(完整版)多阶段决策过程最优化问题
动态规划
=MIN（3+12，4+10）=14
最短路线： A—— B2 ——C2——D2——E2——F 最优解： d1*(A)= B2，最短用时14
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
最优解： d2*(B1)= C1
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S2=B2，则下一步能取C2或C3，故
f2(B2)=MIN r(B2,C2)+ f3(C2)
r(B2,C3)+ f3(C3) =MIN（2+8，1+11）=10
最短路线： B2 ——C2——D2——E2——F
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S4=D3，则下一步只能取E2，故
管理运筹学解决实际问题的步骤及内容
第三章 线性规划问题的计算机求解
教学要求
本章学习如何使用计算机软件包求解线性规划问题，并通过上机操作训练掌握较简单的线性规划问题使用计算机软件包求解的方法。
课时分配
6学时（含计算机上机操作训练）
教学内容
一、管理运筹学计算机软件包的使用说明和结构内容。
二、线性规划问题的菜单界面和输入要点。
简要介绍管理运筹学所涉及的应用领域，如生产计划、库存管理、运输问题、人事管理、市场营销、财务会计、项目评价等；介绍管理运筹学在国内外的应用和发展状况。
四、管理运筹学使用计算机软件的原则
思考题
1、简述运筹学的发展历史和发展前景。
2、管理运筹学的主要分支和应用领域有哪些？
3、使用管理运筹学计算机软件有哪些基本原则？
第十二章 排队论
教学要求
本章学习研究排队现象，主要了解和掌握在不增加固定资产投资前提下，如何把排队时间控制到一定限度内，在服务质量的提高和成本降低之间取得平衡，寻找最恰当的解。
课时分配
3学时
教学内容
一、排队过程的组成部分
二、单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型
通过图解法作图过程，直观地讲解目标函数中系数的灵敏度分析、约束条件右边常数的灵敏度分析的基本原理。
思考题
1、试述可行域、目标函数等值线、松驰变量和剩余变量的含义。
2、试述线性规划图解法的基本特点、适用范围、图解法求解的基本程序，步骤和方法
3、线性规划问题是如何化为标准形式的？
三、多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型
四、单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型
五、多服务台泊松到达、任意服务时间、损失制排队模型
(完整版)信息竞赛复习资料5--动态规划(NOIP)
第一章什么叫动态规划1.1 多阶段决策过程的最优化问题1、问题的提出首先,例举一个典型的且很直观的多阶段决策问题：［例] 下图表示城市之间的交通路网,线段上的数字表示费用，单向通行由A-〉E。
求A—〉E的最省费用。
如图从A到E共分为4个阶段,即第一阶段从A到B，第二阶段从B到C，第三阶段从C到D，第四阶段从D到E。
除起点A和终点E外，其它各点既是上一阶段的终点又是下一阶段的起点。
例如从A到B的第一阶段中,A为起点，终点有B1，B2,B3三个，因而这时走的路线有三个选择，一是走到B1,一是走到B2，一是走到B3。
若选择B2的决策，B2就是第一阶段在我们决策之下的结果,它既是第一阶段路线的终点，又是第二阶段路线的始点.在第二阶段，再从B2点出发,对于B2点就有一个可供选择的终点集合(C1,C2，C3)；若选择由B2走至C2为第二阶段的决策，则C2就是第二阶段的终点，同时又是第三阶段的始点。
同理递推下去，可看到各个阶段的决策不同,线路就不同。
很明显，当某阶段的起点给定时,它直接影响着后面各阶段的行进路线和整个路线的长短,而后面各阶段的路线的发展不受这点以前各阶段的影响。
故此问题的要求是:在各个阶段选取一个恰当的决策，使由这些决策组成的一个决策序列所决定的一条路线,其总路程最短。
具体情况如下:(1)由目标状态E向前推,可以分成四个阶段，即四个子问题。
如上图所示。
（2）策略：每个阶段到E的最省费用为本阶段的决策路径。
（3)D1，D2是第一次输人的结点。
他们到E都只有一种费用,在D1框上面标5，D2框上面标2。
目前无法定下，那一个点将在全程最优策略的路径上。
第二阶段计算中,5,2都应分别参加计算.（4)C1，C2,C3是第二次输入结点，他们到D1，D2各有两种费用.此时应计算C1，C2，C3分别到E的最少费用. C1的决策路径是 min｛（C1D1)，（C1D2）｝.计算结果是C1+D1+E，在C1框上面标为8。
运筹学及其应用9.1 多阶段决策过程最优化问题举例
6
t
使 S = ∑ ∑ f ( x i ) + 16 u j =
i =1
j =1
Байду номын сангаас
6
∑ f ( xi ) + 16(5x1 + 4 x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 − 185)
i =1
为最小，其中
f
(xi )
=
110200xxii
,0 −
≤ xi ≤ 15 300,15 < xi
≤
30
6
例1
因此，我们的问题就变成：求y,y1,y2,…,yn-1，以使 g(y)+h(x-y)+g(y1)+h(x1-y1)+…+g(yn-1)+h(xn-1-yn-1) 达到最大，且满足条件
x1=ay+b(x-y) x2=ay1+b(x1-y1)
……… xn-1=ayn-2+b(xn-2-yn-2) yi与xi均非负,i=1,2, …,n-1
5
例1
若以y与x-y分别投入生产方式A与B，在第一 阶段生产后回收的总资源为x1=ay+b(x-y)，再将x1 投入生产方式A和B，则可得到收入g(y1)+h(x1-y1)， 继续回收资源x2=ay1+b(x1-y1)，……
若上面的过程进行n个阶段，我们希望选择n 个变量y,y1,y2,…,yn-1，使这n个阶段的总收入最大。
第二种方法即所谓“局部最优路径”法，是 说某人从k出发，他并不顾及全线是否最短，只是选 择当前最短途径，“逢近便走”，错误地以为局部 最优会致整体最优，在这种想法指导下，所取决策
必是v1→v2→v5→ v9→ v10 ，全程长度是30；显
优化决策过程
优化决策过程在我们的日常生活和工作中，我们经常需要做出各种各样的决策，不论是小到选择一杯咖啡还是大到决定公司的发展方向，决策都是我们生活的重要组成部分。
然而，有时候我们发现自己在决策过程中遇到了困难，并且难以达到预期的效果。
为了优化决策过程，我将从准备、分析和实施三个方面进行探讨。
一、准备阶段优化决策过程的第一步是准备阶段。
在做出任何决策之前，我们需要先了解问题的背景和环境。
这意味着我们需要搜集和整理相关的信息和数据，并深入了解相关的知识和背景。
例如，如果我们要决定在哪个城市开设新的分店，我们需要了解该城市的经济状况、人口统计、竞争对手情况等。
通过充分准备，我们能够更好地理解问题，提高决策的质量。
二、分析阶段在准备阶段之后，我们进入了分析阶段。
分析阶段是决策过程中最重要的一步。
在这个阶段，我们需要对收集到的信息和数据进行深入分析，并从中找出相关的模式和趋势。
这有助于我们更好地理解问题，发现潜在的机会和风险，并制定出更具针对性的解决方案。
例如，在分析竞争对手的数据时，我们可以比较其市场份额、产品特点和销售策略等，从而找出我们的竞争优势和差距。
通过深入分析，我们能够做出更明智的决策并降低决策的风险。
三、实施阶段在准备和分析阶段之后，我们进入了实施阶段。
实施阶段是将决策付诸行动的关键步骤。
在这个阶段，我们需要制定详细的实施计划，并确保它能够有效地执行。
为了优化决策的实施过程，我们可以采取一些措施。
首先，我们可以制定明确的目标和时间表，以确保实施过程有条不紊。
其次，我们可以建立良好的沟通和协作机制，以便各个部门和团队之间能够有效合作。
最后，我们可以设立适当的监控和反馈机制，以及时发现和解决问题。
通过有效地实施决策，我们能够最大限度地实现预期的效果，并取得成功。
总结起来，优化决策过程需要我们在准备、分析和实施三个方面下功夫。
通过充分准备，我们能够更好地理解问题；通过深入分析，我们能够找出最佳的解决方案；通过有效实施，我们能够最大限度地实现预期的效果。
动态规划和几个经典问题
动态规划和⼏个经典问题动态规划 (本⽂适合⼊门理解思想，后期多刷题) 动态规划是运筹学的⼀个分⽀，是求解多阶段决策过程最优化问题的数学⽅法，在经济管理、⼯程技术、⼯农业⽣产及军事部门中都有着⼴泛的应⽤，并且获得了显著的效果。
学习动态规划，我们⾸先要了解多阶段决策问题。
多阶段决策问题例⼦： ⽣产决策问题：企业在⽣产过程中，由于需求是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳⽣产效益，就要在整个⽣产过程中逐⽉或逐季度地根据库存和需求决定⽣产计划。
机器负荷分配问题：某种机器可以在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。
要求制定⼀个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配完好的机器在两种不同的负荷下⽣产的数量，使在五年内产品的总产量达到最⾼。
航天飞机飞⾏控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞⾏在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞⾏⽅向和速度（状态），使之能最省燃料和完成飞⾏任务（如软着陆）。
多阶段决策过程的特点： 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若⼲个互相联系⼜互相区别的阶段。
在每⼀个阶段都需要做出决策，从⽽使整个过程达到最好的效果。
各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前⾯临的状态，⼜影响以后的发展。
当各个阶段的决策确定后，就组成了⼀个决策序列，因⽽也就决定了整个过程的⼀条活动路线，这样的⼀个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策问题。
针对多阶段决策过程的最优化问题，美国数学家Bellman等⼈在20世纪50年代初提出了著名的最优化原理，把多阶段决策问题转化为⼀系列单阶段最优化问题，从⽽逐个求解，创⽴了解决这类过程优化问题的新⽅法：动态规划。
对最佳路径（最佳决策过程）所经过的各个阶段，其中每个阶段始点到全过程终点的路径，必定是该阶段始点到全过程终点的⼀切可能路径中的最佳路径（最优决策），这就是Bellman提出的著名的最优化原理。
多阶段决策过程
动态规划多阶段决策过程（multistep decision process ）是指这样一类特殊的活动过程，过程可以按时间顺序分解成若干个相互联系的阶段，在每一个阶段都需要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列。
动态规划（dynamic programming ）算法是解决多阶段决策过程最优化问题的一种常用方法，难度比较大，技巧性也很强。
利用动态规划算法，可以优雅而高效地解决很多贪婪算法或分治算法不能解决的问题。
动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。
动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果，与贪婪算法不同的是，在贪婪算法中，每采用一次贪婪准则，便做出一个不可撤回的决策；而在动态规划算法中，还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优决策子序列，即问题是否具有最优子结构性质。
动态规划算法的有效性依赖于待求解问题本身具有的两个重要性质：最优子结构性质和子问题重叠性质。
1 、最优子结构性质。
如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。
最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
2 、子问题重叠性质。
子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。
动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的解题效率。
当我们已经确定待解决的问题需要用动态规划算法求解时，通常可以按照以下步骤设计动态规划算法：1 、分析问题的最优解，找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2 、递归地定义最优值；3 、采用自底向上的方式计算问题的最优值；4 、根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
多阶段决策过程最优化问题研究
Ｔａ ｂ．１ Ｐｏｓｉ ｅ ｓ ｌ ｅ ｎ ｒ ａ ｅ ａｃ ｒ ａ ｓｂｌ ａ ｅ ｒ ｖｅ ｕｅ ｃ ｅ ｔ ｄ ｂｙ ｅ ｈ ａ ｅ
从 表 １中可 以看 出 ， 果 没 有 在 华 北 和 华 东 地 区建 样 板 店 ， 么 这两 个 地 区 的 销售 收 入 为 ０ 如 果 没 有 在 华 南 地 区建 样 板 如 那 ． 店 ， 南 地 区 仍 可 以通 过 订 购 系 统 获 得 每 月 ２万 元 的 销售 收 入 ． 个 问题 的 目标 函数 是 在 建 样 板 店 的个 数 有 限 的条 件 下 ， 何 华 这 如
０ 引 言
在 实践 中 ， 常 会 遇 到 这 样 的决 策 问 题 “ ： 于 过 程 的特 殊 性 ， 以 将 决 策 的 全 过 程 依 据 时 间 或 空 间 划 分 为 若 干个 相 常 由 可 互 联 系 的 阶 段． 态 规 划 方 法 的关 键 是 将 多 阶段 的决 策 问 题 变 换 成 一 系 列 的单 阶 段 问 题 ， 逐 一 求 解 ． 阶 段 的 决 策 过 程 很 动 并 多 难 直 观 地 描 述 ， 文 通 过 一 个 实 例 来 说 明动 态 规 划 解 决 多 阶段 决 策 问题 的方 法 和 过程 ． 本
１ １ 第 三 阶段 决 策 ．
将 在 华 南 地 区建 多少 样 板 店 作 为 问题 第 三 阶 段 的 决 策 ． 动 态 规 划 中假 设 第 三 阶 段 的决 策 是 决 策 过 程 中 的最 终 决 策 ， 在 因 此 ， 果 将 在华 东 、 北 地 区建 样 板 店 作 为 规 划 的第 二 阶 段 和 第 一 阶段 ， 么 在 华 南 地 区建 几 个 样 板 店 的 决 策 是 建 立 在 另 两 如 华 那
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多阶段决策过程最优化问题
——动态规划的基本模型
在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。
【例题1】最短路径问题。
图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。
现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?
【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。
用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。
具体计算过程如下：
S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3
S2: K=3，有：F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8
F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8
F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11
F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6
S2: K=2，有
F2(B1)=min{d2(B1,C1)+F3(C1),d2(B1,C2)+f3(C2),d2(B1,C3)+F3(C3)}=
min{9,12,14}=9
F2(m)=min{d2(B2,c2)+f3(C2),d2(B2,C4)+F3(C4)}=min{16,10}=10 S4：k=1，有：F1(A)=min{d1(A,B1)+F2(B1),d1(A,B2)+F2(B2)}=min{13,13}=13
因此由A点到E点的全过程的最短路径为A—>B2一>C4—>D3—>E。
最短路程长度为13。
从以上过程可以看出，每个阶段中，都求出本阶段的各个初始状态到过程终点E的最短路径和最短距离，当逆序倒推到过程起点A时，便得到了全过程的最短路径及最短距离，同时附带得到了一组最优结果(即各阶段的各状态到终点E的最优结果)。
在上例的多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化问题的方法为动态规划方法。
根据上例分析和动态规划的基本概念，可以得到动态规划的基本模型如下：
(1)确定问题的决策对象。
(2)对决策过程划分阶段。
(3)对各阶段确定状态变量。
(4)根据状态变量确定费用函数和目标函数。
(5)建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。
思考与练习：
1、写出本节例题的算法及PASCAL程序。
2、若城市路径示意图如下图所示，
图中，每条边上的数字是这段道路的长度。
条件：从A地出发，只允许向右或向上走。
试寻找一条从A地到B地的最短路径和长度。
(分析与解)。