《合情推理与演绎推理》同步练习2(北师大版选修1-2)
高中数学选修1-2同步练习题库：合情推理与演绎证明(选择题：容易)
合情推理与演绎证明（选择题：容易）1、下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤2、36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为（1＋3＋32）＋（2＋2×3＋2×32）＋（22＋22×3＋22×32）＝（1＋2＋22）（1＋3＋32）＝91，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为（）A．217 B．273 C．455 D．6513、观察下列等式，，，根据上述规律，（）A． B． C． D．4、下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D．在数列中，由此归纳出的通项公式．5、设，计算，由此猜测（）A． B．C． D．以上都不对6、在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（）A．1:2 B．1:4 C．1:6 D．1:87、观察下列各等式：若，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（）A． B．C． D．8、对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（）A．各正三角形内的点 B．各正三角形某高线上的点C．各正三角形的中心 D．各正三角形各边的中点9、“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的（）A．丁酉年 B．戊未年 C．乙未年 D．丁未年10、有一段演绎推理是这样的：“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值；已知函数在上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（）A．大前提错误，结论错误 B．小前提错误，结论错误C．推理形式错误，结论错误 D．该段演绎推理正确，结论正确11、宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹曰穷其理而已也。
高中数学选修1-2同步练习题库：合情推理与演绎证明(简答题：较难)
合情推理与演绎证明（简答题：较难）1、（本小题满分12 分）已知函数是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的、∈R，都满足，若=1，．（1）求、、的值；（2）猜测数列通项公式，并用数学归纳法证明．2、设，，，，是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标，，，，使得．3、已知.经计算得.（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.4、先解答（1）（2），再通过结果类比解答（3）.（1）求证：；（2）写出函数的最小正周期；（3）定义在上的函数满足（其中为非零常数），试猜想是否为周期函数，并证明你的结论.5、在各项为正的数列中,数列的前项和满足．（1）求；（2）由⑴猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.6、（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：．（Ⅱ）已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程为：，类比上述性质，试写出椭圆类似的性质．7、（本小题满分16分）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”．（1）求出；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式（不需写出证明过程）；（3）根据你得到的关系式求的表达式．8、已知函数，数列满足，．（1）求；（2）猜想数列的通项，并用数学归纳法予以证明．9、（本题满分13分）在数列中，已知，且。
（1）用数学归纳法证明：；（2）求证．10、（本小题满分10分）已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.11、在数列中，，当n≥2时，成等比数列.（1）求，并推出的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论.12、(本小题满分12分)已知数列满足，.（1）计算，，，的值；（2）根据以上计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.13、在中，三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c，且A、B、C成等差数列，a,b,c成等比数列，请用分析法证明：为等边三角形。
高二数学人教选修1-2同步练习：2.1.1 合情推理(二)
2.1.1 合情推理(二)一、基础过关 1．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与a x ＋y 类比，则有a x ＋y ＝a x ＋a yD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④3．在等差数列{a n }中，若a n <0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 5＋b 7>b 4＋b 8C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 5>b 7＋b 84．已知扇形的弧长为l ，半径为的r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝________.5．类比平面直角坐标系中△ABC的重心G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3))，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 3)为顶点的四面体A —BCD 的重心G (x ，y ，z )的公式为________．6．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有_____________________________________． 二、能力提升7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________． ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号) ①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为(p k 2＋p ，pk)，请你写出弦MN 的中点坐标：________.10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．11．如图(1)，在平面内有面积关系S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′P A ·PB ′PB ，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．12. 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．三、探究与拓展13．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及给出理由．答案1．D 2．C3．A 4.12lr5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 446.T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 100 7．② 8．①②③ 9．(pk 2＋p ，－pk ) 10.a 3811．解 类比S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′P A ·PB ′PB ，有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC证明：如图(2)：设C ′，C 到平面P AB 的距离分别为h ′，h . 则h ′h ＝PC ′PC， 故V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝13·S △P A ′B ′·h ′13S P AB ·h＝P A ′·PB ′·h ′P A ·PB ·h＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC.12．解 如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.13．解类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.猜想正确．如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学选修1-2同步练习题库：合情推理与演绎证明(选择题：较难)
合情推理与演绎证明（选择题：较难）1、面积为的平面凸四边形的第条边的边长为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则，类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则等于（）A． B． C． D．2、已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则；21的因数有1,3,7,12，则，那么的值为（）A．2488 B．2495 C．2498 D．25003、已知数列：，即此数列第一项是，接下来两项是，再接下来三项是，依此类推，……，设是此数列的前项的和，则（）A． B． C． D．4、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。
经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是 ( )A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丁 D．甲、丁5、如图所示：在杨辉三角中，斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前项和为，则等于( )A．128 B．144 C．155 D．1646、如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则A． B． C． D．7、如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则A． B． C． D．8、“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为，，（且），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙都有可能9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为，其中，传输信息为，运算规则为：.例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．00011 D．1011110、在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”.则下列命题中：①若，，则有.②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆.③若点在线段上，则有.④到，两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线.真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411、如图，将正三角形分割成个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成个边长为1的小正三角形．若，则三角形的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．1312、下列说法正确的个数有①用刻画回归效果,当越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好；②可导函数在处取得极值，则；③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13、（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1．以下结论正确的是（）A．与的假设都错误B．与的假设都正确C．的假设错误；的假设正确D．的假设正确；的假设错误14、如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则等于（）A． B． C． D．15、祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为），其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为），四棱锥的底面是有一个角为的菱形（边长为），圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积相等，那么，下列关系式正确的是（）A． B．C． D．16、如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为（），此四边形内任一点到第条边的距离记为（），若，则．类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为（），此三棱锥内任一点到第个面的距离记为（），若，则等于A． B． C． D．17、如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为（），此四边形内任一点到第条边的距离记为（），若，则．类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为（），此三棱锥内任一点到第个面的距离记为（），若，则等于（）A． B． C． D．18、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：，，，依此类推可得：，其中，．设，则的最小值为（）A． B． C． D．19、设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于A． B．C． D．20、下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A．由a n=2n﹣1，求出S1=12，S2=22，S3=32，…，推断：数列{a n}的前n项和S n=n2B．由f（x）=xcosx满足f（﹣x）=﹣f（x）对都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数C．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，推断：椭圆=1的面积S=πabD．由，…，推断：对一切，（n+1）2＞2n21、记，当时，观察下列等式：，，，可以推测A-B等于（）A． B． C． D．22、已知（），计算得，，，，，由此推算：当时，有（）A．（）B．（）C．（）D．（）23、将个正整数、、、、（）任意排成行列的数表．对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当时,数表的所有可能的“特征值”最大值为（）A． B． C． D．24、给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．， B．，C．25， D．，25、六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。
高中数学 选修1-2 同步练习 专题2.1 合情推理与演绎推理(解析版)
第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列13521,,n -,,,,则23是这个数列的A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项【答案】C【解析】令2123n -=，解得12n =，故23是这个数列的第12项．故选C ． 2．某演绎推理的“三段”分解如下：①函数()13xf x =是减函数；②指数函数是减函数；③函数()13x f x =是指数函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是 A ．①→②→③ B ．③→②→① C ．②→①→③ D ．②→③→①【答案】D3．下列推理是类比推理的是A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |+|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1=1，31n a n =-，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2πr ，猜想出椭圆22221x ya b+=的面积为πS ab =D ．以上均不正确 【答案】C【解析】A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 是类比推理．故选C ． 4．“因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提与推理形式都错误【答案】B5．设0()sin x f x =，10()()f f x x '=，21()()f f x x '=，…，1()(),n n f f n x x +='∈N ，则2017()f x = A ．cos x - B ．sin x - C ．cos x D ．sin x【答案】C【解析】1()cos f x x =，2()(cos )sin ,f x x 'x ==-，3()cos ,f x x =-，4()sin f x x =， 故2017450411()()()cos f x f x f x x ⨯+===．故选C ．6．在平面几何中有如下结论：设正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214SS =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V = A ．18 B ．19 C ．164D ．127【答案】D【解析】如图，连接AE ，7．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为 1 3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31……A ．811B ．809C ．807D ．805【答案】B【解析】由题意知前20行共有正奇数21353920400++++==个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809⨯-=．故选B ．8．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是……A．26 B．31 C．32 D．36 【答案】B【解析】有灰色的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有灰色的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，5为公差的等差数列，所以第6个图案中有灰色的正六边形的个数是65(61)31+⨯-=．故选B．9．有三个人，甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，丙说：“我不是班长”.已知三个人中只有一个说的是真话，则班长是A．甲B．乙C．丙D．无法确定【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．设等差数列{}n a的前n项和为n S，则4S，84S S-，128S S-成等差数列；类比以上结论有：设等比数列{}n b的前n项积为n T，则4T，______________，128TT成等比数列．【答案】84TT【解析】由题意，等差数列{}n a的前n项和为n S，则4S，84S S-，128S S-成等差数列，运用类比思想，只需要将差改为比即可，故有4T，84TT，128TT成等比数列．11．用演绎推理证明2)0(,,y x x=∈-∞是减函数时，大前提是______________．【答案】减函数的定义【解析】大前提：减函数的定义，在x I ∈内，若有12x x >，则有12()()f x f x <，小前提：2)0(,,y x x =∈-∞时12x x >，有12()()f x f x <， 结论：2)0(,,y x x =∈-∞是减函数．12．已知下列等式：，，，，……则根据以上四个等式，猜想第个等式是__________()*n ∈N ． 【答案】13．在下列类比推理中，正确的有_____________．①把()a b c +与(log )a x y +类比，则有log )l g og (o l a a a x y x y +=+； ②把()a b c +与sin()x y +类比，则有sin()sin sin x y x y +=+；③把实数,a b 满足：“若0,0ab b =≠，则0a =”，类比平面向量的数量积，“若·0=a b ，≠0b ，则=0a ”；④平面内，“在ABC △中，ACB ∠的平分线CE 将三角形分成两部分的面积比=AEC BEC SACS BC△△”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥A BCD －中，平面DEC 平分二面角A CD B --，且与AB 交于点E ，则平面DEC 将三棱锥分成两部分的体积比A CDE ACDB CDE BDCV S V S --=△△．【答案】④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．把下列演绎推理写成三段论的形式．（1）在标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾； （2）一切奇数都不能被2整除，20(2)1+是奇数，所以20(2)1+不能被2整除； （3）三角函数都是周期函数，cos y α=是三角函数，因此cos y α=是周期函数． 【解析】（1）在标准大气压下，水的沸点是100℃，………………大前提 在标准大气压下把水加热到100℃，…………………………………小前提 水会沸腾．………………………………………………………………结论 （2）一切奇数都不能被2整除， ……………………………………大前提20(2)1+是奇数， ……………………………………………………小前提 20(2)1+不能被2整除． ……………………………………………结论（3）三角函数都是周期函数，………………………………………大前提cos y α=是三角函数，………………………………………………小前提 cos y α=是周期函数．………………………………………………结论15．已知()33xf x =+，分别求()0)(1f f +，()12()f f -+，()23()f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．【解析】由1()33xf x=+，得01113()()313333f f=+=+++，12113()()3333123f f-=+=++-+，23113()()3333233f f-=+=++-+，归纳猜想一般性结论为3()(1)3f fx x-++=，证明如下：111131()(1)333313333xx x x xf f xx-++-++=+=++++⋅+1113313313313=33333333(133)x x xx x x x+++⋅⋅+⋅++===++++⋅．16．（1）在平面上，若两个正方形的边长的比为，则它们的面积比为.类似地，在空间中，对应的结论是什么？（2）已知数列满足11212,4nnnaa aa+-==+，求，并由此归纳得出的通项公式（无需证明）.17．如图1，已知PAB△中，，点在斜边上的射影为点.（1）求证：222111PH PA PB =+； （2）如图2，已知三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（1）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.因为，，，所以平面，。
北师大版高中数学选修合情推理与演绎推理同步练习(1)
合情推理与演绎推理水平测试一、选择题（每小题5分，共20分）1．已知(0)x ∈+，∞，观察下列几个式子：12x x +≥，2244322x x x x x +=++≥，…，类比有1()n a x n n x *++∈N ≥，则a 是（ ） Ａ．n nＢ． N Ｃ．1n + Ｄ．1n - 答案：A2．关于平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①=a b b a ；②()()=a b c a b c ；③()+=+a b c a b a c ； ④=a b a b ；⑤由()=≠0a b a c a 可得=b c ．以上通过类比得到的结论正确的有（ ）Ａ．2个 Ｂ．3个 Ｃ．4个 Ｄ．5个答案：A3．数列25112047x ，，，，，，…中的x 等于（ ）Ａ．28 Ｂ．32 Ｃ．33 Ｄ． 27答案：B4．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）Ａ．91 Ｂ．66 Ｃ．25 Ｄ．120答案：A二、填空题（每小题5分，共10分）5．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为： ．答案：半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为39R 6．观察：①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=；②tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=．由此猜出一个一般式为 ．答案：若π2αβγ++=，且αβγ，，都不为ππ()2k k +∈Z ，则t a n t a n t a nt a n αββγαγ++= 三、解答题（每小题10分，共20分）7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°．证明：因为任意三角形三内角之和是180，大前提而直角三角形是三角形， 小前提所以直角三角形三内角之和为180， 结论设直角三角形两个锐角分别为A B ，，则有： 90180A B ∠+∠+=，因为等量减等量差相等， 大前提所以(90)9018090A B ∠+∠+-=-， 小前提所以90A B ∠+∠=． 结论8．已知数列{}n a 中，11a =，223a =+，3456a =++，478910a =+++…请归纳10a 等于多少？并说明理由．解：129a a a ，，…，共有9(19)1239452⨯+++++==…个数， 10a ∴的第一个数是46，1010(4655)464748555052a ⨯+∴=++++==…．8．如右图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，联线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点Ａ向结点Ｂ传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是（ ）Ａ．26 Ｂ．24 Ｃ．20 Ｄ．19答案：D9．一个平面用n 条直线去划分，最多将平面分成()f n 个部分．（1）求(1)(2)(3)(4)f f f f ，，，；（2）观察(2)(1)f f -，(3)(2)f f -，(4)(3)f f -有何规律；（3）求出()f n ．解：（1）(1)2(2)4f f ==，(3)7f =，(4)11f =；（2）(2)(1)2f f -=，(3)(2)3f f -=，(4)(3)4f f -=．观察得()(1)f n f n n --=，即()(1)f n f n n =-+，（2n ≥）（3）由()(1)(2)f n f n n n =-+≥()(2)(1)f n f n n n =-+-+(3)(2)(1)(1)23f n n n n f n =-+-+-+==++++……2(1)2223122n n n n n +++=++++=+=…． 所以22()2n n f n ++=． 10．我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心的连线与该弦垂直；那么，若椭圆222222(0)b x a y a b ab +=≠的一弦（非过原点的弦）中点与原点的连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．解：假若在圆中，弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为1-；对于方程222222b x a y a b +=，若a b =， 则方程即为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为22b a -或22a b-； 于是，设椭圆的一条非过原点的弦为AB ，其两端点的坐标分别为1122()()A x y B x y ，，，， 中点为P ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，2222222121()()0b x x a y y ⇒-+-= 2212122121y y y y b x x x x a+-⇒=-+- 22AB OP b k k a ⇒=-，即两斜率之积为22b a -．。
《合情推理》同步练习2(新人教B版选修1-2)
合情推理与演绎推理测试题（选修1-2）试卷满分150，其中第Ⅰ卷满分100分，第Ⅱ卷满分50分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共100分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有1.A. B. C. D.2.下面使用类比推理正确的是A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若”类推出“（c≠0）”D.“”类推出“”3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4.设，，n∈N，则A. B.－ C. D.－5.在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为A.29B. 254C. 602D. 20046.函数的图像与直线相切，则=A. B. C. D. 17.下面的四个不等式：①；②；③；④.其中不成立的有A.1个B.2个C.3个D.4个8.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为A.2B.3C.4D. 59.设 , 则A. B. 0 C. D. 110.已知向量, ,且, 则由的值构成的集合是A.{2,3}B. {-1, 6}C. {2}D. {6}11. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误12.已知，猜想的表达式为A. B. C. D.二.解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.13.证明：不能为同一等差数列的三项.14.在△ABC中，，判断△ABC的形状.15.已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.16.已知函数，求的最大值.17.△ABC三边长的倒数成等差数列，求证：角.第Ⅱ卷（共50分）三．填空题.本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。
数学2.1合情推理与演绎推理同步练习二(新人教选修2-2)
高中新课标选修（2-2）合情推理与演绎推理测试题一、选择题1．对归纳推理的表述不正确的一项是（ ） Ａ．归纳推理是由部分到整体的推理 Ｂ．归纳推理是由个别到一般的推理Ｃ．归纳推理是从研究对象的全体中抽取部分进行观察试验，以取得信息，从而对整体作出判断的一种推理Ｄ．归纳推理是由一般到特殊的推理答案：Ｄ2．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（ ） Ａ．归纳推理 Ｂ．演绎推理 Ｃ．类比推理 Ｄ．特殊推理 答案：Ｃ3．用演绎法证明函数3y x =是增函数时的大前提是（ ） Ａ．增函数的定义Ｂ．函数3y x =满足增函数的定义 Ｃ．若12x x <，则12()()f x f x < Ｄ．若12x x >，则12()()f x f x > 答案：Ａ4．已知数列223434561a a a a a a a a a ++++++，，，，，则数列的第k 项是（ ） Ａ．12k k k a a a ++++Ｂ．121k k k a a a --+++ Ｃ．12k k k a a a -+++ Ｄ．122k k k a a a --+++答案：Ｄ5．类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是（ ） Ａ．连续两项的和相等的数列叫等和数列Ｂ．从第二项起，以后第一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列 Ｃ．从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列 Ｄ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等数数列答案：Ｃ6．观察数列1212312341213214321，，，，，，，，，，，则数26将出现在此数列的第（ ）Ａ．21项 Ｂ．22项 Ｃ．23项 Ｄ．24项答案：Ｃ二、填空题7．将函数2x y =为增函数的判断写成三段论的形式为 ．答案：（大前提）指数函数(1)x y a a =>是增函数； （小前提）2x y =是底数大于1的指数函数； （结论）2x y =为增函数．8．在平面，到一条直线的距离等于定长（为正数）的点的集合，是与该直线平行的两条直线．这一结论推广到空间则为：在空间，到一个平面的距离等于定长的点的集合，是 ．答案：与该平面平行的两个平面9．从1234567n =，，，，，，，入手，你推测2n 与1n +的大小关系是 ．答案：1n =时，21n n =+；2n ≥时，21n n >+10．若数列{}n a 满足，11a =且121n n a a -=+，则此数列的通项公式为 ．答案：21n n a =-11．由图（1）有面积关系：PA B APB S PA PB S PA PB ''''=△△··，则由图（2）有体积关系P A B C P ABCVV '''--= ． 答案：PA PB PC PA PB PC'''····12．把136101521，，，，，，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下面），则第七个三角形数是 ． 答案：28三、解答题13．用三段论证明：通项为n a pn q =+（p q ，为常数）的数列{}n a 是等差数列．证明：因为数列{}n a 是等差数列，则1n n a a d --=，其中d 为常数， 由n a pn q =+，得1[(1)]n n a a pn q p n q p --=+--+=为常数， 所以，以n a pn q =+（p q ，为常数）的数列是等差数列．14．设有数列1223334444，，，，，，，，，， （1）问10是该数列的第几项到第几项？ （2）求第100项； （3）求前100项的和．解：将已知数列分组，第一组一个“1”；第二组两个“2”，第三组三个“3”；第四组四个“4”，如此下去；（1）易知“10”皆出现在第十组，由于前九组中共有：12945+++=项，因此10在该数列中从第46项到第55项； （2）由12100n +++<，即(1)1002n n +<成立的最大自然数为13， 又13(131)1213912++++==，因此第100项为14； （3）由（2）知前100项的和为：10011221313914945s =⨯+⨯++⨯+⨯=．15．设{}n a 是集合{}220t s s t s t +<∈Z ，且，|≤中所有的数从小到大排列成的数列，即13a =，234565691012a a a a a =====，，，，，将数列{}n a各项按照上小下大，左小右大的原则写成如右的三角形数表：（1）写出这个三角形数表的第四行、第五行； （2）求100a ．3 5 69 10 12解：用记号()s t ，表示s t ，的取值，那么数列{}n a 中的项对应的()s t ，也构成一个三角表：(01)(02)(12)(03)(13)(23)，，，，，， 第一行右边的数是“1”；第二行右边的数是“2”；第三行右边的数是“3”；于是第四行右边的数便是“4”，第五行右行的数自然就是“5”了．而左边的那个数总是从“0”开始逐个递增．因此（1）第四行的数是：042217+=；142218+=；242220+=；342224+=；第五行的数是：052233+=；152234+=；252236+=；352240+=；452248+=．（2）由13(131)1213912++++==，知100a 在第十四行中的第9个数，于是8141002216640a =+=．高中新课标选修（2-2）合情推理与演绎推理测试题一、选择题1．下列说法正确的是（ ）Ａ．由归纳推理得到的结论一定正确 Ｂ．由类比推理得到的结论一定正确 Ｃ．由合情推理得到的结论一定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确答案：Ｄ2．写出数列7777777777--，，，，的一个通项公式是（ ） Ａ．7n a n =Ｂ．7(101)9n n a =-Ｃ．17(1)(101)9n n n a +=--Ｄ．7(1)(101)9n n n a =--答案：Ｃ3．关于平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ①=··a b b a ；②()()ab c a b c =····；③()a b c a b a c +=+···；④a b a b =··； ⑤由(0)a b a c a =≠··，可得b c =．以上通过类比得到的结论正确的有（ ）Ａ．2个 Ｂ．3个 Ｃ．4个 Ｄ．5个答案：Ａ4．若平面上n 个圆最多把平面分成()f n 个区域，则1n +个圆最多把平面分成区域的个数为（ ）Ａ．()1f n n ++ Ｂ．()2f n n +Ｃ．()22f n n +-Ｄ．()22f n n ++答案：Ｂ5．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的是（ ） Ａ．大前提 Ｂ．小前提 Ｃ．推理形式 Ｄ．大小前提及推理形式答案：Ｃ6．已知三条直线m n l ，，三个平面αβγ，，．下面四个命题中正确的是（ ） Ａ．αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ Ｂ．m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭∥ Ｃ．m m n n γγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥ Ｄ．m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥答案：Ｃ二、填空题7．观察223sin 20cos 50sin 20cos504++=°°°，223sin 15cos 45sin15cos454++=°°°°，请写出一个与以上两式规律相同的一个等式： ．答案：8．数列{}n a 中，11121nn n a a a a +==+，，试推测出数列{}n a 的通项公式为n a = ． 答案：121n -9．已知(0)x ∈+，∞，观察下列几式：12x x +≥，2244322x x x x x +=++≥，类比有1()n ax n n x*++∈N ≥，则a = ．答案：n n10．若1a b >>，P =1(lg lg )2Q a b =+，lg 2a b R +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则P Q R ，，的大小关系为 ．答案：P Q R <<11．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为 ．答案：关径为R312．类比平面上的命题（m ），给出在空间中的类似命题（n ）的猜想． （m ）如果ABC △的三条边BC CA AB ，，上的高分别为a b h h ，和c h ，ABC △内任意一点P 到三条边BC CA AB ，，的距离分别为a b cP P P ，，，那么1a b ca b c p p p h h h ++=． （n ） ．答案：从四面体的四个顶点A B C D ，，，分别向所对的面作垂线，垂线长分别为a b c h h h ，，和d h ．P 为四面体内任意一点，从点P 向AB C D ，，，四个顶点所对的面作垂线，垂线长分别为a b c P P P ，，和dP ，那么类比所得的关系式是1a b c da b c d p p p p h h h p +++=．三、解答题13．设()f x 对0x >有意义，(2)1()()()f f xy f x f y ==+，，且()()f x f y >成立的充要条件是0x y >>．（1）求(1)f 与(4)f 的值；（2）当()(3)2f x f x +-≤时，求x 的取值范围．解：（1）因(2)1f =，且对于00x y >>，，有()()()f xy f x f y =+， 令12x y ==，，得(2)(1)(2)(1)0f f f f =+⇒=； 令2x y ==，得(4)(2)(2)2f f f =+=．（2）由条件()()()f xy f x f y =+，得2()(3)(3)f x f x f x x +-=-， 又(4)2f =，由()(3)2f x f x +-≤，得2(3)(4)f x x f -≤．由()()f x f y >成立的充要条件是0x y >>， 所以有23403430x x x x x ⎧-⎪>⇒<⎨⎪->⎩，，．≤≤ 14．设0()x x e aa f x a e>=+，是R 上的偶函数，求a 的值．解：()f x ∵是R 上的偶函数， ()()f x f x -=∴，110x x a e a e ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴对于一切x ∈R 成立，由此得10a a-=，即21a =．又0a >，1a =∴．15．如图所示，点P 为斜三棱柱111ABC A B C -的侧棱1BB 上一点，1PM BB ⊥交1AA 于点M ，1PN BB ⊥交1CC 于点N ． （1）求证：1CC MN ⊥；（2）在任意DEF △中有余弦定理2222cos DE DF EF DF EF DFE =+-·．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．（1）证明：111CC BB CC PM ⇒⊥∵∥，1CC PN ⊥， 1CC ⊥∴平面1PMN CC MN ⇒⊥．（2）解：在斜三棱柱111ABC A B C -中，有11111111112222cos ABB A BCC B ACC A BCC B ACC A S S S S S α=+-，其中α为平面11CC B B 与平面11CC A A 所组成的二面角． 1CC ⊥∵平面PMN ．∴上述的二面角为MNP ∠． 在PMN △中，2222cos PM PN MN PN MN MNP =+-∠·222222111112()()cos PM CC PN CC MN CC PN CC MN CC MNP ⇒=+-∠·····，由于111BCC B S PNCC =·，111ACC A S MN CC =·，111ABB A S PM BB =·， ∴有11111111112222cos ABB A BCC B ACC A BCC B ACC A S S S S S α=+-．高я考∴试╚题;库。
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合情推理与演绎推理水平测试
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．已知，观察下列几个式子：，，…，类比有，则a是（）
Ａ．Ｂ．NＣ．Ｄ．
答案：A
2．关于平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①；②；③；④；⑤由可得．
以上通过类比得到的结论正确的有（）
Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个
答案：A
3．数列中的x等于（）
Ａ．28 Ｂ．32 Ｃ．33 Ｄ．27
答案：B
4．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）
Ａ．91 Ｂ．66 Ｃ．25 Ｄ．120
答案：A
二、填空题（每小题5分，共10分）
5．通过圆与球的类比，由“半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为．”猜想关于球的相应命题为：．
答案：半径为的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为
6．观察：①；
②．
由此猜出一个一般式为．
答案：若，且都不为，则
三、解答题（每小题10分，共20分）
7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°．
证明：因为任意三角形三内角之和是，大前提
而直角三角形是三角形，小前提
所以直角三角形三内角之和为，结论
设直角三角形两个锐角分别为，则有：，
因为等量减等量差相等，大前提
所以，小前提
所以．结论
8．已知数列中，，，，请归纳等于多少？并说明理由．
解：共有个数，
的第一个数是46，
．
8．如右图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，联线标注的数
字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点Ａ向结点Ｂ传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是（）
Ａ．26 Ｂ．24 Ｃ．20 Ｄ．19
答案：D
9．一个平面用n条直线去划分，最多将平面分成个部分．
（1）求；
（2）观察，，有何规律；
（3）求出．
解：（1），，；
（2），，．
观察得，即，（）
（3）由
．
所以．
10．我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心的连线与该弦垂直；那么，若椭圆的一弦（非过原点的弦）中点与原点的连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．
解：假若在圆中，弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，
由于两线垂直，我们知道斜率之积为；
对于方程，若，
则方程即为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为或；
于是，设椭圆的一条非过原点的弦为，其两端点的坐标分别为，
中点为，则
，即两斜率之积为．。