山西省2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

山西省2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．共60分．每小题只有一个选项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题卡中．）1．命题P ：2016≤2017，则下列关于命题P 说法正确的是．（ ） A ．命题P 使用了逻辑联结词“或”，是假命题 B ．命题P 使用了逻辑联结词“且”，是假命题 C ．命题P 使用了逻辑联结词“非”，是假命题 D ．命题P 使用了逻辑联结词“或”，是真命题2．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．＞B ．2a ﹣b ＜1C ．＞D ．lg （a ﹣b ）＞03．某学校高二年级共有编号为1班，2班，3班，a ，10班等10个班，每个班均有50个学生，现在需要用系统抽样的方法从每个班中抽取1人，得到一个容量为10的样本．首先，在给全体学生编号时，规定从1班到10班，各个学生的编号从小到大，即按1班从001到050，2班从051到100，3班从101到150，p ，以此类推，一直到10班的50个学生编号为451到500．若用简单随机抽样的方法从1班抽到的编号为6号，则在6班中应抽取学生的编号为（ ） A ．12 B ．56 C ．256 D ．3064．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．25．如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，46．设x ，y ∈[0，1]，则满足y ＞的概率为（ ）A ．1﹣B ．C ．D ．7．已知m ＞e ＞n ＞1＞k ＞0（e 为自然数2.7…），且x=m ，y=lnn ，z=log k e ，则（ ）A ．x ＞y ＞zB ．x ＞z ＞yC ．y ＞x ＞zD ．y ＞z ＞x8．已知命题p ：x 2＞x 是x ＞1的充分不必要条件；命题q ：若数列{a n }的前n 项和S n =n 2，那么数列{a n }是等差数列．则下列命题是真命题的是（ ） A ．p ∨（￢q ） B ．p ∨qC ．p ∧qD ．（￢p ）∨（￢q ）9．如图，OABC 是四面体，G 是△ABC 的重心，G 1是OG 上一点，且OG=3OG 1，则（ ）A ． =++B ． =++C ．=++D ．=++10．已知直线l ：y=x ﹣1，双曲线c 1：﹣=1，抛物线c 2：y 2=2x ，直线l 与c 1相交于A ，B 两点，与c 2交于C ，D 两点，若线段AB 与CD 的中点相同，则双曲线c 1的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知四面体ABCD 各棱长都等于1，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．12．下列四个关于圆锥曲线的命题，正确的是（ ）①从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；②已知M （﹣2，0）、N （2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P 的轨迹是一条线段； ③关于x 的方程x 2﹣mx+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线﹣=1与椭圆+=1有共同的焦点． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 13．甲，乙，丙，丁4名学生按任意次序站成一排，则事件“甲站在两端”的概率是 ． 14．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的过焦点的弦为AB ，且|AB|=6，x A 是点A 的横坐标，x B 是B 点的横坐标，又x A +x B =2，则p= ．15．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数且ax+y=z的最小值为时实数a 的取值范围是．16．函数y=（x＞0）的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）设命题p：∀x∈R，x2﹣ax+1≥0，命题q：∃x＞0，＜a，若（￢p）∨q 是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）设函数f（x）=•，其中=（cosx， sin2x），=（2cosx，1）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=2，a=，b+c=3，求△ABC的面积．19．（12分）某航运公司有6艘可运载30吨货物的A型货船与5艘可运载50吨货物的B型货船，现有每天至少运载900吨货物的任务，已知每艘货船每天往返的次数为A型货船4次和B型货船3次，每艘货船每天往返的成本费为A型货船160元，B型货船252元，那么，每天派出A型货船和B型货船各多少艘，公司所花的成本费最低？20．（12分）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于40分的人数；（3）若从样本中随机选取数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．21．（12分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，M是BC的中点，且BM1⊥BC，平面B1C1CB⊥平面ABC．BC=CA=AA1．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）求二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．22．（12分）如图，椭圆C 0： +=1（a ＞b ＞0，a ，b 为常数），动圆C 1：x 2+y 2=t 12，b ＜t 1＜a ．．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若C 1经过C 0的焦点，且C 0离心率为，求∠DOC 的大小；（2）设动圆C 2：x 2+y 2=t 22与C 0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若t 12+t 22=a 2+b 2，证明：矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积相等．山西省2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．共60分．每小题只有一个选项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题卡中．）1．命题P：2016≤2017，则下列关于命题P说法正确的是．（）A．命题P使用了逻辑联结词“或”，是假命题B．命题P使用了逻辑联结词“且”，是假命题C．命题P使用了逻辑联结词“非”，是假命题D．命题P使用了逻辑联结词“或”，是真命题【考点】逻辑联结词“或”．【分析】根据p或q的定义进行判断即可．【解答】解：2016≤2017等价为2016=2017或2016＜2017，中间使用了逻辑连接词或，为真命题，故选：D【点评】本题主要考查复合命题以及逻辑连接词的判断，比较基础．2．已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．＞B．2a﹣b＜1 C．＞D．lg（a﹣b）＞0【考点】不等式比较大小．【分析】根据对数和指数函数的性质判断B，D，举反例判断A，根据不等式的基本性质判断C．【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，本选项不一定成立；B、∵a＞b，则a﹣b＞0．则2a﹣b＞1，本选项不成立；C、由c2+1≥1，故本选项一定成立；D、∵a﹣b＞0，当＜a﹣b＜1时，本选项不成立故选：C【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．3．某学校高二年级共有编号为1班，2班，3班，a，10班等10个班，每个班均有50个学生，现在需要用系统抽样的方法从每个班中抽取1人，得到一个容量为10的样本．首先，在给全体学生编号时，规定从1班到10班，各个学生的编号从小到大，即按1班从001到050，2班从051到100，3班从101到150，p，以此类推，一直到10班的50个学生编号为451到500．若用简单随机抽样的方法从1班抽到的编号为6号，则在6班中应抽取学生的编号为（）A．12 B．56 C．256 D．306【考点】简单随机抽样．【分析】根据已知计算出组距，可得答案【解答】解：因为是从500名学生中抽出10名学生，组距是50，∵从1班抽到的编号为6号，∴在6班中应抽取学生的编号为6+5×50=256，故选C．【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握系统抽样的概念4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，k的值，可得当k=3时不满足条件k ＜3，退出循环，输出S的值为8，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1满足条件k＜3，执行循环体，S=1，k=1满足条件k＜3，执行循环体，S=2，k=2满足条件k＜3，执行循环体，S=8，k=3不满足条件k＜3，退出循环，输出S的值为8．故选：B．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．5．如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】利用平均数和方差的公式分别计算即可．【解答】解：去掉一个最高分93和一个最低分79后的数据为84，84，86，84，87，共5个数据．所以平均数为．方差为．故选C．【点评】本题主要考查茎叶图是应用以及平均数和方差的公式，要求熟练掌握相应的公式．6．设x，y∈[0，1]，则满足y＞的概率为（）A．1﹣B．C．D．【考点】几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由题意可得，x，y∈[0，1]的区域为边长为1的正方形，面积为1，∵满足y＞，x，y∈[0，1]，其面积S=1﹣，∴x，y∈[0，1]，则满足y＞的概率为1﹣，故选A．【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题．7．已知m＞e＞n＞1＞k＞0（e为自然数2.7…），且x=m，y=lnn，z=logke，则（）A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数函数和幂函数的性质，分别比较x，y，z与0，1的关系即可．【解答】解：由m＞e＞n＞1＞k＞0（e为自然数2.7…），且x=m＞1，0＜y=lnn＜1，z=logke ＜0，则x＞y＞z，故选：A【点评】本题考查了对数函数和幂函数的性质，关键是比较和中间值0，1的关系，属于基础题．8．已知命题p：x2＞x是x＞1的充分不必要条件；命题q：若数列{an }的前n项和Sn=n2，那么数列{an}是等差数列．则下列命题是真命题的是（）A．p∨（￢q） B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∨（￢q）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于命题p：x2＞x，解得x＞1或x＜0，即可判断出真假．命题q：若数列{an}的前n项和Sn =n2，则n=1时，a1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，解出即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：对于命题p：x2＞x，解得x＞1或x＜0，因此x2＞x是x＞1的必要不充分条件，因此是假命题．命题q：若数列{an }的前n项和Sn=n2，则n=1时，a1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时也成立．∴an =2n﹣1，因此数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2，因此是真命题．∴只有P∨q是真命题．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的应用、不等式解法、等差数列的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，OABC是四面体，G是△ABC的重心，G1是OG上一点，且OG=3OG1，则（）A． =++B． =++C． =++D． =++【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据G是三角形ABC的重心，结合空间向量的线性运算法则，即可得出结果．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴=×（+）=（+），∴=+=+（+）=+（﹣+﹣）=（++）=3∴==（++）=++．故选：D．【点评】本题考查了三角形重心的应用以及空间向量的化简与运算问题，是基础题目．10．已知直线l ：y=x ﹣1，双曲线c 1：﹣=1，抛物线c 2：y 2=2x ，直线l 与c 1相交于A ，B两点，与c 2交于C ，D 两点，若线段AB 与CD 的中点相同，则双曲线c 1的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别联立直线方程和双曲线方程，直线方程和抛物线方程，消去y ，运用中点坐标公式，可得AB ，CD 的中点坐标公式，再由双曲线的基本量a ，b ，c 的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：联立直线l ：y=x ﹣1，双曲线c 1：﹣=1，可得（b 2﹣a 2）x 2+2a 2x+a 2﹣a 2b 2=0， 直线l 与c 1相交于A ，B 两点，可得AB 的中点坐标为（﹣，），联立直线l ：y=x ﹣1，抛物线c 2：y 2=2x ， 可得x 2﹣4x+1=0，直线l 与c 2相交于C ，D 两点， 则CD 的中点为（2，1）， 若线段AB 与CD 的中点相同，可得=1，即a 2=2b 2，即为a 2=2（c 2﹣a 2） 即有2c 2=3a 2，则e==．故选：A ．【点评】本题考查直线方程和双曲线方程，抛物线方程联立，注意运用中点坐标公式，考查双曲线的离心率的求法，属于中档题．11．已知四面体ABCD 各棱长都等于1，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则异面直线AF 与CE所成角的余弦值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由题意可得四面体A﹣BCD为正四面体，如图，连接BE，取BE的中点K，连接FK，则FK∥CE，故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角．利用等边三角形的性质、勾股定理、余弦定理即可得出．【解答】解：由题意可得四面体A﹣BCD为正四面体，如图，连接BE，取BE的中点K，连接FK，则FK∥CE，故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角．不妨设这个正四面体的棱长为2，在△AKF中，AF==CE，KF=CE=，KE=BE=，AK==，△AKF中，由余弦定理可得 cos∠AFK==．故选：B．【点评】本题考查了正四面题的性质等边三角形的性质、勾股定理、余弦定理、空间位置关系，考查了推理能力，属于中档题．12．下列四个关于圆锥曲线的命题，正确的是（）①从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；②已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P的轨迹是一条线段；③关于x的方程x2﹣mx+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线﹣=1与椭圆+=1有共同的焦点．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，设焦点（±c，0）到渐近线bx±ay=0的距离等于；②，PM|+|PN|=3＜4，则动点P的轨迹不存在；③，方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根之和大于2，两根之积等于1，故两根中，一根大于1，一根大于0小于1；④，双曲线的焦点是（±5，0），椭圆的焦点是（±，0），故不正确；【解答】解：对于①，设焦点（±c，0）到渐近线bx±ay=0的距离等于，正确；对于②，已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3＜4，则动点P的轨迹不存在，故不正确；对于③，方程x2﹣mx+1=0（m＞2）的两根之和大于2，两根之积等于1，故两根中，一根大于1，一根大于0小于1，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率．正确；对于④，双曲线的焦点是（±5，0），椭圆的焦点是（±，0），故不正确；故选：B【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）13．甲，乙，丙，丁4名学生按任意次序站成一排，则事件“甲站在两端”的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n==24，事件“甲站在两端”包含的基本事件个数m==12，由此能求出事件“甲站在两端”的概率．【解答】解：甲，乙，丙，丁4名学生按任意次序站成一排，基本事件总数n==24，事件“甲站在两端”包含的基本事件个数m==12，∴事件“甲站在两端”的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．14．已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=6，xA 是点A的横坐标，xB是B点的横坐标，又xA +xB=2，则p= 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意知|AB|=xA +xB+p，即p=|AB|﹣（xA+xB），则p的答案可求．【解答】解：由题意知|AB|=xA +xB+p，即p=|AB|﹣（xA+xB）=6﹣2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，是基础题．15．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数且ax+y=z的最小值为时实数a的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值建立条件关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，∵目标函数且ax+y=z的最小值为，此时目标函数为ax+y=，即y=﹣ax+，则此时直线过定点D（0，），由ax+y=z得y=﹣ax+z，则当直线截距最小时，z最小，则等价为可行域都在直线y=﹣ax+的上方，由图象知当直线y=﹣ax+经过A时，满足条件，由得，即A（2，1），此时﹣2a+=1，即2a=﹣，则a=﹣，故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16．函数y=（x＞0）的最小值是．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】令x+1=t（t＞1），则y==，运用配方法，即可得到所求最小值．【解答】解：y=，令x+1=t（t＞1），则y===，当=，即t=3，即x=2时，取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和配方法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）（2016秋•清远期末）设命题p：∀x∈R，x2﹣ax+1≥0，命题q：∃x＞0，＜a，若（￢p）∨q是真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】解法一：由（¬p）∨q是真命题，得以下三种情况：（1）¬p与q都是真命题，（2）¬p是真命题，q是假命题，（3）¬p是假命题，q是真命题，进而得到实数a的取值范围．解法二：由（¬p）∨q是真命题，即（¬p）或q至少一个真，进而得到实数a的取值范围．【解答】（本题满分10分）解：若p真，则有△=a2﹣4≤0，…（2分）即﹣2≤a≤2，．…∴¬P：a＞2或a＜﹣2，…若q真，由，…得a＞2．…（6分）解法一：由（¬p）∨q是真命题，得以下三种情况：（1）¬p与q都是真命题，这时符合条件的实数a＞2；…（7分）（2）¬p是真命题，q是假命题，这时有a＜﹣2；…（8分）（3）¬p是假命题，q是真命题，这时不存在符合条件的实数a．…（9分）综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．…（10分）解法二：由（¬p）∨q是真命题，即（¬p）或q至少一个真…（7分）由 a＞2或a＜﹣2和 a＞2取并集…（8分）得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）…（10分）注：其他解法请参照给分．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，全称命题等知识点，难度中档．18．（12分）（2010•湘桥区校级三模）设函数f（x）=•，其中=（cosx， sin2x），=（2cosx，1）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=2，a=，b+c=3，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】（1）由和的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出•，利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]列出关于x的不等式，求出不等式的解集可得函数f（x）的递增区间；（2）由f（A）=2，把x=A代入化简后的函数f（x）的解析式中求出的函数值等于2，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由a和cosA的值，利用余弦定理列出关于b和c的关系式，与已知b+c的值联立可得bc的值，再由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵=（cosx， sin2x），=（2cosx，1），∴f（x）=•=2cos2x+sin2x，（2分）=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，…当2kπ﹣＜2x+＜2kπ+（k∈Z），即kπ﹣＜x＜kπ+（k∈Z）时，f（x）单调递增，…则f（x）的单调增区间是（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）；…（6分）（包含或不包含区间端点均可，但要前后一致）．（2）∵f（A）=2sin（2A+）+1=2，0＜A＜π，…（7分）∴2A+=，即A=，…（9分），又a=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，…（10分）把b+c=3代入得：bc=2，…（12分）所以△ABC的面积为S=bcsinA=×2×=．…（13分）△ABC【点评】此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．19．（12分）（2016秋•清远期末）某航运公司有6艘可运载30吨货物的A型货船与5艘可运载50吨货物的B型货船，现有每天至少运载900吨货物的任务，已知每艘货船每天往返的次数为A型货船4次和B型货船3次，每艘货船每天往返的成本费为A型货船160元，B型货船252元，那么，每天派出A型货船和B型货船各多少艘，公司所花的成本费最低？【考点】简单线性规划的应用．【分析】设每天派出A型货船和B型货船分别为x艘和y艘，成本为z元，列出约束条件，写出目标函数，画出可行域利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】解：设每天派出A型货船和B型货船分别为x艘和y艘，成本为z元，则…目标函数为z=160x+252y．…满足的可行域如图所示△CDE…（8分）把z=160x+252y变为则得到l是斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．…（9分）在可行域的整点中，点E（5，2）使得z取得最小值．…（11分）所以，每天派出A型货船5艘，B型货船2艘，公司所花的成本费最小，最低成本为1304元元．…（12分）【点评】本题考查线性规划的简单应用，列出约束条件以及目标函数，画可行域利用目标函数的几何意义解题的解题的关键，考查数形结合以及计算能力．20．（12分）（2016秋•清远期末）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于40分的人数；（3）若从样本中随机选取数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率和为1，列出方程求出a的值；（2）根据频率分布直方图，计算成绩不低于60分的频率与频数即可；（3）计算成绩在[50，60）和[90，100]内的人数，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1；…（2分）解得a=0.03；…（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.05+0.01）=0.85，…由于该校高二年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高二年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544（人）；…（6分）（如果没有：“利用样本估计总体的思想，可估计”则扣1分）（3）成绩在[50，60）分数段内的人数为40×0.05=2（人），…（7分）成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4（人），…（8分）若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有；…（9分）如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10；…（10分）则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10分的取法数为；…（11分）故所求概率为．…（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图以及用列举法求古典概型的概率问题，是综合性题目．21．（12分）（2016秋•清远期末）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，M是BC的中点，且BM1⊥BC，平面B1C1CB⊥平面ABC．BC=CA=AA1．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）求二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出B1M⊥平面AB，B1M⊥AC，BC⊥AC，由此能证明平面ACC1A1⊥平面B1C1CB．（2）法一：以M为原点，过M平行于CA的直线为x轴，BC所在直线为y轴，MB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．法二：连接B1C，过点B作BH⊥AB1交AB1于点H，连接C1H，则∠BHC1是二面角B﹣AB1﹣C1的平面角，由此能求出二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）∵B1M⊥BC，平面B1C1CB⊥平面ABC于BC，∴B1M⊥平面ABC．…（1分）∵AC ⊂平面ABC ，∴B 1M ⊥AC ．…（2分） ∵∠ACB=90°，∴BC ⊥AC ．… ∵B 1M ∩BC=M ， ∴AC ⊥平面B 1C 1CB ．…∵AC ⊂平面ACC 1A 1，∴平面ACC 1A 1⊥平面B 1C 1CB ．… 解：（2）解法一：由（1）知B 1M ⊥平面ABC ，以M 为原点，过M 平行于CA 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，MB 1所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC=CA=AA 1=1，由题意可知，．设C 1（x ，y ，z ），由，得．设平面ABB 1的法向量为=（x 1，y 1，1）．则，∴，∴ =（，1）．设平面AB 1C 1的法向量为=（x 2，y 2，1）．则，∴，∴ =（）．…（10分）∴==．…（11分）由图知二面角B ﹣AB 1﹣C 1的平面角为钝角，∴二面角B ﹣AB 1﹣C 1的余弦值为．…（12分）（2）解法二：连接B 1C ，∵AC ⊥平面B 1C 1CB ，∴B 1C 是直线AB 1在平面B 1C 1CB 上的射影． ∵BC=CC 1，∴四边形B 1C 1CB 是菱形．∴B 1C ⊥BC 1．∴AB 1⊥BC 1．…（6分） 过点B 作BH ⊥AB 1交AB 1于点H ，连接C 1H ．∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面BHC 1． ∴AB 1⊥C 1H ．∴∠BHC 1是二面角B ﹣AB 1﹣C 1的平面角．…（7分） 设BC=2，则BC=CA=AA 1=2，∵B 1M ⊥BC ，BM=MC ，∴B 1C=B 1B=2．∴BB 1=B 1C=BC=2．∴∠B 1BC=60°．∴∠BCC 1=120°．∴．…（8分）∵AC ⊥平面BC 1，B 1C ⊂平面BC 1，∴AC ⊥B 1C ．∴．在△BB 1A 中，可求．…（9分）∵B 1B=B 1C 1，B 1H=B 1H ，∴Rt △BB 1H ≌Rt △C 1B 1H ．∴．…（10分）∴．…（11分）∴二面角B ﹣AB 1﹣C 1的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（12分）（2016秋•清远期末）如图，椭圆C 0：+=1（a ＞b ＞0，a ，b 为常数），动圆C 1：x 2+y 2=t 12，b ＜t 1＜a ．．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若C 1经过C 0的焦点，且C 0离心率为，求∠DOC 的大小；（2）设动圆C 2：x 2+y 2=t 22与C 0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若t 12+t 22=a 2+b 2，证明：矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积相等．【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设∠DF 1F 2=θ，则DF 2=2csin θ，DF 1=2ccos θ，利用|DF 1|+|DF 2|=2a ，得到2ccos θ+2csin θ=2a ，然后求解∠DOC=．（2）设，矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积分别为S ，S′，则代入圆的方程，求出面积的表达式，利用t 12+t 22=a 2+b 2，推出，然后推出S=S′，即可得到矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积相等． 【解答】解：（1）设∠DF 1F 2=θ，则DF 2=2csin θ，DF 1=2ccos θ…（1分） ∵|DF 1|+|DF 2|=2a ∴2ccos θ+2csin θ=2a…（2分）即…依题意，，得∴…故∠DOC=．…（2）设，矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积分别为S ，S′则，…（6分）∵，∴…（7分）又，，∴…（8分）即，∴，∵a≠b∴，即…（9分）∴…（10分）==…（11分）==0，∴S=S′，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，整体代入以及转化思想的应用，考查计算能力．。