函数的周期性(基础+复习+习题+练习)
专题08 函数的周期性(原卷版)
专题08 函数的周期性专项突破一 周期函数的定义与求解1．有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（ ）．A ．①②都正确B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①②都错误2．若函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则()f x 可以是（ ）A ．2()(1)f x x =-B ．()|2|f x x =-C ．()sin 2f x x π⎫⎛= ⎪⎝⎭D ．()tan 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭3．已知定义在R 上的非常数函数()f x 满足：对于每一个实数x ，都有122f x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭则()f x 的周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．32π 4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x +=且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =的解有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．多于4个5．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（ ） A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数6．已知函数()21f x +的最小正周期为3，则函数()f x 的最小正周期为______．7．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，则()f x 的周期为__________． 8．若定义在R 上的非零函数()f x ，对任意实数x ，存在常数λ，使得()()f x f x λλ+=恒成立，则称()y f x =是一个“f λ。
函数”，试写出一个“ l f 。
函数的周期性练习题
函数的周期性练习题函数是数学中的重要概念之一，它描述了输入和输出之间的对应关系。
在数学中，周期性函数是一类特殊的函数，它们具有周期性的特征。
本文将为大家介绍一些与函数周期性相关的练习题，以帮助大家更好地理解和应用函数的周期性。
练习题1：正弦函数的周期性考虑函数y = sin(x)。
我们知道正弦函数是一个周期为2π的函数，即在区间[0, 2π]内完整地重复自身。
请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，sin(x)的取值范围是多少？2. 在区间[π, 2π]内，sin(x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，sin(x)的取值范围是多少？4. 在区间[0, 8π]内，sin(x)的取值范围是多少？练习题2：余弦函数的周期性考虑函数y = cos(x)。
余弦函数也是一个周期为2π的函数，它与正弦函数在图像上有类似的特点。
请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，cos(x)的取值范围是多少？2. 在区间[π, 2π]内，cos(x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，cos(x)的取值范围是多少？4. 在区间[0, 8π]内，cos(x)的取值范围是多少？练习题3：周期性函数的图像变换现在考虑函数y = sin(x) + 1。
这个函数是对正弦函数进行了图像上的平移。
请回答以下问题：1. 在区间[0, 2π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？2. 在区间[0, 4π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？3. 在区间[0, 8π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？练习题4：周期性函数的复合考虑函数y = sin(2x)。
这个函数是对正弦函数进行了图像上的压缩。
请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，sin(2x)的取值范围是多少？2. 在区间[0, 2π]内，sin(2x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，sin(2x)的取值范围是多少？练习题5：周期性函数的复合和平移考虑函数y = cos(2x - π)。
函数的周期性(基础+复习+习题+练习)
函数的周期性基本知识方法1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为.A 1- .B 0 .C 1 .D 22．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数，它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,()f x =()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x << 时，()f x 的解析式是()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
高中高考函数的周期性复习资料
函数的周期性一．知识点：1.周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任何值f(x+T)=f(x)，那么就称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期。
2.周期函数的性质：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合3.判定定理：定理1. 若f（x）是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x）≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2. 若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
定理3. 设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。
定理4. 设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。
4.几个常见常考周期函数的关系式：（其中a≠0）（1）f(x+a)= -f(x) =>f(x+2a)=f(x)（2）f(x+a)=1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（3）f(x+a)= -1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（4）若奇函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+4a)=f(x)（5）若偶函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+2a)=f(x)二．典型例题（难）：例题1：已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(1)+f(2)+…+f(2019)=_______例题2：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)且当x∈[0,2]时，f(x)= -2sinπ2x①若当x∈[ -4,-2]时，f(x)≥t➖9t恒成立，则t的取值范围为________②函数g(x)=f(x) ➖12log16X 零点的个数为________例题答案：例题一：0 例题二：t≤9或0＜t≤1 ； 5三．基础例题1.若函数f（x）=x2+bx+c对一切实数都有f（x+2）=f（2 -x）则有（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）= - f（x），f（3-x）=f(x)，则f（2019）=（）A．- 3 B.0 C.1 D.33.已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，且当0≥0时恒有f（x）=f（x+2），当x∈[0,1]时，f（x）=ex – 1，则f（2016）+f（-2015）=（）A．1 – e B. e – 1 C. – 1 – e D.e+14.定义在R上奇函数f（x）满足f（x+2）= -f（x），且在[0，2）上单调递减，则下列结论正确的是（）A．0＜f（1）＜f（3） B. f（3）＜0＜f（1）C．f（1）＜0＜f（3） D. f（3）＜f（1）＜05.已知函数f（x）的图像关于点（- 3 ，2 ）对称，则函数h（x）=f（x+1）- 3的图像的对称中心是_______6.设f（x）是定义在R上的奇函数，且在( -∞，0 )上是减函数，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为________7.已知f（x）,g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图像关于直线x=1对称，则下列四个结论中错误的是（）A．y=g[f(x)+1]为偶函数 B.y=g[f(x)]为奇函数C.函数y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称D．y=f[g(x+1)]为偶函数8.定义在R上得函数f(x)满足f( - x)=f(x),且当x≥0时，f(x)={−x2+1，0≤x≤12−2x，x≥1若对任意得x∈[m,m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A．- 1 B.12C. - 13D.13答案：1. A由已知得：对称轴为x=2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小2.B∵f（- x）= - f（x）,∴f（3 - x）= - f（x - 3），且f（0）=0.又∵f（3 - x）=f（x），∴f（x）= - f（x - 3），∵f（x - 3）= - f（x - 6）,∴f（x）=f（x - 6），∴f（x）是周期为6的函数，∴f（2019）=f（6×336+3）=f（3）=（0）=03.A∵y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，∴f（x）的图像关于远点对称，∵当x≥0时恒有f（x）=f（x+2），∴函数f（x）的周期为2∴f（2016）+f（- 2015）=f（0）- f（1）=1 – e4.C由函数f（x）时定义在R上的奇函数，得f（0）=0，由f（x+2）= - f（x），得f（x+4）= - f （x+2）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数∴f（3）=f（- 1）又∵f（x）在[0,2）上单调递减，∴函数f（x）在（- 2，2 ）上单调递减∴f（-1）＞f（0）＞f（1）5.（- 4，- 1）函数h（x）=f（x+1）- 3的图象是由函数f（x）的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f（x）的图像关于点（- 3，2）对称，所以函数h（x）的图像的对称中心为（-4，-1）6．(-∞，-2]∪[0，2]（1）x=0时，xf（x）=0，满足要求；（2）x＜0时xf（x）≤0，所以，f（x）≥0f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（-2）=0所以，x≤-2（3）x＞0时，xf（x）≤0，所以，f（x）≤0f（x）为R上的奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，所以在（0，+∞）上是减函数，f（2）=0f（x）≤0，解得，0＜x≤2所以，不等式 xf（x）≤0 的解集为(-∞，-2]∪[0，2]7. B已知得f （- x ）= - f （x ），g （1 - x ）=g （1+x ）， ∵g[f(-x)+1]=g[ - f(x)+1]=g[f(x)+1]，∴y=g[f(x)+1]为偶函数∵f[g(x)]=f[g(2 - x)]∴y=f[g(x)]得图像关于直线x=1对称∵f[g( - x+1)]=f[g(x+1)]∴y=f[g(x+1)]为偶函数∵g[f( - x)]=g[ - f(x)]=g[2+f(x)]∴y=g[f(x)]不是基函数8. C由题知函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，函数f(x)为减函数，则当x ＜0时，函数f （x ）为增函数。
高一数学函数周期性和对称性复习练习题
函数周期性和对称性高一数学一•定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使f(x T) f(x)恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
二•重要结论1、f x f x a，则y f x是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
3、若函数f x a f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
f x15、若函数y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
f x6、f (x a) 1一3，则fx是以T 2a为周期的周期函数.1 f(x)7、f(x a)1一L(x)，则f x是以T 4a为周期的周期函数•1 f(x)8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且2 ( b-a)是它的一个周期。
9、函数y f(x) x R的图象关于两点 A a, y0、B b, y0 a b都对称，则函数 f (x)是以2 b a为周期的周期函数；10、函数y f(x) x R的图象关于A a, y。
和直线x b a b都对称，则函数f(x)是以4 b a为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，贝U f(x)为周期函数且2 a是它的一个周期。
12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4 a是它的一个周期。
13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。
14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x) (x € R, 0),则f(-)=0.2函数的轴对称：a b定理1 ：如果函数y f x满足fax f b x，则函数y f x的图象关于直线x 对2 称•推论1：如果函数y f x满足fax fax，则函数y f x的图象关于直线x a对称•推论2：如果函数y f x满足f x f x ,则函数y f x的图象关于直线x 0 （y轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.一、函数的点对称：定理2：如果函数y f x满足fax fax 2b，则函数y f x的图象关于点a,b对称. 推论3：如果函数y f x满足fax fax 0，则函数y f x的图象关于点a,0对称.推论4 :如果函数y f x满足f x f x 0，则函数y f x的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.二、函数周期性的性质：定理若函数f x在R上满足f （a x)fax，且f(b x) f b x (其中a b）,则函数3：y f x以2 a b为周期.定理4:若函数f x在R上满足f（a x) f a x，且f(b x) f b x (其中 a b），则函数y f x以2 a b为周期.定理5：若函数f x在R上满足f（a x)fax，且f(b x) f b x (其中a b）,则函数y fx以4a b为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性，但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数，同时分析条件特征必能拨开迷雾，马到成功.下面以例题来分析.例1.已知定义为R的函数f x满足f x f x 4，且函数f x在区间2, 上单调递增.如果x-i 2 x2，且x-i x2 4，则f % f x2的值（）.A.恒小于0 B .恒大于0 C .可能为0 D .可正可负.分析：f x f x 4形似周期函数f x f x 4，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x 2代替x，使f x f x 4变形为f 2 x f x 2 .它的特征就是推论 3.因此图象关于点2,0对称.f x在区间2, 上单调递增，在区间,2上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图）2 X2 4 x-，且函数在2, 上单调递增，所以f x2 f 4 X!，又由f x f x 4 ,有 f (4 x 1) f x 1 4 f x 1 4 4 f x 1 ,[3,4] 上是增函数f x 1 f x 2 f x 1 f 4 x 1 f x 1 f x 10.选 A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.练1:在R 上定义的函数f (x)是偶函数，且f(x) f (2 x).若f (x)在区间［1,2］上是减函数，则f(x)()A. 在区间［2, 1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数B. 在区间［2, 1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数上是减函数，在区间C.在区间[2, 1][3, 4]上是增函数分析：由f(x) f(2 x)可知f(x)图象关于x 1对称，即推论1的应用.又因为f(x)为偶函数图象关于 x 0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为 2，结合f (x)在区间[1,2]上是减函数，可得如右 f(x)草图.故选B例2 •已知函数y f x 的图象关于直线 x 2和x 4都对称，且当0x1时，f X x .在闭区间T,T 上的根的个数记为n ，贝U n 可能为(: )A.0B.1C.3D.5分析：f(T)f( T) 0 ,f( T )f (T ) f( ~T)f (T ),2 222•- f( 匸)f(T ) 0 ,则n 可能为5 ?练2.定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数, 2 2D.在区间[2, 1]上是减函数，在区间T 是它的一个正周期•若将方程f(x)求f 19.5的值.分析：由推论1可知, y f x 的图象关于直线 2对称，即f 2 x同样, 满足f 4 x ，现由上述的定理 X 是以4为周期的函数.f 19.5 f 4 4 3.5 f 3.5 0.5 0.5， 同时还知f X 是偶函数，所以0.5 f 0.5 0.5. 例3. f f 398 x f 2158 x f 3214 x ，则f f 999 中最多有()个不同的值. A.165 B.177 C.183 D.199分析：由已知f x f 398 f 2158 x f 3214 x f x 1056f x 1760 f x 704352 . 又有 f x f 398 x2158 x f 3214 x 1056f 2158 1056 xf 1102 x f 1102 x1056f 46 x ,于是f (x)有周期352，于是f o ,f 1 , L ,f 999能在 ,f 351中找到. 又f (x)的图像关于直线x 23对称，故这些值可以在23 , f 24 丄,f 351中找到.又f(x)的图像关于直线x 199对称，故这些值可以在 f 23 , f 24 ,L , f 199 中找到.共有177个.选B. 练3 :已知 1 x1 3x ，x ，…， 则 f 2004 2 分析：由f ,可令 x=f (x )知 f , x 1 3x ,f 2 x3x 13x 1 f(x)为迭代周期函数，故 f 3n x 2004 f x, f 2004练4：函数f (x)在R 上有定义，且满足 f(x)是偶函数，且f 0 2005, g x x 1是奇函数,则f 2005的值为函数的定义域为[—1 , 0 ) U ( 0 , 1 ]故f ( x ) 是奇函数4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4•已知函数f (x)对一切x, y R ，都有f (x y) f (x) f (y)，(1)求证： f (x)是奇函数；(2)若f( 3) a ，用a 表示f(12)解：(1)显然f(x)的定义域是R ，它关于原点对称•在 f(x y) f (x) f (y)中，令 yx ，得 f(0) f(x) f( x)，令 x y 0,得 f (0)f(0) f (0) ,「.f(0)0 ,••• f (x) f ( x) 0,即 f( x) f (x),••• f (x)是奇函数.f y fy 2，即有f :x f x 20，令 a nf x ，则 a n a n 2 0 ,其中 a 。
函数的周期性（基础复习习题练习）
函数的周期性（基础复习习题练习）课题：函数的周期性考纲要求：了解函数周期性、最⼩正周期的含义，会判断、应⽤简单函数的周期性.教材复习()1 周期函数：对于函数()y f x =，如果存在⾮零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的⼀个周期.()2最⼩正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中的正数，那么这个最⼩正数就叫作()f x 的最⼩正周期.基本知识⽅法 1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每⼀个x ，都存在⾮零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成⽴，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的⼀个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最⼩正数叫()f x 的最⼩正周期. 2.⼏种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满⾜对定义域内任⼀实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满⾜()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；3.判断⼀个函数是否是周期函数要抓住两点：⼀是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=;⼆是能找到适合这⼀等式的⾮零常数T ，⼀般来说，周期函数的定义域均为⽆限集.4.解决周期函数问题时，要注意灵活运⽤以上结论，同时要重视数形结合思想⽅法的运⽤，还要注意根据所要解决的问题的特征来进⾏赋值.问题1．(06⼭东)已知定义在R 上的奇函数()f x 满⾜(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为 .A 1- .B 0 .C 1 .D 2问题2．()1(00上海) 设()f x 的最⼩正周期2T =且()f x它在区间[]0,1上的图象如右图所⽰的线段AB ,则在区间[]1,2上, ()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+当1921x << 时，()f x 的解析式是 ()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，⽤k I 表⽰区间已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
二次函数与三角函数的周期性计算练习题
二次函数与三角函数的周期性计算练习题在数学学习中，二次函数和三角函数是两个重要的概念。
它们在实际问题中的应用非常广泛。
本文将提供一些二次函数和三角函数周期性计算的练习题，帮助读者加深对这两个概念的理解。
题目一：二次函数的周期性计算练习题1. 求函数 f(x) = 2x^2 的周期。
解析：由于二次函数没有固定的周期，我们可以使用图像来观察函数的周期性特点。
将函数 f(x) = 2x^2 的图像绘制出来，我们可以看到函数在原点处有一个最低点，并且向上开口。
根据图像可以清晰地看出，无论x取什么值，函数值都是非负数。
因此，函数 f(x) = 2x^2 的周期为正无穷。
2. 求函数 g(x) = sin(3x) 的周期。
解析：函数 g(x) = sin(3x) 中的3是角频率，它决定了函数的周期。
公式T = 2π/ω 可以用来计算周期，其中 T 是周期，ω 是角频率。
代入公式，我们可以计算得到 g(x) = sin(3x) 的周期为2π/3。
3. 求函数 h(x) = cos(x/4) 的周期。
解析：函数 h(x) = cos(x/4) 中的 1/4 是角频率，它决定了函数的周期。
同样地，我们可以使用公式T = 2π/ω 来计算周期。
代入公式，我们可以计算得到 h(x) = cos(x/4) 的周期为8π。
题目二：三角函数的周期性计算练习题1. 求函数 f(x) = sin(2x) 的周期。
解析：函数 f(x) = sin(2x) 中的2是角频率，它决定了函数的周期。
根据公式T = 2π/ω，我们可以计算得到 f(x) = sin(2x) 的周期为π。
2. 求函数 g(x) = 3cos(4x) 的周期。
解析：函数g(x) = 3cos(4x) 中的4是角频率，它决定了函数的周期。
代入公式T = 2π/ω，我们可以计算得到 g(x) = 3cos(4x) 的周期为π/2。
3. 求函数h(x) = sin(π/6 + x/3) 的周期。
函数周期性练习题及答案详解(拔尖)
函数周期性（拔尖）肖老师提醒：请同学们根据自己能力、时间合理安排好一、单选题1．已知函数()f x 的定义域为D ，值域为A ， 函数()f x 具有下列性质：（1）若,x y D ∈，则()()f x A f y ∈；（2）若,x y D ∈，则()()f x f y A +∈.下列结论正确是（ ）①函数()f x 可能是奇函数； ②函数()f x 可能是周期函数； ③存在x D ∈，使得()20212020f x =； ④对任意x D ∈，都有()2f x A ∈.A ．①③④B ．②③④C ．②④D ．②③2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()12f x x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（ ） A ．112244k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，， B ．152222k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， C ．114444k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，， D ．1154444k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， 3．已知函数()()f x x R ∈是以4为周期的奇函数，当(0,2)x ∈时，()2()ln f x x x b =-+，若数()f x 在区间[2,2]-上有5个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．11b -<≤B ．1544b ≤≤ C ．11b -<≤或54b =D ．114b <≤或54b =4．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，对任意的实数x 都有()f x = 32f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且()11f -=，()01f =-，则()()()()1232019f f f f ++++的值为（ ） A ．0B ．1C ．-673D ．6735．给出定义：若11(,]22x m m ∈-+（其中m 为整数），则m 叫做与实数x ”亲密的整数”记作{x }＝m ，在此基础上给出下列关于函数()|{}|f x x x =-的四个说法： ①函数()y f x =在(0,1)是增函数； ②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称； ③函数()y f x =在1(,)()2k k k Z +∈上单调递增④当(0,2)x ∈时，函数21()()22g x f x x =--有两个零点，其中说法正确的序号是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④6．已知()f x 是在R 上的奇函数，满足()()2f x f x =-，且[]0,1x ∈时，函数()21xf x =-，函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,95⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,5D ．()5,97．已知函数()f x 满足(1)1()f x x R +=∈，则()()12020f f +的最大值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．48．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且满足f （x+2）=﹣f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ，则方程f （x ）=281x x -+在（0，+∞）解的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[]0,2x ∈时2()log (1)f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论： 甲：(3)1f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数； 丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若(0,1)m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-其中正确的是． A ．甲，乙，丁B ．乙，丙C ．甲，乙，丙D ．甲，丁10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有(2)()f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()1f x x =-+.若2[()]()30a f x bf x -+=在[1,5]-上有5个根(1,2,3,4,5)i x i =，则12345x x x x x ++++的值是A ．10B ．9C ．8D ．7二、多选题11．已知函数f (x )满足：当-<3≤0x 时，|2|()32x f x +=-，下列命题正确的是（ ） A ．若f (x )是偶函数，则当03x <≤时，|2|()32x f x +=-B ．若(3)(3)f x f x --=-，则()()1g x f x =-在(6,0)x ∈-上有3个零点C ．若f (x )是奇函数，则()()1212,[3,3],14x x f x f x ∀∈--<D ．若(3)()f x f x +=，方程2[()](2)()20f x k f x k -++=在[3,3]x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为11k -<<三、填空题12．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数(5)()f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有16个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是______13．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，且当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，在下列结论中，正确命题的序号是________① 对任何m ∈Z ，都有(3)0m f =； ② 函数()f x 的值域是[0,)+∞；③ 存在n ∈Z ，使得(31)17n f +=；④ “函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条 件是“存在k ∈Z ，使得1(,)(3,3)k k a b +⊆”；14．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：对()0,x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对m Z ∀∈，有()20mf =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞；③存在n Z ∈，使得()219nf +=；15．已知偶函数()f x 是定义域为R 且最小正周期为2的周期函数.当[]2,3x ∈时，()()23f x x =-.若函数()()()()log 11a F x x f x a =+->在R 上恰有6个零点，则实数a的取值范围是________.16．函数()f x 的定义域为[)1,1-，其图象如图所示.函数()g x 是定义域为R 的偶函数，满足()()2g x g x +=，且当[]1,0x ∈-时，()()g x f x =.给出下列三个结论：①()112g =； ②不等式()0g x >的解集为R ；③函数()g x 的单调递增区间为[]2,21k k +，k ∈Z . 其中所有正确结论的序号是______.17．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列命题：①对任意x ∈R ，都有()()2f x f x +=； ②函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增； ③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④当()3,4x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有_________. 18．给出定义：若1122M x M -<≤+（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x M =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论： ①函数() y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数() y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称；③函数() y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数() y f x =是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.19．偶函数()y f x =满足()()33f x f x +=-，在[)3,0x ∈-时，()2xf x -=．若存在1x ，2x ，…n x ，满足120n x x x ≤<<<…，且()()()()()()122312019n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=…，则n x 最小值为__________． 20．已知函数12019()ln 112019x x a x f x a x-+=+-+-，若定义在R 上的奇函数()g x 满足()()11g x g x -=+，且()2(1)log 25g f f ⎛=+ ⎝，则()2019g =___________.21．n ∈*N ，(){[()]}n n ff x f f f x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，若2(1),01()1,12x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，则20198()9f =________.四、解答题22．已知函数2()log ()f x x a =+； （1）当1a =时，若10(12)()2f x f x <--<，求x 的取值范围； （2）若定义在R 上的奇函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，且当01x ≤≤，()()g x f x =，求()g x 在[1,0]-上的解析式；（3）对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式2321log 382x x t g +⎛⎫-≥- ⎪+⎝⎭在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.23．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立．（1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；（2）当2t =时，若[]0,2x ∈， ()()2f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[]2,6-上的值域； （3）设函数()f x 的值域为[],a a -，证明：函数()f x 为周期函数． 24．设函数()f x 在R 上满足()()33f x f x +=-，()()88f x f x +=-，且 在闭区间[]0,8上只有()()()1570f f f ===．（1）求证函数()f x 是周期函数；（2）求函数()f x 在闭区间[]10,0-上的所有零点；（3）求函数()f x 在闭区间[]2012,2012-上的零点个数及所有零点的和．25．函数()f x 的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意实数x ，在定义域中存在12,x x 使()()1212,x x x f x f x =-≠，且满足以下3个条件. （1）12,x x 是()f x 定义域中的数，()()12f x f x ≠，则()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-；（2）()1,(f a a =是一个正的常数）； （3）当02x a <<时，()0f x >. 证明：（I ）()f x 是奇函数；（II ）()f x 是周期函数，并求出其周期； （III ）()f x 在()0,4a 内为减函数.26．1已知函数()0)f x ax x =+≥，()g x =，,a b ∈R ,且(0)2g =，2f =（1）求()f x 、()g x 的解析式；（2）()h x 为定义在R 上的奇函数，且满足下列性质：①(2)()h x h x +=-对一切实数x 恒成立；②当01x ≤≤时[]21()()log ()2h x f x g x =-+. （ⅰ）求当13x -≤<时，函数()h x 的解析式； （ⅱ）求方程1()2h x =-在区间[0,2012]上的解的个数.参考答案1．B 【分析】利用函数奇偶性、周期性的定义以及函数()f x 所满足的两个性质对①②③④逐一分析可解. 【详解】解：对①：若()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=.令y x =-，由（2）知0A ∈， 而与（1）()0f x ≠矛盾，所以①错误. 对②：若()f x 为周期函数，则f x Tf x (其中T 为非零常数)，当()f x （比如()tan f x x =）值域()(),00,A =-∞⋃+∞时，令y x T =+，则（1）()()1f x A f y =∈成立；（2）()()()2f x f y f x A +=∈也成立，故②正确.对③：由②可知，存在x D ∈，使()f x 为任意非零常数，所以可使()20212020f x =，故③正确. 对④：令y x =，则由（1）知1A ∈，从而()1A f x ∈，所以()()()21f x f x A f x =∈， 所以④正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：牢牢抓住()f x 所满足的两个性质以及函数的奇偶性、周期性的定义进行分析判断. 2．D 【分析】根据条件判断函数周期为4，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为()f x 与直线y x b =+只有一个交点，结合函数图像，即可求解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数， ()(),(1)(1)f x f x f x f x -=---=-，(2)((1)1)()()f x f x f x f x -=--=-=-，即(2)(),(4)(2)()f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4.[]01x ∈，时，()12f x x =[]12,[0,1],()()1,0()x f x x x f x -∈-=-=-∈-，()f x ∴=(1)(1),()(2)f x f x f x f x --=-∴=--，()f x 周期为4，()(2)(2)f x f x f x ∴=--=-+，当[1,2],2[0,1],()(2)x x f x f x ∈-+∈=-+=当[2,3],2[1,0],()(2)x x f x f x ∈-+∈-=-+= 做出函数()f x 图像，如下图所示： 令()()0g x f x x b =--=，当[1,0]x ∈-，()()0g x f x x b x b =--=-=，x b --=22(21)0x b x b +++=，221(21)4410,4b b b b ∆=+-=+==-，此时直线与()f x 在[1,0]x ∈-函数图像相切，与函数有两个交点， 同理154b =-，直线与()f x 在[4,5]x ∈函数图像相切，与函数有两个交点， 则要使函数()f x 在[1,4]内与直线y x b =+只有一个交点， 则b 满足15144b -<<-，()f x 周期为4， b 范围也表示为11544b <<， 所以所有b 的取值范围是11544,44k b k k Z +<<+∈. 故选:D.【点睛】本题考查函数零点的应用，根据函数的性质求出函数的周期性和对称性，利用数形结合思想是解决问题的关键，综合性较强，属于难题. 3．D 【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±2是函数()f x 的零点，将函数()f x 在区间[2,2]-上的零点个数为5，转化为当(0,2)x ∈时，20x x b -+>恒成立，且21x x b -+=在(0,2)有一解，由此构造关于b 的不等式组，解不等式组可得实数b 的取值范围. 【详解】解：由题意知，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，即0是函数()f x 的零点，因为()f x 是定义在R 上且以4为周期的周期函数，所以(2)(2)f f -=，且(2)(2)f f -=-，则(2)(2)0f f -==， 即2±也是函数()f x 的零点，因为函数()f x 在区间[2,2]-上的零点个数为5，且当(0,2)x ∈时，()2()ln f x x x b =-+，所以当(0,2)x ∈时，20x x b -+>恒成立，且21x x b -+=在(0,2)有一解，即214(1)=011122b b ∆=--⎧⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩或2214(1)000102210b b b ∆=-->⎧⎪-+-≤⎨⎪-+->⎩， 解得114b <≤或54b =.故选：D. 【点睛】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大. 4．D 【分析】由()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，我们容易得出函数的最小正周期为3，进而由()()1101f f -==-，，我们求出一个周期内的函数值，进而利用分组求和法，得答案. 【详解】∵()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可知，∴()32f x f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴()()33322f x f x f x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭所以，()f x 是周期为3的周期函数，则()()()21311f f f =-+=-=同理()()()30301f f f =+==-，∵3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，∴有()32f x f x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∴()51122f f f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()1212f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，∴()11f =综上，()11f =，()21f =，()31f =-，()()()1231f f f ++= ∴()()()201912201916733f f f +++=⨯= 故选：D 【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用 5．B 【分析】由{}()||f x x x =-，可证(1)()f x f x +=，()f x 是周期为1的函数，求出11(,]22x ∈-的解析式，做出11(,]22x ∈-函数图像，利用周期性做出函数()f x 的图像，以及函数21|2|2y x =-图像，即可判断①②③④真假，得出结论.【详解】{}{}|(1)|)1||(111f f x x x x x x =-=+=+-++-，()f x ∴的周期为1，当0m =时，11(,]22x ∈-，102()102x x f x x x x ⎧--<≤⎪⎪==⎨⎪<≤⎪⎩，先做出11(,]22x ∈-函数()f x 图像，利用周期做出()f x 图像如下图所示：()f x 在(0,1)不具有单调性，①错误；函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称，②正确； 函数()y f x =在1(,),2k k k Z +∈上单调递增，③正确；当1(0,]2x ∈时，21(),()22f x xg x x x ==+-，令21()0,202g x x x =+-=，解得x =或x =， 当1(,1]2x ∈时，23()1,()22f x x g x x x =-+=--+，令23()0,202g x x x =+-=，解得xx =， (1,2]x ∈时，()g x 无零点，当(0,2)x ∈时，函数21()()22g x f x x =--有两个零点，④正确. 故答案为:B.【点睛】,本题考查新定义函数的性质，涉及到周期、单调性、对称性、零点，考查数形结合思想，属于较难题. 6．D 【分析】根据题意可知()f x 是在R 上的奇函数且关于x=1对称，函数()()log a g x f x x =-恰有3个零点，等价于()f x 和log a x 有3个交点，当[]0,1x ∈时，函数()f x 的解析式已知，用数形结合的方法可求得a 的取值范围。
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课题：函数的周期性考纲要求：了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.教材复习()1 周期函数：对于函数()y f x =，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的一个周期.()2最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫作()f x 的最小正周期. 基本知识方法1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x是以()4b a -为周期的周期函数；3.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=; 二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集. 4.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值.问题1．(06山东)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为 .A 1- .B 0 .C 1 .D 2问题2．()1(00上海) 设()f x 的最小正周期2T=且()f x它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,()f x =()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x << 时，()f x 的解析式是()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
问题3．()1（04福建）定义在R 上的函数()x f 满足()()2+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，()42--=x x f ，则 .A sin cos 66f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； .B ()()sin1cos1f f >；.C 22cos sin 33f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .D ()()cos2sin 2f f >()2（05天津文） 设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减， 且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 .A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f <<问题4．定义在R 上的函数()x f ，对任意R x ∈，有()()()()y f x f y x f y x f 2=-++，且()00≠f ，()1求证：()10=f ；()2判断()x f 的奇偶性；()3若存在非零常数c ,使02=⎪⎭⎫⎝⎛c f ，①证明对任意R x ∈都有()()x f c x f -=+成立； ②函数()x f 是不是周期函数，为什么？问题5．（01全国）设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意的121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅.()1设(1)2f =，求1()2f 、1()4f ；()2证明：()f x 是周期函数. ()3记⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n f a n 212，求lim(ln )n n a →∞.课后作业：1.（2013榆林质检）若已知()f x 是R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当()0,2x ∈时，2()2f x x =，则(7)f 等于 .A 2- .B 2 .C 98- .D 982.设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则.A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <-3.函数()f x 既是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()f x 在[]1,0-上是减函数，那么()f x 在[]2,3上是.A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数4.设1()1x f x x -=+，记(){[()]}n n ff x f f f f x =⋅⋅⋅个，则2007()f x =5.已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，且()23f -=，则(2014)f =6.设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1(3)()f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时， ()2f x x =，则(113.5)f = .A 27-.B 27 .C 15- .D 157.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()(1)1()f x f x f x -+=+，当0x <≤1时，()2f x x =，则(11.5)f = .A 1- .B 1.C 12 .D 12-8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x=-.()1求证：()f x 是周期函数；()2当[2,4]x ∈时，求()f x 的表达式； ()3计算(1)(2)(3)(2013)f f f f ++++.9.（05朝阳模拟）已知函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，求(1)(2)(3)f f f +++…(2006)f +的值走向高考：1.（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间()0,6内解的个数的最小值是 .A 2 .B 3 .C 4 .D 52.（2012山东）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当3-≤1x <-时，()2()2f x x =-+，当1-≤3x <时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++=.A 335 .B 338 .C 1678 .D 20123. (96全国)已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-， 当0≤1x <时，()f x x =，则(7.5)f 等于.A 0.5 .B 0.5- .C 1.5 .D 1.5-4.（06安徽）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15f =-， 则()()5ff =5. (06福建文）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b <<6.（04天津）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则53f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为.A 21-.B21 .C 23-.D237.（05天津）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=8.★（05广东）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有(1)(3)0f f ==． （Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论.。