不等式恒成立问题的几种求解策略(老师用)
关于不等式恒成立问题的几种求解方法
关于不等式恒成立问题的几种求解方法不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。
这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。
下面我们一起来探讨其中一些典型的问题一、一次函数型——利用单调性求解例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。
若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。
这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。
能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立,设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有：此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于ⅰ），或ⅱ）可合并成同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;若改为：,构造函数，画出图象，得a<3利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。
不等式恒成立问题
九招破解不等式恒成立问题绵阳东辰国际学校 冷世平不等式恒成立问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用构造函数法、变量分离法、数形结合法等解题方法求解.解题过程本身渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了重要的作用，因此也成为历年各地高考的一个热点内容.解决恒成立问题主要有以下几种方法，供各位同行参考.一、反客为主法此方法又称为改变主元法.有一些数学题，题中涉及到若干个量，其中有常量，也有变量，学生在解答时，由于思维定势，不太习惯把其中的常量暂视为变量，把其中的变量暂视为常量的做法，结果导致求解过程异常复杂甚至难以解出.其实，常量与变量是相对的，是辩证统一的关系，根据需要可以将它们的地位调换，即“反客为主”，改变主元，常常使许多难题巧妙获解.例1 对于满足2p ≤的所有实数p ,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围.【分析】在不等式中出现了两个字母：x 及p ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[]2,2-内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.【解析】不等式即2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[]2,2-上恒大于0，故有(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，从而解得1x <-或3x >. 【点评】在不等式中出现了两个字母：x 及p ,而我们都习惯把x 看成是一个变量，p 作为常数.本题转换视角，可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[]2,2-内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题. 此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两利用函数单调性解题是历年高考的重点和难点.如何攻克这个难点呢?一个词：去壳.利用函数单调性解不等式的关键就是：准确判断出函数单调性，成功去掉f 这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系,然后解关于x 的简单不等式即可.例2 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】由2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->得到2(cos 2sin )(22)f m f m θθ+>---，因为()f x 为奇函数，故有2(cos 2sin )(22)f m f m θθ+>+恒成立，又因为()f x 为R 减函数，从而有2cos 2sin 22m m θθ+<+对0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，设sin ,(0,1)t t θ=∈，则22210t mt m -++>对于(0,1)t ∈恒成立，再设函数2()221g t t mt m =-++,对称轴为t m =.①当0t m =<时，函数()y g t =在(0,1)t ∈上单调递增，min ()(0)210g t g m ==+≥，即12m ≥-，又10,02m m <∴-≤<； ②当[]0,1t m =∈，即01m ≤≤时, 2min ()()210g t g t m m ==-++>，即2210,1212m m m --<∴-<<+,又[]0,1,01m m ∈∴≤≤；③当1t m =>时，函数()y g t =在(0,1)t ∈上单调递增，min()(1)122120g t g m m ==-++=>恒成立，1m ∴>.综上所述，实数m 的取值范围为12m ≥-. 【点评】此题属于含参数二次函数的轴动区间定的问题，对轴与区间的位置进行分类讨论.对于二次函数在R 上恒成立问题常采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题.三、变量分离法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例3 已知函数22(),[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围.【分析】此题可经过等价转化为在区间[1,)+∞上220x x a ++>恒成立，再将转化后的不等式分离参数得()()g a h x >恒成立，再求得()h x 得最大值max ()h x ，由max ()()g a h x >可得实数a 的取值范围.【解析】在区间[1,)+∞上，()0f x >恒成立220x x a ⇔++>在区间[1,)+∞上恒成立，要使220x x a ++>恒成立，只需222(1)1a x x x >--=-++恒成立，由二次函数的性质可得2(1)13x -++≤，故只需3a >-，故所示实数a 的取值范围为3a >-.例3 已知二次函数2()(,0)f x ax x a R a =+∈≠，若[0,1]x ∈时，总有()1f x ≤，试求实数a 的取值范围.【解析】①当0x =时，有(0)01f =<恒成立；② 当0x ≠时，21ax x +≤，即2211ax x ax x ⎧+≤⎪⎨+≥-⎪⎩，分离参数可得221111()a x x a x x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-+⎪⎩，令1,(0,1]t x x =∈， (1,]t ∴∈+∞，即当(1,]t ∈+∞时恒有22,()a t t a t t ⎧≤-⎪⎨≥-+⎪⎩当(1,]t ∈+∞时，22min max ()0,[()]2t t t t -=-+=-， 即02a a ≤⎧⎨≥-⎩，又因为0a ≠，故实数a 的取值范围为[2,0)-. 【点评】将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围.若所求变量为a ，则根据()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>； ()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<.此题一般性解法是利用根的分布对211ax x -≤+≤进行讨论，其解题过程复杂性显而易见，而将参数从恒成立不等式中分离出来，可以避免较为复杂的讨论.例4 已知当x R ∈时，不等式cos254sin a x x +<-+a 的取值范围.【分析】在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知，另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离.【解析】原不等式等价于4sin cos25x x a +<-，要使上式恒成立，5a-大于4sin cos2x x +的最大值，故上述问题转化成求()4sin cos2f x x x =+的最值问题.224sin cos22sin 4sin 12(sin 1)33,53x x x x x a +=-++=--+≤->，即2a >+，上式等价于22054054(2)a a a a ⎧-≥⎪-≥⎨⎪->-⎩或20540a a -<⎧⎨-≥⎩，解得485a ≤<. 【点评】注意到题目中出现了sin x 及cos2x ，而2cos212sin x x =-,故若把sin x 换元成t ,则可某些含参不等式恒成立问题，我们在解题过程中，可以把不等式进行合理的变形后，将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式，以达到求解的目的.例5 设[0,4]x ∈ax 恒成立，求a 的取值范围.【解析】设1(4)y x x =-，则2211(2)4(0x y y -+=≥），它表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的上半圆（如图所示），设2y ax =，它的几何意义是一条经过原点，斜率为a 的直线，将两者图像画在同一坐标系下，根据不等式(4)x x ax -≥的几何意义，要使得半圆恒在直线l 的上方（包括相交），当且仅当0a ≤时才成立，所以a 的取值范围就是0a ≤.【点评】此题还可以利用变量分离法求解，略解如下：当0x =时，不等式显示恒成立；当(]0,4x ∈时，不等式(4)x x ax -≥恒成立等价于41a x -≥恒成立，令41y x =-，显然函数41y x =-在区间(]0,4上是单调递减函数，故min 4104y =-=，故a 的取值范围就是0a ≤. 例6 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围. 【分析】若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解. 【解析】设212(1),log a y x y x =-=,则1y 的图象为如图所示的抛物线，要使对一切12(1,2),x y y ∈<恒成立，显然1a >,并且必须也只需当2x =时2y 的函数值大于等于1y 的函数值.故log 211a a >⎧⎨>⎩，从而可得12a <≤. 【点评】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难 入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”，作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.本题是数形结合思想中的“形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现，由表达式结构特征，能让我们了解到用其几何意义去处理.五、构造向量法向量是数形结合的重要工具，对于形式、结构比较复杂的不等式恒成立问题，可以巧妙的构造向量，使数学问题增添新的活力且简单易解.例7 2252510x x x a +-+对于任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【分析】由题目的结构形式可联想到平面向量，于是令(,5),(55)m x n x ==-，由向量的模之间的关系5m n m n +≥+=，求得实数a 的取值范围.【解析】令2222525105(5)5,(,5),(55)u x x x x x m x n x =+-+=+-+==-，2222(5,25),5,(5)5,5,52510m n m x n x m n u x x x m n +=∴=+=-++=∴=++-+=+5m n ≥+=∴故实数a 的取值范围是5a ≤.【总结】本题还可以根据结构联想到两点间的距离公式，将不等式左边看作函数22222252510(0)(05)(5)(05)y x x x x x =++-+=-+-+-+-，所求问题转化为平面上一个动点(,0)A x 到两定点B C 的距离之和的最小值，易求出点B 关于原点对称的点'(0,B ，显然'5B C =即为所求，故实数a 的取值范围是5a ≤.六、构造函数法根据题目中所给的含参不等式的结构特征，构造适当的函数，并利用函数的性质来求参数的范围.例8 若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围. 【分析】该题就转化为被开方数222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.【解析】依题意，当x R ∈时，222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=时，有21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，此时222(1)(1)10,11a x a x a a -+-+=≥∴=+ ②当210a -≠时，222102(1)4(1)01a a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪+⎩，即有2211090a a a ⎧>⎨-+≤⎩，解得19a <≤； 综上所述，()f x 的定义域为R 时，实数a 的取值范围为[1,9].七、集合思想法集合是高中数学的理论基础，贯穿于整个高中数学的始终，其中所包含的子集思想和补集思想在高中数学解题中应用十分广泛，在不等式恒成立问题中巧妙利用这两种解题思想，能达到意想不到的效果.例9 已知52x a -<时，不等式254x -<恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】若记a x <-25的解集是2,54A x -<的解集是B ，则a x <-25成立时254x -<成立，则应有A B ⊆，根据子集的知识可求得a 的取值范围.【解析】由52x a -<，可得5522a x a -<<+，由254x -<，可得31x -<<-或13x <<.记55(,),(3,1)(1,3)22A a a B =-+=--⋃，则55,3122A B a a ⊆∴-≤-<+≤-或551322a a ≤-<+≤，从而解得102a <≤. 【点评】不等式在集合A 中恒成立等价于集合A 是不等式解集B 的子集，通过研究集合间的关系便可求出参数的取值范围.八、绝对值几何意义法在不等式中，常会遇到含有绝对值的不等式求解问题，处理这类问题的关键在于如何去掉绝对值符号，将问题转化为不含绝对值符号的常规问题来解决，这是解含绝对值不等式问题的一般解法，下面来探求这类问题的另一种解法-----利用实数绝对值的几何意义来求解.例10 x R ∈时，关于x 的不等式13x x a -++>恒成立，求实数a 的取值范围.【分析】由13x x a -++>恒成立，即13x x -++的最小值大于a ，再由绝对值得几何意义知13x x -++的最小值是4，故可求得a 的取值范围. 【解析】13x x a -++>恒成立，即13x x -++的最小值大于a ，又13x x -++表示数轴上点x 到两点1和3-的距离之和，当31x -≤≤时，这个距离和最小且等于4，故实数a 的取值范围是4a <.【点评】对于一些绝对值内为关于x 的一次式的不等式，我们常可以根据绝对值的基本性质，采用等价转化法或零点分段脱去绝对值符号，将问题转化为不含绝对值符号的常规问题来求解，另外也可以根据绝对值的几何意义用数形结合的方法直观、快速、准确地求解这类含有绝对值的不等式.九、三角代换法根据题目的特点，选取恰当的三角代换，能达到化难为易，化繁为简的目的，它是解不等式问题中常用的方法.例11 当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，不等式0m n c ++≥恒成立，则c 的取值范围是（ ）.11A c -≤11c ≤≤.1C c ≤.1D c ≥【解析】设cos ,1sin x y θθ==+，则)104x y c c πθ+++++≥恒成立，即)14c πθ≥+-，设())14f πθθ=+-，只要max ()c f θ≥，故得1c . 【点评】三角代换的特点是将原来两个变元,x y 问题转化为关于一个变元θ的问题，通过换元达到减元的目的，在使用三角代换时，一定要注意新变量与原变量间的取值范围是否一致.此题还可以利用数形结合方法求解，略解如下：由0m n c ++≥，可以看作是点(,)P m n 在直线0x y c ++=的右侧，而点(,)P m n 在圆22(1)1x y +-=上，实质相当于是22(1)1x y +-=在直线的右侧并与它相离或相切，01011c c ++>⎧⎪∴∴≥≥.不等式恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选择恰当、简便的方法，但不管用哪种方法，其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能“以不变应万变”，才能使问题获得顺利解决，只有这样才能真正提高学生分析问题和解决问题的能力，当然这需要我们在实际工作中不断的去领悟、体会和，这样自己的业务能力才能声速得以提高.[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
不等式恒成立问题的几种求解策略(老师用)
常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。
1 变量转换策略例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围.解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。
因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。
令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g ，得133133+-<<--x .点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。
2 零点分布策略例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(220f f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(220f f a ，即a 的取值范围为[-7，2].点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了.3 函数最值策略例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[min ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[min≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22min a f x f a或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222min a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22min a f x f a ， 即a 的取值范围为]222,5[+--.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m i n )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔max )(.本题也可以用零点分布策略求解.4 变量分离策略例4 已知函数|54|)(2--=x x x f ，若在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图象位于函数f (x )的上方，求k 的取值范围.解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于543],5,1[2++->+-∈∀x x k kx x 恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于543],5,1[2++->+-∈∀x x k kx x 恒成立3542+++->⇔x x x k 对于]5,1[-∈∀x 恒成立,令]5,1[,3542-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则],8,2[,10)16(∈++-=t t t y 4=∴t 当,即x =1时2max =y , ∴k 的取值范围是k >2.变式 若本题中将k kx y 3+=改为2)3(+=x k y ，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于54)3(],5,1[22++->+-∈∀x x x k x 恒成立22)3(54+++->⇔x x x k 对于]5,1[-∈∀x 恒成立,令]5,1[,)3(5422-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则,169)454(1101622+--=-+-=t t ty ]8,2[∈t ， 时即当51,454==∴x t ,169max =y , ∴k 的取值范围是k >169.点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解. 练习：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
不等式恒成立问题的十种解法
一、判别式法若能把所给不等式转化为某个一元二次不等式，并且该一元二次不等式是对于一切实数x都恒成立，则可优先考虑判别式法．例l 设不等式，对于一切实数x都恒成立，求实数m的取值范围．解：因为所以原不等式可变为：因为该不等式对一切实数x都成立，必有整理得说明：若所给的区间并非一切实数时，切记不能使用判别式法．二、三角换元法通过适当的三角换元，把所给问题转化为含有的形式，再利用正弦函数的有界性来求出它的最值，从而使问题得到解决．例2 已知实数x、y满足时恒成立，则实数d的取值范围是( ))]，则y的最大值为，要使x+y+d≥O恒成立，必须有d大于等于y的最大值，即d≥，故选择答案(A)．三、分离参数对于含有参数的不等式，若能把所求的参数分离出来，应优先考虑实行参数分离，然后再在不等式的另一边进行其它变换，如使用均值不等式，或通过函数的单调性来求出它的最值，最后再通过参数与这个最值的关系来使问题得到解决．例3 对于任意恒成立，求实数m的取值范围．四、图象法如果所给不等式能够化为一边是我们熟悉的函数，那么我们可以通过它的图象，结合函数的单调性来求出它在所给区间上的最值，从而使问题得到解决．例4 若关于x的不等式对任意x∈[0，1]恒成立，则m的取值范围是( )(A)m≤一3 (B)m≥一3 (C)一3≤m≤0 (D)m≥一4解：考察函数的图象，当x∈[0，1]时，其函数的值域为y∈[一3，0]，若使不等式对任意x∈[0，1]恒成立，则m必须小于等于它的最小值3，即m≤一3，故选择答案(A)．五、变更主元法主元的选择要因题而异，在有些问题中一旦克服心理定势，标新立异地另选主元，那么问题的解决就会有峰回路转、柳暗花明的效果．例5 对于任意a∈[一l，1]，函数的函数值恒为正数，则实数x的取值范围是( ) (A) (B) (C)分析：由a的取值范围恒成立，可采用分类讨论去寻找 x 的的取值范围，但是这是比较麻烦的，再看a 的取值范围已经知道了,变a为主元，x为参数，反其道而行之．六、几何法含有绝对值的不等式，可利用绝对值的几何意义这一直观使问题加以解决．例6 若不等式恒成立，求实数d的取值范围．解：设由绝对值的几何意义可知，d表示数轴上的点到实数l、4所对应两点距离的和，所以d≥3，要使恒成立，必须有a于等于d的最小值，即a≤3．七、均值不等式法运用均值不等式求出所给代数式的最值，然后再用所给的值与这个最值进行比较．例7 (第l1届希望杯试题)设a>b>c，恒成立，则自然数n的最大值为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5八、数学归纳法当不等式中含有自然数凡时，应优先考虑用数学归纳法来探求．由上可得：存在最大的自然数m=13．使不意大于等于2的自然数n都恒成立．九、放缩法把所给不等式进行适当的放缩，从而使问题得到解决．对所有的正整数恒成立．十、二项式定理展开法当不等式中含有所给数的凡次方时，可试着考虑使用二项式定理，通过二项式定理的展开式有选择地选取几项进行放缩，从而使问题得到解决．例l0 求证．对于任意大于等于2的自然数不等式恒成立．。
高一不等式恒成立问题3种基本方法
高一不等式恒成立问题3种基本方法文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。
学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。
本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法我们来介绍代数法。
这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。
代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。
以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。
代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法我们介绍图像法。
图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。
对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。
图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法我们介绍参数法。
参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。
参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。
以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。
参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
总结回顾通过对以上三种基本方法的介绍，我们可以发现它们各有特点，应用范围和解题思路有所不同。
代数法能够利用代数变形快速求解不等式问题，图像法能够帮助我们直观地理解不等式的性质，而参数法则能够将问题转化为参数的求解，提高解题的效率。
个人观点和理解在实际解题中，我们应该根据具体情况灵活选用这三种方法，结合题目的特点和自身的掌握程度来选择合适的解题方法。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。
不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。
解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。
本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。
一、置换法。
这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。
如果成立，则不等式恒成立。
对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。
由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。
与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。
与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
六、平方法则。
这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。
对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。
函数不等式恒成立问题解法
函数不等式恒成立问题解法函数和不等式是数学中的重要概念和工具，有着广泛的应用。
在解决函数和不等式恒成立的问题时，通常可以采用以下一些基本的解法。
一、函数恒成立问题的解法：1.分析函数的定义域和值域：函数的定义域是所有满足函数定义的输入值的集合，值域则是函数的所有可能输出值的集合。
通过分析函数的定义域和值域，可以判断函数在一些特定范围内是否恒成立。
2.化简和变形：有时候可以通过对函数进行化简和变形来更方便地判断函数的恒成立性。
例如，对于分式函数，可以尝试化简分式，然后观察化简后的形式是否恒成立。
对于多项式函数，可以通过因式分解或配方法进行化简和变形。
3.列出函数的性质和特点：函数有很多性质和特点，例如奇偶性、周期性、增减性等。
通过分析函数的性质和特点，可以判断函数在一些特定条件下是否恒成立。
4.利用函数的图像和性质：通过绘制函数的图像，可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化趋势。
对于一些特殊类型的函数，如三角函数和指数函数，可以利用函数的图像和性质来判断函数是否恒成立。
二、不等式恒成立问题的解法：1.利用性质和等价变形：不等式有一些基本性质和等价变形，如加减性、乘除性、取反性、平方性等。
通过利用这些性质和等价变形，可以将原不等式转化为等价的不等式，然后判断等价不等式的恒成立性。
2.化简和变形：和函数恒成立问题类似，有时候可以通过对不等式进行化简和变形来更方便地判断不等式的恒成立性。
例如，可以合并同类项、化简分式、配方等。
3.列出不等式的性质和特点：不等式也有一些性质和特点，如单调性、对称性、周期性等。
通过分析不等式的性质和特点，可以判断不等式在一些特定条件下是否恒成立。
4.利用数轴和区间：对于一元不等式，可以利用数轴和区间的表示法来帮助我们理解和解决不等式。
可以将不等式中的变量表示在数轴上，并根据不等式的性质和条件，确定变量可取的范围和解集。
以上是一些常见的解决函数和不等式恒成立问题的基本方法和思路。
函数、不等式恒成立问题解法(老师用)
函数、不等式恒成立问题解法（老师用）恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
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常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。
1 变量转换策略例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围.解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。
因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。
令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g ，得133133+-<<--x .点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。
2 零点分布策略例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(220f f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(220f f a ，即a 的取值范围为[-7，2].点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了.3 函数最值策略例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[m in≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22m in a f x f a或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ， 即a 的取值范围为]222,5[+--.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(.本题也可以用零点分布策略求解.4 变量分离策略例4 已知函数|54|)(2--=x x x f ，若在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图象位于函数f (x )的上方，求k 的取值范围.解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于543],5,1[2++->+-∈∀x x k kx x 恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于543],5,1[2++->+-∈∀x x k kx x 恒成立3542+++->⇔x x x k 对于]5,1[-∈∀x 恒成立,令]5,1[,3542-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则],8,2[,10)16(∈++-=t t t y 4=∴t 当,即x =1时2m ax =y , ∴k 的取值范围是k >2.变式 若本题中将k kx y 3+=改为2)3(+=x k y ，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于54)3(],5,1[22++->+-∈∀x x x k x 恒成立22)3(54+++->⇔x x x k 对于]5,1[-∈∀x 恒成立,令]5,1[,)3(5422-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则,169)454(1101622+--=-+-=t t ty ]8,2[∈t ， 时即当51,454==∴x t ,169m ax =y , ∴k 的取值范围是k >169.点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解. 练习：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
解析：由]1,0(sin ,0,1sin 22cos )24(sin sin 4)(2∈∴<<+=++=B B B B BB B f ππΘ，]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f Θ恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即⎩⎨⎧+<->2)(2)(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m5 数形结合策略例5 已知恒成立有时当21)(,)1,1(,)(,1,02<-∈-=≠>x f x a x x f a a x，求实数a 的取值范围。
解析：由x x a x a x x f <-<-=2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由12221)1(211-=--=-a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数x x y y )21(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-212在区间)1,1(-∈x 中恒成立，只须x y 2=在区间)1,1(-∈x 对应的图象在212-=x y 在区间)1,1(-∈x 对应图象的上面即可。
当2,1≤>a a 只有时才能保证，而2110≥<<a a 时，只有才可以，所以]2,1()1,21[Y ∈a 。
点评 本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果. 6 消元转化策略 例6 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,故 f (x )在[-1,1]上的最大值为f (1)=1,则12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立⇔1212+-≤at t 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，即022≤-t ta 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，令22)(t ta a g -=，只要⎩⎨⎧≤≤-0)1(0)1(g g ，022=≥-≤∴t t t 或或． 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。
事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。
二：例题讲解或练习：例2 是否存在常数c 使得不等式y x 2yy 2x x c y 2x y y x 2x +++≤≤+++，对任意正数x 、y 恒成立？试证明你的结论。
解：首先，欲使y x 2yy 2x x c +++≤恒成立（x 、y>0），进行换元令122.212.2.1.).(,,)(22.1+++≤+D C B A B a y x y x a xy x 的最小值为则正数恒成立对一切正数若不等式例⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=+=+3b a 2y 3a b 2x b y x 2a y 2x ，得。
∴上述不等式变为b 3b a 2a 3a b 2c -+-≤，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅≤2b a 2a b 231b b a 2a a b 231c 恒成立。
寻求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2b a 2a b 231的最小值，由a>0，b>0，利用基本不等式可得322b a 2a b 22312b a 2a b 231=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+。
同理欲使y 2x yy x 2x c +++≥恒成立)0y x (>、，令⎩⎨⎧=+=+b y 2x a y x 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3a b 2y 3b a 2x ∴上述不等式变为⎪⎭⎫⎝⎛-+-≥b a b 2a b a 231c ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅≥b a a b 431b a 2a b 231c 。
寻求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a a b 431的最大值，易得32b a a b 2431b a a b 431=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-。
综上知存在32c =使上述不等式恒成立例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解： 将问题转化为xx x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立。
令xx x x g 24)(-=，则min )(x g a < 由144)(2-=-=xxx x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞;)()1().()(,]1,[,)(.62的表达式求的所有整数值的个数为时当设二次函数例n g n g x f n n x x x x f +∈+=例4 若不等式1)x a lg(ax2lg <+在x ∈［1，2］时恒成立，试求a 的取值范围。
解：由题设知⎩⎨⎧>>0ax 21x ，得a>0，可知a+x>1，所以0)x a lg(>+。