高中数学(人教A版)必修4：2-5-2同步试题(含详解)
高中数学(人教A版)必修4：2-4-1同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )A ．0B ．2 2C ．4D ．8解析 |2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8，∴|2a －b |＝2 2.答案 B2．已知|a |＝6，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( )A ．6＋ 3B ．6－ 3C ．6D ．7解析 a ·b ＝|a ||b |cos60°＝6×2×cos60°＝6.答案 C3．已知|a |＝2，|b |＝4，a ·b ＝－4，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°解析 cos θ＝a ·b|a ||b |＝－42×4＝－12，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故选D.答案 D4．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a ·b ＝( )A ．3 B.92C ．2 D.12解析 由题意，得|a |cos 〈a ，b 〉＝32，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92.答案 B5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，则向量a 的模为() A ．2 B ．4C ．6D ．12解析 (a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋2a ·b －a ·b －2b 2＝a 2＋a ·b －2b 2＝－32，又a ·b ＝|a ||b |cos 2π3＝|a |×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2|a |， ∴|a |2－2|a |－2×42＝－32.∴|a |＝2，或|a |＝0(舍去)．答案 A6．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________.解析 设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，x 2＋y 2＝45.∴x 2＝9. ∴x ＝±3，又a ＝(－1,2)与b 方向相反．∴b ＝(3，－6)．答案 (3，－6)7．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b|(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________.解析 由|k a ＋b |＝3|a －k b|，得k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2，即(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝1×1cos60°＝12， ∴k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1.答案 17．已知两点A (2,3)，B (－4,5)，则与AB →共线的单位向量是________． 解析 A B →＝(－6,2)，∴|AB →|＝(－6)2＋22＝210，∴与AB →共线的单位向量为±⎝⎛⎭⎫－31010，1010.答案 (－31010，1010)或(31010，－1010) 8．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为________． 解析 ∵|a |＝2，a ·(a ＋b )＝1，∴a 2＋a ·b ＝2＋a ·b ＝1.∴a ·b ＝－1.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12×1＝－22， 又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4. 答案 3π49．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．解 依题意，Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∴|a |2≥4a ·b .设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12， 又0≤θ≤π，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π.即a 与b 的夹角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π.10．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12， ∴|a |2－|b |2＝12.∵|a |＝1， ∴|b |＝ |a |2－12＝22. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121·22＝22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12， ∴|a －b |＝22. ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝52， ∴|a ＋b |＝102. 设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b ||a ＋b |＝1222×102＝55. 教师备课资源1.设a ，b ，c 是三个向量，以下命题中正确的有( )①若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c ；②若a ·b ＝0，则a ＝0，或b ＝0；③若a ，b ，c 互不共线，则(a ·b )c ＝a (b ·c )；④(3a ＋2b )(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析 ①，②，③均错，④正确．答案 A2．△ABC 中，AB →·AC →<0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 C3．已知|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为60°，则向量a 在b 方向上的投影是________，向量b 在a 方向上的投影是________． 解析 向量a 在b 方向上的投影是|a |cos60°＝4×12＝2，向量b 在a 方向上的投影是|b |cos60°＝6×12＝3. 答案 2 34．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.解析 由|a －b |＝2，得|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4.又|a |＝1，|b |＝2，∴2a ·b ＝1.∴|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋1＋4＝6.∴|a ＋b |＝ 6.答案 65．已知a ，b 为两个单位向量，则下面说法正确的是( )A ．a ＝bB ．如果a ∥b ，那么a ＝bC ．a ·b ＝1D ．a 2＝b 2解析 ∵a 与b 是单位向量，∴|a |＝|b |，∴a 2＝b 2.答案 D6．已知两点A (2,3)，B (－4,5)，则与AB →共线的单位向量是________．解析 AB →＝(－6,2)，∴|AB →|＝(－6)2＋22＝210，∴与AB →共线的单位向量为±⎝⎛⎭⎫－31010，1010. 答案 ⎝⎛⎭⎫－31010，1010或⎝⎛⎭⎫31010，－1010。
高中数学人教A版_必修4_各章节同步练习+章节测试汇编300页含答案
A. 420o B. 860o
【答案】B
C. 1060o
D. 1260o
【解析】 4200 3600 600 终边位于第一象限， 8600 23600 1400 终边位于第二象限，选 B.
4 ．已知圆的半径为 ，则 600 圆心角所对的弧长为（ ）
A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3
【答案】B
【解析】由扇形面积公式 S 1 lr ，则 l 4 ，又 l 4 2 ．故本题答案选 B ．
2
r2
8．已知 A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于 90°的角}，那么 A、B、C 关系是（ ）
A.
B.
C.
D. A=B=C
【答案】B
【解析】 锐角必小于
,故选 B.
9．已知 是锐角，则 2 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 小于180o的正角 D. 第一或第二象限角
【答案】C
【解析】 是锐角,∴ 2 0， ，∴ 2 是小于180o的正角.
A. 3
B. 2 3
【答案】C
C. 2 3
D. 2 2 3
【解析】 60o 化为弧度制为 ，由弧长公式有 l r 2 ，选 C.
3
3
3
5．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A. { | 900 1800}
B. { | 2700 k 3600 1800 k 3600, k Z}
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专题一任意 角和弧度制
测试卷（A 卷）
（测试时间：120 分钟 满分：150 分）
最新高中数学(人教A版)必修4：1-5同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．把函数f(x)嘚图像向右平移π12个单位后得到函数y ＝sin ()x ＋π3嘚图像，则f(x)为( )A ．sin ()x ＋712πB ．sin ()x ＋34πC ．sin ()x ＋5π12D ．sin ()x －512π解析 用x －π12代换选项中嘚x ，化简得到y ＝sin ()x ＋π3嘚就是f(x)，代入选项C ，有f(x)＝sin ()x －π12＋5π12＝sin ()x ＋π3.答案 C2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图像关于x ＝π3对称嘚是( ) A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝sin(2x ＋π6) C ．y ＝sin(2x －π3) D ．y ＝sin(2x －π6)解析 当x ＝π3时，y ＝sin ()2x －π6＝sin ()2×π3－π6＝sin π2＝1.∴函数y ＝sin ()2x －π6嘚图像关于x ＝π3对称，且周期T ＝2π2＝π.答案 D3．要将y ＝sin ()2x ＋π4嘚图像转化为某一个偶函数图像，只需将y ＝sin ()2x ＋π4嘚图像( ) A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π8个单位 D ．向右平移π8个单位解析 把y ＝sin ()2x ＋π4嘚图像向左平移π8个单位即得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2()x ＋π8＋π4＝sin ()2x ＋π2＝cos2x嘚图像．因为y ＝cos2x 为偶函数，所以符合题意．答案 C4．已知函数f(x)＝sin ()ωx ＋π3(ω>0)嘚最小正周期为π，则该函数嘚图像( ) A ．关于点()π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点()π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 解析 由题意知ω＝2ππ＝2， ∴f(x)＝sin ()2x ＋π3. 又f ()π3＝sin π＝0，∴图像关于点()π3，0对称． 答案 A5．如下图是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 在一个周期内嘚图像，那么这个函数嘚一个解析式为( )A ．y ＝2sin ()x 2＋π6－1 B ．y ＝2sin ()2x ＋π6－1C ．y ＝3sin ()2x ＋π3－1D ．y ＝3sin ()2x ＋π6－1解析 由图像知A ＝2－－42＝3，b ＝－1， T ＝5π6－()－π6＝π.∴ω＝2πT ＝2，故可设解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)－1，代入点()7π12，－4，得－4＝3sin ()2×7π12＋φ－1， 即sin ()7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2k π－π2(k ∈Z)． 令k ＝1，解得φ＝π3，所以y ＝3sin ()2x ＋π3－1.答案 C6．若f(x)＝2cos(ωx ＋π3)嘚最小正周期不小于2，则正整数ω嘚最大值是________． 解析 由题意得2π|ω|≥2，∴|ω|≤π，又ω为正整数．∴ω嘚最大值为3. 答案 37．把函数y ＝cos ()2x ＋3π5嘚图像上各点向右平移π2个单位，再把横坐标缩小到原来嘚一半，纵坐标扩大到原来嘚5倍，最后把整个图像向下平移4个单位，所得图像嘚解析式为________．解析 第一步得y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2()x －π2＋3π5＝cos ()2x －2π5；第二步得y ＝cos ()4x －2π5；第三步得y ＝5cos ()4x －2π5；最后得y ＝5cos ()4x －2π5－4.答案 y ＝5cos ()4x －2π5－48．若函数y ＝acosx ＋b(a ，b 为常数)嘚最大值为1，最小值为－7，则y ＝3＋absinx 嘚最大值为________．解析 当a>0时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－a ＋b ＝－7，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.当a<0时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝1，a ＋b ＝－7，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴y ＝3＋absinx 嘚最大值为15. 答案 159．设函数f(x)＝sin ()12x ＋φ()0<φ<π2，y ＝f(x)嘚图像嘚一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f(x)嘚单调增区间．解 (1)∵x ＝π4是y ＝f(x)图像嘚一条对称轴， ∴sin ()12×π4＋φ＝±1.∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵0<φ<π2，∴φ＝3π8. (2)由(1)知φ＝3π8， ∴f(x)＝sin ()12x ＋3π8. 由题意得2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即4k π－74π≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z. ∴函数y ＝f(x)嘚单调增区间为[]4k π－74π，4k π＋π4(k ∈Z)．10．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，x ∈R)，在一个周期内嘚图像如下图所示，求直线y ＝3与函数f(x)图像嘚所有交点嘚坐标．解 由图像得A ＝2， T ＝72π－()－π2＝4π.则ω＝2πT ＝12，故y ＝2sin ()12x ＋φ.又12×()－π2＋φ＝0，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ()12x ＋π4.由条件知3＝2sin ()12x ＋π4， 得12x ＋π4＝2k π＋π3(k ∈Z)， 或12x ＋π4＝2k π＋23π(k ∈Z)．∴x ＝4k π＋π6(k ∈Z)，或x ＝4k π＋56π(k ∈Z)． 则所有交点嘚坐标为()4k π＋π6，3或()4k π＋5π6，3(k ∈Z).教师备课资源1.把函数y ＝sinx 嘚图像向右平移π8后，再把各点横坐标伸长到原来嘚2倍，所得到嘚函数嘚解析式为( )A ．y ＝sin ()12x －π8B ．y ＝sin ()12x ＋π8C ．y ＝sin ()2x －π8D ．y ＝sin ()2x －π4解析 把函数y ＝sinx 嘚图像向右平移π8个单位，得到y ＝sin ()x －π8嘚图像，再把各点嘚横坐标伸长到原来嘚2倍，得到y ＝sin ()12x －π8嘚图像，应选A.答案 A2．如图所示是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋2图像嘚一部分，它嘚振幅，周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝43π，φ＝－π6 B ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4 C ．A ＝1，T ＝2π3，φ＝－3π4 D ．A ＝1，T ＝2π3，φ＝－π6 解析 由图像知A ＝12(3－1)＝1. T ＝2×()5π6－π6＝4π3. ∴|ω|＝2πT ＝32.∴y ＝sin ()32x ＋φ＋2，把点()π6，1代入解得φ＝－3π4. 答案 B3．函数y ＝－52sin ()4x ＋2π3嘚图像与x 轴嘚各个交点中，离原点最近嘚一点是________． 解析 令4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)， 则x ＝k π4－π6(k ∈Z)， 令k ＝1，得x ＝π12. 答案()π12，04．要得到y ＝sin ()x 2＋π3嘚图像，需将函数y ＝sin x2嘚图像至少向左平移________个单位长度． 解析 ∵y ＝sin ()x 2＋π3＝sin 12()x ＋2π3，∴将函数y ＝sin x 2嘚图像向左至少平移2π3个单位长度． 答案 2π3。
最新高中数学(人教A版)必修4：2-1同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 由物理知识知，质量、路程、密度、功是标量，而速度、位移、力、加速度是向量．答案 D2．在下列命题中，正确的是( )A ．若|a |>|b |，则a >bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a 与b 共线D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线解析 分析四个选项知，C 正确．答案 C3．设a ，b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A. a ＝bB ．若a ∥b ，则a ＝bC. a ＝b 或a ＝－bD ．若a ＝c ，b ＝c ，则a ＝b答案 D4．设M 是等边△ABC 的中心，则AM →，MB →，MC →是( )A ．有相同起点的向量B ．相等的向量C ．模相等的向量D ．平行向量解析 由正三角形的性质知，|MA |＝|MB |＝|MC |.∴|MA →|＝|MB →|＝|MC →|.故选C.答案 C5．如右图，在四边形ABCD 中，其中AB →＝DC →，则相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →解析 由AB →＝DC →知，四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质知，|DO →|＝|OB →|，且方向相同，故选D.答案 D6．如图，ABCD 为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数是________．解析 如图所示，满足条件的向量有EF →，FE →，HG →，GH →，AQ →，QA →，PC →，CP →共8个．答案 8个7．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是__________．解析 这些向量的始点在同一直线，其终点构成一条直线．答案 一条直线8．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量，其中能使a ∥b 成立的是________．答案 ①③④9．如下图，E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的各边中点，分别指出图中：(1)与向量HG →相等的向量；(2)与向量HG →平行的向量；(3)与向量HG →模相等的向量；。
2023-2024学年人教版高一数学上学期同步专题1-5 全称量词与存在量词【七大题型】含详解
专题1.5全称量词与存在量词【七大题型】【人教A版（2019）】【题型1全称量词命题与存在量词命题的理解】 (1)【题型2全称量词命题与存在量词命题的真假】 (2)【题型3根据命题的真假求参数】 (2)【题型4全称量词命题的否定】 (3)【题型5存在量词命题的否定】 (4)【题型6命题否定的真假判断】 (4)【题型7根据命题否定的真假求参数】 (5)【知识点1全称量词与存在量词】1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【题型1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1】（2022秋·福建莆田·高一校考阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（）A．存在一个实数的平方是负数B．每个四边形的内角和都是360°C．至少有一个整数，使得2+3是质数D．∃∈，2=【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（）A．平行四边形的对边相等B．同位角相等C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数【变式1-2】（2022秋·四川乐山·高一校考阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式D．存在奇数不是素数【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题的个数是（）①任何实数都有平方根;②所有素数都是奇数;③有些一元二次方程无实数根;④三角形的内角和是180°．A．0B．1C．2D．3【题型2全称量词命题与存在量词命题的真假】【例2】（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）下列命题正确的是（）A．l是最小的自然数B．所有的素数都是奇数C．∀∈s sin+2>0D．对任意一个无理数x，2也是无理数【变式2-1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）下列命题中是真命题的为（）A．∃∈N，使4<−3B．∀∈R，2+2>0C．∀∈N，2>2D．∃∈Z，使3−2=0【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（）A．所有菱形的四条边都相等B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈NC．任意x∈R，x2+2x+1>0D．π是无理数【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（）A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数，使2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数，使1>2【题型3根据命题的真假求参数】【例3】（2023春·广东惠州·高一校考阶段练习）已知命题“∀∈−3,3，−2+4+≤0”为假命题，则实数的取值范围是（）A ．(−4,+∞)B ．21,+∞C ．−∞,21D ．−3,+∞【变式3-1】（2023秋·河北邢台·高一校考期末）命题G ∃0∈R ，使得B 02−6B 0++8<0成立.若是假命题，则实数的取值范围是（）A ．0,1B ．0,1C ．−∞,0∪1,+∞D ．−∞,0∪1,+∞【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）命题“∀1≤≤2，2−2≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（）A ．≥1B ．≥3C ．≥2D ．≤4【变式3-3】（2023·高一课时练习）已知命题G ∃∈，B 2+1≤0；命题G ∀∈，2+B +1>0．若，都是假命题，则实数的取值范围为（）A ．≤−2B ．≥2C ．≥2或≤−2D ．−2≤≤2【知识点2全称量词命题与存在量词命题的否定】1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【题型4全称量词命题的否定】【例4】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）命题“∀>0,>”的否定是（）A ．∀>0,≤B ．∃>0,≤C ．∀≤0,>D ．∃>0,>【变式4-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知命题：∀∈，∃∈，使得>，则¬为（）A ．∃∈，∀∉，使得≤B ．∃∉，∀∉，使得≤C ．∃∈，∀∈，使得≤D ．∀∈，∀∈，使得≤【变式4-2】（2023秋·广西河池·高一统考期末）命题“∀∈s 22+3−5>0”的否定是（）A ．∀∈s 22+3−5<0B ．∀∈s 22+3−5≤0C ．∃∈s 22+3−5≤0D ．∃∈s 22+3−5<0【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）命题G ∀∈R ，一元二次方程2−B −1=0有实根，则对命题的真假判断和¬正确的为（）A．真命题，¬G∃∈R，一元二次方程2−B−1=0无实根B．假命题，¬G∃∈R，一元二次方程2−B−1=0无实根C．真命题，¬G∃∈R，一元二次方程2−B−1=0有实根D．假命题，¬G∃∈R，一元二次方程2−B−1=0有实根【题型5存在量词命题的否定】【例5】（2023春·河南·高一校联考开学考试）命题“∃∈s5<3+1”的否定是（）A．∀∈s5<3+1B．∀∈s5>3+1C．∀∈s5≥3+1D．∀∉s5≥3+1【变式5-1】（2023·宁夏银川·校考三模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）A．任意一个奇数是素数B．任意一个偶数都不是素数C．存在一个奇数不是素数D．存在一个偶数不是素数【变式5-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）命题“∃>0，2−B+>0”的否定是（）A．∃>0，2−B+≤0B．∃≤0，2−B+>0C．∀≤0，2−B+≤0D．∀>0，2−B+≤0【变式5-3】（2023·宁夏银川·校考二模）已知命题的否定为“∃∈R,2+1≤1”,则下列说法中正确的是（）A．命题为“∃∈R,2+1>1”且为真命题B．命题为“∀∉R,2+1>1”且为假命题C．命题为“∀∈R,2+1>1”且为假命题D．命题为“∃∈R,2+1≥1”且为真命题【知识点3命题的否定与原命题的真假】1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2.命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【题型6命题否定的真假判断】【例6】（2023秋·河南周口·高一校考期末）写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x-3>x；(3)∀x∈R，有x+1=2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【变式6-1】（2022秋·高一校考课时练习）写出下列命题的否定，并判断真假.(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形.【变式6-2】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．(1)末尾数是偶数的数能被4整除；(2)对任意实数，都有2−2−3<0；(3)方程2−5−6=0有一个根是奇数．【变式6-3】（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃∈R，使4−3>；(3)∀∈R，有+1=2.【题型7根据命题否定的真假求参数】【例7】（2023·高一课时练习）设命题G方程2+2B+4=0有实数根；命题G方程2+2(−2)−3+10=0有实数根．已知p和¬均为真命题，求实数m的取值范围．【变式7-1】（2022秋·高一课时练习）已知命题G∀1≤≤3，都有≥，命题G∃1≤≤3，使≥，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．【变式7-2】（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）已知AR，G∃A1<I2,(K2)K1>0；G∀AR,2+B+4>0(1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围;(2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.【变式7-3】（2022秋·高一课时练习）已知命题p:∀1≤≤2，≤2+1，命题q：∃1≤≤2，一次函数=+的图象在x轴下方．(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围．专题1.5全称量词与存在量词【七大题型】【人教A版（2019）】【题型1全称量词命题与存在量词命题的理解】 (1)【题型2全称量词命题与存在量词命题的真假】 (2)【题型3根据命题的真假求参数】 (2)【题型4全称量词命题的否定】 (3)【题型5存在量词命题的否定】 (4)【题型6命题否定的真假判断】 (4)【题型7根据命题否定的真假求参数】 (5)【知识点1全称量词与存在量词】1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【题型1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1】（2022秋·福建莆田·高一校考阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（）A．存在一个实数的平方是负数B．每个四边形的内角和都是360°C．至少有一个整数，使得2+3是质数D．∃∈，2=【解题思路】根据全称量词命题的定义分析判断.【解答过程】对于ACD，均为存在量词命题，对于B中的命题是全称量词命题.故选：B.【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（）A．平行四边形的对边相等B．同位角相等C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数【解题思路】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题.【解答过程】根据全称量词和存在量词的定义可知，A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.故选：D.【变式1-2】（2022秋·四川乐山·高一校考阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式D．存在奇数不是素数【解题思路】根据存在量词与全称量词的定义即可得到答案.【解答过程】对A选项，任何是全称量词，故A错误；对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误；对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误；对D选项，存在是存在量词，故D正确；故选：D.【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题的个数是（）①任何实数都有平方根;②所有素数都是奇数;③有些一元二次方程无实数根;④三角形的内角和是180°．A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据全称命题的定义即可判断答案.【解答过程】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，故选：D．【题型2全称量词命题与存在量词命题的真假】【例2】（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）下列命题正确的是（）A．l是最小的自然数B．所有的素数都是奇数C．∀∈s sin+2>0D．对任意一个无理数x，2也是无理数【解题思路】根据全称量词命题的知识确定正确答案.【解答过程】0是最小的自然数，所以A选项错误.2是素数，但2是偶数，所以B选项错误.由于−1≤sin≤1，所以∀∈s sin+2>0，C选项正确.2是无理数，但22=2是有理数，所以D选项错误.故选：C.【变式2-1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）下列命题中是真命题的为（）A．∃∈N，使4<−3B．∀∈R，2+2>0C．∀∈N，2>2D．∃∈Z，使3−2=0【解题思路】对于A，通过解不等式判断，对于B，由一个数的平方非负判断，对于C，举例判断，对于D，解方程判断.【解答过程】对于A，由4<−3，得<−34，所以不存在自然数使4<−3成立，所以A错误，对于B，因为∀∈R时，2≥0，所以2+2≥2>0，所以B正确，对于C，当=2时，2=2=4，所以C错误，对于D，由3−2=0，得=23∉Z，所以D错误，故选：B.【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（）A．所有菱形的四条边都相等B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈NC．任意x∈R，x2+2x+1>0D．π是无理数【解题思路】首先判断全称量词命题，再判断真假.【解答过程】选项A、C是全称量词命题，选项C，当=−1时，2+2+1=0，所以选项C是假命题，故选：A.【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（）A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数，使2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数，使1>2【解题思路】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案.【解答过程】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；对选项B：是存在量词命题，当=0时，2=0成立，所以B正确；对选项C：3+−3=0，故C为假命题；对选项D：对于任何一个负数，都有1<0，所以D为假命题.故选：B.【题型3根据命题的真假求参数】【例3】（2023春·广东惠州·高一校考阶段练习）已知命题“∀∈−3,3，−2+4+≤0”为假命题，则实数的取值范围是（）A．(−4,+∞)B．21,+∞C．−∞,21D．−3,+∞【解题思路】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可.【解答过程】因为命题“∀∈−3,3，−2+4+≤0”为假命题，所以−2+4+>0在∈[−3,3]上有解，所以(−2+4+p max>0，而一元二次函数−2+4+在=−42×(−1)=2时取最大值，即−22+4×2+>0解得>−4，故选：A.【变式3-1】（2023秋·河北邢台·高一校考期末）命题G∃0∈R，使得B02−6B0++8<0成立.若是假命题，则实数的取值范围是（）A．0,1B．0,1C．−∞,0∪1,+∞D．−∞,0∪1,+∞【解题思路】根据是假命题，得出¬为真命题，利用恒成立知识求解.【解答过程】因为是假命题，所以¬为真命题，即∀∈R，使得B2−6B++8≥0成立.当=0时，显然符合题意；当≠0时，则有>0，且362−4+8≤0，解得0<≤1.故选：A.【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）命题“∀1≤≤2，2−2≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（）A ．≥1B ．≥3C ．≥2D ．≤4【解题思路】求出当命题“∀1≤≤2，2−2≤0”的取值范围，结合题意可得出合适的选项.【解答过程】命题“∀1≤≤2，2−2≤0”是真命题，则≥=2，因此，命题“∀1≤≤2，2−2≤0”是真命题的一个必要不充分条件是≥1.故选：A.【变式3-3】（2023·高一课时练习）已知命题G ∃∈，B 2+1≤0；命题G ∀∈，2+B +1>0．若，都是假命题，则实数的取值范围为（）A ．≤−2B ．≥2C ．≥2或≤−2D ．−2≤≤2【解题思路】写出命题p ，q 的否定命题，由题意得否定命题为真命题，解不等式，即可得答案.【解答过程】因为命题p 为假命题，则命题p 的否定为真命题，即：∀∈s B 2+1>0为真命题，解得≥0，同理命题q 为假命题，则命题q 的否定为真命题，即∃∈s 2+B +1≤0为真命题，所以=2−4≥0，解得≥2或≤−2，综上：≥2，故选：B.【知识点2全称量词命题与存在量词命题的否定】1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【题型4全称量词命题的否定】【例4】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）命题“∀>0,>”的否定是（）A ．∀>0,≤B ．∃>0,≤C ．∀≤0,>D ．∃>0,>【解题思路】利用含有一个量词的命题的否定求解.【解答过程】解：因为命题“∀>0,>”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即∃>0,≤，故选：B.【变式4-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知命题：∀∈，∃∈，使得>，则¬为（）A．∃∈，∀∉，使得≤B．∃∉，∀∉，使得≤C．∃∈，∀∈，使得≤D．∀∈，∀∈，使得≤【解题思路】由全称命题和特称命题的否定形式，可得解.【解答过程】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题：∀∈，∃∈，使得>的否定¬为：∃∈，∀∈，使得≤.故选：C.【变式4-2】（2023秋·广西河池·高一统考期末）命题“∀∈s22+3−5>0”的否定是（）A．∀∈s22+3−5<0B．∀∈s22+3−5≤0C．∃∈s22+3−5≤0D．∃∈s22+3−5<0【解题思路】根据全称命题的否定，可得答案.【解答过程】由全称命题的否定知原命题的否定为∃∈s22+3−5≤0．故选：C．【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）命题G∀∈R，一元二次方程2−B−1=0有实根，则对命题的真假判断和¬正确的为（）A．真命题，¬G∃∈R，一元二次方程2−B−1=0无实根B．假命题，¬G∃∈R，一元二次方程2−B−1=0无实根C．真命题，¬G∃∈R，一元二次方程2−B−1=0有实根D．假命题，¬G∃∈R，一元二次方程2−B−1=0有实根【解题思路】利用判别式判断根的情况，进而判断命题真假，并写出否命题即可.【解答过程】在一元二次方程2−B−1=0中Δ=2+4>0恒成立，故对任意，方程都有实根，故命题为真命题，¬G∃∈R，一元二次方程2−B−1=0无实根.故选：A.【题型5存在量词命题的否定】【例5】（2023春·河南·高一校联考开学考试）命题“∃∈s5<3+1”的否定是（）A．∀∈s5<3+1B．∀∈s5>3+1C．∀∈s5≥3+1D．∀∉s5≥3+1【解题思路】根据特称命题的否定相关知识直接求解.【解答过程】命题“∃∈s5<3+1”的否定是“∀∈s5≥3+1”.故选：C.【变式5-1】（2023·宁夏银川·校考三模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）A．任意一个奇数是素数B．任意一个偶数都不是素数C．存在一个奇数不是素数D．存在一个偶数不是素数【解题思路】根据存在量词命题G∃∈s op，否定为¬G∀∈s¬op，即可解得正确结果.【解答过程】由于存在量词命题G∃∈s op，否定为¬G∀∈s¬op.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B.【变式5-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）命题“∃>0，2−B+>0”的否定是（）A．∃>0，2−B+≤0B．∃≤0，2−B+>0C．∀≤0，2−B+≤0D．∀>0，2−B+≤0【解题思路】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【解答过程】命题“∃>0，2−B+>0”为特称量词命题，其否定为：∀>0，2−B+≤0.故选：D.【变式5-3】（2023·宁夏银川·校考二模）已知命题的否定为“∃∈R,2+1≤1”,则下列说法中正确的是（）A．命题为“∃∈R,2+1>1”且为真命题B．命题为“∀∉R,2+1>1”且为假命题C．命题为“∀∈R,2+1>1”且为假命题D．命题为“∃∈R,2+1≥1”且为真命题【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案.【解答过程】∵命题的否定为特称命题,∴:∀∈,2+1>1,排除AD;因为当=0时,2+1=1,∴为假命题,排除B.故选:C.【知识点3命题的否定与原命题的真假】1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2.命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【题型6命题否定的真假判断】【例6】（2023秋·河南周口·高一校考期末）写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x-3>x；(3)∀x∈R，有x+1=2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【解题思路】根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．【变式6-1】（2022秋·高一校考课时练习）写出下列命题的否定，并判断真假.(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形.【解题思路】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.【解答过程】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.【变式6-2】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．(1)末尾数是偶数的数能被4整除；(2)对任意实数，都有2−2−3<0；(3)方程2−5−6=0有一个根是奇数．【解题思路】（1）利用全称命题的定义进行判断原命题，又2不能被4整除，可得命题的否定为真；（2）利用全称命题的定义进行判断原命题，又当=3时符合不等式，则命题的否定为真；（3）利用特称命题的定义进行判断原命题，又方程的两根为6和−1，则则命题的否定为假．【解答过程】（1）该命题是全称命题，该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；该命题的否定是真命题．（2）该命题是全称命题，该命题的否定是：存在实数，使得2−2−3≥0；该命题的否定是真命题．（3）该命题是特称命题，该命题的否定是：方程2−5−6=0的两个根都不是奇数；该命题的否定是假命题．【变式6-3】（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃∈R，使4−3>；(3)∀∈R，有+1=2.【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;对(2)举例说明4−3≤不成立;对(3)举例说明+1≠2成立.【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀∈R，有4−3≤．因为当=2时，4×2−3=5>2，所以“∀∈R，有4−3≤”是假命题．（3）命题的否定：∃∈R，使+1≠2．因为当=2时，+1=2+1=3≠2×2，所以“∃∈R，使+1≠2”是真命题．【题型7根据命题否定的真假求参数】【例7】（2023·高一课时练习）设命题G方程2+2B+4=0有实数根；命题G方程2+2(−2)−3+10=0有实数根．已知p和¬均为真命题，求实数m的取值范围．【解题思路】分别求解p和¬为真命题时的m的取值，取交集可得答案.【解答过程】当命题G方程2+2B+4=0有实数根为真命题时，Δ=42−16≥0，解得≥2或≤−2；当命题G方程2+2(−2)−3+10=0有实数根为真命题时，4−22−410−3≥0，解得≥3或≤−2，即¬为真命题时，−2<<3，所以p和¬均为真命题时∈2,3.【变式7-1】（2022秋·高一课时练习）已知命题G∀1≤≤3，都有≥，命题G∃1≤≤3，使≥，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．【解题思路】根据¬为假命题，可判断为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可；【解答过程】因为¬为假命题，所以为真命题，命题G∀1≤≤3，都有≥，为真命题，则≥max，即≥3命题G∃1≤≤3，使≥，为真命题，则≥min，即≥1因为命题、同时为真命题，所以≥3≥1，解得≥3，故实数m的取值范围是3,+∞．【变式7-2】（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）已知AR，G∃A1<I2,(K2)K1>0；G∀AR,2+B+4>0(1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围;(2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.【解题思路】（1）根据特称命题的否定为全称命题可写出否定，并转化为K2≤1对任意A1<I2恒成立即可求解；（2）命题为真，则K52，命题为真，则−4<I4，利用、有且只有一个为真时，求解的取值范围.【解答过程】（1）由题意，的否定为G∀A1<I2,(K2)K1≤0，若的否定为真命题，则K2≤1对任意A1<I2恒成立，所以只需K2≤12，解得o52；（2）由（1）可得，当的否定为真命题时，o52，所以当为真命题时，K52.若为真命题，则对于任意的AR，2+B+4>0恒成立，因此只需Δ=2−16<0，解得−4<I4.因为，中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况： ①若为真命题，为假命题，则有K52o−4或K52p4，解得p4； ②若为假命题，为真命题，则有o52−4<I4，解得−4<o52.综上可知，实数的取值范围是−4<o52或p4.【变式7-3】（2022秋·高一课时练习）已知命题p:∀1≤≤2，≤2+1，命题q：∃1≤≤2，一次函数=+的图象在x轴下方．(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围．【解题思路】（1）由全称命题的否定与真假判断求解即可；（2）由全称命题与特称命题的真假判断求解即可【解答过程】（1）∵命题p的否定为真命题，命题的否定为：∃1≤≤2，>2+1，∴2+1<2，∴−1<<1．（2）若命题p为真命题，则2+1≥2，即≥1或≤−1．∵命题q的否定为真命题，∴“∀1≤≤2，一次函数=+的图象在x轴及x轴上方”为真命题．∴1+≥0，即≥−1．∴实数a的取值范围为1,+∞∪−1．。
高中数学(人教A版)必修4：2-4-2同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．若a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.3365 C ．－3365D ．－6365解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意cos θ＝a ·b |a ||b |＝3×5＋4×125×13＝6365.答案 A2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，y )，a ⊥b ，则y 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2答案 D3．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确 解析 AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，BC →＝(－4，－2)，∴|AB →|＝10，|AC →|＝10，|BC →|＝20.∴|AB →|＝|AC →|，且|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2＝20. ∴△ABC 为等腰直角三角形，应选C. 答案 C4．已知a ＝(0,1)，b ＝(33，x )，向量a 与b 的夹角为π3，则x 的值为( )A ．±3B ．±3C ．±9D ．3解析 cos π3＝a ·b |a |·|b |＝x 27＋x2， ∴2x ＝27＋x 2，且x >0，∴3x 2＝27，∴x ＝3. 答案 D5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )． 又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0， ∴m ＝－79，n ＝－73.答案 D6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，λ)，且a 与b 夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析 a ·b ＝2－2λ，|a |＝5，|b |＝4＋λ2，由a 与b 的夹角为锐角，得a ·b|a ||b |＝2－2λ5·4＋λ2>0，即2－2λ>0，∴λ<1.当2－2λ5·4＋λ2＝1时，解得λ＝－4，此时a 与b 夹角为0°，不合题意．∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)． 答案 (－∞，－4)∪(－4,1)7．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(－1,2)，且a ＋b ＝(1,3)，则|a －2b |等于________． 解析 a ＋b ＝(x －1，y ＋2)＝(1,3)， ∴x ＝2，y ＝1，∴a ＝(2,1)． 又|a |＝5，|b |＝5，a ·b ＝0， ∴|a －2b |2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25. ∴|a －2b |＝5. 答案 58．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．(用数字作答)解析 由题意知|a |＝1，设a 与b 的夹角为θ，则 b ·(a －b )＝b ·a －b 2＝0， ∴b 2＝b ·a ，∴|b |2＝|a ||b |cos θ.∴|b |(|b |－cos θ)＝0，∴|b |＝0，或|b |＝cos θ. ∵θ∈[0，π]，∴|b |∈[0,1]． 答案 [0,1]9．已知四点坐标：A (－1,3)，B (1,1)，C (4,4)，D (3,5)．(1)求证：四边形ABCD 是直角梯形； (2)求cos ∠DAB 的值．解 (1)证明：AB →＝(2，－2)，DC →＝(1，－1)，BC →＝(3,3)， ∴AB →＝2DC →，∴AB →∥DC →. 又∵AB →·BC →＝2×3＋(－2)×3＝0， ∴AB →⊥BC →.又∵|AB →|≠|DC →|，∴四边形ABCD 为直角梯形． (2)∵AD →＝(4,2)，AB →＝(2，－2)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22， |AD →|＝42＋22＝2 5.又∵AB →·AD →＝2×4＋(－2)×2＝4， ∴cos ∠DAB ＝AB →·AD →|AB →||AD →|＝422×25＝1010.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． ∴|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11， ∴t ＝－115.教师备课资源1.已知a ＝(2，－3)，b ＝(1，－2)，且c ⊥a ，b ·c ＝1，则c 的坐标为( ) A ．(3，－2) B ．(3,2) C ．(－3，－2)D ．(－3,2)解析 采用验证的方法知，c ＝(－3，－2)满足c ·a ＝－6＋6＝0，所以c ⊥a ，b ·c ＝1×(－3)＋(－2)×(－2)＝1.因此可选C.答案 C2．下列4个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a |，|b |，|c |为边一定能构成三角形． ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. ④(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .把你认为正确的序号填在横线上__________．解析 ①中共线的单位向量当方向相反时，不成立．②中当a ＋b 与c 共线时，不成立．③正确，由向量的几何意义可知．④正确．应填③④.答案 ③④3．若向量a ≠0，b ＝a|a |，c ＝(cos θ，sin θ)，则(b ＋c )·(b －c )＝________.解析 (b ＋c )·(b －c )＝b 2－c 2 ＝|b |2－|c |2＝1－1＝0.答案04．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，当λ为何值时，a＋λb与a垂直？解∵a＝(1,0)，b＝(1,1)，∴a＋λb＝(1,0)＋λ(1,1)＝(1＋λ，λ)．由于a＋λb与a垂直，∴1＋λ＋0＝0，∴λ＝－1.∴当λ＝－1时，a＋λb与a垂直．5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的射影的数量为()A.13B.13 5C.655 D.65解析∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝13，|b|＝65，∴cosθ＝a·b|a||b|＝5 5.∴a在b上的射影为|a|cosθ＝13×55＝655.答案 C。
高中数学(人教A版)必修4：3-2同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．已知cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos α2的值为( ) A.55B ．－55C.255D ．－255解析 ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0.由cos α＝2cos 2α2－1＝－35，得cos 2α2＝15，∴cos α2＝－55.答案 B2．设α∈(π，2π)，则 1－cos (π＋α)2等于( ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析 ∵α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α2<0. ∴1－cos (π＋α)2＝1＋cos α2＝|cos α2|＝－cos α2. 答案 D3．函数y ＝8sin x cos x cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A ．T ＝π，A ＝4 B ．T ＝π2，A ＝4C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝π2，A ＝2解析 y ＝8sin x cos x cos2x ＝4sin2x cos2x ＝2sin4x ， ∴最小正周期T ＝2π4＝π2，最大值A ＝2.答案 D4．若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝43，tan β＝17，则α－β的值为( )A.π3B.π4 C.π6D.π8解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝43－171＋43×17＝1.∵0<α，β<π2，∴－π2<α－β<π2，∴α－β＝π4.答案 B5．若f (x )＝cos2x ＋8sin x ，则它的最大值和最小值分别是( ) A ．最大值是9，最小值是－9 B ．最大值不存在，最小值为7 C ．最大值是7，最小值是－9 D ．最大值是7，最小值不存在解析 f (x )＝cos2x ＋8sin x ＝1－2sin 2x ＋8sin x ＝－2(sin 2x －4sin x )＋1＝－2(sin x －2)2＋9. ∵x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝1时，f (x )有最大值7； 当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9. 答案 C6．函数y ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －32的最大值为________．解析 y ＝32sin2x ＋3×1＋cos2x 2－32＝32sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤ 3. 答案37．化简：sin A ＋sin2A1＋cos A ＋cos2A ＝________.解析 原式＝sin A ＋2sin A cos Acos A ＋2cos 2A＝sin A (1＋2cos A )cos A (1＋2cos A )＝tan A .答案 tan A8．若tan x ＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析 2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan x tan x ＋1 ＝1－22＋1＝22－3. 答案 22－39．在锐角△ABC 中，求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 证明 ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， ∴∠A ＋∠B ＝π－∠C . ∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )． ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C . ∴tan A ＋tan B ＝－tan C (1－tan A tan B )． ∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .10．若α，β为锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，求tan(α－β)．解 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加，得2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12.即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12<0.∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74. ∴tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73.教师备课资源1.下列各式中值为12的是( )A ．sin15°cos15°B ．2cos 2π12－1C.1＋cos30°2D.tan 22.5°1－tan 2 22.5解析 sin15°cos15°＝12sin30°＝14.2cos 2π12－1＝cos π6＝32. 1＋cos30°2＝ 1＋322＝2＋32. tan22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan22.5°1－tan 222.5°＝12tan45°＝12，故选D. 答案 D2．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析 因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin2x ，所以为奇函数，T ＝2π2＝π.故选A. 答案 A3．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．解析 f (x )＝cos2x ＋sin2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以最小值为1－ 2. 答案 1－ 2 4．求下列各式的值． (1)tan20°＋4sin20°； (2)cos12°cos24°cos48°cos96°.分析 在(1)中切化弦、通分变形求解，在(2)中，注意式子中所给角为倍数关系，且为余弦，可都乘除sin12°，利用倍角公式可解．解 (1)原式＝sin20°＋2sin40°cos20°＝sin20°＋2sin (60°－20°)cos20°＝sin20°＋2(sin60°cos20°－cos60°sin20°)cos20°＝3cos20°cos20°＝ 3.(2)原式＝sin12°cos12°cos24°cos48°cos96°sin12°＝12·sin24°cos24°cos48°cos96°sin12° ＝14·sin48°cos48°cos96°sin12° ＝18·sin96°cos96°sin12° ＝116·sin192°sin12° ＝116·－sin12°sin12°＝－116. 5．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，若a ·b ＝85，且π4<x <π2，求sin2x (1＋tan x )1－tan x 的值．解 a ·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos x ＋22sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 又a ·b ＝85，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝45. 又sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝45. ∵π4<x <π2，∴π2<x ＋π4<3π4，0<x －π4<π4. ∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝35. ∴1＋tan x 1－tan x＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－43. sin2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝35×⎝⎛⎭⎫－35＋45×45＝725. ∴sin2x (1＋tan x )1－tan x＝725×⎝⎛⎭⎫－43＝－2875.。
高中数学(人教A版)必修4：2-2-3同步试题(含详解)
高中数学(人教A 版)必修4同步试题1．给出下列四个结论 ①AB →－AC →＝BC →； ②0(a )＝0； ③0(0)＝0；④若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b (k ≠0)，则a ，b 方向相同． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 ①AB →－AC →＝CB →，∴①错．②0(a )＝0，∴②错．③0(0)＝0正确．④a 与b 共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.答案 B2．下列叙述不正确的是( )A ．若a ，b 共线，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . B. b ＝3a (a 为非零向量)，则a ，b 共线 C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a ＋2b ，则m ∥nD ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c解析 判断a 与b 共线的方法是：存在实数λ，使a ＝λb .在A 中，若b ＝0时不成立．B 正确．在C 中，m ＝2n ，∴m ∥n ，∴C 正确．D 也正确，所以应选A.答案 A3．下列说法不正确的是( )A ．若AO →＝34OB →，则A ，O ，B 三点共线B ．若AO →＝34OB →，则AO →∥OB →C ．若|λa |＝|λ||a |(λ∈R )，则λa 与a 方向相同D ．若a ＝4m ＋n ，b ＝m ＋n 则a －b ＝3m 解析 A 、B 、D 正确，C 错．应选C. 答案 C4．若AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →为( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －23b D ．－23a ＋23b解析 如右图所示，设AD 与BE 相交于O ，则AO →＝23AD →，OD →＝13AD →，BO →＝23BE →，OE →＝13BE →.∴BC →＝2BD →＝2(BO →＋OD →)＝2(23BE →＋13AD →)＝43b ＋23a ，应选B.答案 B5．已知O 是直线AB 外一点，C ，D 是线段AB 的三等分点，且AC ＝CD ＝DB .如果OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，那么OD →等于( )A ．e 1＋2e 2 B. 2e 1＋e 2 C.23e 1＋13e 2 D.13e 1＋23e 2 解析 如图所示，OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13OA →＋23OB →＝e 1＋2e 2，应选A.答案 A6．已知|a |＝4，b 与a 的方向相反，且|b |＝2，a ＝m b ，则实数m ＝________. 答案 －27．若a ，b 为已知向量，且23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.解析 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，83a －2c ＋15c －12b ＝0， ∴13c ＝12b －83a ，∴c ＝1213b －839a .答案1213b －839a 8．有下面四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③对于实数m 和向量a ，b ，若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④对于实数m ，n 和非零向量a ，若m a ＝n a ，则m ＝n . 其中真命题有________．解析 由实数与向量积的运算知，①、②、④正确． 答案 ①②④9．如图所示，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB .DC 与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.解 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10．已知：AD →＝3AB →，AE →＝3AC →，且B ，C ，D ，E 不共线． 求证：BC ∥DE .证明 ∵AD →＝3AB →，AE →＝3AC →， ∴DE →＝AE →－AD →＝3AC →－3AB → ＝3(AC →－AB →)＝3BC →. ∴BC →与DE →共线．又∵B ，C ，D ，E 不共线． ∴BC ∥DE . 教师备课资源1.若5AB →＋3CD →＝0，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形D ．等腰梯形解析 由于5AB →＋3CD →＝0知，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴此四边形为梯形．又|AD →|＝|BC →|，∴梯形ABCD 为等腰梯形．答案 D2．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部 B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上 D ．BC 边所在的直线上 解析 ∵CB →＝λP A →＋PB →， ∴CB →－PB →＝λP A →， 即CB →＋BP →＝λP A →. ∴CP →＝λP A →.∴C ，P ，A 三点共线． ∴点P 在AC 边所在的直线上． 答案 B3．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足5x a ＋(8－y )b ＝4x b ＋3(y ＋9)a ，求x ，y . 解 ∵a 与b 不共线，根据向量相等得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＝3y ＋27，8－y ＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－4. ∴x ＝3，y ＝－4.4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解析 ∵2OA →＋OB →＋OC →＝0，而OB →＋OC →＝2OD →，∴2OA →＋2OD →＝0，即OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →. 答案 A5．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则表示a ，b ，c 的有向线段能否一定构成三角形？ 错解 在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，再以B 为起点作BC →＝b ，则由向量的三角形法则知，AC→＝a ＋b ，又a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )＝－AC →＝CA →.因此，当a ＋b ＋c ＝0时，表示a ，b ，c 的有向线段一定能构成三角形．错因分析 上述解法只考虑了一般情况，而忽视了向量共线的特殊情况．正解 (1)当a ，b 不共线时，即为上述解法，这时表示a ，b ，c 的有向线段一定能构成三角形． (2)当a ，b 共线时，由a ＋b ＋c ＝0知，c ＝－(a ＋b )．显然c 也与a ，b 共线，这时表示a ，b ，c 的有向线段不能构成三角形．综上知，若非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则表示a ，b ，c 的有向线段不一定能构成三角形．。
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高中数学(人教A 版)必修4同步试题
1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某一物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )
A ．(－1，－2)
B ．(1，－2)
C ．(－1,2)
D ．(1,2)
解析 由题意知，F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0. 又F 1＋F 2＋F 3＝(－1，－2)，∴F 4＝(1,2)． 答案 D
2．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( )
A ．(8,2)
B ．(9,1)
C ．(－1,9)
D ．(3,1) 解析 由已知得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)． ∴OF →＝OA →＋AF →
＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)． 答案 B
3．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )
A ．53N
B ．5N
C ．10N
D ．52N 解析 如下图所示，|F 1|＝|F |cos60°＝10×12
＝5N ，应选B.
答案 B
4．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v 1，水速为v 2，已知船可垂直到达对岸，则( )
A ．|v 1|<|v 2|
B ．|v 1|>|v 2|
C ．|v 1|≤|v 2|
D ．|v 1|≥|v 2|
解析 船速v 1应大于水速v 2，即|v 1|>|v 2|. 答案 B
5．当两人提重为|G |的书包时，夹角为θ，用力为|F |，则当|F |最小时，θ应为( ) A ．0 B.π2 C.2π3 D. π 答案 A
6．河水从东向西流，流速为2m /s ，一轮船以2m/s 垂直水流方向向北横渡，则轮船实际航行的方向是________，航速是________．
解析 如图所示，记水速|v 1|＝2m /s ，船速|v 2|＝2m/s.
v 表示船实际航行的速度，则由图知：|v |＝22＋22＝22(m/s)． 方向与水流方向成135°.
答案 东北方向 22m/s
7．如下图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力大小是________．
解析 设每根绳子的拉力为f ，则2|f |cos60°＝10. ∴|f |＝10(N)． 答案 10N
8．已知速度v 1＝(1，－2)，速度v 2＝(3,4)，则合速度v ＝________. 答案 (4,2)
9．一条河宽为400m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20km /h ，水速为12km/h ，求船到达B 处所需的时间．
解 如右图所示，设|v 1|＝12km /h ，|v 2|＝20km/h ，船实际航行的速度为v ，则 |v |＝
202－122＝16(km/h)．
|v |＝16km/h ＝
800
3
(m/min)． 所需时间t ＝400×3
800
＝1.5(min)．
10．平面上有两个向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P ，从P 0(－1,2)开始沿着与向量e 1＋e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e 1＋e 2|，另一动点Q ，从点Q 0(－2，－1)出发，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e 1＋2e 2|.
设P ，Q 在t ＝0秒时分别在P 0，Q 0处，则当PQ →⊥P 0Q 0→
时，t 等于多少秒． 解 ∵P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)， ∴P 0Q 0→
＝(－1，－3)．
又∵e 1＋e 2＝(1,1)，∴|e 1＋e 2|＝ 2. ∵3e 1＋2e 2＝(3,2)，∴|3e 1＋2e 2|＝13.
∴当t 时刻时，点P 的位置为(－1＋t,2＋t )，点Q 位置为(－2＋3t ，－1＋2t )． ∴PQ →
＝(－1＋2t ，－3＋t )． ∵P 0Q 0→⊥PQ →，
∴(－1)×(－1＋2t )＋(－3)×(－3＋t )＝0. ∴t ＝2.
即当PQ →⊥P 0Q 0→
时所需时间为2秒.
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1.初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为1
2v 0，则发射角应为( )
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．15°
解析 炮弹的水平方向的速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0，
∴cos θ＝1
2，∴θ＝60°.
答案 A
2．一艘船以5km /h 的速度行驶，同时河水的速度是2km/h ，则船的实际航行速度的范围是( )
A ．(3,7)km /h
B ．[3,7)km/h
C ．(3,7]km /h
D ．[3,7]km/h
解析 船在逆水中的速度为(5－2)＝3km /h ，船在顺水中的速度为(5＋2)＝7km/h. 答案 D
3．在光滑地面上，用与水平方向成30°角的力F 拉物体A ，移动了10m ，若|F |＝10N ，则F 对物体所做的功为________．
解析 W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos30°＝10×10×3
2
＝503(J)． 答案 503J
4．某人先位移向量a ：“向东走5km ”，接着再位移向量b ：“向西走3km ”，则a ＋b 表示( )
A ．向东走2km
B ．向西走2km
C ．向东走8km
D ．向西走8km 答案 A
5．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由A (10,5)移动到点B (8,2)． 试求：(1)F 1，F 2分别对质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． 解 AB →
＝(8,2)－(10,5)＝(－2，－3)． (1)W 1＝F 1·AB →
＝(3,4)·(－2，－3)＝－18 (J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－2，－3)＝3(J)． (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB → ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－2，－3) ＝(9，－1)·(－2，－3) ＝－15(J)．。