向量法求空间点到平面的距离教案
向量法求空间点到平面的距离课件
a•b abcos(为a与b的夹角）
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二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
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3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
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新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
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y
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BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
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练习1
用空间向量研究距离、夹角问题(第一课时)-高中数学获奖教案
1.4.2用空间向量研究距离、夹角（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1. 能利用投影向量得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．2. 能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题．3. 结合一些具体的距离问题的解决，体会向量方法在研究距离问题中的作用，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.二、教学重难点1. （重点）利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．.2. （难点）利用投影向量统一研究空间距离问题.三、教学过程1.公式的推导1.1复习回顾【实际情境】如图，在空间中任取一点，作，.问题1：（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？【活动预设】学生回忆已学的概念、讨论交流．【预设的答案】（1）； （2）过点作垂直于直线，垂足为，向量即为向量在向量方向上的投影向量；（3），即，.【设计意图】投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向O OM = a ON = b b u a b u a b ||b u =b M 1MM ON 1M 1OMab 1=cos=cos |)|(OM θθ |a |u |u u =a |u a u 1=()OM a u u 1||=||OM a u x量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.1.2探究思考，提炼公式探究一：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P 是直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？【活动预设】结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接，得到向量在直线直线上的投影向量，表示投影向量，求.进而利用勾股定理，可以求出点到直线的距离.【预设的答案】如图，设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.【设计意图】学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程， 发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.问题2：若与直线垂直，点到直线【预设的答案】若与直线垂直，则.问题3：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及直线，l u A l l P l AP APl AQAQ ||AQ P l PQ AP = a AP l |cos |cos |()AQ PAQ PAQ =∠=∠= a |u a |u |u a u u Rt AQP △PQ ==AP l P l AP l 0= a u ||||PA PQ ==P l那么点应该如何确定？【预设的答案】 点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点的变化而变化，故点可以是直线上的任意一点.问题4：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？【预设的答案】不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.【设计意图】通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点到直线距离问题时，只需该点和直线上的任意一点确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.教师讲授：要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点到直线距离问题时，只需直线的方向向量及直线上的任意一点，这样得到参考向量或， 再求得直线的单位方向向量带入公式即可.问题5：求点到直线距离的主要有哪些方法？【预设的答案】(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.思考：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？【预设的答案】在其中一条直线上任取一点，将求两条平行直线之间的距离转化为求点到另一条直线的距离.【设计意图】根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.A A A l P l P l A P l l l A AP PA P P2探究二 已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点.过点作出平面的垂线，交平面于点.类比点到直线距离的研究过程，如何用向量表示？【预设的答案】如图,向量在直线上的投影向量是，且. 问题6：点到平面的距离应该怎样表示？【预设的答案】 . 【设计意图】 教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题7： 在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及平面，那么点应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点在平面内的投影以及垂线段？【预设的答案】点可以是平面内的任意一点.不需要找出点在平面内的投影以及垂线段.【活动预设】教师提出问题串，引导学生思考，加深对公式的理解，教师总结.αn A αP αP αl αQ AP QP APl QP |cos QP AP PAQ =∠ n ||n |P α|||||||||cos |||||AP QP AP PAQ ⋅=∠= n n n n P αA P αA αPα教师讲授：求解点到平面距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面的法向量及平面内的任意一点，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.【设计意图】 类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.思考：如果直线与平面平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？【预设的答案】 先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.【设计意图】 通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.问题8：求点到平面的距离主要有哪些方法？【预设的答案】 (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离.P αααA l α1111ABCD A B C D -E 11A B F AB B 1AC FC 1AEC【活动预设】学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点在直线上，因此，可以选择作为参考向量.事实上，可以选择直线上的任意一点和确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量不唯一.【预设的答案】解：以为原点， ，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，,,,,. （1） 取，，则 ，． 所以，点到直线． (2) 因为，所以，又面，面，所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离．设平面的法向量为，则 所以 所以取，则，,所以，是平面的一个法向量,又因为， A 1AC AB 1AC F 1AEC 1D 11D A 11D C 1D D x y z (1,0,1)A (1,1,1)B (0,1,1)C 1(0,1,0)C 1(1,,0)2E 1(1,,1)2F (0,1,0)AB = 1(1,1,1)AC =-- 1(0,,1)2AE =- 11(1,,0)2EC =- 1(1,,0)2FC =- 1(0,,0)2AF = (0,1,0)AB == a 11||1,1,1)AC AC ==-- u 21=a ⋅=a u B 1AC ==11(1,,0)2FC EC ==- 1//FC EC FC ⊄1AEC 1EC ⊂1AEC //FC 1AEC F 1AEC FC 1AEC 1AEC (,,)x y z =n 10,0.AE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩2,.y z x z =⎧⎨=⎩1z =1x =2y =(1,2,1)=n 1AEC 1(0,,0)2AF =所以点到平面的距离为即直线到平面【设计意图】通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问： 求两种距离的步骤是怎样的？【活动预设】学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.【预设的答案】点到直线的距离 ：第一步：建系，在直线上任取一点 (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标. 第二步： 依据图形先求出直线的单位方向向量.第三步：带入公式求解.点到面的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”；第二步：确定平面的法向量；第三步： 带入公式求值.【设计意图】总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3. 梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到F 1AEC ||||AF ⋅== n n FC 1AEC P l l A AP PA l u P αAP αn了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.四、课后作业1．在棱长为的正方体中，点到平面的距离等于_________；直线到平面的距离等于________；平面到平面的距离等于__________．2．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）ABCD3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．如图，在棱长为的正方体中，求平面与平面的距离．11111ABCD A B CD -A 1B C CD1AB 1DA 1CB l (2,3,1)A (0,1,1)=n ()4,3,2P l α()2,2,1=--n ()1,3,0A -α()2,1,4P -α1038310311111ABCD A B C D -1A DB 11D CB【设计意图】作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距离.这样可以使学生巩固课上所学习的知识，提升对公式的应用能力.。
立体几何的向量法(四)——求点到面距离
一．点到平面的距离：
1。定义：叫做这一点到这个平面的距离．
2。求解方法：
（1）几何法：
①找到(或作出）表示距离的线段;抓住线段(所求距离）所在三角形解之.
②等体积法。
（2）向量法:
已知平面 外一点P,平面 .先求出平面 的法向量 ，在平面内任取一定点A，则点P到平面 的距离d等于 在 上的射影长，
即d=
二、问题探究
1:在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB= 4, AD =3，AA1= 2. E是线段AB上的点，且EB=1，求点C到面 的距离。
2:在三棱锥D—ABC中，DA 平面ABC,且AB=BC=AD=1， ABC=90 ，
求点A到面BCD的距离。
课后练习:
1。如图，四棱锥 的底面为直角梯形， ,
学校年级学科导学案
主备审核授课人授课时间班级姓名小组
课题：立体几何的向量法（四)—-求点到面的距离新课课时：二
【学习目标】
1、能理解点到面距离的】
一、自学理解
一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离．
两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．
， ， ， 底面 ， 为 的中点.
⑴求证:平面 平面 ；
⑵求直线 与平面 所成的角的正弦值;
⑶求点 到平面 的距离。
2、如图,正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点．
⑴求证： 平面 ；
⑵求二面角 的平面角的正弦值;
⑶求点 到平面 的距离．
（教师“复备”栏或学生笔记栏)
提示：
提示:
此题能否用两种方法求解
《点到平面距离的几种求法》教学设计
教师巡回指导学生用学过的各种方法去解。师生通过投影仪共同讨论学生的练习结果。最后用课件出示各种解法。
学生练习巩固。通过练习，使学生熟练掌握点到面距离的各种求法。并培养学生的创新意识。
小结
教师小结
归纳。并用课件出示小结。
学生回忆，整理知识。
教学后记：
本节课按直观演示法的基本教学规律和理念，借助现代教学手段，充分调动了学生学习的积极性和主动性。学生的思维敏捷，讨论热烈，气氛活跃，不仅使学生掌握了本节课的知识，而且培养了学生的自学能力，观察能力，分析能力和解决问题的能力。同时提高了学生学习数学的兴趣。
教学重点
点到面距离求法的基本思路。
教学难点
点到平面距离的各种求法
教学关键
本节课通过探讨问题，着重培养和发展学生的认知和变通能力
学生分析
学生对空间各种距离的概念都比较熟悉，空间距离的求法有简单的了解，通过复习对本节课有一定的引导作用。同时让学生更加熟练地掌握点到面距离的求法。
教学方法
直观演示，结合启发、引导的方式（启发学生去寻找求点面距离的方法）
别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在
平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．
多媒体出示例题
学生读题思考
解法1直接作出所求之距离求之
为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝ ，BP＝ ，PZ＝ ，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ＝ ．
学习方法
观摩，合作探究，挖掘知识间的内在联系，学会将新旧知识串联起来去解决碰到的新问题
向量法解立点面距离问题教案
解：如图所示建立空间直角坐标系 c-xyz 则 G(0，0，2) D(4，0，0，) A(4，4，0) B(0，4，0) E(2，4，0) F(4，2，0)
BE =(2，0，0) EF =(2，-2，0) EG (-2，-4，2)
设面 EFG 的一个法向量 n =（x，y，1） n EF 且 n EG
a · b = a b cosθ （θ 为 a 与 b 的夹角） a b a 在 b 上的投影 d= a cosθ = b
二、点到平面的距离
AP Leabharlann n AP 在 n 方向上的投影的绝对值是 P 到面的距离 d= n
例题：已知：正方形 ABCD 的边长为 4，CG⊥平面 ABCD， CG=2,E、F 分别是 AB、AD 的中点， 求点 B 到平面 GEF 的距离。 分析；此题是求点到面的距离问题，这个距离可看作是 BE 在平面法向量方向上的投影的绝对值。
课时计划（教案）
班级 教材分 析 物理 1201 重点 难点 科目 数学 课题 向量法解立体几何中的点面问题 时数 20 分钟
点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 找到所需的点坐标跟面的法向量
教 学 目 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 的 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。 教 法 教 具 教学进程 时 间 分 配
a · b = a b cosθ （θ 为 a 与 b 的夹角） a b a 在 b 上的投影 d= a cosθ = b
二、点到平面的距离
AP n AP 在 n 方向上的投影的绝对值是 P 到面的距离 d= n
“向量法求空间点到平面的距离”教案讲义
2、向量数量积公式a•b abcos(a与b的夹角）二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离
向量法求空间点到平面的距离
（Excellent handout training template）
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
F(4,2,0)，G(0,0,2)．
xD
C
EF(2,2,0),EG(2,4,2), F
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
练习1
Thank you.
演讲结速，谢谢观赏！
线 B段 的 O 长度。
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离.
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
利用向量求点到平面的距离
利用向量求点到平面的距离点到平面的距离是计算一个点到一个平面的最短距离，可以使用向量的方法来进行计算。
在二维空间中，平面可以由一个法向量和一个过平面上一点的向量表示。
而在三维空间中，平面可以由一个法向量和平面上一点的向量表示。
首先，我们从二维空间开始讨论。
假设我们有一个平面的法向量n = (a, b)和过平面上一点的向量p = (x0, y0)。
现在我们需要计算一个点Q = (x, y)到这个平面的最短距离。
我们可以假设Q到平面的最短距离是D。
这意味着Q到平面上的任意一点M的距离都是D。
现在我们将点M表示为向量m = (x, y)。
注意，由于点M在平面上，所以点M与法向量n是垂直的。
假设向量m0是向量p = (x0, y0)指向点M的向量，即m0 = m - p。
我们可以将m0分解为两个分量：一个平行于法向量n的分量m1和一个垂直于法向量n的分量m2。
这样我们可以写出向量m0：m0 = m - p= (x, y) - (x0, y0)= (x-x0, y-y0)向量m1是m0在法向量n方向上的投影，即m1 = proj_n(m0)。
投影的计算方法是将m0与法向量n进行点积，再将结果除以法向量n的模的平方，并与法向量n相乘：m1 = proj_n(m0)= (m0 · n / |n|^2) * n我们可以计算出m0 · n = (x-x0) * a + (y-y0) * b，计算出|n|^2 = a^2 + b^2，将这些值代入上式中：m1 = ((x-x0) * a + (y-y0) * b / (a^2 + b^2)) * (a, b)因为点M位于平面上，所以向量m2与法向量n垂直。
因此，垂直分量m2等于向量m0减去平行分量m1：m2 = m0 - m1现在，我们可以计算垂直分量m2的模长|m2|，这个模长等于Q到平面的最短距离D。
我们有：D = |m2|这就是二维空间中点到平面的距离的计算方法。
向量法求空间点到平面的距离
向量法求空间点到平面的距离在三维空间中，有时我们需要计算一个点到一个平面的距离。
这个问题可以通过向量法来解决。
本文将介绍向量法以及如何使用它来计算空间点到平面的距离。
首先，让我们明确一下向量法的基本原理。
在三维空间中，一个平面可以由一个法向量和一个点确定。
法向量垂直于平面，并指向平面上的点。
为了计算一个点到平面的距离，我们需要先找到点到平面的垂直距离，然后再根据垂直距离来计算实际距离。
假设我们有一个平面P，它的法向量为n，过平面上一点A。
现在，我们有一个空间点B，我们想要计算它到平面P的距离。
首先，我们需要计算点B到平面P的垂直距离。
设点B到平面P的垂直距离为d，垂直距离可以由点B沿法向量n所得到的向量投影来表示。
点B沿着法向量n的投影向量为B_proj，其长度为d。
那么，我们可以使用向量B_proj和向量BA（由点B指向平面上的点A）来计算点B到平面P的垂直距离d。
首先，我们需要计算向量BA在法向量n上的投影长度。
投影长度可以通过点积来计算。
点积是两个向量的长度乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
在这种情况下，点积可以用来计算向量BA在法向量n上的投影长度。
设向量BA在法向量n上的投影长度为p。
则有如下公式：p = |BA| * cosθ其中，|BA|表示向量BA的长度，cosθ表示向量BA和法向量n之间夹角的余弦值。
接下来，我们可以使用投影长度p和法向量n，来计算点B到平面P的垂直距离d。
根据定义，d等于向量B_proj的长度，而B_proj可以表示为p * n。
因此，我们有以下关系：d = |B_proj| = |p * n|现在，我们已经得到了点B到平面P的垂直距离d。
最后，我们可以使用垂直距离d和点B到平面上的点A的欧氏距离来计算点B到平面P的实际距离。
设点B到平面上的点A的欧氏距离为e。
则点B到平面P的距离dist可以由以下公式计算：dist = sqrt(d^2 + e^2)综上所述，我们可以通过向量法来计算空间点到平面的距离。
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向量法求空间点到面距离（教案）
教材分析
重点：点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤
难点：找到所需的点坐标跟面的法向量
教学目的
1.能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。
2.能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。
3.加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
新课导入：
我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗
对！绕过去。
在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点用另一种方法解决。
我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是
一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。
一、复习引入：
1、空间中如何求点到面距离
方法1、直接做或找距离；
方法2、；等体积
方法3、空间向量。
2、向量数量积公式
a •
b = a b cos 0（0为a与b的夹角）
二、向量法求点到平面的距离
如果令平面的法向量为 n ，考虑到法向量的方向，可以得到点 B 到平面的距离为
_r BA?n
BO=—:—
n
因此要求一个点到平面的距离， 可以分为以下三步：(1)找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量 (2)求出该平面的一个法向量 (3)求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模
思考、已知不共线的三点坐标，如何求经过这三点的平面的一个法向量
? 例1、在空间直角坐标系中，已知A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0,2),试求平面 ABC 的一个
法向量. 解：设平面ABC 的一个法向量为 r n (x, y, z)
r uuu r uuur uuu unr 则 n AB , n AC . v
AB (3,4,0), AC (3,0, 2) • (x, y, z)( 3,4,0) 0即 3x 4y 0 3 y x (x, y, z)( 3,0,2) 0 3x 2z 0 . 4
取x 4,则n (4, 3,6)
3 z x 2
••• n (4, 3,6)是平面 ABC 的一个法向量
例2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为4, E 、F 分别是AB 、AD 的 中点，GC 丄平面 ABCD ，且GC = 2,求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz.
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
F(4,2,0)，G(0,0,2).
uuir uuur
EF (2, 2,0), EG ( 2, 4,2),
uuu
BE (2,0,0)
设平面EFG 的一个法向量
若AB 是平面
的任一条斜线段，则在 Rt BOA 中，BO = BA?COS ABO
BA?BO B A B O BO
剖析：如图，BO 平面 ，垂足为0，则点B 到平面 的距离是线段 BO 的长度。
=网? BA? BO
为n iuU x r y,Z)i u n EF,n EG
2x 2y 0
2x 4y 2
r 1 1
n(3")
|V BE| 2 11 11
点评：斜线段也可以选择 BF 或者BC 都行。
练习1、（06年福建高考题）如图4,四面体ABCD 中，0、E 分别是BD BC 的中点, CA=CB=CD=BD=2 AB=AD=. 2，求点 E 到平面 ACD 的距离.
解：由题设易知 AO 丄 BD , OC X BD, • OA=1, OC= 3 , /. OA 2 +OC ? =AC 2，•/ AOC=90 , 即OA 丄OC.
以O 为原点，OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz ，则 A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, . 3 ,0),D(-1,0,0), •••
可,子,。
),AD”, AC =(。
，、3-1), ED =(-|^,0).
设平面ACD 的一个法向量为n （x, y,z ），则由ngAD 0及ngAC 0,得 取z= -.3,得 n =（- 3,1, 3），于是点E 到平面ACD 的距离为 z
练习2、如图，PA 丄平面 ABC, AC 丄BC, PA=AC=1, BC 二血，求点P 到面PBC 的距离.（答案d 乎） 课下作业、在三棱锥 B ACD 中,平面ABD 平面ACD ，若棱长
AB 1,且 BAD 30°，求点D 到平面ABC
39
d 』）
13 板书设计
、复习
a •
b = a b cos 0（0为a 与b 的夹角）
x=-z
§
y= _ d= uujr r _ ED® 巧 721
AC CD AD
的距离。
（答案
a ?b
a 在b上的投影d= a cos 0 =〔
J
b
二、点到平面的距离
AB?n
B到面的距离d=----------
n
小结：向量法求点到面距离三步
（1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量
（2）求出该平面的一个法向量
（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模教学后记：
优点：1•从实际经验引导学生将生活经验用于学习，转换思维；
2•由例题整理步骤，理清思路，便于学生理解；
3•学生掌握很好。