14.7等边三角形
14.7-等边三角形
课题：等边三角形(1课时)教学目标1、掌握等边三角形的性质和判定方法,并能运用等边三角形的性质和判定方法解决有关数学问题．2、通过讨论，发现和归纳等边三角形的判定方法，并用演绎推理的方法进行证实．3、通过对等边三角形有关知识的学习，获得探究学习和数学应用的体验，初步领悟数学分类讨论思想,提高分析问题的能力.教学重点和难点1、对等边三角形性质和判定方法的学习及其应用．2、分类讨论学习等边三角形的判定方法．教学设计教学过程师生活动一、情境引入1、联结飞机螺旋桨的外端，得到的三角形是怎样的特殊三角形二、新课探究探索：（1）等边三角形有哪些性质根据什么条件可判定一个三角形是等边三角形2、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且等于60°。
符号表达式：∵△ABC是等边三角形（或∵AB=AC=BC）,∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的三个内角都等于60°).3、根据什么条件可判定一个三角形是等边三角形4、等边三角形的判定三个内角都相等的三角形是等边三角形。
符号表达式：在△ABC中，∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）哟一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
符号表达式：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°∴△ABC是等边三角形（有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形）例题：如图，在等边三角形ABC 的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，联结AD、BE，试说明BE=AD的理由。
巩固练习：1、如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC延长线上一点，CE平分∠ACD，CE=BD，试说明△DAB与△EAC全等的理由。
（由条件产生联想，挖掘隐含的条件，说说你发现了什么）2、如图，已知点D、E、F分别在AB、BC、CA上，△DEF是等边三角形，且∠1=∠2=∠3, △ABC是等边三角形吗试说明理由。
等边三角形课件
等边三角形的性质与证明一、等边三角形的定义等边三角形，又称正三角形，是一种具有三条边都相等的三角形。
在等边三角形中，每个角都是60度，这是由三角形内角和定理直接得出的。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，因为它的三条边都相等，所以它也满足等腰三角形的性质。
二、等边三角形的性质1.角的性质：等边三角形的三个角都相等，每个角的大小为60度。
这是因为三角形的内角和为180度，而在等边三角形中，三个角都相等，所以每个角的大小为180度除以3，即60度。
2.边的性质：等边三角形的三条边都相等。
这是等边三角形的基本性质，也是它与其他三角形区别的最大特点。
3.对称性质：等边三角形具有三条对称轴，分别是三条中线。
这是因为等边三角形的每条中线都可以将三角形分成两个面积相等的小三角形，所以中线也是高线和中位线。
4.周长和面积：等边三角形的周长是任意一边长的三倍，面积可以通过公式S=(a^2√3)/4计算，其中a为边长。
三、等边三角形的证明1.角的证明：通过三角形内角和定理，我们可以得出等边三角形的每个角都是60度。
具体证明如下：设等边三角形的三个角分别为A、B、C，边长为a。
根据三角形内角和定理，有：A+B+C=180度由于三角形ABC是等边三角形，所以有：A=B=C将A=B=C代入上述等式中，得到：A+A+A=180度3A=180度A=B=C=60度2.边的证明：等边三角形的三条边都相等，这是由等边三角形的定义直接得出的。
具体证明如下：设等边三角形的三个边分别为a、b、c。
由于三角形ABC是等边三角形，所以有：a=b=c四、等边三角形的应用等边三角形在日常生活和工程应用中有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造、地理信息系统等领域。
等边三角形的特点使其在一些特定情况下具有特殊的优势，例如在等边三角形的网格划分中，每个网格的面积相等，这对于一些需要均匀划分的区域非常有用。
总结：等边三角形是一种具有三条边都相等的三角形，它的每个角都是60度。
等边三角形优秀PPT课件
04
等边三角形在生活中的应用
建筑领域应用
建筑设计
等边三角形在建筑设计中常被用作基本的几何形状，创造出 独特而稳定的结构。例如，在穹顶、尖顶和拱门等建筑元素 中，等边三角形能够提供均匀的支撑力，并赋予建筑物动感 和美感。
结构设计
等边三角形的稳定性使其在建筑结构设计中具有优势。工程 师经常利用等边三角形的特性来构建桥梁、塔楼和其他需要 坚固支撑的建筑结构。
等边三角形的判定
关键知识点总结
01பைடு நூலகம்
若三角形三边长度相等，则它是 等边三角形。
02
若三角形有两个内角为60°，则它 是等边三角形。
易错难点剖析
1 2
与等腰三角形的混淆
学生容易将等边三角形与等腰三角形混淆。等腰 三角形有两边长度相等，而等边三角形三边长度 均相等。
角度计算错误
在等边三角形中，每个内角都是60°。学生在计 算角度时可能会出错，导致后续问题无法解决。
性质总结
性质一
等边三角形的三个内角 均为60°。
性质二
等边三角形的任意一边 上的中线、高线和角平 分线互相重合（三线合
一）。
性质三
等边三角形是轴对称图 形，它有三条对称轴， 分别是三条边的垂直平
分线。
性质四
等边三角形在平面内绕 其重心旋转120°后，能 够和原来的图形重合。
02
等边三角形判定方法
周长计算公式推导
等边三角形周长公式
P = 3a，其中a为等边三角形的边长。
公式推导
等边三角形的三条边长度相等，因此周长为3倍的边长，即P = 3a。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
已知等边三角形的边长为5cm ，求其面积和周长。
等边三角形PPT课件
03
02
特点
04
三个内角均为60°。
任意两边之和大于第三边。
05
06
任意一边都小于另外两边之和。
与其他三角形关系
03
与等腰三角形的关系
与直角三角形的关系
与其他三角形的比较
等边三角形是特殊的等腰三角形，其中两 条等腰边长度相等且等于第三边。
等边三角形不是直角三角形，因为其三个 内角均为60°，不满足直角三角形的定义 （有一个90°的内角）。
相比于其他三角形，等边三角形的三边长 度相等，三个内角也相等，具有独特的对 称性和稳定性。
性质总结
对称性
等边三角形具有轴对称性，即关于其三 条中垂线（同时也是角平分线和高线） 中的任意一条都具有对称性。
稳定性
由于三边长度相等，等边三角形在几何 形状中具有很高的稳定性，不易变形。
内角和
等边三角形的内角和为180°，每个内角 均为60°。
根据三角形面积公式 $S = frac{1}{2} times text{ 底} times text{高}$，代 入底和高，得到 $S = frac{1}{2}a times frac{sqrt{3}}{2}a = frac{sqrt{3}}{4}a^{2}$ 。
周长计算公式推导
01
等边三角形周长公式：$P = 3a$，其中 $a$ 为等边三角
形的边长。
02
推导过程
03
由于等边三角形的三条边长 度相等，因此周长等于边长
乘以3，即 $P = 3a$。
典型例题解析
01
例题1
已知等边三角形的边长为 4 cm，求其面积和周长。
02
解析
根据等边三角形面积公式 $S = frac{sqrt{3}}{4}a^{2}$ 和周长 公式 $P = 3a$，代入 $a = 4$
数学等边三角形知识点总结
数学等边三角形知识点总结
数学等边三角形知识点总结
等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。
等边三角形知识点
⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
⑷等边三角形的重要数据
角和边的数量 3
内角的大小60°
⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的'中心。
（四心合一）
⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值（等于其高）
等边三角形的判定
⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）
⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（4）两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明：可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
知识点总结：明确等边三角形与等腰三角形的关系。
等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等边三角形的判定定理
等边三角形的判定定理
1、三边相等的三角形是等边三角形（定义）；
2、三个内角都相等的三角形是等边三角形；
3、有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；
4、两个内角为60度的三角形是等边三角形。
等边三角形性质
1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
（四心合一）
5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值（等于其高）。
7、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）。
沪教版数学(上海)七年级第二14.7等边三角形教学设计
4.教师介绍等边三角形的判定方法，并进行证明，培养学生的逻辑推理能力。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，每组探讨以下问题：
（1）等边三角形还有哪些性质？
（2）如何判断一个三角形是等边三角形？
（3）等边三角形在实际问题中如何应用？
2.培养学生严谨、细致的学习态度，使学生认识到数学的准确性和逻辑性。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，勇于表达自己的观点，培养学生自信、自主的学习品质。
4.通过解决实际问题，使学生感受到数学在生活中的广泛应用，培养学生的应用意识。
5.引导学生关注几何图形的美，培养学生对美的欣赏和追求。
本章节教学设计旨在帮助学生掌握等边三角形的性质，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力，同时注重培养学生的情感态度和价值观，使学生在学习过程中感受到数学的魅力，提高学生的综合素质。
二、学情分析
针对沪教版数学（上海）七年级第二学期的学生，他们在前期的学习中已经掌握了三角形的基本概念、性质以及分类，具备了一定的几何图形识别和分析能力。在此基础上，学生对等边三角形的学习具备以下特点：
1.学生对几何图形有一定的兴趣，但部分学生对等边三角形的概念和性质认识不够深入，需要教师在教学过程中进行引导和启发。
2.基本概念与性质教学：
（1）采用直观演示法，利用几何画板或实物模型，引导学生观察等边三角形的特点，总结出等边三角形的定义。
（2）通过小组讨论、交流，引导学生发现等边三角形的性质，如三边相等、三角相等、内角和为180度等。
（3）设计针对性练习，巩固学生对等边三角形性质的理解和应用。
3.判定方法与证明教学：
14.7等边三角形常考题易错题2好题2
一、解答题（共14小题）1、（2009•青海）请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=_________，且∠DON=_________度．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=_________，且∠EON=_________度．（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：_________．2、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．3、（2007•乐山）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．（1）求证：AD=CE；（2）求∠DFC的度数．4、（2009•中山）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM=EM．5、（2008•肇庆）如图，E、F、G分别是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点．（1）图中有多少个三角形？（2）指出图中一对全等三角形，并给出证明．6、（2008•桂林）已知：△ABC为等边三角形，D为AB上任意一点，连接CD．（1）在CD左下方，以BD为一边作等边三角形BDE．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AE，求证：CD=AE．7、如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE．8、△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q 点，∠AQN等于多少度？9、（2005•湘潭）如图，已知=，∠APC=60度．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．10、等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．11、如图，AB是⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合）．点Q在上半圆上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．（1）当∠QPA=90°时，判断△QCP是_________三角形；（2）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；（3）由（1）、（2）得出的结论，进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是_________三角形．12、（2007•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG．当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数．13、一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走的路径长度是多少？14、如图所示，△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和线段AD的长．二、解答填空题（共3小题）15、如图所示，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE∥AB，AE∥BC，DE与AE交于点E，点G是AE的中点，GF∥DE，EF∥AC，EF交GF于点F，若AB=4cm，则图形ABCDEFG的外围的周长是_________cm．16、△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，AB=10cm，则AD=_________cm．（结果精确到0.1）17、（2007•徐州）如图，△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（使∠BCE'＜180°），连接AD'、BE'设直线BE'与AC、AD'分别交于点O、E．（1）若△ABC为等边三角形，则的值为_________，∠AFB的度数为_________度；（2）若△ABC满足∠ACB=60°，AC=，BC=，①=_________，∠AFB=_________度；②若E为BC 的中点，则△OBC面积的最大值为_________．答案与评分标准一、解答题（共14小题）1、（2009•青海）请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=，且∠DON=度．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=，且∠EON=度．（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：．考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质；正多边形和圆。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F
3
D B
2
பைடு நூலகம்E C
1.等边三角形三条对称轴的交点到各边的距离都相等吗?请说 明理由. 2.已知△ABC是等边三角形,D,E,F分别是各边上的一点,且 AD=BE=CF.试说明△ DEF是等边三角形. 3.D,E是△ABC中BC上的两点,且BD=DE=EC=AD=AE. A 求∠ B与∠ BAC 的度数.
结论: 等边三角形的三个内角都相等,并且
等边三角形中也有三线合一吗? 结论: 等边三角形各边上中线,高和所对角 的平分线都三线合一,它们交于一点, 这点叫三角形的中心.
A B C
等边三角形是轴对称图形吗？若是， 有几条对称轴？
结论: 等边三角形是轴对称图形， 有三条对称轴，是三边的中垂线.
等边三角形的性质
名 图 形 概念 性 质 判 定 称 等 两边相等 两腰相等 有两边 腰 A 三 相等的 两底角相等 两角相等 （等边对等角） （等角对等边） 角 三角形 形 B 三线合一 C
是等腰
三角形
轴对称图形
两边相等
腰与底相等
一般三角形
等腰三角形
等边三角形
等边三角形概念：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
1、等边三角形是_______对称图形，它有_______ 条对称轴，是_________________。 2、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm 则△ABC的周长________
3、 △ABC是等腰三角形，周长为15cm且 ∠A=60°，则BC=_______
４、如图， △ABC中，D、E是BC边上的三等分 点， △AED是等边三角形，则∠BAC为 （ ）度？ A
1.等边三角形的三边相等。 2.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线 合一. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
已知： ∠A=∠B=∠C 求证： AB=AC=BC 证明：∵∠A=∠B（已知） ∴ AC=BC (等角对等边) ∵ ∠B=∠C （已知） B ∴ AB=AC(等角对等边) ∴ AB=AC=BC（等量代换） ∴△ABC是等边三角形. (三边相等的三角形是等边三角形)
D E C B B A C E
F
D
A
C
已知：AB=AC （1）若∠A=60 °求证： △ABC是等边三角形 （2）若∠ B=60 °求证： △ABC是等边三角形
结论：有一个内角等于60 °的等 腰三角形是等边三角形
三边相等
边的条件
一般三角形 三角相等 等边三角形
角的条件
一般三角形 等边三角形
两边相等 一般三角形
等腰三角形
一个角60
长线上一点,且DB=DE,求∠ E的度数.
B
C
E
D
A
一、等边三角形的性质.
1.等边三角形的三边相等。 2.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的 平分线都三线合一.
二、 等边三角形的判定:
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边 三角形.
（正三角形）
已知: AB=AC=BC, 求证：∠A= ∠B= ∠C 证明 ∵AB=AC(已知) ∴∠B=∠C (等边对等角) ∵AB=BC (已知) ∴∠A=∠C (等边对等角) ∴∠A=∠B=∠C（等量代换） ∵ ∠A+∠B+∠C=180° （三角形的内角和为180° ） ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °（等式性质）
°
等边三角形
等边三角形的判定方法:
1.三边相等的三角形是等边三角形. 三边 2.三个内角都相等的三角形是等边三角形. 三角 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角 形. 等腰+ 60 °
例1：如图,△ABC和△CDE都是等边三角形，试说 明BE=AD的理由
A
B
D E
C
例2：已知:等边△ABC中,DB是AC边上的高,E是BC延
B D E C
５、在△ABC中，AB=AC，以AB、AC为边在 △ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD， 且∠EDC=40°，则∠ABC＝（ ）度？
A E D
B
C
例3：如图, △ABC为等边三角形, ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3 (1)求∠BEC的度数. (2) ⊿DEF为等边三角形吗?为什么?A