2018年浙江新中考数学第八章《图形的变化》小自测

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10．如图，将边长为 a 的正六边形 A1A2A3A4A5A6 在直线 l 上 由图①的位置按顺时针方向向右做无滑动滚动，当 A1 第一次滚动 到图②位置时，顶点 A1 所经过的路径长为 ( )
4＋ 2 3 A． πa 3
8＋ 4 3 B． πa 3
4＋ 3 C． πa 3
4＋ 2 3 D． πa 6
C． 3＋ 2
D． 3＋ 6
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【解析】如图，作 G′M⊥ AD 于 点 M. 易证△ DAG′≌△ DCE′，∴ AG′ ＝ CE′ ， ∴ CG ′ ＋ CE′ ＝ AC ． 在 Rt△ DMG′中，∵ DG′＝ 2，∠ MDG′ ＝ 30° ， ∴ MG′＝ 1， DM ＝ 3.∵∠ MAG′＝ 45° ， ∠ AMG′＝ 90° ， ∴∠ MAG′＝ ∠ MG′A＝ 45° ， ∴ AM＝ MG′＝ 1， ∴ AD＝ 1＋ 3.∵ AC ＝ 2AD， ∴ AC＝ 2＋ 6.故选 A． 答案： A
3．(2017· 滨州 )如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ( B )
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4．(2017· 广州 )如图， 将正方形 ABCD 中的阴影三角形绕点 A 顺时针旋转 90° 后，得到的图形为 ( A )
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5．如图，在△ ABC 中，AB＝ 4，BC＝ 6，∠ B＝ 60° ，将△ ABC 沿射线 BC 的方向平移，得到△ A′B′C′，再将△ A′B′C′绕点 A′逆时 针旋转一定角度后，点 B′恰好与点 C 重合，则平移的距离和旋转 角的度数分别为 ( B )
A．梦
B．水
C．城
D．美
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【解析】 由题图① 可得， “中 ”和 “美” 相对； “国 ”和“ 水” 相对； “ 梦”和“城 ”相对；由题图②可得，小正方体从图中的位 置翻到第 1 格时，“ 城”在上面，翻到第 2 格时，“美 ”在上面， 翻到第 3 格时，“ 水”在上面，翻到第 4 格时，“梦 ”在上面．故 选 A． 答案： A
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二、填空题 (每小题 5 分，共 20 分) 11．(2017· 温州外国语中学模拟)如图，在△ ABC 中，AB＝ 2， BC＝ 3.6，∠ B＝ 60° ，将△ ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得 到△ ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长 为 1.6．
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14．如图①，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合， 折痕为 EF.如图②，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折 痕为 GH，点 B 的对应点为点 M， EM 交 AB 于点 N.若 AD＝ 2， 则 MN＝ ．
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【解析】设 DH＝x，CH＝2－x，由翻折的性质，DE＝1，EH ＝ CH ＝ 2 － x. 在 Rt△DEH 中， DE2 ＋ DH2 ＝ EH2, 即 12 ＋ x2 ＝ 3 5 (2 － x) , 解 得 x ＝ ， EH ＝ 2 － x ＝ .∵∠MEH ＝ ∠C ＝ 90° ， 4 4
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(2)若△ ABC 和△ A2B2C2 关于原点 O 成中心对称图形，写出 △ A2B2C2 各顶点的坐标； 解： ∵△ ABC 和△ A2B2C2 关于原点 O 成中心对称图形， ∴ A2(3，－ 5)， B2(2，－ 1)， C2(1，－ 3)．
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(3)将△ ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90° 得到△ A3B3C3， 写出△ A3B3C3 各顶点的坐标． 解：如图，△ A3B3C3 为所作，A3(5，3)，B3(1，2)，C3(3，1)．
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第八章《图形的变化》小自测
(考试时间：60分钟 满分：100分)
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一、选择题 (每小题 4 分，共 40 分) 1 ．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( A )
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2． (2017· 绵阳 )如图所示的几何体的主视图正确的是 (
D
)
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9． (2017· 兰州 )如图，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中， 点 G 在 CD 上，DE＝ 2，将正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 60° ， 得到正方形 DE′F′G′，此时点 G′在 AC 上，连结 CE′，则 CE′＋ CG′＝ ( )
A． 2＋ 6
B． 3＋ 1
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12．如图，在△ ABC 中，AB＝ AC，BC＝ 12 cm，点 D 在 AC 上， DC＝ 4 cm.将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7 cm 得到线段 EF， 点 E， F 分别落在边 AB， BC 上，则△ EBF 的周长为 13 cm.
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13． (2017· 宁夏 )如图是由若干个棱长为 1 的小正方体组合而 成的一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 22．
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8 ． (2017· 杭州文澜中学调研 )如图， 在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的 顶点 B 的坐标为 (2，0)，点 A 在第一象限 内，将△ OAB 沿直线 OA 的方向平移至 △ O′A′B′的位置， 此时点 A′的横坐标为 3， 则点 B′的坐标为 ( A． (4， 2 3) C． (4， 3 3) B． (3， 3 3) D． (3， 2 3) A )
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解：∵l⊥n，∴BC⊥BD．∴△CBD 是直角三角形． 又∵点 P 为线段 CD 的中点，∴PA＝PB．
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(2)猜想证明：在图①的情况中的 PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由．
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解：PA＝PB 仍然成立．理由如下： 如图，过点 C 作 CE⊥n 于点 E，连结 PE. ∵△CED 是直角三角形，点 P 为线段 CD 的中点， ∴PD＝PE＝PC． ∵PD＝PE，∴∠CDE＝∠PEB． ∵直线 m∥n， ∴∠CDE＝∠PCA， ∴∠PCA＝∠PEB． 又∵直线 l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n， ∴l∥CE，∴AC＝BE.
2
∴∠AEN＋∠DEH＝90° . ∵∠ANE＋∠AEN＝90° ， ∴∠ANE＝ AE EN 1 EN ∠DEH.又∠A＝∠D, ∴△ANE∽△DEH. ∴ ＝ ，即 ＝ ， DH HE 3 5 4 4 5 5 1 解得 EN＝ ，MN＝ME－NE＝2－ ＝ . 3 3 3
1 答案： 3
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∴△ AEF∽△ BPF. AF AE ∴ ＝ ，即 AF· BP＝ AE· BF. BF BP ∵ AF＝ 2PA， AE＝ 2k， BF＝ AB，∴ 2PA· PB＝ 2k· AB， ∴ PA· PB＝ k· AB．
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三、解答题 (共 40 分) 15． (16 分 )如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个 顶点的坐标分别为 A(－ 3， 5)， B(－ 2， 1)， C(－ 1， 3)．
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(1)若△ ABC 经过平移后得到△ A1B1C1，已知点 C1 的坐标为 (4， 0)，写出顶点 A1， B1 的坐标； 解：作△ A1B1C1 如图所示． ∵点 C(－ 1， 3)平移后的对应点 C1 的坐标为 (4， 0)，∴△ ABC 先向右 平移 5 个单位，再向下平移 3 个单 位得到△ A1B1C1， ∴点 A1 的坐标为 (2， 2)，点 B1 的坐标为 (3，－ 2)．
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【解析】根据题意，整个滚动过程可以看作正六边形 A1A2A3A4 A5A6 分别以 A6，A5，A4，A3 和 A2 点为旋转中心，以 60° 角为旋转角顺时针作了 5 次旋转，设每次旋转后的正六边形为 A′1A′2A′3A′4A′5 A′6，如图① ～⑤所示，
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︵ 顶点 A1 在整个旋转过程中经过的路径长为 5 个图形中A1A′1 之 ︵ 60πa 1 和．图 ① 和图 ⑤ 中 A1A′1 ＝ ＝ πa. 图 ② 和图 ④ 中易求 A1A5 ＝ 180 3 ︵ 60π· 3a 3 A1A3＝ 3a， ∴ A1A′1 ＝ ＝ πa.图 ③ 中， A1A4＝ 2a，所以 180 3 ︵ 60π·2a 2 A1A′1 ＝ ＝ πa.整个滚动过程中顶点 A1 所经过的路程的长为 180 3 4＋ 2 3 2 2 3 2 πa＋ πa＋ πa＝ πa.故选 A． 3 3 3 3 答案： A
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16． (24 分 )(2017· 金华五中调研 )已知直线 m∥ n，点 C 是直 线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点， CD 与直线 m， n 不垂直， 点 P 为线段 CD 的中点． (1)操作发现：直线 l⊥m， l⊥ n，垂足分别为 A， B，当点 A 与点 C 重合时 (如图① 所示 )，连结 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系： PA＝ PB ．
A． 4， 30° B ． 2， 60° C． 1， 30° D． 3， 60°
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6．由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视 图、俯视图如图所示，则构成这个几何体的小正方体的个数是 ( B )
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
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7．图①是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图②所示 的位置依次翻到第 1 格、第 2 格、第 3 格、第 4 格，这时小正方 体朝上一面的字是 ( )
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在△ PAC 和△ PBE 中，
∠PCA＝∠PEB，∴△PAC≌△PBE. AC＝BE，
PC＝ PE， ∴ PA＝ PB．
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(3)延伸探究：在图②的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得 ∠ APB＝ 90° (如图③ 所示 )，若两平行线 m， n 之间的距离为 2k.求 证： PA· PB＝ k· AB．
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