随机微分方程在经济中的应用

E（t）= " HP（H t） H= 0
D（t）= " H2 P（H t）- E（2 t） H= 0
对 E（t）求导，再用方程（3）代入得
dE（dtt）=
"H
H= 0
dP（H t） dt
［收稿日期］2005 - 01 - 25 ［作者简介］姜秀英（1957 - ），女，哈尔滨人，副教 授，主 要 从 事 经 济 应 用 数 学 研 究；李 明 哲（1971 - ），女，哈 尔 滨
［摘 要］文章把随机微分方程应用到社会经济领域中，分别给出了人口出生与死 亡、产 品 推 销 的 数
学模型。并通过对随机微分方程的 求 解 和 推 演，结 合 具 体 的 社 会 经 济 实 际 意 义 进 行 了 分 析、比 较 和 推
断。
［ 关 键 词 ］随 机 变 量 ；微 分 方 程 ；概 率 ；概 率 密 度 函 数
［中图分类号］O211 . 63
［ 文 献 标 识 码 ］A
在 社 会 经 济 领 域 中，很 多 现 象 都 具 有 随 机 性 ，如 ：人 口 的 出 生 与 死 亡 ，产 品 的 销 售 ，市 场 价 格 等 ，在 数 学 上 称 之 为 随 机 事 件 ，这 些 随 机 事 件 虽 然 无 法 确 定 ，但 我 们 可 根 据 大 量 的 试 验 数 据 ， 确 定 某 个 随 机 变 量 ，并 附 加 初 始 条 件 ，建 立 随 机 微分 方 程 的 数 学 模 型，从 而 推 断 出 总 体 的 发 展 变 化 规 律 ，为 优 化 经 济 管 理 提 供 可 靠 的 依 据 。
G（n）= !〔（a - b）#-（b - c）（n - #）〕（f #） #= 0
+ !（a - b）n（f #） #= n + l
（l）
若产品是小 件 物 品，则 需 求 量 # 与 购 进 量
n 都相当大，从概率论大 数 定 律 的 观 点，把 #取 作 连 续 随 机 变 量 ，则（l）式 可 转 化 为
piaining and counting the random differentiai eguations，anaiyse，compare and deduce corubining the
concrete reaiity meaning of sociai economy .
Key words：differentiai eguation；random variabie；probabiiity；probabiiity denisity function
一 、人 口 出 生 与 死 亡 模 型
时 刻 t 的 人 口 用 随 机 变 量 X（t）表 示，X（t）
只取整数，记 P（H t）为 X（t）= H 的 概 率，H = 0，1， 2，…，对人口在 t 到 t + !t 的出生和死亡 作 如 下 假设：
1 . 出生与死亡一人的概率与 !t 成 正 比，分 别记为 bH!t，dH!t，出生 与 死 亡 二 人 及 以 上 的 概 率为 O（!t），是 !t 的高阶无穷小量。
2 . 设 bH 与 dH 均 与 H 成 正 式，记 为 bH ="H， dH =#H，"、# 分 别 是 单 位 时 间 内 一 个 人 出 生 和 死亡的概率。
根据全概率公式有
P（H t
+ !t）=
PH -（1 t）bH P（H t）（1 -
- 1!t bH!t
+ -
PH +（1 t）dH + 1!t + dH!t）+ O（!t）
人口总数 （X t）。
类 似 地 ，可 得 方 差 随 时 间 的 变 化 式 为
D（t）=
n0
!+ !-
"e（!"
"）〔t
e（!-
"）t
-
l〕
（7）
D（t）的 大 小 表 示 了 人 口 X（ t）在 期 望 值 E
（t）附近的 波 动 范 围，（7）式 说 明 这 个 范 围 不 仅
随 着 时 间 的 延 续 和 净 增 长 率 的 增 加 而 变 大，而
件产 品 赚 钱 与 赔 钱 之 比 越 大 时，推 销 员 进 购 数
就应该越多。
［参 考 文 献］
［l］姜启源 . 等 . 数 学 模 型［ M］. 北 京：高 等 教 育 出 版 社， 2003（3）.
［2］周义仓，等 . 数学建模实验［M］. 西安：西安 交 通 大 学 出版社，l999 .
（1）
由此可得关于 P（H t）的随机微分方程为
dPH dt
= "（ H
-
1）PH - （1 t）+
dH + 1 PH + （1 t）-（ bH
+ dH）P（H t） 特别地，在假设 2 下方程为
（2）
dPt）+ #H
+
1PH +（1 t）-（"
+#）HP（H t）
（ t）=（!- "）E（ t）
故 E（t）= E（0）e（!-"）t
（5）
由初始条件 E（0）= n0，得
E（t）= n0 e（!-"）t
（6）
这里出生概率!与死亡概率 "之并!-"
称为净 增长概率，则人 口的期望值 E（t）呈 指 数
增长。当人口数 量 很 多 时，E（ t）就 可 以 看 成 是
且既 使 净 长 率 不 变 时，它 也 随 !和 " 的 上 升 而 增长。这表明 当 出 生 和 死 亡 频 繁 时，人 口 的 波
动范围就大一些。
二 、产 品 推 销 模 型
有些产品的销售是通过推销员在厂家购进 后，再批发 卖 给 零 售 商 的。假 设 销 售 员 每 天 购 进 n 件产品时的平均收入为 G（n），当天 的 需 求 量#"n，考虑 到 需 求 量 为 # 的 概 率 是 （f #），所 以有
（#）d#- #（0n b - c）（f #）d#
（2）
令 dGn dn
=
0，得
#0n（f #）d# = #n （f #）d#
a b
-
b c
（3）
由于 （f #）满足#n （f #）d#= l，所以（3）式 变 为
#0n（f #）d#=
a a
-
b c
（4）
由（3）式 和（4）式 可 以 确 定 最 优 的 购 进 量， 在（3）式中，#0n（f #）d# 是 需 求 量 # 超 过 n 的 概 率，#n （f #）d#是需求 量 #不 超 过 n 的 概 率，从 而推销员购进产品的数量 n 应该使卖不完与卖 完的概率之比，恰 好 等 于 卖 出 一 件 赚 的 钱（a b）与退回一 份 赔 的 钱 b - c 之 比。 当 推 销 员 每
G（n）= #〔0n（a - b）#-（b - c）（n -#）〕（f #） d#+ #0（a - b）n（f #）d#
这里 （f #）是 需 求 量 的 概 率 密 度 函 数，对 G （ X）求 导
dGn dn
=（a
-
b）n（f #）-
#（0n b
-
c）（f #）d#-（a
- b）n（f n）+ #n（ a - b）（f #）d# = #n（ a - b）f
［3］常大勇 . 经济 管 理 数 学 模 型［M］. 北 京：北 京 经 济 学 院出版社，l996 .
责 任 编 辑 ：李 新 红
Random Differential Eguation’s Application in Economy
JIANG Xiu-ying，LI Ming-zhe
（Harbin University，Harbin l50080，China）
Abstract：This paper appiys random differentiai eguation into the fieid of sociai economy；
buiids three modeis in order about popuiation’s borning and dying and promoting saies through eX-
随机微分方程在经济中的应用
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
姜秀英， 李明哲， JIANG Xiu-ying， LI Ming-zhe 哈尔滨学院,数学与计算机学院,黑龙江,哈尔滨,150080
哈尔滨学院学报 JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY 2005,26(10)
人 ，副 教 授 ，主 要 从 事 应 用 数 学 研 究 。
ll4
哈尔滨学院学报
2005 年
=
!〔!（n
n= l
-
l）Pn
-（l t）+ "（n
+
l）Pn
+（l t）-
（!+"）nP（n t）〕n
=!! n（n n= l
-
l）Pn
-（l t）+
"n!= ln（n
+ l）Pn +（l t）-（!+ "）n!= ln2 P（n t）=（!- "）n!= lnpn
（3）
若初始 时 刻（t = 0）的 人 口 为 确 定 数 量 H0，
则 P（H t）的初始条件为
{1
P（H 0）= 0
H = H0 H! H0
（4）
（3）式对于不同的 H 是一组逆推方程，在条
件（4）下 的 求 解 过 程 非 常 复 杂 ，这 里 只 讨 论 数 学