2019届人教A版(文科数学)椭圆、双曲线、抛物线单元测试
全国通用近年高考数学一轮复习第十四单元椭圆、双曲线、抛物线高考达标检测(四十二)圆锥曲线的综合问题
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高考达标检测（四十二） 圆锥曲线的综合问题—-最值、范围、证明问题1．已知A ，B 分别是椭圆C :错误!＋错误!＝1（a >b 〉0)的长轴与短轴的一个端点，F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，D 是椭圆上的一点，△DF 1F 2的周长为6，｜AB ｜＝7.(1）求椭圆C 的方程；(2)若P 是圆x 2＋y 2＝7上任一点,过点P 作椭圆C 的切线，切点分别为M ，N ，求证：PM ⊥PN 。
解：（1）由△DF 1F 2的周长为6，得2a ＋2c ＝6,由|AB |＝错误!，得a 2＋b 2＝7,又b 2＋c 2＝a 2，∴a ＝2，b ＝3，c ＝1。
故椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1。
（2）证明:①当切线PM 的斜率不存在或为零时，此时取P (2，错误!）,显然直线PN :y ＝错误!与直线PM :x ＝2恰是椭圆的两条切线．由圆及椭圆的对称性，可知PM ⊥PN .②当切线PM ，PN 斜率存在且不为零时，设切线PM 的方程为y ＝k 1x ＋m ， PN 的方程为y ＝k 2x ＋t ，P （x 0，y 0）（x 0≠±2)，由错误!消去y ，得（4k 错误!＋3)x 2＋8k 1mx ＋4(m 2－3)＝0，∵PM 与椭圆C 相切,∴Δ＝64k 错误!m 2－16（4k 错误!＋3）（m 2－3）＝0，∴m 2＝4k 错误!＋3。
2019人教A版教材选择性必修一第三章3.1.1椭圆及其标准方程测评练习
椭圆及其标准方程测评练习班级： 姓名：一、基础练习1．椭圆的两个焦点分别为()18,0F -、()28,0F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A ．22136100x y +=B ．22110036x y +=C ．221400336x y +=D ．2212012x y += 2．已知椭圆2221(0)25x y m m+=>的左焦点为1(4,0)F ，则m （ ） A ． B ． C ． D ．3.已知121022=-+-m x m y 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是________ 4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______________．5．已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F △的周长等于为_____________6．若ABC ∆的两个顶点坐标分别为()3,0A -，()3,0B ，ABC ∆的周长为18。
则顶点C 满足的一个方程是（ ）A ．()2210369x y y +=≠B ．()2210936x y y +=≠ C ．()22103627y x y +=≠ D ．()22103627x y y +=≠二、拓展提高7．已知椭圆221259x y +=，12,F F 分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，则||ON 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于,A B 两点，则AF BF +的值是（ ）A ．2B ．C ．4D ．9．已知F 是椭圆C ：22195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，4(1,)3A ，则||||PA PF +的最小值为（ ）A ．103B ．113C ．4D ．133 10．已知椭圆22134x y +=的两个焦点1F ，2F ，M 是椭圆上一点，121MF MF -=，则12MF F ∆是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形11．已知1F ,2F 为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A ．22162x y +=B ．22184x y +=C ．22182x y += D ．2212016x y +=。
教育最新2019年人教版高三数学(双曲线)复习经典过关试题附答案Word版
高三数学（双曲线）复习检测试题 (附参考答案)一。
选择题1．双曲线22154x y -=-的离心率为( )A． B． C ．23 D ．322．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为（ ）A221412x y -= B 221124x y -= C.221106x y -= D.221610x y -= 3.已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）（A ）23（B ）23 （C ）26（D ）3324.设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1两个焦点，点P 在双曲线上，满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A ．1B ．25C ．2D ．5 5.已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为（ ） （A（B（C ）65 （D ）566.若椭圆154116252222=-=+y x y x 和双曲线的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为（ ） A.221B.84C.3D.21 7.已知点(2,0),(3,0)A B -,动点(,)P x y 满足26PA PB x ⋅=-,则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线8.（北京3）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.（福建12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]10.已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）（A ）43 （B ）53 （C （D 11.（全国Ⅱ11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+12.如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）5 （C ）25（D ）31+二。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(五)附答案新教材高中数学
高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．（汇编年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2
=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=
（ ） A ．2: B ．1:2 C ．1: D ．1:3 2．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））已知04π
θ<<,则双曲线22
122:1cos sin x y C θθ-=与22
2222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等 3．（汇编全国卷2文数）（12）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
则k =（ ）。
2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线
2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线一．选择题2019全国Ⅱ卷理8若抛物线px y 22=（p>0）是1322=+p y p x 的一个焦点，则P_______ A. 2 B. 3 C. 4 D.82019全国Ⅱ卷理11设F 为双曲线C ：12222=-by a x （a>0,b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点，若OF PQ =,则C 的离心率______A. 2B. 3C. 2D.52019全国Ⅲ卷理10双曲线C ：12422=-y x 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若PF PO =,则△PFO 的面积为______A. 423B. 223 C. 22 D.232019全国Ⅲ卷文10已知F 为双曲线C:15422=-y x 的一个焦点,P 点在C 上，O 为坐标原点，△OPF 的面积为______ A.23 B. 25 C. 27 D.29 2019全国Ⅰ卷理10已知椭圆C 的焦点1F (-1,0) ,2F (1,0),过1F 的直线与C 交于A,B 两点.若122,2BF AB B F AF ==则C 的方程为_________A. 1222=+y xB.12322=+y xC. 13422=+y xD.14522=+y x 2019全国Ⅰ卷文10 双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为0130，则C 的离心率为___A. 040sin 2B. 040cos 2C.050sin 1 D.050cos 1 2019天津理5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且OF AB 4=(O 为原点）则双曲线的离心率____ A. 2 B. 3 C. 4 D.52019北京理4已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21则___ A. 222b a = B. 2243b a = C. b a 2= D.b a 432= 2019北京文5已知双曲线1222=-y ax （a>0）的离心率是5，则a=____ A. 6 B. 4 C. 2 D.21 2019浙江理2渐近线方程为0=±y x 的双曲线的离心率是_______B. 22 B. 1 C. 2 D.2二．填空题 2019浙江理15已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率________2019北京文11设抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程___________ 2019全国一卷理16已知双曲线左右焦点分别为1F ,2F 率过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若0,211=∙=F F F 则C 的离心率___________.2019全国Ⅲ卷文15设F 1,F 2为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△F MF 21为等腰三角形，则M 的坐标为（ ） ()222210,0x y C a b a b-=>>：。
2019届人教A版(文科数学) 抛物线 单元测试
(四十七)抛物线(对应学生用书第219页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0) D．(1,0)D[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．(2018·佛山模拟)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为()A．4 B．3C．2 D．1B[由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为2＋42＝3.]3．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2 B．2 2C．2 3 D．4C[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|＝x0＋2＝42，得x0＝32，代入抛物线方程得，y20＝42×32＝24，所以|y0|＝26，所以S△POF ＝12|OF||y0|＝12×2×26＝2 3.]4．(2018·岳阳模拟)若直线y ＝2x ＋p 2与抛物线x 2＝2py (p ＞0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12pB [将直线方程代入抛物线方程，可得x 2－4px －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4p ，∴y 1＋y 2＝9p ，∵直线过抛物线的焦点，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝10p ，故选B ．]5．(2018·汕头模拟)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．2＋1A [由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，∴N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.故选A ．]二、填空题6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.6 [在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2. 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6.]7．已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为__________．x 2＝3y [设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2，消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0， 所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .]8．如图8-7-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．图8-7-1 26 [由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x ＝± 6.∴水位下降1米后，水面宽为26米．]三、解答题9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.[解] 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，则|MA |＝|AN |，且AN ＝ 5. 3分 ∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2).6分∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .8分 抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58， 准线方程为y ＝－58.10分 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58， 准线方程为y ＝58. 12分10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[解] (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4. 3分由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p 4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . 5分(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42). 8分设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22).10分又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·石家庄模拟)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A ．y 2＝85xB ．y 2＝165xC ．y 2＝325xD ．y 2＝645x C [由题意，知直线AB 必过原点，则设AB 的方程为y ＝kx (易知k ＞0)，圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎨⎧ y ＝2x ，x 2＋(y －2)2＝4得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝165，把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x .故选C ．] 2．(2018·汕头模拟)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝________. 1 [∵x 2＝2y ，∴y ＝x 22，∴y ′＝x ， ∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∴直线l 的方程为y ＝12，∴|AF |＝|BF |＝1.]3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2 FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．[解] (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.2分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 因为AF →＝2 FB →，所以y 1＝－2y 2.联立上述三式，消去y 1，y 2得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.5分 (2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．8分 因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4. 12分。
人教A版高中数学选修内蒙古自治区单元测试抛物线文新
内蒙古自治区新人教A 版数学高三单元测试19【抛物线】本卷共100分，考试时间90分钟一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 已知抛物线22y px =上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．x=8B ．x=-8C ．x=4D ．x=-42. 将抛物线x y 42=沿向量a 平移得到抛物线x y y 442=-，则向量a 为A ．(－1,2)B ．(1,－2)C ．(－4,2)D ．(4,－2)3. 抛物线2y ax =的焦点坐标为A ．1(0,)aB ．(0,)4aC ．1(0,)4a D ．1(,0)4a4. 正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24y x =上，则这个正三角形的边长为（ ）A ．B ．C ．8D ．165. 在22y x = 上有一点P ，它到(1,3)A 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．（－2，1）B ．（1，2）C ．(2，1）D ．（－1，2） 6. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( ).A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x = D. 28y x =7. 抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －10＝0的最小距离为（ ）A ．955B ．0C ．95D ．558. 两个正数,a b 的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(,0)16-B ．2(,0)5-C ．1(,0)5-D ．1(,0)59. 直线l 过抛物线x y =2的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角4πθ≥，则|FA |的取值范围是（ ）A ．)23,41[B ．13(,442+ C ．]23,41( D ．]221,41(+10. 已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ）（A ）3 （B ）2 （C （D 二、填空题 (共4小题，每小题4分)11. 设点F 为24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则||||||FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r.12. 已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为__ 。
人教A版高中数学高三二轮(文)专题14椭圆双曲线、抛物线测试
人教A 版高中数学高三二轮（文）专题14椭圆双曲线、抛物线测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23 D ．592．已知k <4，则曲线22194x y +=和22194x y k k +=--有( ) A ．相同的准线B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的长轴3．双曲线2214x y -=的顶点到渐近线的距离等于（ ）A B ．45 C ．25 D 4．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝25．若双曲线22221x y a b-= ）A ．y=±2xB ．y=C ．12y x =±D ．2y x =±6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -= B ．22188x y -= C ．22148x y -= D ．22184x y -= 7．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A ．2BCD 8．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 ( )A B C D ．56 9．已知直线l 与双曲线C:x 2-y 2=2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△A OB 的面积为（ ）A ．12B ．1 c ．2C ．4 10．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,32⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题11．若双曲线221y x m -=，则实数m =__________． 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．13．已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．14．过点M(2，－2p)作抛物线x 2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．三、解答题15． 如图，已知椭圆2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上的顶点，直线AF 2交椭圆于另 一点B .(1)若∠F 1AB =90°，求椭圆的离心率；(2)若2AF ＝22F B ，1AF ·AB ＝32，求椭圆的方程． 16．如图，已知抛物线24C y x =：焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点（Ⅰ）若线段AB 的中点在直线2y =上，求直线l 的方程； （Ⅱ）若线段20AB =，求直线l 的方程.17．已知椭圆与抛物线y 2＝有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若2AP PB =，求△AOB 的面积．18．已知椭圆1C 的方程为2214x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点．(1)求双曲线2C 的方程；(2)若直线:=+l y kx 2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB >(其中O 为原点)，求k 的取值范围．参考答案1．B【分析】由题可知，3a =，2b =，求出c ，即可求出椭圆的离心率．【详解】因为椭圆22194x y +=中3a =，2b =，所以c =得c e a ==， 故选：B ．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值．2．B【解析】k <4，∴曲线22194x y +=和22194x y k k+=--都是椭圆． 又9－4＝9－k －(4－k )，∴两曲线的半焦距相等，故两个椭圆有相同的焦点．选B3．A【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】 双曲线2214x y -=的顶点为()2,0±. 渐近线方程为：12y x =±. 双曲线2214x y -==. 故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.4．B【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，准线方程为：x ＝－1，∴以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，∴以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝4.选B.5．B【解析】=b y x a =±，计算得b a =方程为y =.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.6．B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. 【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.7．A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2b d c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 8．C【解析】试题分析：因为已知实数4，m ，9构成一个等比数列，所以可得236,6,6m m m =∴==-.所以圆锥曲线为椭圆时即221x y m+=的方程为2216x y +=.所以222226,1,5a b c a b ==∴=-=.所以离心率c e a ===.当是双曲线时可求得离.故选C.考点：1.数列的思想.2.圆锥曲线的性质.3.离心率的计算.4.分类的思想.9．C【解析】试题分析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y =±x ，设A(x 1,x 1)，B(x 2,−x 2)， ∴AB 中点(x 1+x 22,x 1−x 22)，∴(x 1+x 22)2−(x 1−x 22)2=2⇒x 1x 2=2， ∴S ΔAOB =12|OA|⋅|OB|=12|√2x 1|⋅|√2x 2|=x 1x 2=2，故选C ．【考点】本题主要考查双曲线的标准方程及其性质．10．C【解析】如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围．本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围．11．2【解析】222222221,,13c a b a b m e m a a +=====+=，2m =.渐近线方程是y ==.12【解析】如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ，∵∠MAN=60°，∴|AP|=2b ，∴= 设双曲线C 的一条渐近线y=b a x 的倾斜角为θ，则tanθ=||||AP OP =． 又tan θ=b a，b b a =，解得a 2=3b 2， ∴3==． 答案：3点睛： 求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，再根据222b c a =-和c e a=转化为关于离心率e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．13．6【分析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．14．1或2【解析】设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p，切线MA 的方程是y －y 1＝1x p (x －x 1)，即y ＝1x p x －122x p .又点M (2，－2p)位于直线MA 上，于是有－2p ＝1x p ×2－122x p，即x 12－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即12222x x p +＝()2121222x x x x p +-＝12，21682p p +＝12，解得p ＝1或p ＝2.15．（1（2）2232x y ＋＝1 【解析】试题分析：解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a c ，e ＝2c a =. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c B (x ，y )．由2AF ＝22F B ⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝32c， y ＝2b -，即B (32c ，2b-)．将B 点坐标代入22221x y a b+=，得42229441b ca b -+=， 即2291144c a +=， 解得a 2＝3c 2.①又由1AF ·AB ＝(－c ，－b )·(32c ，2b -)＝32⇒b 2－c 2＝1， 即有a 2－2c 2＝1.②由①，②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为22132x y +=.考点：椭圆的性质和方程点评：解决的关键是根据椭圆的定义以及三角形的性质得到a,b,c 的关系式，同时结合向量的数量积来秋季诶得到其方程，属于基础题． 16．(Ⅰ)1y x =-;(Ⅱ)210x y ±-= 【解析】试题分析：（1）设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，由点差法，可得2y 0k ＝4，又02y =，所以1k =．（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线联立组方程组，由弦长公式与志达定理，可求得参数m 的值.试题解析：(1)由已知得抛物线的焦点为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由22112244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.【点睛】（1）对线圆锥曲线上两点构成的弦及其中点相关的题型，我们常用“点差法”，其中直线AB 的斜率1212y y k x x -=-，AB 中点的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，22112244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，点代入曲线作差，就可以得到弦中点与直线斜率的关系式．（2）对于弦长问题，我们常让直线与圆锥曲线方程组方程组，再利用志达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y，所以12AB x =-或12AB y =-（1）证明：因为()()1122,,,A x y B x y 在直线l 上，所以1122y kx my kx m =+⎧⎨=+⎩AB ∴=1122y kx my kx m=+⎧⎨=+⎩可得：AB ==12x ==-同理可证得12AB y y =-17．（1）22142xy +=；（2）8【解析】试题分析:(1)先求椭圆焦点得c ，再根据离心率列方程组可得a ＝2，b 2＝2 (2)将OP 视为底，根据三角形面积公式得S ＝12|OP |·|x 1－x 2|，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简得|x 1－x 2|，最后根据2AP PB =解出k ，代入解得△AOB 的面积． 试题解析：解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)，由题意可得c ＝，又e ＝＝，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由＝2，得设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得 (2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝－，x 1·x 2＝－.将x 1＝－2x 2代入上式整理可得， 2＝，解得k 2＝.∴△AOB 的面积S ＝|OP |·|x 1－x 2| ＝＝·＝.18．（1）2213x y -=；（2）31,,1⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）求出椭圆的焦点和顶点，即得双曲线的顶点和焦点，从而易求得标准方程；（2）将y kx ＝代入2213x y -=，得22(13)90k x -=－－由直线l 与双曲线2C 交于不同的两点，21300k ⎧-≠⎨>⎩得k 的取值范围，设1122()()A x y B x y ，，，，，由韦达定理得则1212229,1313x x x x k k=---＋＝ 代入2OA OB >可求得k 的范围． 【详解】(1)设双曲线2C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则2234a c ＝，＝，再由222a b c ＋＝，得2 1.b ＝故2C 的方程为2213x y -=(2)将y kx ＝代入2213x y -=，得22(13)90k x -=－－由直线l 与双曲线2C 交于不同的两点，得()()()22221306236133610k k kk ⎧-≠⎪⎨=-+-=->⎪⎩22113k k ∴≠<且①设1122()()A x y B x y ，，，， 则1212229,1313x x x x k k=---＋＝(12121212(x x y y x x kx kx ∴＋＝＋ ()2212122371()231k k x x x x k +++=-＝＋ 又2OA OB >，得12122x x y y ＋＞，2237231k k +∴>-，即2239031k k -+>-，解得2133k <<② 由①②得13＜k 2＜1， 故k 的取值范围31,,1⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线相交中的范围问题．应注意：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．。
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15 椭圆、双曲线、抛物线（2）第1卷一、选择题1、设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,为垂足,如果直线斜率为,那么( )A.B.C.D.2、已知双曲线的两条渐近线均和圆相切,且圆的圆心是双曲线的一个焦点,则该双曲线的方程为( )A.B.C.D.3、设双曲线的虚轴长为,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )A.B.C.D.4、已知双曲线: 的离心率为.若抛物线:的焦点到双曲线的渐近线的距离为,则抛物线的方程为( )A.B.C.D.5、设,分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )A.B.C.D.6、已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则( )A.B.C. D.7、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则( )A.B.C.D.8、已知是抛物线的焦点,,是该抛物线上的两点,,则线段的中点到轴的距离为( )A. B.C.D.9、椭圆的离心率为( )A B CD10、准线方程为x=2的抛物线的标准方程是A．y2=-4x B．y2=-8x C．y2=8x D．y2=4x11、若点和点分别为椭圆的中心和左焦点,点为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )A.2B.3C.6D.812、若双曲线的离心率为, 则其渐近线方程为( )A.B.C.D.13、已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则双曲线的方程为（）B．A．C．D．14、若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则( )A.B.C.D.15、已知抛物线与直线相交于两点,为的焦点,若,则( )A.B.C.D.16、双曲线的焦点到渐近线的距离为( )A.B.C.D.17、设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两实根分别为和,则点( )A.必在圆内B.必在圆上C.必在圆外D.以上三种情形都有可能18、已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若,则( )A.B.C.D.19、已知椭圆的离心率为,右焦点为.斜率为的直线与椭圆交于两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.1.求椭圆的方程;2.求的面积.20、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．21、设椭圆:过点,离心率为.1.求椭圆的方程;2.求过点且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.22、已知椭圆的离心率,过点和的直线与原点的距离为.1.求椭圆的方程.2.已知定点若直线与椭圆交于、两点.问:是否存在的值,使以为直径的圆过点?请说明理由.23、已知,椭圆以过点两个焦点为.1.求椭圆的方程;2.是椭圆上的两个动点,如果直线的斜率与的斜率互为相反数,证明直线的斜率为定值,并求出这个定值。
24、如图,直线为圆的切线,切点为,点在圆上,的角平分线交圆于点,垂直交圆于点.1.证明:;2.设圆的半径为,,延长交于点,求外接圆的半径.25、在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线:(为参数),:(为参数).1.化的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;2.若上的点对应的参数为,为上的动点,求的中点到直线:的距离的最小值.26、如图,设是圆上的动点,点是在轴上的投影,为上一点,且.1.当在圆上运动时,求点的轨迹的方程.2.求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.参考答案一、选择题1.答案：B解析：方法一：的直线方程为，当时，，∴，将代入中，得，∴，∴，故选B。
方法二：如图，∵，∴轴，又∵直线的斜率为，∴，∴，又由抛物线定义知，∴为等边三角形，又在中，，∴，∴，故选B。
2.答案：A解析：圆化为,其圆心为,半径,由题意知,双曲线的右焦点为,另双曲线的的一条渐近线为,即,由于渐近线均和圆相切,则,化为,结合得,所以双曲线的方程。
故选A。
3.答案：C解析：因为双曲线的虚轴长为,焦距为,所以,双曲线的渐近线方程为,选C。
考点:本题主要考查双曲线的几何性质。
点评:简单题,的渐近线方程为。
4.答案：D解析：解法一:由题意知双曲线的离心率为,因此双曲线的渐近线方程为,取其中一条渐近线,抛物线的焦点坐标为,该点到双曲线的渐近线的距离,解得,因此抛物线的方程为.解法二:∵的离心率为2,∴,即,∴,的焦点坐标为,的渐近线方程为,即,由题意得,∴,故的方程为.5.答案：C解析：设的中点为,由,故,即,在中,,故,则,即,∴,∴,即.故双曲线的渐进方程是,即,故选C.6.答案：B解析：由题意可设抛物线方程为.由得,∴抛物线方程为.∴点的坐标为,∴,故选.7.答案：B解析：【命题立意】本题考查抛物线、双曲线的几何性质、导数的应用.【解题思路】利用导数、三点共线等知识求解.抛物线的焦点,双曲线的右焦点.由,解得,则,则,,三点共线,所以,解得,故选B.8.答案：C解析：设,的横坐标分别是,,由抛物线定义,得,即,故,,故线段的中点到轴的距离为.9.答案：D解析：由方程可知,,,则,所以. 此题考查椭圆离心率基本运算.10.答案：B解析：由于抛物线的准线方程为x=2，故该抛物线的焦点在x轴上，且开口向左。
故设抛物线方程为，则，，所以抛物线方程为。
11.答案：C解析：由题意,,设点,则有,解得,因为,,所以, 此二次函数对应的抛物线的对称轴为,因为,所以当时,取得最大值,选C.考点:平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质.12.答案：B13.答案：D解析：由题意可得双曲线的一个焦点为，所以，又，所以，故双曲线的方程为，故选D．考点：双曲线的方程．14.答案：B解析：由已知可得,,,.考点:椭圆方程及性质15.答案：A解析：设抛物线的准线为,直线恒过定点,过分别作于,于,由,则,点为的中点、连接,则,∴,点的横坐标为,故点的坐标为,∴,故选A.16.答案：A17.答案：A解析：∵,且,∴,.∴二次方程变为,∴,.∴,∴点在圆内.18.答案：D解析：设为椭圆的右准线,过、作、垂直于,、为垂足,过作于,则,,由知,,∴,∴,∴.∴.二、解答题19.答案：1.∵椭圆的两个焦点为、,点在椭圆上,且,且,,∴,∴,,∴,又∵,所以椭圆的方程为.2.设直线的方程为.由,得.①设、的坐标分别为,中点为,则,,因为是等腰的底边,所以.所以的斜率.解得.此时方程①为.解得.所以.所以.此时,点到直线:的距离,所以的面积.20.答案：（Ⅰ）由题意知，所以．… 2分即．又因为，所以，．…… 4分故椭圆的方程为．…… 5分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在. …… 6分设：，，，，由得.，.，.…… 9分∵，∴，，.…… 11分∵点在椭圆上，∴，.…… 12分∴∵＜，∴，∴∴，∴，∴.∴，∵，∴，∴或，∴实数取值范围为解析：略21.答案：1.将点代入椭圆的方程得,所以,又,得,即,所以,所以椭圆的方程为.2.过点且斜率为的直线方程为,设直线与椭圆的交点为、,将直线方程代入椭圆的方程,得,即,解得,,所以的中点坐标,,即所截线段的中点坐标为.注:也可由为韦达定理进行求解.22.答案：1.直线方程为:.依题意解得,∴ 椭圆方程为.2.假若存在这样的值,由得.∴ . ①设、,则②而. 要使以为直径的圆过点当且仅当时,则,即.∴ . ③将②式代入③整理解得.经验证,,使①成立.综上可知,存在,使得以为直径的圆过点.23.答案：1.由题意,,可设椭圆方程为。
因为在椭圆上,所以,解得(舍去)。
所以椭圆方程为.2.设直线方程:得,代入得设因为点在椭圆上,所以,又直线的斜率与的斜率互为相反数,在上式中以代,可得所以直线的斜率。
即直线的斜率为定值,其值为。
24.答案：1.证明:如图,连接,交于点,由弦切角定理,得,而,故,所以又因为,所以为圆的直径,由勾股定理可得.2.由1知,,故是边的中垂线,所以设的中点为,连接,则,从而,所以,为外接圆的直径,故外接圆的半径等于25.答案：1.:,以为圆心,1为半径的圆:,以原点为中心,焦点在轴上,长半轴长为8,短半轴长为3的椭圆.2.当时,.,故.为直线,∴点到直线的距离从而当时,取得最小值.26.答案：1.设的坐标为,的坐标为,则由已知得因为点在圆上,所以,即,整理得,所求点的轨迹的方程为.2.过点且斜率为的直线方程为,设直线与的交点为,将直线方程代入的方程,得,即.∴,.∴线段的长度为, ∴直线被所截线段的长度为.。