高一数学函数周期性和对称性复习练习题
函数的对称性与周期性 专项练习 2021-2022学年高一上学期 人教A版(2019)数学必修第一册
函数的对称性与周期性一、学习过程我们知道，函数)(x f y =的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数)(x f y =为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数)(x f y =的图像关于点),(b a P 成中心对称图形的充要条件是函数b a x f y -+=)(为奇函数.（1）求函数233)(x x x f -=图像的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数)(x f y =的图像关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数)(x f y =为偶函数”的一个推广结论.1.函数的对称性（轴对称，中心对称）和周期性例题巩固：1.函数732++=x x y 关于点 对称.2.函数7|2|+-=a x y 关于3=x 轴对称，则=a .3.若函数)1(+=x f y 为奇函数，则)(x f 关于点 对称.4.函数2)(3-+=x x x f 在],[a a -上的最大值和最小值分别记为M 和m ，则m M += .结论1：我们知道：若)(x f 为偶函数，则它的图像关于0=x 对称，有)()(x f x f -=；那么，若)(x f 关于直线a x =对称，则有 成立，反之亦成立；结论2：同样地：若)(x f 为奇函数，则它的图像关于)0,0(对称，有);()(x f x f --=那么，若)(x f 关于)0,(a 对称，则有 成立，反之亦成立. （记忆上述结论，该结论可用于证明函数的对称性，或利用对称性解题）例1：若函数32)(2+++=a x ax x f 满足)1()1(x f x f -=+，则a 的值为 .变式训练：若函数32)(2+++=a x ax x f 满足)2()1(x f x f -=+，则a 的值为 .结论3：若函数)(x f 满足)()(x b f x a f -=+，则)(x f 关于直线 对称. 若函数)(x f 满足)()(x b f x a f --=+，则)(x f 关于点 对称.例2：（1）若函数)(x f 关于1=x 对称，当1<x 时，12)(2+-=x x x f ，则当1>x 时，=)(x f .（2）若函数)(x f 关于（1,0）对称，当1<x 时，12)(2+-=x x x f ，则当1>x 时，=)(x f .（3）设函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2=x 对称，已知]2,2[-∈x 时，函数1)(2+-=x x f ，则]2,6[--∈x 时，=)(x f .例3：（1）已知定义在R 上的函数)(x f 满足6)1(),()2(=-=+f x f x f ，则)97(f 的值（2）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且1)2(-=f ，对任意R x ∈，有)2()(x f x f --=成立，则)2016(f = .例4：证明：函数133)(23+++=x x x x f 的图像关于点（-1,0）中心对称.二、课后作业：1.函数3|22|+-=x y 关于直线 对称.2.函数172++=x x y 关于点 对称.3.已知奇函数)(x f 定义域为R ，又对任意)2()(,+=∈x f x f R x 恒成立，则=)2(f ；=)1(f ;则=++++)10(...)3()2()1(f f f f .4.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)3()1(+=-x f x f ，且)2,0(∈x 时，1)(2+=x x f ，则)7(f 的值为 .5.已知)(x f y =为奇函数，3)()(+=x f x g 在],[a a -上的最大值和最小时分别为M 和m ，则m M += .6.定义在R 上的偶函数)()1(x f x f -=+，且在]0,1[-上是增函数，则下列结论正确的是 .①)(x f 在]1,0[上是减函数 ②)(x f 的图像关于直线1=x 对称 ③)(x f 在]2,1[上是减函数 ④)0()2(f f =7.若函数)(x f 关于)0,2(对称，当2<x 时，12)(2+-=x x x f ，求当2>x 时，求)(x f 的解析式.8.已知二次函数bx ax x f +=2)(对任意实数x 都有)2()4(x f x f -=-成立，且函数的图像过点)23,1(A . （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若不等式x t x f ≤-)(的解集为],4[m ，求实数t 和m 的值.9.设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当]1,1[-∈x 时，.)(3x x f =（1）试证：直线1=x 是函数)(x f y =的图像的一条对称轴；（2）当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式.10.已知函数)(x f 和)(x g 的图像关于原点对称，且.2)(2x x x f +=（1）求函数)(x g 的解析式；（2）解不等式.|1|)()(--≥x x f x g11.证明：函数233)(x x x f +=的图像关于点)2,1(-对称.。
高一数学复习考点题型专题讲解13 函数的周期性与对称性
高一数学复习考点题型专题讲解 第13讲 函数的周期性与对称性一、单选题1．已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（ ）A ．3B ．3-C ．255D ．255-【答案】B【分析】根据题意可知()f x 是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【解析】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，故选：B2．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f -==，则(2022)(2023)f f +=（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A【分析】由题意求得函数()f x 是周期为4的周期函数，得到()()()()2022202321f f f f +=+-，结合()()11f x f x -+=+，得到()()20f f =，进而求得()()1,0f f -的值，即可求解.【解析】由题意，函数()f x 为R 上的奇函数，可得()(2)()f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()()2022202321f f f f +=+-，因为()()11f x f x -+=+，令1x =，得()()20f f =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()00,113f f f =-=-=-，所以()()20222023033f f +=-=-.故选：A.3．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()110f x f x -++=，若()03f =，则()()20222023f f +=（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．6【答案】B【分析】根据题意, 分析可得函数()f x 是周期为4的周期函数, 由此可得()()()2022203f f f ==-=-，()()()202331f f f ==-，用赋值法求出()1f 的值, 由此计算即可得答案.【解析】根据题意, 函数()f x 满足()()110f x f x -++=, 则()()20f x f x -++=,又由()f x 为偶函数，则有()()2f x f x +=-,则有()()()42f x f x f x +=-+=,即函数()f x 是周期为4的周期函数,()()110f x f x -++=，令0x =可得()10f =.()()()2022203f f f ==-=-，()()()2023310f f f ==-=，所以()()202220233f f +=-故选：B4．已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-3【答案】B【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==-=-.【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x -=，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-． 故选:B ．5．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，在区间()0,1上，有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称B ．函数()f x 的图象关于直线2x =成轴对称C ．在区间()2,3上，()f x 为减函数D ．7223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】对于A ：根据题意结合奇函数可得()()40f x f x -+=，结合对称中心结论()()2f m x f x n b -++=，则()f x 关于,2m n b +⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称理解判断；对于B ：根据对称轴的结论：()()f m x f x n -=+，则()f x 关于2m n x +=成轴对称，结合题意理解判断；对于C ：根据题意可得：()f x 在()0,1内单调递增，结合轴对称性质：对称区间单调性相反理解判断；对于D ：整理可得()()4f x f x +=，则()f x 的周期为4，结合单调性整理分析．【解析】()()()()()42222f x f x f x f x f x ⎡⎤-=--=-=--=-⎣⎦，即()()40f x f x -+=，故()f x 关于()2,0成中心对称，A 不正确；∵()()2f x f x -=，则()f x 关于1x =成轴对称，B 错误；根据题意可得：()f x 在()0,1内单调递增∵()f x 关于1x =成轴对称，（2，0）中心对称，则()f x 在()2,3内单调递减；C 正确； 又∵()()()22f x f x f x =-=--，则()()2f x f x +=-∴()()()42f x f x f x +=-+=，可知()f x 的周期为4 则712,D 223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭错误 故选：C ．6．已知图象开口向上的二次函数()f x ，对任意x ∈R ，都满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间(),21a a -上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],2-∞ 【答案】B【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.【解析】由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得函数()f x 图象的对称轴是直线32x =， 又二次函数()f x 图象开口向上，若()f x 在区间(),21a a -上单调递减， 则321221a a a ⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩，解得514a <≤．故选：B.7．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则3m n +=（ ）A ．7B ．2C ．2-D ．12-【答案】C【分析】由已知结合函数对称性可求出()3f ，进而求得结果.【解析】解：因为定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++， 若()17f -=-，则()()317f f =--=.故()23337f m n =++=，即32m n +=-.故选：C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =-+.若对任意的[]1,2x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()()0,2,6-∞C ．()2,0-D ．()()2,06,-+∞【答案】D【分析】利用奇函数求得()f x 的解析式，画出其函数图象的草图，由不等式在闭区间上恒成立，结合()f x 的对称性，有在12x -≤≤中，420x a --<<或42a x >-恒成立，进而求a 的范围.【解析】由题设知：,20()4,2x x f x x x --≤<⎧=⎨+<-⎩，又()f x 是定义在R 上的奇函数，即(0)0f =， ∴当02x <≤时，20x -≤-<，即()()f x x x -=--=，而()()f x f x x =--=-；当2x >时，2x -<-，即()()44f x x x -=-+=-，而()()4f x f x x =--=-；∴综上，有4,2(),224,2x x f x x x x x ->⎧⎪=--≤≤⎨⎪+<-⎩，可得如下函数图象，∴对任意的[]1,2x ∈-有()()f x a f x +>成立，即在12x -≤≤中，24x a x a x +<-⎧⎨+>--⎩或22x a x a x -≤+≤⎧⎨+<⎩或24x a x a x +>⎧⎨+>-⎩恒成立， ∴420x a --<<或42a x >-恒成立，即有20a -<<或6a >.故选：D.【点睛】关键点点睛：由已知求得()f x 的解析式并画出函数图象草图，由不等式恒成立，结合函数的对称性列不等式组，求参数范围.二、多选题9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为8【答案】ABD【分析】由(1)(1)f x f x --=--、(1)(1)-+=+f x f x 可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案. 【解析】由题设，(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称，所以[(1)1](11)f x f x ---=---，即()(2)f x f x -=--，则[(2)](22)f x f x --=---，即(2)(4)f x f x -=--，由(1)(1)-+=+f x f x ，则()f x 关于1x =对称，所以[(1)1](11)f x f x --+=-+，即(2)()f x f x -=，综上，()(4)f x f x =--，则(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--，故()(8)f x f x =-，即()(8)f x f x =+易知()f x 的周期为8，D 正确；773113(2)()(1)(1)()22222412f f f f f f ⎛⎫=-=-=--=--=--=- ⎪⎝⎭，A 正确； 由(1)(7)f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，B 正确；由()1,0x ∈-时()21f x x =-+递增，则()7,8x ∈时()f x 递增，显然C 错误.故选：ABD10．已知函数()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，并且当(]()0,1,12x f x x ∈=-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在()3,2--上为减函数B ．()f x 在13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x < C ．()f x 在[]1,2上为增函数D ．()f x 关于3x =对称【答案】BD【分析】由已知可得()f x 的图象关于()0,0中心对称，且关于1x =轴对称，周期为4，则可依次判断每个选项正误.【解析】因为()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，所以()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-+，所以(4)(31)(31)(2)(2)f x f x f x f x f x +=++=--+=--=-+，又(2)(11)(11)()()f x f x f x f x f x +=++=--+=-=-，所以(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4，其图象关于1x =轴对称，当(]0,1x ∈时，()12f x x =-，则函数()f x 在()0,1x ∈上递减，根据对称性可得()f x 在()1,2x ∈单调递增，再结合周期性可得()f x 在()3,2--上为增函数，故A 错误，因为当(]0,1x ∈时，()12f x x =-，()f x 在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦小于0，根据对称性可得()f x 在13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭小于0，故B 正确； ()f x 的图象关于1x =轴对称，所以13202f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()200f f ==， 所以()f x 不可能在[]1,2上为增函数，故C 错误；因为()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-+，所以(1)(1)(1)(1)f x f x f x f x --=-+=--+=-+所以()f x 的图象关于1x =-轴对称，因为()f x 的周期为4，所以()f x 关于3x =对称，故D 正确.故选：BD.11．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]0.20=，[]1.22-=-，则（ ）A ．()f x 是增函数B ．()f x 是周期函数C ．()2f x 的值域为[)0,1D ．()2f x 是偶函数【答案】BC【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数周期性的定义可判断B 选项；利用题中的定义求出函数()2f x 的值域，可判断C 选项.【解析】对于A 选项，因为()[]1110f =-=，()[]2220f =-=，所以，函数()f x 不是增函数，A 错；对于B 选项，对任意的x ∈R ，存在Z k ∈，使得1k x k ≤<+，则[]=x k ，所以，112k x k +≤+<+，则[][]111x k x +=+=+，所以，()[][]()[]()11111f x x x x x x x f x +=+-+=+-+=-=，故函数()f x 为周期函数，且周期为1，B 对；对于C 选项，对任意的x ∈R ，存在Z k ∈，使得21k x k ≤<+，则[]2x k =，所以，()[][)22220,1f x x x x k =-=-∈，C 对；对于D 选项，令()()2g x f x =，该函数的定义域为R ，因为()()[]0.40.80.80.80.8g f ==-=，()()[]0.40.80.80.80.810.2g f -=-=---=-+=，所以，()()0.40.4g g ≠-，故函数()2f x 不是偶函数，D 错.故选：BC.12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()(6)0f x f x ++=，且对任意的12,[3]0x x ∈-，，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[96]--，上单调递增 C ．x =2是函数(1)f x +的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由()(6)0f x f x ++=结合函数的奇偶性可推得(6)()f x f x +=-以及(12)()f x f x +=，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D ；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;【解析】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， 故函数()f x 是奇函数，故A 错误；因为()(6)0f x f x ++=，故(6)()f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以(6)()f x f x +=-，即()f x 的图象关于3x =对称，则x =2是函数(1)f x +的对称轴，故C 正确；因为(6)()f x f x +=-，所以(12)(6)()f x f x f x +=-+=，故12是函数()f x 的周期；对任意的12,[3]0x x ∈-，，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+， 即1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<，故3[]0x ∈-，时，()f x 单调递减，又因为()f x 为奇函数，所以]3[0x ∈，时，()f x 单调递减， 又因为()f x 的图象关于3x =对称，故6[3,]x ∈时，()f x 单调递增，因为12是函数()f x 的周期，故函数()f x 在[9,6]-- 单调性与[3,6]x ∈时的单调性相同， 故函数()f x 在[9,6]--上单调递增，故B 正确，作出函数()f x 的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数()f x 的最小正周期，D 正确；故选：BCD【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.三、填空题13．对x ∀∈R ，函数()f x 都有()()20f x f x +-=，则()f x =___________.（答案不唯一，写出一个即可）【答案】sin x π（答案不唯一）【分析】由已知关系式可知()f x 关于点()1,0对称，由此可得函数解析式.【解析】()()20f x f x +-=，()f x ∴图象关于点()1,0对称，则()sin f x x π=.故答案为：sin x π（答案不唯一）.14．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有()()22f x f x +=-，且()()f x f x -=，下列结论正确的是____.(填序号)①()f x 的图像关于直线2x =对称；②()f x 的图像关于点()20,对称；③()f x 的最小正周期为4；④()4y f x =+为偶函数．【答案】①③④【分析】由()()22f x f x +=-可得()f x 的图像关于直线2x =对称，然后结合()f x 为偶函数可判断出答案.【解析】因为()()22f x f x +=-，所以()f x 的图像关于直线2x =对称，故①正确，②错误； 因为函数f (x )的图像关于直线2x =对称，所以()()4f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()()4f x f x +=，所以4T =，故③正确；因为4T =且()f x 为偶函数，所以()4y f x =+为偶函数，故④正确．故答案为：①③④15．已知函数()|1|||f x x x t =++-的图像关于2x =对称，则t 的值是_______【答案】5【分析】函数()f x 的图像关于2x =对称，则()()4f x f x =-，代入即可求解．【解析】又因为函数()|1|||f x x x t =++-的图像关于2x =对称，所以()()4f x f x =-，则|1||||5||4|x x t x x t ++-=-+--所以5t =故答案为：516．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -++=，当[]1,0x ∈-时，()22f x x x =+，若()0f x x b --≥对一切R x ∈恒成立，则实数b 的最大值为______．【答案】14-##0.25-【分析】根据题设条件可得()f x 的图象关于()1,1呈中心对称，再根据奇偶性求出()f x 在[]0,1上的解析式，即可画出函数的图象，结合图象可求实数b 的最大值.【解析】解：因为()()22f x f x -++=，故()f x 的图象关于()1,1呈中心对称，因为当[]1,0x ∈-时，()22f x x x =+，当[0,1]x ∈时，()()22()22f x f x x x x x =--=-=+--，故()f x 的图象如图所示：结合图象可得：只需当[1,0]x ∈-时，2()2f x x x x b =+≥+即可， 即21124b x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤，故14b ≤-， 故答案为：14-.四、解答题17．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()121f x f x f x -+=+.(1)若132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)求证：()f x 的周期为4；(3)当[)0,2x ∈时，()3f x x =，求()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式.【答案】(1)3(2)证明见解析(3)()3537x f x x +=-+ 【分析】（1）先求出32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后再求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可； （2）利用函数周期性的定义，即可证明；（3）根据[)2,0x ∈-以及题设条件，先求出()()232f x x +=+，再根据()()()121f x f x f x -+=+，即可解出()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式．(1) ∵1131122122212f f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭， ∴317322332212f f f f ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭. (2)∵对任意的x ∈R ，满足()()()121f x f x f x -+=+ ∴()()()()()()()()()1112142211211f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++=++===-++++，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.(3)设[)2,0x ∈-，则[)20,2x +∈，∵当[)0,2x ∈时，()3f x x =，∴当[)20,2x +∈时，()()232f x x +=+，又∵()()()121f x f x f x -+=+， ∴()()()1321f x x f x -+=+ ∴()3537x f x x +=-+. 18．定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x ，y ，均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，当1x >时，()0f x >.(1)求()0f ，()1f -的值；(2)证明：当1x <时，()0f x <.【答案】(1)()02f =-，()14f -=-(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法求解（2）当1x <时，21x ->，则()20f x ->，再结合已知求解.（1）（1）令0x y ==，则()()()0002f f f =++，解得()02f =-.令1x y ==，则()()()2112f f f =++，解得()10f =，令1x =，1y =-，则()()()0112f f f =+-+，解得()14f -=-.（2）（2）当1x <时，21x ->，则()20f x ->.因为()()()()22222f f x x f x f x =-+=-++=，所以()()20f x f x =--<.19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-．当[0x ∈，2]时，2()2f x x x =-．（1）求证：()f x 是周期函数；（2）当[2x ∈，4]时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2008)f f f f ++++的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2()68f x x x =-+；（3）1.【分析】（1）根据函数周期的定义进行证明即可；（2）根据奇函数的性质，结合函数的周期性进行求解即可；（3）根据函数的周期性进行求解即可.【解析】（1）证明：(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=．()f x ∴是周期为4的周期函数．（2）当[2x ∈-，0]时，[0x -∈，2]，由已知得22()2()()2f x x x x x -=---=--，又()f x 是奇函数，2()()2f x f x x x ∴-=-=--，2()2f x x x ∴=+．又当[2x ∈，4]时，4[2x -∈-，0]，2(4)(4)2(4)f x x x ∴-=-+-．又()f x 是周期为4的周期函数，22()(4)(4)2(4)68f x f x x x x x ∴=-=-+-=-+．从而求得[2x ∈，4]时，2()68f x x x =-+．（3）(0)0f =，f （2）0=，f （1）1=，f （3）1=-．又()f x 是周期为4的周期函数，(0)f f ∴+（1）f +（2）f +（3）f =（4）f +（5）f +（6）f +（7）(2f =⋯=008)(2f +009)(2f +010)(2f +011)(2f =012)(2f +013)(2f +014)(2f +015)0=．而(2016)(2017)(2008)(0)(1)(2)1f f f f f f ++=++=，所以(0)(1)(2)(2008)1f f f f ++++=.20．已知二次函数()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，且满足()()22f x f x -+=--()x R ∈.（1）求()f x 的解析式，并求()f x 在[]3,0-上的最大值；（2）若()f x 在()1,t -+∞上为增函数，求实数t 的取值范围.【答案】（1）()21212f x x x =++；()max 1f x =；（2）1t ≥-.【分析】根据二次函数()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，求得c ，根据()()22f x f x -+=--，得函数关于2x =-对称，即可求得a ，从而可得函数得解析式，再根据二次函数得性质即可的解；（2）根据二次函数得单调性即可的解.【解析】解：（1）因为二次函数为()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，故1c =，又因为函数()f x 满足()()()22f x f x x R -=-∈+-，所以函数关于2x =-对称，即222x a =-=-，所以12a =， 故二次函数的解析式为：()21212f x x x =++由()f x 在[]3,2--单调递减，在[]2,0-单调递增，又()()13,012f f -=-=，所以()()max 01f x f ==；（2）因为函数在()1,t -+∞上为增函数，且函数图象的对称轴为2x =-，即二次函数()f x 在()2,-+∞上递增，所以12t -≥-，故1t ≥-.21．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-对任意的x ∈R 恒成立，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =. （1）求证：()f x 是以2为周期的函数（不需要证明2是()f x 的最小正周期）； （2）对于整数k ，当[21,21]x k k ∈-+时，求函数()f x 的解析式.【答案】（1）证明见解析；（2）2()(2),[21,21]()f x x k x k k k Z =-∈-+∈.【分析】（1）通过证明(2)()f x f x +=成立得解；（2）先求解[1,1]x ∈-时，2()f x x =，再通过周期为2得(2)()f x k f x -=可求解当[21,21]x k k ∈-+时函数()f x 的解析式【解析】解：（1）因为()(2)[(1)1]11()()f x f x f x f x f x ⎡⎤+=++=-+=-=⎣⎦， 所以：()f x 是以2为周期的函数；（2）∵当[0,1]x ∈时，2()f x x =，函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，∴[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∵()f x 是以2为周期的函数，即(2)()f x k f x -=，()k ∈Z设[21,21]x k k ∈-+，则2[1,1]x k -∈-，2(2)(2)f x k x k ∴-=-，即2()(2),[21,21]()f x x k x k k k Z =-∈-+∈.22．已知函数2()21f x x ax =--，且(2)(2)f x f x +=-.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)若()()g x f x mx =+在[1,1]-上时单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2()41y f x x x ==--.(2)[6,)(,2]+∞-∞【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.(1)解：因为(2)(2)f x f x +=-，所以函数()y f x =的对称轴为：2x =，函数2()21f x x ax =--的对称轴为：x a =，所以有2a =，即2()41y f x x x ==--.(2)解：2()()(4)1g x f x mx x m x =+=+--， 该函数的对称轴为：42m x -=-， 当412m -≤-时，函数在[1,1]-上单调递减，解得 2m ≤； 当412m --≤-时，函数在[1,1]-上单调递增，解得6m ≥， 综上所述：实数m 的取值范围为[6,)(,2]+∞-∞.23．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．(1)求证：点(1,2)-是函数32()3f x x x =+图象的对称中心；(2)已知函数32()3f x x x =+，求(2021)(2020)(2019)(2018)f f f f -+-++的值．【答案】(1)证明见解析；(2)8.【分析】（1）令()(1)2g x f x =--，利用单调性的定义证明()g x 是奇函数即可；（2）根据条件可得()()0g x g x +-=，即(1)(1)4f x f x -+--=，将数字直接代入计算即可.(1)证明：因为32()3f x x x =+，令()(1)2g x f x =--，所以32()(1)3(1)2g x x x =-+--3223(331)3(21)23x x x x x x x =-+-+-+-=-即3()3g x x x =-，33()()3()3()g x x x x x g x -=---=-+=-所以()g x 是奇函数．由题意，点(1,2)-是函数32()3f x x x =+图象的对称中心．(2)由（1）知函数32()3f x x x =+的图像的对称中心为(1,2)-，所以()()(1)2(1)20g x g x f x f x +-=--+---=，所以(1)(1)4f x f x -+--=，所以(2021)(2019)=(2020)(2018)=4f f f f -+-+，所以(2021)(2020)(2019)(2018)=8f f f f -+-++．24．设函数()()R y f x x =∈.(1)若对任意实数a ，b 有()()()f a b f a f b +=+成立，且当0x >时，()0f x >； ①判断函数的增减性，并证明；②解不等式：()()2560f t f t ++<；(2)证明：“()()R y f x x =∈图象关于直线x a =对称”的充要条件是“任意给定的R x ∈，()2()f a x f x -=”.【答案】(1)①函数()y f x =为R 上增函数，证明见解析；②{|51}t t -<<-(2)证明见解析【分析】（1）①利用赋值法和单调性的定义进行证明，②先利用赋值法得到()00=f ，再利用单调性和()()()f a b f a f b +=+进行变形求解；（2）结合函数的性质，从充分性、必要性两方面进行证明.(1)解：①函数()y f x =为R 上增函数，证明如下：由()()()f a b f a f b +=+，得()()()f a b f a f b +-=，对于12,R x x ∈，且12x x >，则120x x ->，则()()()12120f x f x f x x -=->，所以当12x x >时，有()()12f x f x >，所以函数()y f x =为R 上增函数.②由①得：()()2560f t f t ++<可化为2[(5)6]0f t t ++<，取0b =，得()()()0f a f a f =+，解得()00=f ，又因为函数()y f x =为R 上增函数，所以2(5)60t t ++<，解得51t -<<-即()()2560f t f t ++<的解集为{|51}t t -<<-.(2)证明：因为()y f x =图象关于直线x a =对称，所以()()f a x f a x =-+，令a x t -=，则x a t =-，2a x a t +=-，所以()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-成立；若()(2)f x f a x =+，令x a t =-，则2a x a t -=+，即()()f a t f a t -=+，即()()f a x f a x =-+成立，即()y f x =图象关于直线x a =对称；所以“()()R y f x x =∈图象关于直线x a =对称”的充要条件是“任意给定的R x ∈，()2()f a x f x -=”.25．已知函数()21f x x =-+. (1)利用函数单调性定义证明()21f x x =-+在区间()1,-+∞上的单调性； (2)请利用（1）的结论，说出()21f x x =-+在区间(),1-∞-上的单调性（不用证明）； (3)利用本题中（1）（2）得到的结论，求函数()21f x x =-+在区间()5,2--上的值域. 【答案】(1)证明见解析(2)()21f x x =-+在区间(),1-∞-上单调递增 (3)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）根据函数图象的变换，结合函数的对称性与单调性求解即可；（3）根据函数的单调性，结合函数的值域求解即可.(1)设1x ，2x 是区间()1,-+∞上的任意两个实数，且12x x <，则()()()()()()()()212112121212211222111111x x x x f x f x x x x x x x +---⎛⎫-=---=-=- ⎪++++++⎝⎭ 由121x x -<<，得210x x ->，()()12120x x ++> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.故()21f x x =-+在区间()1,-+∞上单调递增. (2)()21f x x =-+由反比例函数()2f x x=-向左平移得到 所以()21f x x =-+图像关于点()1,0-对称 由（1）知()21f x x =-+在区间()1,-+∞上单调递增 所以()21f x x =-+在区间(),1-∞-上单调递增. (3) 因为()()5,2,1--⊆-∞-，由（1）（2）知()21f x x =-+在区间()5,2--上单调递增 所以()()max 22f x f =-=，()()min 152f x f =-=.即()21f x x =-+在区间()5,2x ∈--上的值域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
函数对称性与周期性：高考数学一轮复习基础必刷题
函数对称性与周期性：高考数学一轮复习基础必刷题一、单选题1．函数91()3x x f x +=的图像（）A ．关于直线1x =对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称2．函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()02f =，则()2022f =（）A ．13B ．2C ．132D ．2133．已知定义域为R 的函数()f x 满足：()()4f x f x +=，且()()0f x f x --=，当20x -≤≤时，()2xf x =，则()2022f 等于（）A ．14B ．12C ．2D ．44．已知()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．25．已知定义在R 上的函数6()(0)e 1||1x mx f x m m x =+∈≠++R 且，（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈），则()()20222022f f -+=（）A ．3B ．6C ．3eD ．与实数m 的取值有关6．已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且()3f a -=，则=a （）A ．12B ．12-C ．2log 3D ．27．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =8．已知函数()2f x +是R 上的偶函数，且()f x 在[)2,+∞上恒有()()()1212120f x f x x x x x -<≠-，则不等式()()ln 1f x f >的解集为（）A ．()()3,e e ,∞∞-⋃+B ．1,e C ．()3e,eD ．()e,∞+第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．已知()f x 是以4为周期的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()1f x x =-，则()21f -=________．10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数()1y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，()3f x x =，则72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．11．已知函数()2e e 1x xf x x +-=+++，则不等式()()321f x f x +≥+的解集为___________.三、解答题12．已知函数2()f x x ax b =++.（1）若对任意的实数x 都有(1)(1)f x f x +=-成立，求实数a 的值；（2）若()f x 在(,1]-∞内递减，求实数a 的范围；（3）若函数()sin ()g x x f x =⋅为奇函数，求实数a 的值.13．设()f x 是定义在R 上的函数，满足()()f x f x -=-，(4)()f x f x +=，当2(]0,x ∈时，()f x =（1）求()f x 在[0,6]上的解析式.（2）若()(0)f x kx k =>在区间(0,6]上至少有3个不同的实数根，则k 的取值范围是.14．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()121f x f x f x -+=+.(1)若132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)求证：()f x 的周期为4；(3)当[)0,2x ∈时，()3f x x =，求()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式.15．已知y =f (x )满足对一切x ，y ∈R 都有f (x +2y )=f (x )+2f (y ).(1)判断y =f (x )的奇偶性并证明;(2)若f (1)=2，求f (-13)+f (-3)+f (22)+f (53)的值.参考答案：1．B 【解析】【分析】利用分离常数法化简函数式，可知函数()f x 为偶函数，进而判断对称性.【详解】解：因为()()231911333333x xx x x x xxf x -++===+=+，()()33x x f x f x --=+=易知()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称.故选：B.2．C 【解析】【分析】根据函数的周期性直接求值.【详解】根据由()()213f x f x ⋅+=，得()()()()24213f x f x f x f x +⋅+=⋅+=，即()()4f x f x +=，所以函数的一个周期为4，所以()()20222f f =，又()02f =，()()0213f f ⋅=，故()()13202222f f ==.故选：C.3．A 【解析】【分析】根据函数的周期性以及奇偶性，结合已知函数解析式，代值计算即可.【详解】因为函数()f x 满足：()()4f x f x +=，且()()0f x f x --=，故()f x 是R 上周期为4的偶函数，故()()()202222f f f ==-，又当20x -≤≤时，()2x f x =，则()21224f --==，故()120224f =.故选：A.4．C 【解析】【分析】由()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，可得函数的周期为4，再奇函数的性质可得()20log 0f a ==，从而可求出1a =，进而可求得()2021f 的值【详解】解：因为()y f x =为奇函数，即()()f x f x -=-，因为对任意x ∈R ，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，所以()20log 0f a ==，所以1a =，则()()()22021505411log 21=⨯+===f f f .故选：C.5．B 【解析】【分析】可证()()6f x f x +-=，从而可得正确的选项.【详解】因为()6e 11x mxf x x --=-++，故()666e 6()6e 1e 1e 1e 1x x x x x f x f x --+=+=+=++++，故()()202220226f f -+=，故选：B 6．B 【解析】【分析】由奇函数对称性可得(3)f a =-，代入已知解析式解得a .【详解】函数()f x 为奇函数，(3)(3)f f a ∴-=-=.又2()log (1)f x x ax =++，则2(3)log 43f a a =+=-，解得12a =-.故选：B.【点睛】图象具有对称性的函数求值题型关键在于区间转化，将未知区间的问题利用对称性转化到已知区间上求解.7．B 【解析】【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.故选：B.8．C 【解析】【分析】根据函数()2f x +是R 上的偶函数得到()f x 的对称轴，然后根据()()()1212120f x f x x x x x -<≠-得到函数在[)2,+∞上的单调性，进而得到函数在R 上的单调性，最后求得答案.【详解】因为函数()2f x +是R 上的偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称，在[)2,+∞上恒有()()()1212120f x f x x x x x -<≠-，当12x x <时，()()12f x f x >，所以()f x 在[)2,+∞单调递减，()f x 在(),2-∞单调递增，不等式()()ln 1f x f >需满足|ln 2||21|1ln 3x x -<-⇒<<，解得3e e x <<.故选：C ．9．0【解析】【分析】利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.【详解】()()()()21214511110f f f f -==⨯+==-=．故答案为：0.10．18-【解析】【分析】求出函数()f x 的周期即可求解.【详解】根据题意，(1)y f x =+为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则有()(2)f x f x -=+，又由()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，则有(2)()f x f x +=-，即(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，所以371112228f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：18-．11．[]22-,【解析】【分析】先判断()f x 关于1x =-对称，且在()1,-+∞上单调递增再求解不等式即可【详解】因为()()()22222ee 21e e 1x x x xf x x x -----+-+--=++--+=+++，故()()2f x x f --=，故()f x 关于1x =-对称.且当1x >-时，()2e e 10x x f x +-'=-+>，故()f x 为增函数.故()()321f x f x +≥+即()()31211x x +--≥+--，即422x x +≥+，故22816484x x x x ++≥++，故24x ≤，即[]2,2x ∈-故答案为：[]22-,12．（1）2a =-（2）2a ≤-（3）0a =【解析】（1）根据函数的对称性结合二次函数的对称轴即可求出实数a 的范围.（2）根据二次函数的对称轴大于等于只要1,即可求出实数a 的范围.（3）根据奇函数的定义()()g x g x -=-,即可求出实数a 的范围【详解】解：（1）由()f x 对任意的实数x 都有()()11f x f x +=-成立可知,二次函数的对称轴为012a x -==,所以2a =-;（2）由（1）知二次函数的对称轴为012ax -==,若()f x 在(,1]-∞内递减,只要122aa -≥⇒≤-,所以实数a 的范围是2a ≤-.（3）由()g x 对任意的实数x 都有()()g x g x -=-,所以sin()()sin ()x f x x f x -⋅-=-⋅,()()f x f x ⇔-=x R ⇔∀∈,0ax =,所以0a =.【点睛】本题考查二次函数的对称性、单调性与奇偶性,属于基础题,掌握每个性质的判断方法是关键.13．（1）2()46x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪⎩；（2）⎛ ⎝⎦.【解析】【分析】（1）利用函数满足()()f x f x -=-，(4)()f x f x +=，可得()()4f x f x -=-，设出x 的取值范围即可求解.（2）由题意数形结合可得(0)y kx k =>和y =的距离小于等于半径即可求解.【详解】解：（1）(0)0f == ()(),f x f x -=- (4)()(4)()(4)()f x f x f x f x f x f x +=⇒+=--⇒-=-设(2,4]x ∈，则4[0,2)x -∈，(4)f x ∴-==又(4)()f x f x -=-，()f x ∴=当6(4],x ∈时，(42],0x -∈(4)f x ∴-==又(4)()f x f x -=，()f x ∴=综上2()2446x f x x x ≤≤=<≤⎨<≤（2）由（1）可知若()(0)f x kx k =>在区间(0,6]上至少有3个不同的实数根，由图只需(0)y kx k =>和y =即(0)y kx k =>和()22(5)10x y y -+=≥至少有一个交点，即()5,0到直线(0)y kx k =>距离小于等于1，1≤，解得k ≤12k ⎛∈ ⎝⎦.14．(1)3(2)证明见解析(3)()3537x f x x +=-+【解析】【分析】（1）先求出32f ⎛⎫⎪⎝⎭，然后再求72f ⎛⎫⎪⎝⎭即可；（2）利用函数周期性的定义，即可证明；（3）根据[)2,0x ∈-以及题设条件，先求出()()232f x x +=+，再根据()()()121f x f x f x -+=+，即可解出()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式．(1)∵1131122122212f f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+=- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭，∴317322332212f f f f ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭.(2)∵对任意的x ∈R ，满足()()()121f x f x f x -+=+∴()()()()()()()()()1112142211211f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++=++===-++++，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.(3)设[)2,0x ∈-，则[)20,2x +∈，∵当[)0,2x ∈时，()3f x x =，∴当[)20,2x +∈时，()()232f x x +=+，又∵()()()121f x f x f x -+=+，∴()()()1321f x x f x -+=+∴()3537x f x x +=-+.15．(1)奇函数，证明见解析(2)118【解析】【分析】（1）令y x =-，结合题意根据奇偶性的定义即可得出结论；答案第9页，共9页（2）令()1,Z x y n n ==∈，可得(2)2()f n f n =，再结合函数的奇偶性分别求出()()()()13,3,22,53f f f f --即可得出答案.(1)解：()y f x =为奇函数，证明：令y x =-，则有()()2()f x f x f x -=+-，所以()()f x f x -=-，故()y f x =为奇函数；(2)解：令()1,Z x y n n ==∈，则()(12)12()22()f n f f n f n +=+=+；又(0)0f =，令()0,x y n n Z ==∈，则()(02)(2)02()2()f n f n f f n f n +==+=，即(2)2()f n f n =，所以(2)2(1)4,(3)22(1)6,(5)22(2)10f f f f f f ===+==+=，则(3)(3)6f f -=-=-，()(13)(13)(126)22(6)222(3)26f f f f f -=-=-+⨯=--=--=-，()()(22)2(11)2(125)222(5)44f f f f ==+⨯=+=，()(53)22(26)222(13)106f f f =+=+=，所以所求式子的值为118.。
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题(含答案)
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题（含答案）一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x −=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x −=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=−，或得到()()31f x f x −=−+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=−+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=−+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=−+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x −=−+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x −=−+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
第23讲：函数的对称性和周期性专题训练
第23讲函数的对称性和周期性专题训练【知识点梳理】1.函数常见对称性结论定理1若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．关系式()()f a x f a x +=-也可以写成()(2)f x f a x =-或()(2)f x f a x -=+．若写成()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．定理2若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．推论2关系式()()2f a x f a x b ++-=也可以写成(2)()2f a x f x b ++-=或(2)()2f a x f x b -+=．2.函数常见周期性结论若函数对于任意的x 都满足()()x f T x f =+，则T 为()x f 的一个周期，且()()x f nT x f =±定理1①若函数()y f x =满足()()f x m f x +=-，则2T m =．②若函数()y f x =满足)((1)f x m f x =±＋，则2T m =．③若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x -+=+，则2T m =．④若函数()y f x =满足()()b x f a x f +=+，则a b T -=．定理2若函数()y f x =的图象关于直线x a =，x b =都对称，则()f x 为周期函数且2||b a -是它的一个周期．定理3函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点0()A a y ，、0()B b y ，都对称，则函数()y f x =是以2||b a -为周定理4函数()y f x =()x R ∈的图象关于0()A a y ，和直线x b =都对称，则函数()y f x =是以4||b a -为周期的周期函数．推论1周期为T 的奇函数一定关于点(0)2T ，对称，周期为T 的偶函数关于直线2Tx =对称．定理5若函数()y f x =满足()()()f x f x a f x a =++-，则函数()f x 是以6a 为周期的周期函数．证明由函数()()()()(2)()()(2)()()f x f x a f x a f x a f x a f x f x f x a f x f x a =++-⇒+=++⇒=+++-,则0(2)()f x a f x a =++-，所以()(2)()(3)(33)(6)f x a f x a f x f x a f x a a f x a -=-+⇒=-+=++=+，则()f x 是以6a 为周期的周期函数．定理6若函数()y f x =满足1()1(()0)()f x m f x f x +=-≠，则函数()f x 是以3m 为周期的周期函数．证明由函数()y f x =满足1()1(()0)()f x m f x f x +=-≠得11(3)111(2)1()f x m f x m f x m +=-=-=+-+11()1()111()f x f x m f x --==+---，则函数()f x 是以3m 为周期的周期函数．定理7若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x ++=-，则函数()f x 是以4m 为周期的周期函数．证明由1()11()11()(2)==1()1()()11()f x f x m f x f x m f x f x m f x f x ++++-+=-+-+--，又1(4)=()(2)f x m f x f x m +-=+，则4T m =．【典型例题】题型一：利用周期性求函数值【例1】已知奇函数()f x 满足()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【例2】已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（）A ．3B ．3-C ．255D ．255-【例3】设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[0,2)x ∈时，()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩，则5()2f -=（）A ．﹣1B ．1C ．12D ．14【例4】（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x f x f x -==+，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是周期函数C ．9912f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．[]1,0x ∈-时，()f x x=【例5】()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()22f x f x -=+，又当(]0,1x ∈时，()3xf x =，则131log 72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【题型专练】1.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则（）A ．11(6)(7)()2f f f <-<B ．11(6)()(7)2f f f <<-C ．11(7)()(6)2f f f -<<D ．11()(7)(6)2f f f <-<2.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(6)()f x f x +=-，若当[]3,0x ∈-时，()6x f x -=，则(2021)f =（）A ．0B ．1C ．6D ．2163.已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[)1,0x ∈-时，()f x x =，则()2021f =（）A ．2021B ．1C ．1-D ．04．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2,13f x f x f +=-=，则()2023f =___________.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 满足1(2)()f x f x +=-，且当(1,3)x ∈时，2()log f x x =，则(2020)(2022)f f +的值为_________.题型二：函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【例1】已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()110f x f x -++=，若()03f =，则()()20222023f f +=（）A ．0B ．3-C ．3D ．6【例2】已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）①函数()f x 的最小正周期为2②函数()f x 在()0,2021内单调递增③函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2④函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1011个零点A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则m 的取值范围是（）A ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．143⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【例4】设函数f x （）的定义域为R ，1f x +（）为偶函数，2f x +（）为奇函数，当]2[1x ∈，，²f x ax b =+（），若036f f +=（）（），则112f ⎛⎫⎪⎝⎭=（）A ．-94B ．-32C ．-72D ．52【例5】已知函数()f x 的定义域为R ，且满足：(2)(2)f x f x -+=-+，又(1)f x +为偶函数，当[0,2]x ∈时，2()2f x ax x b =++，则(1)(3)(5)(7)f f f f +++的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．2【例6】已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的x ∈R ，有()()22f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()21log 1f x x =++，则()2023f =（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例7】已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()4f x f x =-，()()22f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法错误的是（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为4C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12-D ．方程()3log f x x =有10个根【例8】若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A.3-B.2- C.0D.1【题型专练】1.已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为奇函数，()21f x +为偶函数，则函数()f x 的周期是（）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x -为偶函数，且当01x <≤时，()2log 2f x x =，则()21f =（）A ．1-B ．0C ．2log 3D ．13．已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（）A ．1B ．-1C ．2D ．-34.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有()()11f x f x +=--，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则下列结论错误的是（）A ．()f x 是以4为周期的周期函数B ．()()202120222f f +=-C ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =-+5．已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的x ∈R ，有()()2f x f x +-=，()1y f x =-+为偶函数，且当[]0,1x ∈时，()()21log 1f x x =++，则()2023f =（）A ．0B ．1C ．2D ．36．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，在区间()0,1上，有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称B ．函数()f x 的图象关于直线2x =成轴对称C ．在区间()2,3上，()f x 为减函数D ．7223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线1x =-B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意的x ∈R 都有()()2f x f x -=8．()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()11f =，则20221()k f x ==∑（）A ．-3B ．-2C ．0D ．19．（多选题）已知函数()f x 对x ∀∈R ，都有()()()(),2f x f x f x f x -=--=，且()11f =，则（）A ．()f x 的图像关于直线1x =对称B ．()f x 的图像关于点()2,0-中心对称C ．()60f =D ．()51f =-10．（多选题）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()(6)0f x f x ++=，且对任意的12,[3]0x x ∈-，，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[96]--，上单调递增C ．x =2是函数(1)f x +的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12。
函数的对称性和周期性练习题 本部
函数的对称性和周期性练习题本部函数的对称性和周期性练题本部本练题本旨在帮助读者深入理解函数的对称性和周期性概念，并进行相关练题的探索。
以下是一些练题供读者参考：1. 对称性练题1.1 奇函数和偶函数的判断判断以下函数是奇函数还是偶函数：a) $f(x) = x^3 + x$b) $g(x) = \sin(x)$c) $h(x) = x^2 - 2$1.2 其他对称性的探索探索以下函数的其他对称性：a) $f(x) = 2\cos(x)$b) $g(x) = \tan(x)$c) $h(x) = \sqrt{x}$2. 周期性练题2.1 正弦函数和余弦函数的周期求解以下函数的周期：a) $f(x) = \sin(3x)$b) $g(x) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$c) $h(x) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{5}x\right)$2.2 其他周期函数的探索探索以下函数的周期性：a) $f(x) = \sin(2x)$b) $g(x) = \cos(x^2)$c) $h(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$3. 综合练题请计算以下函数的对称轴和周期：a) $f(x) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$b) $g(x) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$c) $h(x) = \sin(x) + \sin(2x)$以上练习题可以帮助读者巩固对函数的对称性和周期性的理解，希望对您的学习有所帮助！若需要更多练习题，敬请参考相关教材或课程。
祝您学习进步！。
高一数学周期性和对称性试题
高一数学周期性和对称性试题1.若函数的图像关于直线x=1对称，则b=__________。
【答案】6【解析】∵对称轴为x=1，∴a=-4，又∵区间[a,b]关于x=1对称，∴b=6.【考点】二次函数的性质.2.若函数满足，且当时，，则．【答案】1【解析】函数满足知，，∴是周期为2的周期函数，∴=2×|0|+|1|="1." 是周期为2的周期函数，∴=2×|0|+|1|=1.【考点】函数的周期性3.已知的图像关于直线对称，则实数的值为 .【答案】1【解析】因为函数为偶函数，其图像关于轴对称，对称轴为，函数的图像由函数的图像向右平移个单位可得，所以函数的对称轴为，又因为函数的图像关于直线对称，故．【考点】1．指数函数；2．函数的对称性；3．函数图像的平移．4.已知函数的定义域为，满足，且当时，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，周期为2【考点】函数性质及求值点评：函数若满足，则周期为；若满足，则周期为5.已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则_________________．【答案】２.５【解析】因为,所以,所以函数f(x)的周期为4,所以．6.若=_________．【答案】【解析】函数的周期是,7.已知偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则f、f、f从小到大的顺序【答案】【解析】此题考察奇偶函数的性质思路分析：因为y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，所以，函数的周期，又函数为偶函数，故，，，而在上单调递减，，所以，即.点评：先求函数周期，再根据函数单调性比较大小.8.函数的图像关于（）轴对称原点对称轴对称直线对称【答案】B【解析】略9.若函数的图像关于原点对称，则．【答案】.【解析】∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴，∴，∴解得，.【考点】奇函数的性质.10.定义域为R的函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】有题可知，有，因此得到，又因为，因此有，，故；【考点】函数的奇偶性以及周期性。
函数的周期性、对称性(解析版)
函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。
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函数周期性和对称性高一数学一•定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使f(x T) f(x)恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
二•重要结论1、f x f x a，则y f x是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
3、若函数f x a f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
f x15、若函数y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
f x6、f (x a) 1一3，则fx是以T 2a为周期的周期函数.1 f(x)7、f(x a)1一L(x)，则f x是以T 4a为周期的周期函数•1 f(x)8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且2 ( b-a)是它的一个周期。
9、函数y f(x) x R的图象关于两点 A a, y0、B b, y0 a b都对称，则函数 f (x)是以2 b a为周期的周期函数；10、函数y f(x) x R的图象关于A a, y。
和直线x b a b都对称，则函数f(x)是以4 b a为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，贝U f(x)为周期函数且2 a是它的一个周期。
12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4 a是它的一个周期。
13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。
14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x) (x € R, 0),则f(-)=0.2函数的轴对称：a b定理1 ：如果函数y f x满足fax f b x，则函数y f x的图象关于直线x 对2 称•推论1：如果函数y f x满足fax fax，则函数y f x的图象关于直线x a对称•推论2：如果函数y f x满足f x f x ,则函数y f x的图象关于直线x 0 （y轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.一、函数的点对称：定理2：如果函数y f x满足fax fax 2b，则函数y f x的图象关于点a,b对称. 推论3：如果函数y f x满足fax fax 0，则函数y f x的图象关于点a,0对称.推论4 :如果函数y f x满足f x f x 0，则函数y f x的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.二、函数周期性的性质：定理若函数f x在R上满足f （a x)fax，且f(b x) f b x (其中a b）,则函数3：y f x以2 a b为周期.定理4:若函数f x在R上满足f（a x) f a x，且f(b x) f b x (其中 a b），则函数y f x以2 a b为周期.定理5：若函数f x在R上满足f（a x)fax，且f(b x) f b x (其中a b）,则函数y fx以4a b为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性，但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数，同时分析条件特征必能拨开迷雾，马到成功.下面以例题来分析.例1.已知定义为R的函数f x满足f x f x 4，且函数f x在区间2, 上单调递增.如果x-i 2 x2，且x-i x2 4，则f % f x2的值（）.A.恒小于0 B .恒大于0 C .可能为0 D .可正可负.分析：f x f x 4形似周期函数f x f x 4，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x 2代替x，使f x f x 4变形为f 2 x f x 2 .它的特征就是推论 3.因此图象关于点2,0对称.f x在区间2, 上单调递增，在区间,2上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图）2 X2 4 x-，且函数在2, 上单调递增，所以f x2 f 4 X!，又由f x f x 4 ,有 f (4 x 1) f x 1 4 f x 1 4 4 f x 1 ,[3,4] 上是增函数f x 1 f x 2 f x 1 f 4 x 1 f x 1 f x 10.选 A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.练1:在R 上定义的函数f (x)是偶函数，且f(x) f (2 x).若f (x)在区间［1,2］上是减函数，则f(x)()A. 在区间［2, 1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数B. 在区间［2, 1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数上是减函数，在区间C.在区间[2, 1][3, 4]上是增函数分析：由f(x) f(2 x)可知f(x)图象关于x 1对称，即推论1的应用.又因为f(x)为偶函数图象关于 x 0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为 2，结合f (x)在区间[1,2]上是减函数，可得如右 f(x)草图.故选B例2 •已知函数y f x 的图象关于直线 x 2和x 4都对称，且当0x1时，f X x .在闭区间T,T 上的根的个数记为n ，贝U n 可能为(: )A.0B.1C.3D.5分析：f(T)f( T) 0 ,f( T )f (T ) f( ~T)f (T ),2 222•- f( 匸)f(T ) 0 ,则n 可能为5 ?练2.定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数, 2 2D.在区间[2, 1]上是减函数，在区间T 是它的一个正周期•若将方程f(x)求f 19.5的值.分析：由推论1可知, y f x 的图象关于直线 2对称，即f 2 x同样, 满足f 4 x ，现由上述的定理 X 是以4为周期的函数.f 19.5 f 4 4 3.5 f 3.5 0.5 0.5， 同时还知f X 是偶函数，所以0.5 f 0.5 0.5. 例3. f f 398 x f 2158 x f 3214 x ，则f f 999 中最多有()个不同的值. A.165 B.177 C.183 D.199分析：由已知f x f 398 f 2158 x f 3214 x f x 1056f x 1760 f x 704352 . 又有 f x f 398 x2158 x f 3214 x 1056f 2158 1056 xf 1102 x f 1102 x1056f 46 x ,于是f (x)有周期352，于是f o ,f 1 , L ,f 999能在 ,f 351中找到. 又f (x)的图像关于直线x 23对称，故这些值可以在23 , f 24 丄,f 351中找到.又f(x)的图像关于直线x 199对称，故这些值可以在 f 23 , f 24 ,L , f 199 中找到.共有177个.选B. 练3 :已知 1 x1 3x ，x ，…， 则 f 2004 2 分析：由f ,可令 x=f (x )知 f , x 1 3x ,f 2 x3x 13x 1 f(x)为迭代周期函数，故 f 3n x 2004 f x, f 2004练4：函数f (x)在R 上有定义，且满足 f(x)是偶函数，且f 0 2005, g x x 1是奇函数,则f 2005的值为函数的定义域为[—1 , 0 ) U ( 0 , 1 ]故f ( x ) 是奇函数4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4•已知函数f (x)对一切x, y R ，都有f (x y) f (x) f (y)，(1)求证： f (x)是奇函数；(2)若f( 3) a ，用a 表示f(12)解：(1)显然f(x)的定义域是R ，它关于原点对称•在 f(x y) f (x) f (y)中，令 yx ，得 f(0) f(x) f( x)，令 x y 0,得 f (0)f(0) f (0) ,「.f(0)0 ,••• f (x) f ( x) 0,即 f( x) f (x),••• f (x)是奇函数.f y fy 2，即有f :x f x 20，令 a nf x ，则 a n a n 2 0 ,其中 a 。
2005 ,2005 ・n・ n2005.2005. 2005a 1 0, a ni i,f 2005 a1 1220 •或有f xf x 2，得 f 2005f 2003f 2001f 1999 Lf 1 0.练习：1、判断函数f ( x )=J1 x 2的奇偶性解：由题| x 2 |2解：g x f x 1 ，令 y x 1，则f x 1g x f x 1 , f x 1 1 x 2 0 |x 2| 2(x 1)(x 1) 0 x 22此时 f ( x ) = (x 2)2 x又 f( x)1 ( x)2x1 x2 x = — f ( x )(2)由 f ( 3) a , f (x y) f (x) 得 f (12) 2f(6) 4f (3) 4f ( 3)5、利用函数奇偶性求函数解析式或求值 练习：已知f (x)是R 上的奇函数，且当f (y)及f (x)是奇函数， 4a .x (0,)时，f (x) x(13x),-1x(1 3x), x 0 x(1 3 x), x 01 x 1 1 1 1例 7 已知函数 f(x) x log 2 ，求 f()+f()+ f () + f ( )的值 1 x 2005 20042004 20051 x解：由「0得函数的定义域是(1,1)1 x1 x1 x又 f ( x) f (x) log 2log 2log 21 01 x1 xf( x) f(x)成立， 函数是奇函数为奇函数，则则f(x)的解析式为f(x)1f (2005)+ f(2005)=01f(茹)+1 f(2004)=0 2004)+1 f(20041 ) + f(2005) =0例 8 设函数f(x)= , - f ( —x)=—又••• f(x)为奇函数，二f(x)= — f (—X).例14、是定义在R上的以3为周期的奇函数，且x 2 (a 1)x a x 2 (a 1)x a /. a= — 1.练习： 2 1已知f(x) ax bx 3a b是偶函数，定义域为a 1,2a ，则a -，b=°解：f( x) f(x) , f (x 4) f(x) f(6.5) f (4 2.5)f ( 1.5) f ( 1.5 4) f (2.5) 2.5f (5.5)f(5.5 4 f (1.5) f( 1.5) f ( 1.54)f(2.5)2.5解： a 1 2a1 a 一 3，b 0？3、设偶函数 f(x) 对任意xR ，都有 f (x 3)1 ，且当x 3, 2时,f(x)的值为(D)22 厂11A.-B.C.-D.-77 5 5解：f(x3)1 f(x 6) f[(x 3) 3]1f(x)f (x)f (x 3)f (x)是以T 6为周期的周期函数f (113.5) f (18 65.5) f (5.5)f(6 0.5) f( 0.5)11 1f (x) 2x ,则 f (113.5)f(3 0.5) f( 2.5) 5例13、已知f (x)是周期为4的偶函数，当x2,3 时，f (x) x ，求 f(6.5), f( 1.5) , f (5.5)f (2.5)2.5，则方程f(x)=O在区间(0, 6)内解的个数的最小值是DA . 2 B. 3 C. 4 D. 5解析：依题可知 f (x) =f (x+3) .f (2) =f (5) =0.又••• f(x)是定义在R上的奇函数，/• f (—x) =—f (x) .••• f (—2) = —f ( 2) =0. /• f (—2) =f (1) =f (4) =0.又T奇函数有 f ( 0) =0 ,• f ( 3) =f (6) =0.•••在(0, b)内f (x) =0解的个数最小值为 5.练习：1、已知定义域为R的函数f(x)在(8,+ g)上为减函数且函数y=f(x+8)为偶函数，则DA.f(6) > f(7)B.f(6) > f(9)C.f(7) > f(9)D.f(7) > f(10)解析：T y=f(x+8)为偶函数，• y=f(x)图象关于x=8对称.又•/ y=f(x)在(8, +g)上为减函数，• y=f(x)在(—g, 8)上为增函数.• f(7)=f(9), f(9) > f(10). • f(7) >f(10).2、(2006山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2) = -f(x),贝U f(6)的值为B(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析：T f (x+2 ) =-f (x) .• f (6) =f (4+2) =-f (4) =f (2) =-f (2).例14、是定义在R上的以3为周期的奇函数，且又-f (x)为R 上的奇函数，• f (2) =0 /.f (6) =0.3、若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是A . BC.D . (- 2, 2)解析：I f (2) =0 且 f (x)为偶函数，••• f (- 2) =0.又••• f (x)在(—g,0］递减，• f (x)在(—2, 0］递减.•对于x€ (—2, 0)必有 f (x) <0.由对称性得对于x€［0, 2)必有f (x) <0.• •使得f (x) <0的范围是(一2, 2).4、设函数f (x) (x€ R)为奇函数，f (1) = , f (x+2) =f (x) +f (2)，则 f ( 5)等于(C)A.OB.1C.D.5 解：f (x+2) =f (x) +f(2)且 f (x) ( x€ R)为奇函数，f (1)=f(1) f( 1 2) f( 1) f(2) f(1) f(2)1f (2) 2f(1) 2 12f(5) f(3 2) f (3) f (2) f (1 2) f (2) 2f (2) f(1)-2。