2014广州调研(文数)【含答案--全WORD--精心排版】

广州市2014届高三年级调研测试数 学（文 科）一．选择题： 1．函数y =）A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．[)4,+∞2．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A ．若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12<x C ．若11-<>x x ，或，则12>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3．如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）A ．85，84B ．84，85C ．86，84D ．84，864．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数22i z +的虚部是（ ） A ．i - B ．1- C ．i D ．1 5．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈<Z ，B ⊆N ，则AB 不可能．．．是（ ） A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．∅6．若实数x ，y 满足不等式组220,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是（ ） A ．15 B ．105 C ．120 D ．7208．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（ ） A．4+ B． C．4 D．8+9．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 10．函数()sin f x x =[)0,+∞内（ ）A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点 7 8 994 4 6 4 73图111．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．13．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足90>∠AMB 的概率为_______． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M．若OC ，1OM =，则MN 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则yx的取值范围是 ． 三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 2A C +=（1）求cos B 的值；（2）若3a =，b =c 的值．17．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分（1）求正整数，，的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人， 则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？ （3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率． ABCOM N图4图518．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．19．（本小题共14分）设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++=，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）在圆422=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点M 满足MD PD 2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求BA EA ⋅的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．广州市2014届高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准50分．二．填空题：1112．3 13．8π14．115．⎡⎢⎣⎦三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC中，A B C++=π．…………1分，所以cos cos22A C Bπ+-=…………2分sin2B==．…………3分，所以2cos12sin2BB=-…………5分，13=．…………7分（2）因为3a=，b=1cos3B=，由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，…………9分得2210c c-+=．…………11分，解得1c=．…………12分17．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a=人．…………1分且0.08251000.02b=⨯=人．…………2分，总人数252500.025N==⨯人．…………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，…………4分，第2组的人数为2561150⨯=，…………5分第3组的人数为10064150⨯=，…………6分，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．…………7分（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为1234,,,C C C C，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(,)A B，1(,)A C，2(,)A C，3(,)A C，4(,)A C，1(,)B C，2(,)B C，3(,)B C，4(,)B C，12(,)C C，13(,)C C，14(,)C C，23(,)C C，24(,)C C，34(,)C C，共有15种…………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C，2(,)A C，3(,)A C，4(,)A C，1(,)B C，2(,)B C，3(,)B C，4(,)B C，共有8种…………11分，所以恰有1人年龄在第3组的概率为815…………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB∆中，D是AB的中点，所以MD AB⊥……1分因为M是PB的中点，D是AB的中点，所以//MD PA，故PA AB⊥…………2分，又PA AC⊥，AB AC A=，,AB AC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC…………4分因为⊂BC平面ABC，所以PA BC⊥…………5分所以⊥BC 平面PAC …………7分（2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h …………8分，因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==…………9分，因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =． 所以1111143322222BCD ABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=…………10分 因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥．在ABC ∆中，1522CD AB ==，所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD …………11分，因为MCD B BCD M V V --=…………12分 所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即11333h ⨯=…………13分，所以512=h ． 故点B 到平面DCM 的距离为512…………14分 解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H …………8分 由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ，所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥． 因为CD MD D =，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分 因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==． 方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，则12DE AC =因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯…………12分，所以34122552BC DE BH CD ⨯⨯===． 方法2：在Rt △BHD 中，222254BH DH BD +==．①…………11分在Rt △BHC 中，因为4BC =，所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．②…………12分由①，②解得125BH =．故点B 到平面DCM 的距离为512…………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为321212222nn a a a a n -++++=，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =…………1分，当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=-，②…………2分 ①－②得，122n n a-=……4分，所以2n n a =……5分，因为12a =，适合上式，所以2n n a =()*n ∈N ……6分所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…12分11121n +=--…14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由2=知点M 为线段PD 的中点…………1分 设点M 的坐标是(,)x y ，则点P 的坐标是(),2x y …………2分 因为点P 在圆422=+y x 上，所以()2224x y +=………3分，所以曲线C 的方程为1422=+y x ………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ，由2=得，x x =0，y y 20=…………1分 因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上， 所以42020=+y x ． ①…………2分把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ………3分，所以曲线C 的方程为1422=+y x ………4分 （2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅………5分，所以()2EA EB EA EA BA EA =-⋅=⋅………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-…………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++-221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+…………10分 因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤…………11分，所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭…………13分所以⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，…………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞…………1分且1()2(2)f x ax a x'=-+-…………2分，因为()f x 在1x =处取得极值，所以()()11220f a a '=-+-=． 解得1a =-…………3分，当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=，当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-…………4分（2）因为2a a <，所以01a <<…………5分，由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-．(0,)x ∈+∞10ax +>10x <<()0f x '>1x >()0f x '<所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减…………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-…………9分 ②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即12a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭…………11分③当212a ≤1a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上递减，所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-……13分综上所述：当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当122a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当12a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-…………14分。