人教新课标版数学高二选修1-1练习 变化率问题与导数的概念
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 变化率问题 导数的概念
3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念[教材研读]预习课本P 72～76，思考以下问题气球的体积V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么r (V )＝ 33V 4π.1．当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球的平均膨胀率是多少？2．当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率又是多少？3．函数的瞬时变化率与平均变化率有何关系？[要点梳理]1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的增量与自变量增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数的瞬时变化率3.导数的概念[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．自变量x从x0到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是导数．()2．导数的物理意义就是刻画瞬时速度．()3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率等于2.()[答案] 1.× 2.√ 3.√题型一求函数的平均变化率(1)如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()A ．1B ．－1C ．2D ．－2(2)已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x ) ①从0.1到0.2的平均变化率． ②在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率． [思路导引] 应用平均变化率公式f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.[解析] (1)A 、B 两点间的平均变化率为1－33－1＝－1，所以选B.(2)①因为f (x )＝3x 2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.②f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx . [答案] (1)B (2)①0.9 ②6x 0＋3Δx(1)求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的形式． [跟踪训练]已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．[解] 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12； 自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415. 因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．题型二 求瞬时速度思考：瞬时速度与平均速度的关系？提示：瞬时速度就是自变量的改变量趋近于0时，平均变化率的极限值．若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位： s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路导引] (1)由平均变化率公式求平均速度，(2)瞬时速度公式V ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. [解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt )2－12Δt ，所以Δs Δt ＝3(Δt )2－12Δt Δt ＝3Δt －12，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为s ′(1)＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系s ＝s (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (3)求平均速度ΔsΔt ； (4)求瞬时速度，v ＝lim Δt →0ΔsΔt .[跟踪训练]一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[解] 因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4aΔt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a ＋aΔt ，故在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝lim Δt →0ΔsΔt＝4a (m/s)．由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.题型三 利用定义求函数在某一处的导数求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．[思路导引] 利用导数公式[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx1＋Δx ，∴ΔyΔx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx＝1＋11＋Δx， ∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2. 从而y ′|x ＝1＝2.求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤[跟踪训练]求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数．[解]∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝(3＋Δx)2＋5(3＋Δx)－(32＋5×3)＝9＋6Δx＋(Δx)2＋15＋5Δx－9－15＝(Δx)2＋11Δx，∴ΔyΔx＝(Δx)2＋11ΔxΔx＝Δx＋11，∴y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(Δx＋11)＝11.课堂归纳小结1．本节课的重点是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义，也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)平均变化率的求法．如例1.(2)瞬时速度的求法．如例2.(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法．如例3.3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度是( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3[解析] v －＝s (2.1)－s (2)2.1－2＝0.410.1＝4.1.∴选B. [答案] B2．一质点的运动方程是s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．3Δt ＋6B ．－3Δt ＋6C ．3Δt －6D ．－3Δt －6[解析] v －＝s (1＋Δt )－s (1)1＋Δt －1＝－3Δt 2－6Δt Δt ＝－3Δt －6.∴选D. [答案] D3．作直线运动的一物体，其位移s 与时间t 的关系为s ＝3t －t 2，t ∈[0，＋∞)，则其初速度是( )A．0 B．3 C．－2 D．3－2t[解析]v0＝f′(0)＝limΔt→0s(0＋Δt)－s(0)Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.∴选B.[答案] B4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于() A．2 B．－2 C．3 D．不确定[解析]f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0aΔxΔx＝a＝2.∴选A.[答案] A5．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒[解析]v t＝3＝f′(3)＝limΔt→0s(3＋Δt)－s(3)Δt＝limΔt→0(Δt＋5)＝5.∴选C.[答案] C。
人教新课标版数学高二选修1-1课件 变化率问题导数的概念
知识点二 瞬时速度
思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段 时间内的平均速度. 答 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， v ＝ΔΔst＝10＋5Δt. 思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一 速度？ 答 当Δt趋近于0时，ΔΔst 趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.
解
∵f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
3x0＋ΔΔxx2－3x20＝Δlixm→0
(6x0＋3Δx)＝6x0，
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
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解析答案
5.已知函数f(x)＝ 1 ，则f′(1)＝__－__12____. x
f1＋Δx－f1
解析 f′(1)＝lim Δx→0
Δx
＝ lim Δx→0
＝ lim Δx→0
1＋1 Δx－1 Δx
－1 1＋Δx1＋
1＋Δx＝－12.
1 2345
解析答案
小结作业
利用导数定义求导数三步曲：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
即 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
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类型一 求函数的平均变化率
例1 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率ΔΔyx ；
(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率
最新人教版高中数学选修1-1《变化率与导数》梳理探究
3．1 变化率与导数1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能够根据导数的定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．1．平均变化率我们把式子__________称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示______，即Δx ＝______，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2.类似地，Δy ＝________.于是，平均变化率可表示为____．(1)变化率问题来源于现实生活中的实际问题．平均变化率是一个比值，它是表示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，如物体运动的平均速度、气球的平均膨胀率等．函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念．(2)Δx ≠0，但可正可负；要注意Δx 是一整体符号，而不是Δ与x 相乘．(3)改变量的对应：若Δx ＝x 2－x 1，则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，而不是Δy ＝f (x 1)－f (x 2)．【做一做1－1】 已知物体位移公式S ＝S (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( )A ．ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)叫做位移增量B ．ΔS Δt ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C ．ΔSΔt 不一定与Δt 无关D ．ΔS一定与Δt 无关【做一做1－2】 (1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为：①2； ②1； ③0.1； ④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？2．导数的概念对于函数y ＝f (x )，如果自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．如果当Δx →0时，ΔyΔx 有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处____，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的____，记作____或____，即f ′(x 0)＝________＝__________.(1)函数f (x )在x 0处可导，是指当Δx →0时，ΔyΔx 有极限，如果不存在极限，函数在点x 0处不可导或说无导数．(2)Δx 是自变量x 的改变量，Δx 无限接近于0但不等于0，而Δy 可以为0.(3)导数的定义式也可以写成f ′(x 0)＝0lim x x →f (x )－f (x 0)x －x 0.(4)要注意区别f (x )在某点处的导数和f (x )的导函数，它们是个别与一般的关系．【做一做2－1】 一球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为__________．【做一做2－2】 求函数y ＝x 在x ＝1处的导数． 3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的____．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是____．相应地，切线方程为____________．【做一做3－1】 抛物线y ＝2x 2在点P (1,2)处的切线l 的倾斜角的正切值为__________．【做一做3－2】 已知函数f (x )＝4x 2，求f ′(x )和f ′(2)．答案：1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1x 2－x 1 x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) ΔyΔx【做一做1－1】 D 当物体作匀速运动时，ΔSΔt与Δt 无关，当物体做变速运动时，如S (t )＝t 2－t ，则ΔS Δt ＝(t 0＋Δt )2－(t 0＋Δt )－(t 20－t 0)Δt ＝Δt (2t 0＋Δt )－ΔtΔt＝2t 0＋Δt －1，可以看出此时ΔSΔt与Δt 有关，故答案选D. 【做一做1－2】 解：(1)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝Δx 2＋2Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 2＋2Δx Δx＝Δx ＋2. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝4；②当Δx ＝1时，Δy＝Δx ＋2＝3；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝2.1；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝Δx ＋2＝2.01.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 2.Δy Δx 可导 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 Δy Δx lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx【做一做2－1】 10 m/s v ＝s ′|t ＝5＝lim Δt →0s (5＋Δt )－s (5)Δt＝li m Δt →(10＋Δt )＝10. 【做一做2－2】 解法一：(导数定义法)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 所以lim Δx →11＋Δx ＋1＝12，即y ′|x ＝1＝12.解法二：(导函数的函数值法)Δy ＝x ＋Δx －x ， Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x . 所以y ′＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x ＝12x，故y ′|x ＝1＝12.3．斜率 f ′(x 0) y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)【做一做3－1】 4 利用导数的几何意义来解决，求出函数在x ＝1处的导数，即得到切线的斜率，则可得到结果．因为f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2Δx ＝lim Δx →0 (4＋2Δx )＝4，所以抛物线y ＝2x 2在点P (1,2)处的切线的斜率为4，设直线的倾斜角为α，则tanα＝4.【做一做3－2】 分析：由导数的定义可直接求得f ′(x )，f ′(2)就是f ′(x )在点x ＝2处的函数值．解：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ∴Δy＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2. ∴lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0[－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2]＝－8x 3， 即f ′(x )＝－8x3.当x ＝2时，f ′(2)＝f ′(x )|x ＝2＝－1.1．函数的平均变化率和瞬时变化率的关系3．1 变化率与导数剖析：平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系剖析：(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数．(2)“导函数”简称“导数”．(3)导数f ′(x )，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(4)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.3．理解导数的几何意义剖析：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)，相应地，切线的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．说明：当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于常数k ，则其为切线的斜率，切线自然存在．若ΔyΔx不趋向于一个常数，可分为两种情况：其一是切线的斜率不存在，但切线存在，它是垂直于x 轴的直线；其二是割线没有确定的极限位置，则切线不存在．题型一 求平均变化率【例题1】 求函数f(x)＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？分析：利用平均变化率的定义，代入定义式即可求得．反思：求平均变化率时要紧扣定义，看在哪一点的平均变化率大，实际上是比较大小的问题．题型二 求瞬时速度【例题2】 若一物体的运动方程如下：s(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t<3，29＋3(t －3)2，t ≥3，求此物体在t ＝1和t ＝4时的速度． 分析：t ＝1时，s ＝3t 2＋2；t ＝4时，s ＝29＋3(t －3)2，分别求出Δs ，再由v ＝0lim t ∆→Δs Δt求得．反思：求瞬时速度的步骤：(1)设非匀速运动的规律s ＝s(t)；(2)求时间改变量Δt ，位置改变量Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)；(3)平均速度v ＝ΔsΔt ；(4)瞬时速度：当Δt →0时，ΔsΔt→v(常数)． 题型三 用定义求函数的导数【例题3】 根据导数的定义求下列函数的导数： (1)求函数y ＝x 2＋3在x ＝1处的导数； (2)求函数y ＝1x在x ＝a(a ≠0)处的导数．分析：由导数的定义可知，求函数f(x)在点x ＝x 0处的导数可分为三步：①求Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；②求Δy Δx ；③求当Δx →0时，ΔyΔx的极限，即可得出所求的导数．反思：(1)由本例求解过程可以看出，求解过程中不能给出自变量的增量Δx 的具体值，否则求出的是平均变化率，而不是瞬时变化率，即不是导数值．(2)求解过程的关键是第二步对ΔyΔx 的变形，使分子和分母能约去一个Δx.题型四 求切线的方程【例题4】 已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，如下图，求：(1)点P 处切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．分析：根据导数的几何意义知，函数y ＝f(x)在点x 0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程．反思：解决这类题，要先求出函数y ＝f(x)在x 0处的导数，即曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程．应注意导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则在该点处的导数不是斜率．题型五 求切点的坐标【例题5】 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，平行于直线y ＝4x －5?反思：解决此类问题，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再利用两条直线平行求出切点坐标．题型六 导数几何意义的综合应用 【例题6】 已知曲线C ：y ＝x 3.求：(1)曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？反思：本例说明直线与曲线相切时不一定只有一个公共点． 题型七 易错辨析易错点：在求曲线上过某点的切线时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后再根据不同情况求解．【例题7】 试求过点P(3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．错解：Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2xΔx ＋(Δx )2Δx＝2x ＋Δx ，当Δx 趋向于零时的极限为2x ，即f ′(x)＝2x.所以切线的斜率为k ＝2×3＝6.切线方程为y －5＝6(x －3)，即6x －y －13＝0.答案：【例题1】 解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．【例题2】 解：当t ＝1时，s ＝3t 2＋2， Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )＝3(1＋Δt )2＋2－(3＋2) ＝6Δt ＋3(Δt )2，∴v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 6Δt ＋3(Δt )2Δt＝lim Δt →(6＋3Δt )＝6. 当t ＝4时，s ＝29＋3(t －3)2，Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )＝29＋3(4＋Δt －3)2－29－3(4－3)2＝3(Δt )2＋6Δt ， ∴v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 3(Δt )2＋6Δt Δt ＝lim Δt →0(3Δt ＋6)＝6.∴物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度分别是6和6.【例题3】 解：(1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2＋3]－(12＋3)＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →(2＋Δx )＝2. (2)Δy ＝1a ＋Δx －1a ＝a －(a ＋Δx )a (a ＋Δx )＝－Δx a (a ＋Δx ).∴Δy Δx ＝－Δx a (a ＋Δx )·1Δx ＝－1a (a ＋Δx ). ∴y ′|x ＝a ＝lim Δx →0 ⎣⎡⎦⎤－1a (a ＋Δx )＝－1a 2. 【例题4】 解：(1)∵y ＝13x 3，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 13(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2.∴y ′|x ＝2＝22＝4.∴点P 处切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.【例题5】 解：y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，即x 0＝2. 所以y 0＝4.所以P (2,4)．【例题6】 解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程，得y ＝1， ∴切点为P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2， ∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为P (1,1)或P (－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－2，－8)．【例题7】 错因分析：求曲线在点P 处的切线与求过点P 的切线有区别．在点P 处的切线，点P 必为切点；过点P 的切线，点P 未必是切点，应注意概念的区别，且其求法也有所不同．正解：y ′＝2x (解法同上)，设所求切线的切点为A (x 0，y 0)．因为点A 在曲线y ＝x 2上，所以y 0＝x 20.又因为A 是切点，所以过点A 的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0，因为所求的切线过P (3,5)和A (x 0，x 20)两点，其斜率又为x 20－5x 0－3，所以2x 0＝x 20－5x 0－3，解之得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.因此所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0.1一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在t ＝2时刻的瞬时速度是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．52设P 0为曲线f(x)＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4)3若f ′(x)＝3，则0(2)()limx f x x f x x∆→+∆-∆＝______.4函数y ＝5x 2＋6在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为__________． 5已知曲线11y x ==上两点A 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 12,2x y ⎛⎫+∆-+∆ ⎪⎝⎭，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为__________．6求曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程．答案：1．B 2223(2)(32)()4s t t tt t t ∆++∆-+∆+∆==∆∆∆＝Δt ＋4. 当Δt →0时，st∆∆→4.故t ＝2时刻的瞬时速度为4.2．C f ′(x )＝0lim x ∆→ 33()()2(2)x x x x x x x+∆++∆--+-∆＝2230(31)3()()lim x x x x x x x∆→+⋅∆+∆+∆∆＝3x 2＋1. 由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0，y 0)，有f ′(x 0)＝203x ＋1＝4，解得x 0＝±1，这时P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)．3．6 0(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-∆＝0(2)()lim 22x f x x f x x∆→+∆-⋅∆＝0(2)()2lim2x f x x f x x∆→+∆-∆＝2f ′(x )＝6.4．20＋5Δx 因为Δy ＝5(2＋Δx )2＋6－5×22－6＝20Δx ＋5(Δx )2， 所以平均变化率yx∆∆＝20＋5Δx . 5．16- Δy ＝111122x ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪+∆⎝⎭⎝⎭ 2(2)2(2)2(2)x x x x -+∆-∆==+∆+∆， ∴12(2)y x x ∆=-∆+∆，即k ＝1.2(2)y x x ∆=-∆+∆. ∴当Δx ＝1时，16k =-.6．解：Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴2yx x∆=+∆∆.∴y ′|x ＝2＝0lim x ∆→(2＋Δx )＝2.∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.∴切线方程为y －2＝2(x －2)，即2x －y －2＝0.。
(人教)高中数学选修1-1(课件)：3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念
问範精说7想_想(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果?(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？痒龜说师t 屮仅比怨一金養的安祂是水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，fs 后容器甲中水的体积（单位: cm3）f计算第一个ios内砌如纯化。
现有宿迁市某年3月和4月某天日最高气温记载.时间3月18日4月18日4月20日日最高气温 3.5°C18.6°C33・4°C温差15・1°C温差14.8 °C问龜精境“衣济昌衬枪过山车是一项富有刺激性的娱乐工具也风驰电掣、有惊无险的快感令不少人r 卜B>-x c -x B该比值近似量化BQ 间 这一段曲线的陡哨程度.称该比值为曲线在B.C 之 间这一段年谢麦祀半・容易看出点B.C 之间的曲线较* A.B 之间的曲线更加"陡哨〃・ 如何量化陡哨程度呢？ OAy建构數修鰹捡4均变化率的定义: 一般地，函数介莊区间[Xp%2]±的平均变化率为说明:⑴平均变化率的实质就是:两点（引, 佩現⑥）连线的斜率.（皿吏代曲思您丿（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”（救形箱合思越丿AyAx /（兀2）- /（兀1）例1、已知函数f(x)=2x+l, g{x) =-2x ,分另！J 计算在区间［-3, T］, ［0, 5］上f(x)及g{x)的平均变化率•思考:一次函数y二kx+b在区间［m, n］上的平均变化率有什么特点?例2、已知函数/(x)=x1 2,分别计算/匕)在下列区间上的平均变化率：⑴[1, 3]；弋(2)[1, 2]；3\(3)[1, 1.1]；2.1\(4)[1, 1.001]・2.001变题:(5) [0.9, 1]； 1.9 \1 3 x 篠后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？救摩宗用(6)[0.99, 1]；1.99(7)[0.999, 1].] 999仁平均变化率的定义：学/g —/g) Ax 兀 _x. 2. 平均变化率的意义：大量生活中的实例 建立数学模型数学应用 3. 求平均变化率的步骤： 这节篠我的收获是什么? ㈢救摩宗用4. 思想方法:。
人教a版数学【选修1-1】作业：3.1.1 3.1.2 变化率问题 导数的概念(含答案)
第三章导数及其应用§3.1 变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率 定义实例平均 变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为________________，简记作：ΔyΔx .①平均速度； ②曲线割线的斜率.瞬时 变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即_______________＝0lim x →ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2．导数的概念：一般地，函数y =f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0limx →ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y =f (x )在x ＝x 0处的 ，记为 或即f ′(x 0) ＝0lim x →ΔyΔx一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f(x)在x ＝x 0处可导，则0lim x →f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于 ( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________． 8．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为________．13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理 1．f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－lim Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．]5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx ＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义， 得 f ′(0) ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt ＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。
高中数学选修1-1第三章 变化率与导数2_导数的概念及其几何意义2_1导数的概念-教育文档
2.1导数的概念一、教学目标：1.知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2.过程与方法：(1)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力;(2)通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。
教学难点：理解导数概念的本质内涵三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习：设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x 1趋于x 0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。
（二）探究新课在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作例1一条水管中流过的水量y （单位：3m ）是时间x （单位：s ）的函数x x f y 3)(==。
求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。
解：当x 从2变到2＋Δx 时，函数值从3×2变到3（2＋Δx ），函数值y 关于x 的平均变化率为3323)2(3)2()2(=∆∆=∆⨯-∆+=∆-∆+xx x x x f x f （3m /s ）. 当x 趋于2，即Δx 趋于0时，，平均变化率趋于3，所以3)2(='f （3m /s ）.导数)2(f '表示当x =2s 时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。
也就是如果水管的中的水以x =2s 时的瞬时速度流动的话，每经过1s ，水管中流过的水量为33m 。
人教A版高中数学选修1-1精品教案 1.1变化率问题、1.2 导数的概念(含答案)
§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
【教学目标】：
知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. )()0t s t t t
+-根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移
来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于
)()000t t t s t t
→→-。
高中数学选修1-1教学设计-变化率问题+导数的概念
3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点)2.了解导数的概念并会求函数在某点处的导数.(难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点)[基础·初探]教材整理1 变化率问题阅读教材P72～P74“思考”部分，完成下列问题.函数的变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零.( )(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零.( )(3)ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.( )【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 导数的概念阅读教材P74导数的概念～P75例1以上部分，完成下列问题.1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率(1)定义式：lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值.(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢. 2.函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量.( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零.( ) (4)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×[小组合作型]平均变化率(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为______，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________.(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.【自主解答】 (1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx 2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx 2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3.【答案】(1)6x0＋3Δx12.3 (2)－Δx＋3求平均变化率的主要步骤1.计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).2.计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.3.得平均变化率ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.[再练一题]1.求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【导学号：97792034】【解】在x＝1附近的平均变化率为：k 1＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为：k 2＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为：k 3＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－32Δx＝6＋Δx.若Δx＝1 3，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.若一物体的运动方程为s ＝⎩⎨＋t －2，0≤3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s).求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度. 【精彩点拨】根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解 【自主解答】 (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s).(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以Δs Δt ＝Δt 2－12Δt Δt＝(3Δt －12)(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s).求物体瞬时速度的步骤1.设非匀速直线运动的规律s ＝s (t ).2.求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0).3.求平均速率v ＝ΔsΔt.4.计算瞬时速率：当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数).[再练一题]2.质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s).求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【解】 v ＝lim Δt →0s ＋Δt －sΔt＝lim Δt →0＋Δt 2－2×22Δt＝lim Δt →0(2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s 3－s 13－1＝2×32＋3－2×12＋32＝8(cm/s).[探究共研型]探究导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？【提示】导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.(1)求函数y＝x在x＝1处的导数；(2)求函数y＝x2＋ax＋b在x处(a，b为常数)的导数.【精彩点拨】本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解. 【自主解答】(1)Δy＝1＋Δx－1，Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，lim Δx→011＋Δx＋1＝12，∴y′|x＝1＝1 2 .(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，Δy Δx ＝x＋aΔx＋Δx2Δx＝(2x＋a)＋Δx，lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，∴f′(x)＝2x＋a.1.求函数f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限.2.利用定义求函数y＝f(x)在点x0处的导数的两个注意点：(1)在求平均变化率ΔyΔx时，要注意对ΔyΔx的变形与约分，变形不彻底可能导致limΔx→0ΔyΔx不存在；(2)当对ΔyΔx取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式.[再练一题]3.求函数y＝x－1x在x＝1处的导数.【导学号：97792035】【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，∴f′(1)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.1.已知函数y＝f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.【答案】 B2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A.f′(x)＝aB.f′(x)＝bC.f′(x0)＝aD.f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx＝a＋b·Δx，f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.【答案】 C3.一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________. 【解析】s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.【答案】84.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.【解析】f′(1)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.【答案】 25.求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数.【解】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.。
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选修1-1 第三章 3.1 第1课时
一、选择题
1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1
x 中．平均
变化率最大的是( )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．①
[答案] B
[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
2．已知函数y ＝2
x ，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( )
A ．1
B ．2
C ．13
D ．32
[答案] C
[解析] Δy ＝21.5－22＝1
3
.
3．设函数f (x )在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)
3Δx ＝( )
A ．f ′(1)
B ．3f ′(1)
C ．1
3f ′(1)
D ．f ′(3)
[答案] C [解析] lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
3Δx
＝1
3lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13
f ′(1)． 4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( ) A ．4＋4t 0 B ．0
C ．8t 0＋4
D ．4t 0＋4t 2
[答案] C
[解析] Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝4Δt 2＋4Δt ＋8t 0Δt ，
Δs
Δt ＝4Δt ＋4＋8t 0， lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0. 5．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )
A ．f ′(x )＝a
B ．f ′(x )＝b
C ．f ′(x 0)＝a
D ．f ′(x 0)＝b
[答案] C
[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx ＝lim Δx →0 a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (a ＋b Δx )＝a . ∴f ′(x 0)＝a .
6．函数y ＝x ＋1
x 在x ＝1处的导数是( )
A ．2
B ．52
C ．1
D ．0
[答案] D
[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1
Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1
， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1
， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1
x 在x ＝1处的导数为0.
二、填空题
7．函数y ＝1
x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为________．
[答案] －2x 0＋Δx
(x 0＋Δx )2x 22
[解析] ∵Δy ＝1(x 0＋Δx )2－1
x 20
，
∴y ＝1
x
2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为
Δy Δx ＝1(x 0＋
Δx )2－1
x 20
Δx ＝－2x 0＋Δx
(x 0＋Δx )2x 20
.
8．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0 f (x 0－k )－f (x 0)
2k
的值为________．
[答案] －1 [解析] lim k →0
f (x 0－k )－f (x 0)
2k
＝－1
2lim k →0 f (x 0－k )－f (x 0)－k
＝－12f ′(x 0)＝－1
2
×2＝－1.
9．已知函数f (x )＝2x －3，则f ′(5)＝________. [答案] 2
[解析] ∵Δy ＝f (5＋Δx )－f (5) ＝[2(5＋Δx )－3]－(2×5－3)＝2Δx ， ∴Δy
Δx
＝2， ∴f ′(5)＝lim Δx →0 Δy
Δx
＝2. 三、解答题
10．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度．
[解析] 由于Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －Δt 2＝－Δt －Δt 2， ∴Δs Δt ＝－Δt －Δt 2
Δt
＝－1－Δt . ∴v ＝lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(－1－Δt )＝－1. ∴物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.
一、选择题
11．一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1的瞬时速度为3，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．7
[答案] A
[解析] Δs ＝2(1＋Δt )2＋a (1＋Δt )＋1－(2＋a ＋1)＝Δt 2＋(4＋a )Δt ， 由条件知lim Δt →0 Δs
Δt ＝lim Δt →0
(Δt ＋4＋a )＝4＋a ＝3， ∴a ＝－1.
12．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．12＋Δt ＋9
Δt
C ．12＋2Δt
D ．12
[答案] C
[解析] Δs Δt ＝[2(3＋Δt )2＋5]－(2×32
＋5)
Δt
＝12＋2Δt .
13．f (x )在x ＝a 处可导，则lim h →0 f (a ＋3h )－f (a －h )
2h
等于( )
A ．f ′(a )
B ．1
2f ′(a )
C ．4f ′(a )
D ．2f ′(a )
[答案] D [解析] lim h →0 f (a ＋3h )－f (a －h )
2h
＝lim h →0
f (a ＋3h )－f (a )＋f (a )－f (a －h )
2h
＝3
2lim h →0 f (a ＋3h )－f (a )3h ＋12lim h →0 f (a )－f (a －h )h ＝32f ′(a )＋1
2f ′(a )＝2f ′(a )． 二、填空题
14．若f ′(x )＝3，则lim Δx →0 f (x ＋2Δx )－f (x )
Δx
＝________.
[答案] 6
[解析] lim Δx →0 f (x ＋2Δx )－f (x )
Δx ＝lim Δx →02·f (x ＋2Δx )－f (x )2Δx ＝2lim Δx →0
f (x ＋2Δx )－f (x )
2Δx
＝2f ′(x )＝6.
15．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________． [答案]
28π
3
[解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π
3，
∴Δy Δx ＝28π3
2－1＝28π
3. 三、解答题
16．求导数f (x )＝3x －2
x 在x ＝1处的导数．
[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )－2
1＋Δx －1
＝2＋3Δx －21＋Δx ＝3Δx ＋2Δx
1＋Δx ，
Δy Δx ＝3Δx ＋
2Δx 1＋Δx Δx ＝3＋2
1＋Δx ， ∴lim Δx →0
Δy Δx ＝lim Δx →0 (3＋2
1＋Δx )＝5，∴f ′(1)＝5. 17．一物体的运动方程如下：(单位：m ，时间：s)s ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3t 2＋2 (t ≥3)
29＋3(t －3)2 (0≤t <3).
求：(1)物体在t ∈[3,5]时的平均速度； (2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
[解析] (1)∵物体在t ∈[3,5]时的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]时的位移变化量为
Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]时的平均速度为
Δs Δt ＝48
2
＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt
＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，
∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18m/s.
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt
＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt
＝3Δt －12，
∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(3Δt －12)＝－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速率为－12m/s.。