正态分布检验
如何检验数据是否服从正态分布
如何检验数据是否服从正态分布正态分布是概率论和统计学中的一个重要分布，也称为高斯分布。
在很多实际问题中，需要确定一个数据集是否服从正态分布。
本文将介绍几种常用的方法来检验数据是否服从正态分布。
1.直方图检验法：直方图是用来表示数据频数分布的常用图形方法。
通过绘制数据集的直方图，我们可以观察数据的分布情况。
对于服从正态分布的数据，其直方图应该是呈现出一座钟形曲线的形状。
如果数据集的直方图呈现出钟形曲线的形状，那么可以初步判断数据服从正态分布。
但这种方法仅适用于大样本量和精确的直方图。
2.正态概率图法：正态概率图（Probability Plot）是另一种判断数据是否服从正态分布的方法。
正态概率图是将数据按照大小排序后，将每个数据点的累积分布函数的值（即标准正态分布分位数）在纵坐标上绘制，而横坐标则表示数据点的实际值。
如果数据集的正态概率图上的点大致沿着一条直线排列，则可以认为数据服从正态分布。
4.统计检验法：统计检验是通过计算统计量来得出结论的方法。
常用的统计检验方法有Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验和Anderson-Darling检验。
- Kolmogorov-Smirnov检验：该检验利用累积分布函数（CDF）来判断观测样本与理论分布之间的差异，若与理论分布没有显著差异，则可认为服从正态分布。
- Shapiro-Wilk检验：该检验是一种适用于小样本量的检验方法，利用观察数据与正态分布之间的相关系数来判断数据是否服从正态分布。
- Anderson-Darling检验：该检验适用于中等样本量，通过计算观察数据与理论分布之间的差异来判断数据服从的分布类型。
总结：。
正态分布 检验统计量
正态分布检验统计量正态分布是常见的概率分布之一，被广泛应用于自然科学、社会科学、金融等领域。
当数据符合正态分布模型时，我们可以使用一些检验方法来检验数据是否真的服从于正态分布。
首先，我们需要了解正态分布的基本概念和特点。
正态分布又称为高斯分布，是一个钟形曲线，其均值、中位数和众数均相等，并且其标准差越大，曲线越矮胖；标准差越小，曲线越高瘦。
正态分布的累积分布函数是一个以均值为中心的对称函数。
在验证数据符合正态分布的假设时，我们需要使用一些检验统计量。
这些统计量的选择取决于许多因素，例如样本规模、是否有离群值等。
常见的检验统计量包括以下几种：1. Shapiro-Wilk检验Shapiro-Wilk检验是一种常用的正态性检验方法。
该检验是基于样本数据的偏度和峰度的统计量W值计算而来，其假设原假设H0为“数据集服从正态分布”，备择假设H1为“数据集不服从正态分布”。
在进行Shapiro-Wilk检验之前，需要确保样本大小小于5000。
2. Kolmogorov-Smirnov检验Kolmogorov-Smirnov检验是一种广泛应用的正态性检验方法。
该检验最早用于检验两个不同分布是否相等，后来也被用于检验单一样本是否符合正态分布。
该检验基于样本累积分布函数与正态累积分布函数之间的最大差异来计算，其假设原假设H0为“数据集服从正态分布”，备择假设H1为“数据集不服从正态分布”。
3. Anderson-Darling检验Anderson-Darling检验是一种敏感的正态性检验方法，适用于样本大小较小的情况。
该检验基于样本与期望分布之间的距离来计算统计量，其中期望分布可以是正态分布，也可以是其他分布。
其假设原假设H0为“数据集服从正态分布”，备择假设H1为“数据集不服从正态分布”。
4. Lilliefors检验Lilliefors检验是对Kolmogorov-Smirnov检验的改进。
与Kolmogorov-Smirnov检验不同的是，Lilliefors检验不需要假定正态分布的均值和标准差已知，而是通过具有与样本大小相关的、经验计算的校正系数来计算检验统计量。
SPSS统计分析1：正态分布检验.
正态分布检验一、正态检验的必要性[1]当对样本是否服从正态分布存在疑虑时，应先进行正态检验；如果有充分的理论依据或根据以往积累的信息可以确认总体服从正态分布时，不必进行正态检验。
当然，在正态分布存疑的情况下，也就不能采用基于正态分布前提的参数检验方法，而应采用非参数检验。
二、图示法1、P-P图以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。
如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。
2、Q-Q图以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。
如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。
Q-Q图为佳，效率较高。
以上两种方法以3、直方图判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。
4、箱式图判断方法：观测离群值和中位数。
5、茎叶图类似与直方图，但实质不同。
三、计算法1、峰度（Kurtosis）和偏度（Skewness）（1）概念解释峰度是描述总体中所有取值分布形态陡缓程度的统计量。
这个统计量需要与正态分布相比较，峰度为0表示该总体数据分布与正态分布的陡缓程度相同；峰度大于0表示该总体数据分布与正态分布相比较为陡峭，为尖顶峰；峰度小于0表示该总体数据分布与正态分布相比较为平坦，为平顶峰。
峰度的绝对值数值越大表示其分布形态的陡缓程度与正态分布的差异程度越大。
峰度的具体计算公式为：注：SD就是标准差σ。
峰度原始定义不减3，在SPSS中为分析方便减3后与0作比较。
偏度与峰度类似，它也是描述数据分布形态的统计量，其描述的是某总体取值分布的对称性。
这个统计量同样需要与正态分布相比较，偏度为0表示其数据分布形态与正态分布的偏斜程度相同；偏度大于0表示其数据分布形态与正态分布相比为正偏或右偏，即有一条长尾巴拖在右边，数据右端有较多的极端值；偏度小于0表示其数据分布形态与正态分布相比为负偏或左偏，即有一条长尾拖在左边，数据左端有较多的极端值。
z检验的适用条件
z检验的适用条件
【原创实用版】
目录
1.概述 z 检验
2.z 检验的适用条件
3.举例说明 z 检验的应用
4.总结 z 检验的适用性
正文
1.概述 z 检验
z 检验，也被称为标准正态分布检验，是一种常用的假设检验方法。
它基于标准正态分布表，通过计算样本统计量与临界值的比较，判断样本数据是否符合某种特定的概率分布。
2.z 检验的适用条件
z 检验的适用条件主要包括以下几点：
（1）数据满足正态分布：z 检验要求样本数据服从正态分布，若数据不符合正态分布，可能影响 z 检验的准确性。
（2）样本量足够大：当样本量足够大时（通常大于 30），根据中心极限定理，样本均值的分布将接近正态分布，此时 z 检验的准确性较高。
（3）已知总体标准差：z 检验需要知道总体的标准差，若未知，则需要使用 s 检验（即 t 检验）代替。
3.举例说明 z 检验的应用
假设我们有一个来自于某服装厂的衬衫尺寸样本，我们需要判断这些衬衫的尺寸是否符合正态分布。
我们可以通过计算样本均值和标准差，然后使用 z 检验来进行判断。
步骤如下：
（1）计算样本均值和标准差
（2）查找标准正态分布表，找到对应于样本均值和标准差的 z 值（3）比较 z 值与临界值，判断样本数据是否符合正态分布
4.总结 z 检验的适用性
z 检验是一种强大的假设检验方法，适用于数据满足正态分布、样本量足够大且已知总体标准差的情况。
如何检验数据是否服从正态分布
如何检验数据是否服从正态分布一、图示法1、P-P图以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。
如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。
2、Q-Q图以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。
如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。
以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。
3、直方图判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。
4、箱式图判断方法：观测离群值和中位数。
5、茎叶图类似与直方图，但实质不同。
二、计算法1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）计算公式：g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。
两种检验同时得出U<U0.05=1.96，即p>0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。
由公式可见，部分文献中所说的“偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布”并不严谨。
2、非参数检验方法非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk（W 检验）。
SAS中规定：当样本含量n≤2000时，结果以Shapiro – Wilk（W检验）为准，当样本含量n >2000时，结果以Kolmogorov – Smirnov（D检验）为准。
SPSS中则这样规定：（1）如果指定的是非整数权重，则在加权样本大小位于3和50之间时，计算Shapiro-Wilk统计量。
对于无权重或整数权重，在加权样本大小位于3和5000之间时，计算该统计量。
由此可见，部分SPSS教材里面关于“Shapiro –Wilk适用于样本量3-50之间的数据”的说法是在是理解片面，误人子弟。
（2）单样本Kolmogorov-Smirnov检验可用于检验变量（例如income）是否为正态分布。
验证正态分布的方法
验证正态分布的方法正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布，它在自然界和社会科学领域中广泛应用。
为了验证一个数据集是否符合正态分布，我们可以采用以下方法。
1. 直方图分析法直方图是一种将数据按照数值范围分组并展示出来的图表。
通过绘制数据集的直方图，我们可以观察数据的分布情况。
如果直方图呈现出钟形曲线，即中间高、两侧逐渐降低的形态，则可以初步判断数据集服从正态分布。
2. 正态概率图（Q-Q图）正态概率图是一种利用数据集的分位数与正态分布的分位数进行比较的图表。
将数据集的分位数作为纵坐标，对应的正态分布的分位数作为横坐标，绘制出的散点图应该近似成一条直线。
如果散点图呈现出近似直线的趋势，那么数据集可以认为近似服从正态分布。
3. 偏度和峰度检验偏度（skewness）和峰度（kurtosis）是用来描述数据分布形态的统计量。
对于正态分布来说，偏度应该接近于0，峰度应该接近于3。
因此，我们可以计算数据集的偏度和峰度，并与0和3进行比较，来判断数据集是否符合正态分布。
4. Shapiro-Wilk检验Shapiro-Wilk检验是一种常用的正态性检验方法。
该检验基于观察数据与正态分布之间的差异程度来判断数据是否符合正态分布。
在这个检验中，我们设定一个假设，即原假设（null hypothesis）为数据集符合正态分布。
然后通过计算统计量和p值，来判断是否拒绝原假设。
如果p值大于设定的显著性水平（如0.05），则可以认为数据集符合正态分布。
5. Anderson-Darling检验Anderson-Darling检验是另一种常用的正态性检验方法。
该检验也是基于观察数据与正态分布之间的差异程度来判断数据是否符合正态分布。
与Shapiro-Wilk检验类似，Anderson-Darling检验也设定一个原假设，然后计算统计量和p值，来判断是否拒绝原假设。
如果p值大于设定的显著性水平，则可以认为数据集符合正态分布。
正态检验方法
正态检验方法一、前言正态检验是统计学中常用的一种方法，用于检验数据是否符合正态分布。
正态分布是指在概率论和统计学中经常出现的一种连续概率分布，其特点是对称、单峰、钟形曲线。
正态分布在实际应用中具有很重要的意义，因此对数据进行正态检验就显得尤为重要。
本文将详细介绍正态检验的方法以及如何使用R语言进行正态检验。
二、什么是正态检验？正态检验（Normality Test）是指通过某些统计量对数据样本进行假设检验，判断样本是否符合正态分布。
常见的统计量有Kolmogorov-Smirnov (K-S) 检验、Shapiro-Wilk 检验、Anderson-Darling (A-D) 检验等。
三、K-S检验K-S检验（Kolmogorov–Smirnov test）是一种非参数假设检验方法，主要用于判断一个样本是否来自某个已知分布。
在正态性检查中，我们可以使用K-S测试来比较观察值与标准正态分布之间的差异。
1. K-S测试原理在使用K-S测试时，我们首先需要确定一个假设H0：该样本来自一个已知分布。
通常情况下，该已知分布是标准正态分布。
我们可以使用样本的均值和标准差来估计标准正态分布的参数。
接下来，我们需要计算出观察值与标准正态分布之间的最大偏差（D）。
这个偏差是指在统计学上，观察值与标准正态分布之间的最大距离。
最后，我们需要根据样本大小和显著性水平确定临界值。
如果D大于临界值，则拒绝假设H0，即该样本不符合正态分布。
2. 使用R语言进行K-S检验在R语言中，我们可以使用ks.test()函数进行K-S检验。
该函数包含两个参数：x表示要检验的数据向量；y表示用于比较的已知分布。
例如：```R# 生成一个随机数向量set.seed(123)x <- rnorm(100)# 进行K-S检验ks.test(x, "pnorm")```输出结果为：```ROne-sample Kolmogorov-Smirnov testdata: xD = 0.0863, p-value = 0.4814alternative hypothesis: two-sided```其中，D表示最大偏差；p-value表示拒绝原假设的显著性水平。
正态分布检验方法及适用范围
正态分布检验方法及适用范围
正态分布在统计学中具有重要的地位，因为许多自然现象和社会现象都服从正态分布。
因此，对于一组数据，我们需要通过检验来确定它是否符合正态分布。
本文将介绍正态分布检验的方法及其适用范围。
一、正态分布检验的方法
1. 直方图法
通过绘制直方图来观察数据是否符合正态分布。
如果数据在均值附近呈现对称的钟形曲线，则表明数据符合正态分布。
2. Q-Q图法
Q-Q图是一种用于检验数据是否符合某种分布的图形方法。
通过将数据的样本值和理论分布的分位数对比，来判断数据是否符合正态分布。
3. Shapiro-Wilk检验法
Shapiro-Wilk检验法是一种基于样本数据的统计方法，它通过计算样本数据的统计量来确定数据是否符合正态分布。
如果计算得到的统计量小于某个临界值，则可以认为数据不符合正态分布。
二、正态分布检验的适用范围
1. 样本量较小的情况
当样本量较小时，通常使用Shapiro-Wilk检验法来判断数据是否符合正态分布。
因为在样本量较小的情况下，直方图和Q-Q图可能不够准确，需要使用严格的统计方法来确定数据是否符合正态分布。
2. 样本量较大的情况
当样本量较大时，可以使用直方图和Q-Q图来判断数据是否符合正态分布。
因为在样本量较大的情况下，直方图和Q-Q图可以更好地反映数据的分布情况，而且计算起来也比较简单。
3. 数据分布对结果影响较小的情况
对于一些不太敏感的数据分析问题，可以不必严格要求数据是否符合正态分布。
例如，对于某些简单的统计问题，如计算平均值和方差等，数据是否符合正态分布并不会对结果产生太大的影响。
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X 0 t ˆ n
t t
t t
t t
2
t（n－1）
H0：μ =μ 0 H1：μ ≠μ 0
例题1
有一台包装机用于包装净水剂，额定标准重量为 500g。根据以往经验，包装机实际装袋重量服从 正态分布N（μ，σ2），其中σ＝15g。为检验 包装机工作是否正常，随机抽取9个袋，称得净水 剂净重数据如下（g）：497，506，518，524， 488，517，510，515，516。若取显著性水平 α＝0.01，问这台包装机工作是否正常？
t 0.025 (4) 2.776
显然
测定方法存在明显的系统误差。
综合误差E为：
| t | t0.025 (4) ，故拒绝H0，即AAS
E X 0 0.186
偶然误差e为：
ˆ e t 0.025 (4)
n
2.776 0.054
5
0.067
因为
转正常。
U U 0.005 ，所以接受 H 0 ，即包装机的运
例题2
玉米穗的重量服从正态分布，已知清洁区内 玉米的平均穗重为300g，随机抽取污灌区内 7个玉米穗重，分别为298，290，297， 301，299，297，292（g），问污灌对玉 米穗重量是否存在明显影响？（取α＝0.05）
是总体Y的样本， 则两组样本的均值与方差分别为：
1 m X Xi m i 1
m 1 2 2 ˆX X i X m 1 i 1
m 1 2 2 ˆY Yi Y n 1 i 1
1 Y Yi n i 1
n
1.3.2.1两个独立正态分布总体均值的比较
的稳定性没有显著差异。
例题7
分析例题5中两个实验室测定结果的稳定性是 否相同。
检验过程为：
H 0 :
2 X
2 Y
H1 :
2 X
2 Y
或
H 0 :
2 X
2 Y
H1 :
2 X
2 Y
已知m＝4，
X 15.08
2 ˆX ， 0.169 ，
X Y
t 0.025 (5) 2.57 ，因为 t t 0.025 (5) ，拒绝 原假设，即实验室A与实验室B对该样品的 测定结果无系统差别。
1.3.2.2两个独立正态分布总体方差的比较
表1-5 两个独立正态分布总体方差的比较
例题6
已知两种型号的脱硫装置效率十分接近，分别 进行4次与5次重复试验后，得表1－6，请比较 分析两种型号脱硫装置的质量（稳定性）。
2 Y 不成立，综上所述，有
2 n
已知条 件 σ
2已知
检验问题H0，H1 检验统计量 H0：μ =μ 0 H1：μ >μ 0 H0：μ =μ 0 H1：μ <μ 0 H0：μ =μ 0 H1：μ ≠μ 0
U
判别域
统计表
U
X 0
n
U
U U2
N（0，1）
σ 2未知
H0：μ =μ 0 H1：μ >μ 0 H0：μ =μ 0 H1：μ <μ 0
2 x 2 x (n 1)
x2
X
n i 1
i
X
2 0
2
x 2 x12 (n 1)
2 x 2 x (n 1)
x 2 (n 1)
H0：σ 2＝σ H1：σ 2≠σ
2 0 2 0
x 2 x12 (n 1)
2
2
例题4
正常情况下，用一台气相色谱仪多次重复测定某 标准氯仿水溶液的结果（峰高）为：μ0＝1.00， σ0＝0.022。为试验一根新装配的色谱柱，在 改用新色谱柱之后，对同一标准样品作4次重复 测定，其结果分别为：0.98，1.05，0.97， 1.01，请问更换新柱后，仪器的精度是否发生 明显变化？（取α＝0.05）
解：
有关的已知条件为：σ0＝0.022，
ˆ 0.036 。 n＝4， 统计假设为： H0：σ2＝σ02 ， H1：σ2≠σ02
检验统计量 x 2
X
n i 1
i
X
2
02
3 0.036 2 8.03 2 0.022
x
2 0.975
2 ， x0.025 (3) 9.35 (3) 0.216
解：已知条件为μ0＝500g，σ＝15g，
n＝9，α＝0.01，由样本可以算出
1 9 X X i 510.11。 9 i 1
假设检验为：
H0：μ=μ0＝500 检验统计量 U
X 0 n
H1：μ≠μ0
510.11 500 15 9 2.02
U 0.005 2.58
2 n＝3，Y 14.93 ， ˆY 0.093 ，
F1
2 ˆ Y
ˆ
2 X
0.5503
F0.025 (2,3) 16.04
2 2 故 X Y 不成Biblioteka ；ˆ F2 2 X
2 X
ˆ
2 Y
1.817
F0.025 (3,2) 39.17
2 2 故 X Y， 即原假设（实验室A与实验室B的测定结果的 稳定性相同）成立。
表1－6 型号Ⅰ 型号Ⅱ 92 98 95 81 88 96 90 89 89
解：由题意知两种型号脱硫装置的脱硫效率十分
接近，该问题要求比较分析两种装置的稳定性， 实际是要求检验两种装置的试验样本的方差是否 有显著差异。 检验过程为：
H 0 :
2 1
2 2
2 H 1 : 12 2
表1－3两个独立正态分布总体均值的比较
续表1－3
续表1－3
例题5
有两个实验室A、B使用同一种方法测定某一大气 飘尘中Zn的含量，分别做了4次与3次，得表1－4。 问两个实验室对该样品的测定结果是否一致？
表1－4 飘尘中Zn的含量 实验室A 实验室B 14.7 14.6 14.8 15.0 15.2 15.2 15.6
～t（6），
因为
t 0.05 (6) 1.943 ，
296.29 300 t 2.517 3.9 7
所以 t t 0.05 (6) ，故拒绝H0，接受H1，即污 灌对玉米穗的重量有明显影响。
例题3
在对AAS法测定淡水沉积物中Ni的含量的方法进行 考核时，使用了已知Ni浓度为4.55mg/kg的参照 样。按规定的消解与分析程序，对此参照样进行了 5次重复测定，结果分别为4.28，4.40，4.42， 4.35，4.37（mg/kg），请据此判断AAS测定方 法有没有明显的系统误差？（取α＝0.05）
解：依据题意该问题属于两个独立总体均
2 1
值比较的假设检验，由于 ， 未知， 故使用t检验中的双侧检验（假定两个实验 室的测定精度相同）。
2 2
已知m＝4，
2 ˆX X 15.08 ， 0.169 ，
2 n＝3， Y 14.93 ， ˆY 0.093 。 检验问题：
解：该问题要解决的是污灌区内玉米穗的
重量与清洁区内玉米穗的重量是否有显著 差异。 假设污灌区内玉米穗的重量为X，则 X～N（μ，σ2），已知μ0＝300g， n＝7， X 296.29 g，σ2未知，但 ˆ 3.90g。 检验假设为：H0：μ=μ0＝300 H1：μ<μ0
X 0 检验统计量 t ˆ n
系统误差ε为：
E e 0.186 (0.067) [0.119,0.0253]
因此AAS测定法的结果偏低。
1.3.1.2单个正态分布总体方差的检验
已知条件 检验问题 H0：σ 2＝σ 02 H1：σ 2>σ 02 检验统计量 判别域 统计表
X～N（μ ,σ 2） X1，X2，…，Xn H0：σ 2＝σ 02 为随机抽样， σ 02是指定的数 H1：σ 2<σ 02
解：该问题用统计语言表述为：总体均值
与已知值之间有没有显著性差异，属于单 个总体均值比较。 已知条件为：μ0＝4.55，n＝5，
ˆ 0.054 X 4.364 ，
检验假设为：
H0：μ=μ0＝4.55
H1：μ≠μ0
X 0 检验统计量为 t ＝-7.702， ˆ n
2 2 ˆ 7 . 70 ˆ 由题设知m＝5，n＝4， X ， Y 59.33 ，
F0.025 (3,4) 9.98
F0.975 (3,4) 4.19
因为
F0.975 (3,4) F0.10 F 7.71 F0.025 (3,4)
所以接受原假设H0，即两种型号脱硫装置
H 0 : 1 2
H1 : 1 2
检验统计量：
1 t 2 2 1 1 ˆ x (n 1) ˆY (m 1) m n mn2 15.08 14.93 0.527 3 0.169 2 0.093 1 1 43 2 4 3
2
因为
0.216 x 9.35 ，所以接受H0，即 在给定的显著性水平下，更换新色谱柱对 仪器的测定精度没有明显影响。
1.3.2两个独立正态分布总体均值与方差的检验
2 假设 X ~ N (1 , 12 ), Y ~ N (2 , 2 ),
X 1 , X 2 , , X m 是总体X的样本， Y1 , Y2 ,, Yn
第三节 正态分布的检验
1.3.1单个正态分布总体均值与方差的检验
1.3.1.1单个正态分布总体均值的检验 设总体X～N（μ，σ2），X1，X2，…， Xn为随机抽样，则μ，σ2的无偏估计为: