2、3、4、5六个数字能组成
没有(méi yǒu)重复数字的六位数，这样的六位数中奇数有
第二十七页，共29页。
4.（15分）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一(dìyī)
个出场，另一名歌手不最后一个出场，求不同排法的总数.(用
数字作答)
【解析】分两类情况：（1）不最后一个出场的歌手第一(dìyī)个
出场，有 =24种排法；（2）不最后一个出场的歌手不第
一个出场，A有44
=3×3×3×2×1=54（种）排法.所以共
×1=288个.
第二十五页，共29页。
2.(5分)不等式 x A3x >3的A解2x 集是（ ）
（A）{x|x>3}
（B）{x|x>4,x∈N}
（C）{x|3<x<4,x∈Z}
（D）{x|x>3,x∈N*}
【解析(jiě xī)】选x D .∵x! >3 x! ∴x(x-2)>3，解得x>3(或x-x3<)-! 1. (x-2)!
选出来有10种选法，再安排，故总的安排方法为
10
A
4 4
=10×4×3×2×1=240种.
第十八页，共29页。
3.下列各式中与排列(páilièA)数mn 相等的是（ ）
(A) n!
(B)n(n-1)(n-2)…(n-m)
(C) (m-n)! 【解析n-】mm+选1DA.mn--11
数，所以n=15,m=2.
故原有15个车站，现有(xiàn yǒu)17个车站.
第二十四页，共29页。
1.（5分）（2010·邯郸高二检测）用0、1、2、3、4、5六个数字能组成
没有(méi yǒu)重复数字的六位数，这样的六位数中奇数有
第二十七页，共29页。
4.（15分）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一(dìyī)
个出场，另一名歌手不最后一个出场，求不同排法的总数.(用
数字作答)
【解析】分两类情况：（1）不最后一个出场的歌手第一(dìyī)个
出场，有 =24种排法；（2）不最后一个出场的歌手不第
一个出场，A有44
=3×3×3×2×1=54（种）排法.所以共
×1=288个.
第二十五页，共29页。
2.(5分)不等式 x A3x >3的A解2x 集是（ ）
（A）{x|x>3}
（B）{x|x>4,x∈N}
（C）{x|3<x<4,x∈Z}
（D）{x|x>3,x∈N*}
【解析(jiě xī)】选x D .∵x! >3 x! ∴x(x-2)>3，解得x>3(或x-x3<)-! 1. (x-2)!
选出来有10种选法，再安排，故总的安排方法为
10
A
4 4
=10×4×3×2×1=240种.
第十八页，共29页。
3.下列各式中与排列(páilièA)数mn 相等的是（ ）
(A) n!
(B)n(n-1)(n-2)…(n-m)
(C) (m-n)! 【解析n-】mm+选1DA.mn--11
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理课件 北师大版选修2-3
规律方法 用分类加法计数原理解决计数问题，应先判断该问题是 否满足分类加法计数原理的条件，即每一种方法是否能单独完成这件 事情．若满足，则再确定适当的分类标准进行分类，最后采用分类加 法计数原理求方法总数．
(1)上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等
房 10 间，中等房 20 间，一般房 25 间，则客人选一间房的选法有( C )
种
方法．(也称加法原理)
[答一答] 1．应用分类加法计数原理的关键是什么？
提示：应用分类加法计数原理的关键是看每一类办法中的每种方法是 否独立地完成了这件事．
知识点二 分步乘法计数原理
[填一填]
完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第一步有 m1 种方法 ，做第二步有 m2 种方法 ，……，做第 n 步有 mn 种方法 ，那么完成这件事共有 N＝ m1×m2×…×mn 种方 法．(也称乘法原理)
[答一答] 2．应用分步乘法计数原理的关键是什么？
提示：应用分步乘法计数原理的关键是看每一步中的每种方法并不能 完成这件事，只有每一步都完成了，才完成这件事．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
1．怎样区分和理解两个基本原理？ (1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始 事件分解成若干个事件来完成；不同点是分类加法计数原理与分类有 关，分步乘法计数原理与分步有关．
[解] (1)要完成的是“4 名同学每人从 3 个项目中选一项报名”这 件事，因为每人必报一项，4 名同学都报完才算完成，于是按人分步， 且分为四步，又每人可在 3 个项目中选一项，选法为 3 种，所以共有 3×3×3×3＝81 种报名方法．
高中数学第一章计数原理模块复习课课件北师大版选修230831228
归纳
高考(ɡāo kǎo)
体验
专题
(zhuāntí)
一
专题二
专题三
解(1)分三类:第一类从高一年级选一个班,有7种不同方法;第二类从高二年
级选一个班,有7种不同方法;第三类从高三年级选一个班,有9种不同方
法,由分类加法计数原理,共有7+7+9=23种不同选法.
(2)每种选法分三步:第一步从高一年级选一个班,有7种不同的方法;
梳理
知识(zhī shi)
网络
5.排列数、组合(zǔhé)数的公式及性质
公式
排列数公式
组合数公式
m
…·(n-m+1)
n =n(n-1)·
nm
=
n!
=
=
n!
m
n
n(n-1)·…·(n-m +1)
m
m(m-1)·…·1
=
m
m!(n -m)!
(n-m )!
(1)n0 =1;
(1)nn =n!;
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题
(zhuānt
í)一
专题二
专题三
跟踪训练4五位老师和五名学生站成一排:
(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法?
(2)五名学生不能相邻共有多少种排法?
解(1)先将五名学生“捆绑”在一起看作一个与五位老师排列有
A66种排法,五名学生再内部全排列有A55种,故共有A66 ·A55 =86 400 种
不同排法,所以组成的符合题意的六位数有A11 ·A14 ·A44 =96 个.
答案:96
第十七页，共43页。
专题
(zhuāntí)归
纳
高考(ɡāo kǎo)
体验
专题
(zhuāntí)
一
专题二
专题三
解(1)分三类:第一类从高一年级选一个班,有7种不同方法;第二类从高二年
级选一个班,有7种不同方法;第三类从高三年级选一个班,有9种不同方
法,由分类加法计数原理,共有7+7+9=23种不同选法.
(2)每种选法分三步:第一步从高一年级选一个班,有7种不同的方法;
梳理
知识(zhī shi)
网络
5.排列数、组合(zǔhé)数的公式及性质
公式
排列数公式
组合数公式
m
…·(n-m+1)
n =n(n-1)·
nm
=
n!
=
=
n!
m
n
n(n-1)·…·(n-m +1)
m
m(m-1)·…·1
=
m
m!(n -m)!
(n-m )!
(1)n0 =1;
(1)nn =n!;
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题
(zhuānt
í)一
专题二
专题三
跟踪训练4五位老师和五名学生站成一排:
(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法?
(2)五名学生不能相邻共有多少种排法?
解(1)先将五名学生“捆绑”在一起看作一个与五位老师排列有
A66种排法,五名学生再内部全排列有A55种,故共有A66 ·A55 =86 400 种
不同排法,所以组成的符合题意的六位数有A11 ·A14 ·A44 =96 个.
答案:96
第十七页，共43页。
专题
(zhuāntí)归
纳
高中数学第一章计数原理模块复习课课件北师大版选修2_3
知识网络
要点梳理
5.排列数、组合数的公式及性质
排列数公式 公式 ������m …· (n-m+1) n =n( n- 1)· =
n! (n -m )!
组合数公式
m ������n
=
n!
������ m n ������ m
= m
n (n -1 )· „· (n - m +1 ) m (m -1 )· „· 1
知识网络
要点梳理
8.二项式系数的性质
性质 对称性 增减性 内 容 m 与首末两端距离相等的两个二项式系数相等, 即������n = ������n n+1 当 k< 时, 二项式系数逐渐增大; 当 当 最大值
n -m
2 n+1 k > 2 时, 二项式系数逐渐减小 n n 是偶数时, 中间一项 第 2 + 1项
=
m !(n -m )!
(1)������n n =n!; 性质 (2)0!=1 备注 n, m∈N* 且 m≤n
0 =1; (1)������n n -m m (2)������n = ������n ; m (3)������n + ������n m -1 m = ������n+1
知识网络
n 2
的二项式系数最大,
Hale Waihona Puke 最大值为������n ; 当 n 是奇数时, 中间两项 第
n -1 2
+ 1项和第
n+1 2
+ 1项 的
n -1 n+1 2
二项式系数相等, 且同时取得最大值, 最大值为������n2 或������n
知识网络
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
复习课件
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．