椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案
双曲线、抛物线测试题(含答案)
双曲线、抛物线测试题 （每小题5分，共120分）1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( )(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(3)平面内到点F 1(0,3)，F 2(0，－3)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(5)方程x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×2.设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9 答案： C3.已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62C ．52D ．1 答案： D 4.若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等 答案： (1)D5.双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x答案： B6.焦点为(0,6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．x 212－y 224＝1B ．y 212－x 224＝1C ．y 224－x 212＝1D ．x 224－y 212＝1 答案： B7.已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)．则此双曲线的方程为( )A ．y 29－x 216＝1B ．y 24－x 23＝1C ．y 216－x 29＝1D ．y 23－x 24＝1答案： A8.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案： C9.坐标平面内到定点F (－1,0)的距离和到定直线l ：x ＝1的距离相等的点的轨迹方程是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝－2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 答案： D10.抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2B ．x ＝－1 D ．x ＝－2 答案： A11.若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x 答案： C12.已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．2 3D ．4 答案： 2 313.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案： A14.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x答案： B 15.设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x 16.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．答案： 617.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是____________．答案： x 2＝－8y18.两个正数a ，b 的等差中项是52，等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝________. 答案： 133 19.已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为______．答案： 2 320.若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为________．答案：x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1 21.设点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，若|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________．答案： ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，5322.已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，且过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1，则双曲线的标准方程为________．答案：x 218－y 28＝1 23.F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案： 5224.已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．答案： 32－1。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
中职数学 椭圆、双曲线、抛物线测试卷(含答案)
数学拓展模块第二章椭圆、双曲线、抛物线(试卷A )一、选择题：（本大题有15个小题，每小题3分，共45分。
在每小题所给出的选项中只有一个符合题目要求）1.已知椭圆221169+=x y 上一点到椭圆的一个焦点的距离为3,则P 到另一个焦点的距离为( ). A .3 B .4 C .5 D .62.椭圆2211625+=x y 的焦距是( ). A .6 B .4 C .10 D .93.已知椭圆方程是224520+=x y ,则它的离心率是( ).A .2B .C .D . 124.长轴是短轴的2倍,且经过点P (-2.0)的椭圆方程是( ).A . 2214+=x yB . 221416+=x yC . 221164+=x y 或2214+=x y D . 221416+=x y 或2214+=x y 5.焦点在x 轴上，长轴长为8.离心率为12，那么椭圆的标准方程为( ). A .2211612+=x y B . 2211612-=x y C . 2211216+=x y D . 2211216-=x y6.与椭圆2211625+=x y 有共同的焦点且过点(-的双曲线的方程是( ). A .22154-=y x B . 22153-=y x C . 22154-=x y D . 22153-=x y 7.双曲线的两个焦点坐标是1F (0,-5), 2F (0,5)，且2a =8.则双曲线的方程为( ).A .221169-=y x B . 2211625-=y x C . 2211625-=x y D . 2216425-=x y 8.若双曲线焦点在x 轴上，且它的一条渐进线方程为34=y x ,则离心率是( ).A .54B . 4C . 7D . 79.双曲线221169-=x y ，若过右焦点2F ,且在双曲线右半支上的弦AB 长为5，另一焦点为1F 则△AB 1F 的周长为( ).A .16B .11C . 26D .610.设()0,απ∈，方程221sin cos αα+=x y 表示中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线，则α的取值范围是( ).A . ()0,π В. [)0,π C . ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D .,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.抛物线250-=x y 的准线方程是( ).A . 54=-x B . 52=x C . 54=y D . 54=-y 12.顶点在原点，准线方程为y =4的抛物线标准方程为( ). A . 216=y x B . 216=-y x C . 216=x y D . 216=-x y13.顶点在原点，对称轴是y 轴，顶点与焦点的距离等于2的抛物线方程是( ). A . 24=±x y B . 24=±y x C . 28=±x y D . 28=±y x 14.顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点（2，-3)的抛物线方程是( ). A . 292=y x 或243=-x y B . 292=-y x C . 292=-y x 或243=x y D . 243=-x y 15.顶点在坐标原点，焦点是(0，-1)的抛物线的标准方程是( ). A . 24=x y B . 24=-x y C . 24=-y x D . 24=y x 二、填空题（本在题有15个小空，每空2分，共30分） 16.已知椭圆221625400+=x y ,其离心率为___________.17.已知椭圆的右焦点F (3,0)，F 到右顶点距离为3,则椭圆的方程为___________.18.已知曲线的方程22194+=--x y k k为椭圆的标准方程，则k 的取值范围为___________.19.椭圆各22214+=x y a 与双曲线器22212-=x y a 有相同的焦点，则2a =___________. 20如果方程222+=x ky 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是___________.21.已知1F ，2F 是椭圆221259+=x y 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于M .N 两点，则△MN 2F 的周长是___________.22.双曲线222516400-=x y 的两条渐近线方程是___________.23.双曲线的实轴长为6，离心率2=e ，焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程为___________. 24.双曲线2288-=kx ky 的一个焦点是(0，3),那么k =___________.25.与双曲线221916-=x y 有相同的渐近线,且过点(3,-C 的双曲线方程是___________. 26.方程22125-=--x y k k表示双曲线，则k 的取值范围是___________. 27.抛物线214=-y x 的焦点坐标是___________.28.抛物线上24=-y x 上一点M 到焦点的距离是6，则M 到准线的距离是___________. 29.若抛物线22=y px 上到焦点距离为3的点的横坐标为2.则p =___________.30.抛物线218=-y x 的准线方程是___________.三、解答题：（本大题共45分）31.已知椭圆的短轴长是2，中心与抛物线24=y x 的顶点重合，椭圆的一个焦点是此抛物线的焦点，求该椭圆的方程及离心率.32.椭圆的长轴是短轴的3倍,过点P (3,0),求椭圆的标准方程.33.一椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，焦距为 的焦点，且双曲线的实半轴比椭圆的长半轴小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为73，求此椭圆和双曲线的方程。
椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案
椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案1、已知椭圆方程为 $x^2/23+y^2/32=1$，则这个椭圆的焦距为（） A．6 B．3 C．35 D．652、椭圆 $4x^2+2y^2=1$ 的焦点坐标是（） A．(-2,0),(2,0) B．(0,-2),(0,2) C．(0,-1/2),(0,1/2) D．(-2/2,0),(2/2,0)3、$F_1$，$F_2$ 是定点，且 $FF_{12}=6$，动点$M$ 满足 $MF_1+MF_2=6$，则 $M$ 点的轨迹方程是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段4、已知方程$x^2+my^2=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是（） A．$m1$ D．$1<m<5$5、过点 $(3,-2)$ 且与椭圆 $4x^2+9y^2=36$ 有相同焦点的椭圆方程是（）A．$x^2y^2/15+10=1$ B．$x^2y^2/152+102=1$ C．$x^2/10+y^2/15=1$ D．$x^2y^2/102+152=1$6、若直线 $y=mx+1$ 与椭圆 $x^2+4y^2=1$ 只有一个公共点，那么 $m^2$ 的值是（）A．$1/2$ B．$3/4$ C．$2/3$ D．$4/5$7、已知椭圆 $C:x^2/9+y^2/2=1$，直线 $l:x/10+y=1$，点$P(2,-1)$，则（） A．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相交B．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相交 C．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相离 D．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相离8、过椭圆 $C:x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的焦点引垂直于 $x$ 轴的弦，则弦长为（） A。
$2b^2/a$ B。
$b^2/a$ C。
$b/a$ D。
$2b/a$9、抛物线 $x+2y^2=0$ 的准线方程是（） A。
椭圆、双曲线、抛物线综合检测(含答案)
椭圆、双曲线、抛物线综合试题学校:___________姓名：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）1．(a>0,b>0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( )2．已知焦点在x 轴上的椭圆，则a 的值为 ( ) ABD ．123．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x4．椭圆2249144x y +=内的一点(3,2)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程A. 32120x y +-=B. 23120x y +-=C. 491440x y +-=D. 941440x y +-=5k 适合的条件是A ．2k <-或25k <<B ．22k -<<或5k >C ．2k <-或5k > D．25k -<<6．已知P 为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A的坐标是 （ ）(A)8 (B)(C)107 A 、0 B 、1 C 、2 D 、38（0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（ ）A 等腰三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明9．已知P上一点，F 1,F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=900,则△F 1PF 2的面积为___________;10．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（Ⅰ）双曲线的离心率 ；（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 . 11．过点)2,2(p M -作抛物线)0(22>=p py x 的两条切线，切点分别为A 、B ，若 线段AB 中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 ．12．对任意实数k ,直线y kx b =+与椭圆,则b 的取值范围是三、解答题（题型注释）13．（本小题满分12分） 抛物线22y px =的焦点与双曲线. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积.14．已知1F )0,1(-、2F )0,1(为椭圆的焦点，且直线 （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，求△2ABF 的面积S 的最大值，并求此时直线的方程。
椭圆、双曲线与抛物线(有答案)
椭圆、双曲线与抛物线1. 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) 1515151515., .0, .,0.,133333A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2．已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于( )A ．3B ．2C ．4D ．53．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－34．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( ) A ．32 B ．52C ．2D ．3 5. 已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝06. 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 7. 若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为_____________．答案：x 2＋3y 22＝1 8．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．答案 39．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案 ±110. 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________．答案：y 2＝3x11．如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0，则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2.又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2p y 2＋y 4， ∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．12. 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 破题切入点 (1)将点代入易求方程．(2)假设存在，根据条件求出，注意验证．解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12. 由直线OA 到l 的距离d ＝55，可得|－t |5＝15，解得t ＝±1. 又因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.13. 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1. (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 因AC 与BD 同向，且|AC |＝|BD |，所以AC ＝BD ，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0. 而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根， 所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2， 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9， 解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.。
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。
2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。
3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。
4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。
5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。
6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。
7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。
重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。
2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。
3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。
4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。
专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用(优秀经典专题及答案详解)
A． 2
B． 2 2
C．2 3
D．4
【答案】C
【解析】∵ OF 2 ，由抛物线的定义可得 P 点的坐标 3 2, 2 6 ，∴POF 的面
为
1 OF 2
yP
1 2
22
62
3．
【答案】D
【解析】设 P x,
y, A1 1,0, A2 1,0
，则 kPA1
y x 1 , kPA2
y ，则 x 1
kPA1
kPA2
y2 1 ， x2 1
又 kPA1
tan , kPA2
tan
，所以 tantan
1 ，则
2
，即 6
2
，所以
12
，
故选 D.
5.设 F 为抛物线 C : y2 4x 的焦点，过点 P1,0 的直线l 交抛物线C 于 A, B 两点，点Q
为线段 AB 的中点，若 FQ 2 3 ，则 AB （ ）
PQ
2 k 2
2
2 k2
2
2
3 ，整理化简
1 可得： k 2
1
1 k2
2
0,
1 k2
2 .利用韦达定理有： x1 x2
42 1 2
1
6, x1x21 ， Nhomakorabea2
则 x1 x2 x1 x2 2 4x1x2 32 ，
1 k2
3 ，由弦长公式可得 2
AB 1 k 2 x1 x2 4 3 .
连接 PF1，PF2，F1M，F2N，
可得 |PM |2﹣|PN| 2＝（| PF 1| 2﹣r12）﹣（| PF2|2﹣r22） ＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1） ＝|PF 1|2 ﹣|PF 2| 2﹣3 ＝（|PF 1| ﹣|PF 2| ）（|PF 1|+|PF 2|）﹣3 ＝2a（| PF1|+| PF2 | ﹣3＝2（|PF 1|+| PF 2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13 ． 当且仅当 P 为右顶点时，取得等号，即最小值 13．故选：D．
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1、已知椭圆方程为
22
12332
x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ）
A ．6
B ．3
C ．
D ．2、椭圆2
2421x
y +=的焦点坐标是（ ）
A ．(
B ．(0,
C ．11
(0,),(0,)22
-
D ．(22- 3、12F F ，是定点，且12FF =6，动点M 满足12MF +MF 6=，则M 点的轨迹方程是（ ）
A ．椭圆
B ．直线
C ．圆
D ．线段
4、已知方程2
21x
my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜1
B ．-1＜m ＜1
C ．m ＞1
D ．0＜m ＜1 5、过点（3，-2）且与椭圆2
24936x
y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A ．
22
11510x y += B ．222211510x y += C ．
22
11015
x y += D ．222211015x y += 6、若直线
1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点，那么2m 的值是（ ）
A ．
12 B ．34 C ．23 D ．4
5
7、已知椭圆C ：22192x y +=，直线l ：110
x
y +=，点P （2，-1），则（ ） A ．点P 在C 内部，l 与C 相交 B ．点P 在C 外部，l 与C 相交 C ．点P 在C 内部，l 与C 相离 D ．点P 在C 外部，l 与C 相离
8、过椭圆C ：22
221x y a b +=的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为（ ）
A ．
2
2b a
B ．
2
b a
C ．
b a D ．2b a
9、抛物线220x
y +=的准线方程是（ ）
A ．18x =
B ．18x =-
C ．14x =-
D ．14
x = 10、抛物线
22(0)y px p =＞上一点M 与焦点F 的距离MF =2p ，则点M 的坐标是（ ）
A ．3(
)2p B ．3(,)2p C ．3,)2p D ．3
(,)2
p 11、若抛物线2
14
y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，则P 点的坐标是（ ）
A ．(4,4)±
B ．(4,4)±
C ．79(
168
±， D ．79()816±
， 12、已知抛物线2
4x
y =，过焦点F ，倾斜角为
4
π
的直线交抛物线于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ）
A ．8
B ．
C ．6
D ．13、抛物线2
60x ay
-=的准线方程是3
4
x =-
，则a 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-3
14、以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不能确定
15、已知直线l 是抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C
准线上一点，则ABP
S
=（ ）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48 16、已知抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 相交于A 、B 两点，则cos AFB ∠=（ ）
A ．
115 B ．35 C ．45- D ．3
5
- 17、设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜
率为PF =（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．16
18、设斜率为2的直线l 过抛物线
2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF （O 为坐标原
点）的面积为4，则抛物线方程为（ ） A ．
24y x =± B ．28y x =± C ．24y x = D ．28y x =
19、若点O 和点F （-2,0）分别是双曲线22
21(0)x y a a
-=＞的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意
一点，则OP FP ⋅的取值范围是（ ）
A ．)
3⎡-+∞
⎣
B ．)
3⎡++∞
⎣
C ．
7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
20、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=＞＞倍，斜率为1的直线l 与椭圆相交，截得
的弦长为正整数的直线l 恰有3条，则b 的值为（ ）
A ．
2
B C D 21、已知方程
22
13+2x y k k
+=-表示椭圆，则k 的取值范围为（ ） 22、
22
112x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）
23、若椭圆
22
15x y m
+=的离心率5e =,则m 的值是（ ）
24、已知直线1y x =-+与椭圆22
221x y a b
+=（0a b ＞＞）相交于A 、B 两点，且线段AB 的
中点在直线L ：20x y
-=上，则此椭圆的离心率为（ ）
25、若椭圆
22
1369
x y +=的弦被点A （4,2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ） 26、以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为（ ） 27、若,x y R ∈，且2
2326x
y +=，则x y +的最大值是（ ），22
x y +的最小值是（ ）
答案：1~5：ACDDA 6~10：BAAAB 11~15：BAABC 16~20：CBBBC
21、11(3,)(,2)22k ∈--
⋃-22、3(,1)(1,)2-∞-⋃- 23、
3或25
3
24、2 25、x+2y-8=0 26、
27 2
双曲线习题
1、在平面直角坐标系中，已知双曲线
22
1412
x y -=上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点距离为（ ）
2、设12,F F 为双曲线2
214
x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足12120F PF ∠=，则1
2
F PF S △=
（ ）
3、双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（ ）
4、过双曲线22
221(00)x y a b a b
-=＞，＞的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线两渐近线的交
点分别为B ，C ，若1
AB=BC 2
，则双曲线的离心率是（ ） 5、已知1F ：2
210240x
y x +++=，2F ：221090x y x +-+=，动圆M 与定圆12,F F 都外切，
求动圆圆心M 的轨迹方程。
6、已知点B （6,0），C （-6,0），过B 的直线l 与过点C 的直线m 相交于点A ，设l 的斜率为1k ，直线m 的斜率为2k （1）若124
9
k k =
，求点A 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线？ （2）若12
k k a =，其中0a ≠，求点A 的轨迹方程，并根据a 的取值讨论此轨迹是何种轨迹？
7、中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与双曲线有共同的焦点12,F F ，且12F F =半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3:7 （1）求两曲线方程
（2）若P 为这两双曲线的一个交点，求12cos F PF ∠的值
8、已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F ，且过点（4，
（1）求双曲线方程；
（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：12MF MF ⊥ （3）求2
F MF S △
9、若一个椭圆长轴长，短轴长和焦距成等差数列，则椭圆离心率为e =（ ）
10、椭圆中心在原点，左右焦点12,F F 在x 轴上，A ，B 是椭圆顶点，P 是椭圆上一点(点P 在第二象限)，且1PF x ⊥轴，2PF ∥AB ，则e =（ ）
11、已知椭圆22
221(00)x y a b a b
+=＞，＞的左右焦点分别为12-c,0,(,0)F F c （）。
椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得12
21sin sin c PF F a PF F ⋅∠=∠，则该椭圆的离心率范围是（ ）
12、已知P 是以
12,F F 为焦点的椭圆
22
22
1(00)x y a b a b +=＞，＞上一点，若120PF PF ⋅=，121
tan 2
PF F ∠=
，则离心率e =（ ） 13、已知P 为椭圆2
214
x y +=上任意一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，求 （1）
12
PF PF ⋅的最大值
（2）
2
2
12
PF +PF 的最小值
答案：1、4 2 3、3 4 5、22
441(0)991
x y x -=＜ 6、略
7、（1）椭圆：
2214936x y += 双曲线：221494x y -=（2）4
5
8、（1）
22
166
x y -=
（2）略 （3）6 9、3
5
10、
5 1 1、1,1) 12、
3
13、4；8。