高一数学函数对称性及周期性作业
高三函数周期、对称性专项训练题
周期性和对称性1.周期函数和最小正周期：在定义域内，若存在有一个非零常数T ，恒满足 ƒ(x+T)= ƒ(x)，则称T 为其一个周期。
2.对称性：①ƒ（x+a ）=ƒ（b-x ），则ƒ（x ）关于 对称②若有ƒ（x+a ）=-ƒ（b-x ），则ƒ（x ）的图象关于 对称③若ƒ(a+x)是奇函数 ⇒则ƒ(a-x)= ,ƒ(x)的图象关于 对称； ④若ƒ(a+x)是偶函数 ⇒则ƒ(a-x)= ,ƒ(x)的图象关于 对称；⑤若()()2f a x f b x m ++-=，则f(x)关于点 __ 对称⑥若ƒ（x ）与g （x ）的图象关于直线x=m 对称,则g （x ）= ⑦若ƒ（x ）与g （x ）的图象关于点(m,0)对称,则g （x ）=3.关于周期的常见结论：①若ƒ（x+a ）=ƒ（x+b ）， 则ƒ（x ）的周期为 ; ②若ƒ（x+a ）=－ƒ（x ）， 则ƒ（x ）的周期为 ;若ƒ（x+a ）=)(1x f ， 则ƒ（x ）的周期为 ; 若ƒ（x+a ）=－)(1x f ， 则ƒ（x ）的周期为 ;若ƒ（x+a ）=1()1()f x f x -+，则ƒ（x ）的周期为 ;若ƒ（x+a ）=)(1)(1x f x f -+，则ƒ（x ）的周期为 ;③若ƒ(x)是关于点（a,0）和（b,0）对称，则ƒ(x)的周期为 ④若ƒ(x)是关于直线x=a 和直线x=b 对称，则ƒ(x)的周期为 ⑤若ƒ(x)是关于点（a,0）和线x=b 对称， 则ƒ(x)的周期为1、R 上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x)+f(2)，x ∈[0，2]时，y= f(x)递减，命题：①f(2)=0； ②x= 一4为y= f(x)图象的一条对称轴； ③y= f(x)在[8，10]递增； ④若f(x)=m 在[一6，一2]上的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2= 一8 以上命题中正确命题的序号为2、()y f x =是R 上的偶函数，(1)()f x f x +=-，在[-1，0]上是增函数，判断： ①()y f x =是周期函数；②()y f x =的图像关于x=1对称； ③()y f x =在[0，1]上是增函数；其中正确判断的序号是3、f(x)是周期为2的奇函数，01x <<时，()lg .f x x =63(),(),52a fb f ==5(),2c f =比较大小4、f(x)的关于x ＝2对称，x ＞2 时f(x)是增函数，比较a ＝f(1.10.9)，b= f(0.91.1)， c ＝)4(log 21f 的大小5、R 上的奇函数)(x f ，(4)()f x f x -=-,在[0,2]上是增函数,则( )A.(25)(11)(80)f f f -<<B.(80)(11)(25)f f f <<-C.(11)(80)(25)f f f <<-D.(25)(80)(11)f f f -<<6、()f x 满足：(1)(1)(1)f x f x f x -=+=-成立，()[1,0]f x -在上递增(3),(2)a f b f c f ===， 的大小关系是（ ）A.c b a >> B.a c b >> C.b c a >> D.a b c >>7、f(x)在实数集R 上具有下列性质：①f(x+2)=−f(x)；②f(x+1)是偶函数；③当x 1≠x 2∈[1,3]时，(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<0，则f(2011),f(2012),f(2013)的大小关系为（ ） A 、f(2011)> f(2012)> f(2013) B 、f(2012)> f(2011)> f(2013) C 、f(2013)>f(2011)>f(2012) D 、f(2013)> f(2012)>f(2011)8、(21)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴的是9、f(x)是R 上的奇函数，图象关于12x =对称，则()()()()()12345f f f f f ++++=10、偶函数f(x)：f(2+x)= f(2－x)，x ∈[0，2]时，f(x)=2x －1，x ∈[－4，0]时f(x)=11、奇函数f (x ),)x (f )x (f =+4,x ] ,[64∈时f(x)＝12+x ,求在] ,[02-上的f (x )12、偶函数f(x)的周期为2，x []3,2∈时f(x)=x-2,求[]2,0∈x 时的f(x)13、⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4)1(4)21()(x x f x x f x，，，则)3(log 2f 等于（ ） A ．823- B ．111 C ．191 D ．24114、f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 215、f (x)满足()(2)13,(1)2,(99)f x f x f f ⋅+==若则等于（ ） A ．13 B ．2 C ．213D ．13216、f (x)定义在R 上，对任意的X ，(1001)f x +=已知f (11)=1，则f (2013)17、R 上的函数f (x)满足：1()(2)1()f x f x f x -+=+，当(0,4)x ∈时，2()1f x x =-，则f (2010)＝____18、奇函数f (x)对任意x R ∈有(2)(2)0f x f x ++-=，(1)9f =，则(2010)(2011)(2012)f f f ++的值为19、f (x+1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，f (0)＝2，则f (2012)＝（ ） A.2- B.0 C.2 D.320、奇函数f (x)的定义域为R ，且满足(2)2,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f =（ ）A.0B.1C.12-D.1221、f (x)对任x R ∈有()()()168f x f x f +=+，()1f x +的图象关于1x =-对称，()2008f =（ ） A.0 B.1008 C.8 D.200822、f (x)满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ）A. 21B. 23C.0D.21-23、对任意的R x ∈，f (x)满足)2011()2012(+-=+x f x f ，2012)2012(-=f ，则=-)1(f （ ） A.1 B.-1 C.2012 D.-201224、 f (x)是R 上周期为2的奇函数，当x ∈（0,1）时，()f x =3x −1，则f(log 35)=（ ）A 、45B 、−45C 、4D 、4925、f (x )是R 上的偶函数，且f (x +4)=f (x －2).若当x ∈[－3，0] 时，()6-=x f x ，则f (919)= .26、偶函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ﹣1）是奇函数，则下面结论一定成立的是（ ） A.f （x+1）是偶函数B.f （x+1）是非奇非偶函数 C.f （x ）=f （x+2） D.f （x+3）是奇函数27、f （x ）满足f （﹣x ）=﹣f （x ），f （x ﹣2）=f （x+2）且x ∈（﹣1，0）时，f （x ）=2x +15，则f （log 220）=（ ）A ．1 B ．45 C ．﹣1 D ．﹣4528、f （x ）是R 上的奇函数，且f （2﹣x ）=f （x ），当﹣1≤x ＜0时，f （x ）=log 2（﹣3x+1），则f （2017）的值为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．229、偶函数f (x)对任意x R ∈，有1(3)()f x f x +=-，[3,2]x ∈--时，()4f x x =, 则(107.5)f = ( )A.10B.110C.10-D.110-30、f (x)满足(6)()f x f x +=.31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，13x -≤<时，()f x x =, 则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=31、f (x)满足()()f x f x -=-，()()11f x f x +=-,则()2010f 的值（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．232、偶函数f (x)对定义域内任意x 都有)2()(x f x f -=，且当(]1,0∈x 时，x x f 2log )(=，则=)215(f33、f (x)对任意x R ∈，都有()()()60,1f x f x y f x ++==-的图像关于()1,0对称，且()24,f =则()2014f =（ ） A.0 B.4- C.8- D.16-34、奇函数)(x f 对任意x 有)4()1(x f x f -=-，)23,0(,)(∈=x x x f ，则)2010()2012(f f -=35、R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=﹣f （x ），若f （﹣1）＞﹣2，f （﹣7）=132a a+-，则a 的取值范围为( )A ．B ．（﹣2，1）C ．D ．36、f (x)定义域为R ，)()1()2(x f x f x f -+=+，2)4(-=f 则1)2011(2)(++=x x e f e x g 的最小值是（ ）A.1B.3C.3lnD.2ln37、f (x)是R 上的偶函数，图像右移一个单位长度又得到一个奇函数，(2)1f =-；则(8)(9)(10)(2010)f f f f ++++……=38、f(x)是奇函数， T 是一个正周期．()0f x =在[]T T -，上的根的个数为n ，则n 可能为（ ） A ．0. B ．1 C.3 D ．539、f （x ）是R 的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则函数f （x ）在区间[﹣3，3]内的零点个数的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．7D ．940、偶函数f (x)满足(1)(1)f x f x -=+，在[0,1]x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程1()()9x f x =，在[0,3]x ∈上解的个数是( ) A.1B.2C.3D.441、R 上的偶函数f (x)满足)()2(x f x f =+，]1,0[∈x 时，x x f =)(，则x x f y 4log )(-=的零点的个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.642、R 上的奇函数f (x)，(4)()f x f x -=-,在[0,2]上是增函数,f(x)=m(m>0)在[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=43、R 上奇函数f (x)满足①对任意x ，有)()3(x f x f =+成立；②当]23,0[∈x 时x x f 22323)(--=，则xx f 1)(=在［-4，4］上根的个数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.744、y ＝f （x ）满足f （x ＋2）＝f （x ）且x ∈（－1，1]时f （x ）＝1－x 2，g （x ）＝⎩⎨⎧=≠)0( 1)0( ||lg x x x 则h （x ）＝f （x ）－g （x ）在[－5，10]内零点的个数为（）A ．14 B.13 C12 D.845.y f (x )=满足1f (x )f (x )+=-，[-1,1]x ∈时21f (x )x =-，010lg x(x )g(x )(x )x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则h(x )f (x )g(x )=-在[5-，4]内的零点的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．1046.)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，(]2,2x ∈-时，1)(-=x x f ，则()f x 在[]0,2010上零点的个数为（ ）A.1004B.1005C.2009D.201047.21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实根，则a 的范围为（ ） A.(,0]-∞ B ．[0,1) C ．(,1)-∞ D.[0,)+∞。
高一数学函数对称性及周期性作业
高一函数图像对称性及函数周期性作业高中数学中函数图像的对称性主要以考查轴对称为主，关于点对称主要结合奇函数一起考查，对于轴对称，我们应该首先回顾以下初中学的点的横纵坐标对称，以及水平线、竖直线、轴对称等一些基础概念；而周期性则是重点在于一些选择题、填空题里作为解题关键，考查周期的性质中“周期”性质运用为主。
高中阶段对于函数对称性与周期性的学习，教师在授课过程中抓住先以图像分析为先掌握其真正含义再以数学符号的形式表现出来，最常用的轴对称及周期结合奇偶性的考查，记住对称与周期在自变量形式上的体现及求法即能学好此知识点.1 对称性基础回顾练习（学习对称性注意数形结合）基础练习 1 在直角坐标系中，已知点：，，，，，（1）在直角坐标系中找出以上点关于原点的对称点；（2）在直角坐标系中找出以上点分别关于轴、轴、轴线以及轴线的对称点.基础练习2 写出下列函数的对称轴线方程：（1）（2）（3）（4）基础练习3 已知：（1）写出关于轴对称的函数解析式；（2）写出关于点对称的函数解析式.2 周期性质基础练习练习 1 已知函数为周期函数，且为函数的一个周期，时，，求、、、以及的值.3 周期性与对称性考点解析周期性：考查周期性题型解答抓住周期函数定义，关键是否能找到非零实数使之恒成立，则为函数一个周期，也为函数的一个周期.常用抽象周期函数结论：函数在其定义域内的任一实数满足（1）恒成立，则是以为周期的周期函数；（2）恒成立，则是以为周期的周期函数；（3）恒成立，则是以为周期的周期函数；（4）函数满足（）恒成立，若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为．（5）函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数总结：周期函数模型很多，常用的为以上几种类型，可以发现，上述模型最终都可以推导出恒成立的形式，也就是说一个函数可以最终推断出等式两边变量相减为常数的形式（可以结合图像分析），则为周期函数，反之亦然.例 1 函数对任意实数满足，若，.解析：抽象函数周期推导总是以原恒成立等式推到而出解：由题意有，故函数是周期函数，其中一个周期为6，故.练习 1 函数对任意实数满足，若，.练习 2 函数对任意实数满足，当时，， .例 2 函数对任意实数满足，若，.解析：周期函数模型，由题目已知恒等式推导出周期等式解：由题意，则，故练习 1 函数对任意实数满足，若，.练习 2 函数对任意实数满足，若，则.例 3 已知函数是以4为周期的奇函数，且当时，，则 .解析：此题考查周期与奇偶性的结合，解：例 4 已知函数为定义在上的偶函数，且对于任意的满足，，则 .解析：周期结合奇偶性，由奇偶性及题目等式推导出周期，然后求值解：，故是周期为6的偶函数，练习1已知函数是以3为周期的奇函数，且当时，，则 .练习2已知函数是以5为周期的偶函数，且当时，，则 .练习3函数为定义在上的偶函数，且对于任意的满足，，则 .练习4函数为定义在上的奇函数，且对于任意的满足，，则 .对称性：本章重点讲解轴对称，对于函数本身而言，从函数图像上分析轴对称必有对称轴，那么函数在恒等式中的体现即为等式两边的自变量相加为常数，常数的一半即为函数对称轴，对于函数之间的对称，可以通过图像分析得到.二次函数对称轴：抽象函数关于对称常用结论：（1）（本身对称）（2）与关于对称（两个函数间对称）题型：例1 （两函数对称求值）已知函数，函数与的图像关于轴对称，求函数在区间上的最值.解析：设为函数图像任意上一点，则此点关于轴对称的点为，由题意此点必在函数的图像上，即有，由此可解出的解析式，进一步即能求得在上的最值.解：由题意，由此可以得出在区间上单调递减，故最大值为，最小值为.练习 1 已知定义域均为的函数，且，若与的图像关于轴对称，求函数的值域.例 2 （函数本身对称）已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，则.解析：由题意可以得出函数图像关于轴对称，故，随即可求出的值.解：由题意函数的图像关于轴对称，故有，则有.练习 1 已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，则 .。
第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(含新定义解答题) (分层精练)(解析)-25年高考数学一轮复习
分层精练）数周期性转化求值即可.【详解】因为()()110f x f x -++=，所以()()110f f -+=，且()()21log 111f =+=，则()11f -=-，又可得()()20f x f x ++=，()()240f x f x +++=，故()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期4T =的周期函数，()()()47412111f f f =⨯-=-=-．故选：D ．4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则()()157f f =，根据已知得出(7)(3)1f f =-=-，即可得出答案.【详解】 函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，()()()4f x f x f x ∴+=-=-，()()()()4484f x f x f x f x ∴++=+=-+=，则函数()y f x =是周期为8的周期函数，则()()()151587f f f =-=，令3x =-，则(43)(3)1f f +=-=-，(15)1f ∴=-，故选：B.5．（2023上·山东烟台·高一校考期末）函数e x y =-与e x y -=的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】C【分析】画出函数图像即可判断.【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称.故选：C10,10由上图知：增区间为[2,1),[0,1)--，减区间为零点为2,0,2x =-共3个；最大值为1，最小值为（2）由题设()7.5(80.5)(0.5)f f f =-=-=（3）令[]21,22[1,1]1n n x x n ∈⇒-∈--+且，且存在常数若()()20h x t h x t -⋅+=有8个不同的实数解，令则20n tn t -+=有两个不等的实数根2Δ400t t t ⎧=->⎪>⎪。
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题(含答案)
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题（含答案）一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x −=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x −=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=−，或得到()()31f x f x −=−+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=−+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=−+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=−+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x −=−+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x −=−+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
高一数学函数周期性和对称性复习练习题
函数周期性和对称性高一数学一•定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使f(x T) f(x)恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
二•重要结论1、f x f x a，则y f x是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
3、若函数f x a f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
f x15、若函数y=f(x)满足f(x+a) = (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
f x6、f (x a) 1一3，则fx是以T 2a为周期的周期函数.1 f(x)7、f(x a)1一L(x)，则f x是以T 4a为周期的周期函数•1 f(x)8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且2 ( b-a)是它的一个周期。
9、函数y f(x) x R的图象关于两点 A a, y0、B b, y0 a b都对称，则函数 f (x)是以2 b a为周期的周期函数；10、函数y f(x) x R的图象关于A a, y。
和直线x b a b都对称，则函数f(x)是以4 b a为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，贝U f(x)为周期函数且2 a是它的一个周期。
12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4 a是它的一个周期。
13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。
14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x) (x € R, 0),则f(-)=0.2函数的轴对称：a b定理1 ：如果函数y f x满足fax f b x，则函数y f x的图象关于直线x 对2 称•推论1：如果函数y f x满足fax fax，则函数y f x的图象关于直线x a对称•推论2：如果函数y f x满足f x f x ,则函数y f x的图象关于直线x 0 （y轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.一、函数的点对称：定理2：如果函数y f x满足fax fax 2b，则函数y f x的图象关于点a,b对称. 推论3：如果函数y f x满足fax fax 0，则函数y f x的图象关于点a,0对称.推论4 :如果函数y f x满足f x f x 0，则函数y f x的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.二、函数周期性的性质：定理若函数f x在R上满足f （a x)fax，且f(b x) f b x (其中a b）,则函数3：y f x以2 a b为周期.定理4:若函数f x在R上满足f（a x) f a x，且f(b x) f b x (其中 a b），则函数y f x以2 a b为周期.定理5：若函数f x在R上满足f（a x)fax，且f(b x) f b x (其中a b）,则函数y fx以4a b为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性，但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数，同时分析条件特征必能拨开迷雾，马到成功.下面以例题来分析.例1.已知定义为R的函数f x满足f x f x 4，且函数f x在区间2, 上单调递增.如果x-i 2 x2，且x-i x2 4，则f % f x2的值（）.A.恒小于0 B .恒大于0 C .可能为0 D .可正可负.分析：f x f x 4形似周期函数f x f x 4，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x 2代替x，使f x f x 4变形为f 2 x f x 2 .它的特征就是推论 3.因此图象关于点2,0对称.f x在区间2, 上单调递增，在区间,2上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图）2 X2 4 x-，且函数在2, 上单调递增，所以f x2 f 4 X!，又由f x f x 4 ,有 f (4 x 1) f x 1 4 f x 1 4 4 f x 1 ,[3,4] 上是增函数f x 1 f x 2 f x 1 f 4 x 1 f x 1 f x 10.选 A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.练1:在R 上定义的函数f (x)是偶函数，且f(x) f (2 x).若f (x)在区间［1,2］上是减函数，则f(x)()A. 在区间［2, 1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数B. 在区间［2, 1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数上是减函数，在区间C.在区间[2, 1][3, 4]上是增函数分析：由f(x) f(2 x)可知f(x)图象关于x 1对称，即推论1的应用.又因为f(x)为偶函数图象关于 x 0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为 2，结合f (x)在区间[1,2]上是减函数，可得如右 f(x)草图.故选B例2 •已知函数y f x 的图象关于直线 x 2和x 4都对称，且当0x1时，f X x .在闭区间T,T 上的根的个数记为n ，贝U n 可能为(: )A.0B.1C.3D.5分析：f(T)f( T) 0 ,f( T )f (T ) f( ~T)f (T ),2 222•- f( 匸)f(T ) 0 ,则n 可能为5 ?练2.定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数, 2 2D.在区间[2, 1]上是减函数，在区间T 是它的一个正周期•若将方程f(x)求f 19.5的值.分析：由推论1可知, y f x 的图象关于直线 2对称，即f 2 x同样, 满足f 4 x ，现由上述的定理 X 是以4为周期的函数.f 19.5 f 4 4 3.5 f 3.5 0.5 0.5， 同时还知f X 是偶函数，所以0.5 f 0.5 0.5. 例3. f f 398 x f 2158 x f 3214 x ，则f f 999 中最多有()个不同的值. A.165 B.177 C.183 D.199分析：由已知f x f 398 f 2158 x f 3214 x f x 1056f x 1760 f x 704352 . 又有 f x f 398 x2158 x f 3214 x 1056f 2158 1056 xf 1102 x f 1102 x1056f 46 x ,于是f (x)有周期352，于是f o ,f 1 , L ,f 999能在 ,f 351中找到. 又f (x)的图像关于直线x 23对称，故这些值可以在23 , f 24 丄,f 351中找到.又f(x)的图像关于直线x 199对称，故这些值可以在 f 23 , f 24 ,L , f 199 中找到.共有177个.选B. 练3 :已知 1 x1 3x ，x ，…， 则 f 2004 2 分析：由f ,可令 x=f (x )知 f , x 1 3x ,f 2 x3x 13x 1 f(x)为迭代周期函数，故 f 3n x 2004 f x, f 2004练4：函数f (x)在R 上有定义，且满足 f(x)是偶函数，且f 0 2005, g x x 1是奇函数,则f 2005的值为函数的定义域为[—1 , 0 ) U ( 0 , 1 ]故f ( x ) 是奇函数4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4•已知函数f (x)对一切x, y R ，都有f (x y) f (x) f (y)，(1)求证： f (x)是奇函数；(2)若f( 3) a ，用a 表示f(12)解：(1)显然f(x)的定义域是R ，它关于原点对称•在 f(x y) f (x) f (y)中，令 yx ，得 f(0) f(x) f( x)，令 x y 0,得 f (0)f(0) f (0) ,「.f(0)0 ,••• f (x) f ( x) 0,即 f( x) f (x),••• f (x)是奇函数.f y fy 2，即有f :x f x 20，令 a nf x ，则 a n a n 2 0 ,其中 a 。
高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
函数的奇偶性、对称性与周期性小题训练 高考数学好题
07.函数的奇偶性、对称性与周期性小题训练ln ||x ．．．．已知函数()y f x =的定义域为，(1)f x +的图像关于点1,0)-对称，(3)f 且对任意的12,(x x ∞∈-，满足()221f x f x x --．则不等式(1)0x f -的解集是（）,1][2,)-∞⋃+∞4,1][0,1]-- ．[4,1][1,2]-- D ．[4,1][2,--+∞ ．已知幂函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则()f x 的解析式可以是（）123)-=x x13．已知函数()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()22f x f x -=+，若()12f =，则()()()()1232023f f f f ++++= （）A ．2-B ．0C ．2D ．415．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且关于点()2,0中心对称.设()()()1g x x f x =-，若()2344g =，则()20231i g i ==∑（）A ．2020B ．2022C ．2024D ．2026二、多选题16．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，若()12f =，则（）A ．4为()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于直线1x =对称C ．()20220f =D ．()20232f =18．设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(1)f x -为偶函数，当[1,3]x ∈时，()22f x x =-，则（）A ．(7)0f -=B ．(6)1f -=C ．(1)4f -=-D ．(0)0f =20．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于()f x 下列说法正确的是（）A ．()f x 的值城为[]0,1B ．R x ∀∈，()()1f f x =.C ．()f x 为偶函数D ．()f x 为周期函数。
高一数学周期性和对称性试题
高一数学周期性和对称性试题1.若函数的图像关于直线x=1对称，则b=__________。
【答案】6【解析】∵对称轴为x=1，∴a=-4，又∵区间[a,b]关于x=1对称，∴b=6.【考点】二次函数的性质.2.若函数满足，且当时，，则．【答案】1【解析】函数满足知，，∴是周期为2的周期函数，∴=2×|0|+|1|="1." 是周期为2的周期函数，∴=2×|0|+|1|=1.【考点】函数的周期性3.已知的图像关于直线对称，则实数的值为 .【答案】1【解析】因为函数为偶函数，其图像关于轴对称，对称轴为，函数的图像由函数的图像向右平移个单位可得，所以函数的对称轴为，又因为函数的图像关于直线对称，故．【考点】1．指数函数；2．函数的对称性；3．函数图像的平移．4.已知函数的定义域为，满足，且当时，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，周期为2【考点】函数性质及求值点评：函数若满足，则周期为；若满足，则周期为5.已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则_________________．【答案】２.５【解析】因为,所以,所以函数f(x)的周期为4,所以．6.若=_________．【答案】【解析】函数的周期是,7.已知偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则f、f、f从小到大的顺序【答案】【解析】此题考察奇偶函数的性质思路分析：因为y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，所以，函数的周期，又函数为偶函数，故，，，而在上单调递减，，所以，即.点评：先求函数周期，再根据函数单调性比较大小.8.函数的图像关于（）轴对称原点对称轴对称直线对称【答案】B【解析】略9.若函数的图像关于原点对称，则．【答案】.【解析】∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴，∴，∴解得，.【考点】奇函数的性质.10.定义域为R的函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】有题可知，有，因此得到，又因为，因此有，，故；【考点】函数的奇偶性以及周期性。
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高一函数图像对称性及函数周期性作业
高中数学中函数图像的对称性主要以考查轴对称为主，关于点对称主要结合奇函数一起考查，对于轴对称，我们应该首先回顾以下初中学的点的横纵坐标对称，以及水平线、竖直线、轴对称等一些基础概念；而周期性则是重点在于一些选择题、填空题里作为解题关键，考查周期的性质中“周期”性质运用为主。
高中阶段对于函数对称性与周期性的学习，教师在授课过程中抓住先以图像分析为先掌握其真正含义再以数学符号的形式表现出来，最常用的轴对称及周期结合奇偶性的考查，记住对称与周期在自变量形式上的体现及求法即能学好此知识点.
1 对称性基础回顾练习（学习对称性注意数形结合）
基础练习1 在直角坐标系中，已知点：()13A ，，()22B -，，()31C ，，()23D --，
，()31E -，，()22F -， （1）在直角坐标系中找出以上点关于原点的对称点；
（2）在直角坐标系中找出以上点分别关于x 轴、y 轴、轴线4x =以及轴线3y =的对称点.
基础练习2 写出下列函数的对称轴线方程：
（1）2()35f x x x =+- （2）1()2
f x x =
+ （3）()2f x x =+ （4）1(2)2f x x +=-
基础练习3 已知：21
()234()2()7f x x x g x x h x x x x
=++=+=+，， （1）写出()()()f x g x h x ，，关于轴2x =对称的函数解析式；
（2）写出()()()f x g x h x ，，关于点(22)A ，对称的函数解析式.
2 周期性质基础练习
练习1 已知函数()f x 为周期函数，且3T =为函数的一个周期，[]12x ∈当，时，2()23f x x x =++，求(3)f 、 (7)f 、(19)f 、(2009)f 以及(2013)f 的值.
3 周期性与对称性考点解析
周期性：考查周期性题型解答抓住周期函数定义，关键是否能找到非零实数T 使之()()f x f x T =+恒成立，则T 为函数一个周期，()kT k Z ∈也为函数的一个周期.
常用抽象周期函数结论：函数()y f x =在其定义域内的任一实数x 满足()a b a b ≠，为常数且
（1）()()f x a f x b +=-恒成立，则()f x 是以T a b =+为周期的周期函数；
（2）()()f x a f x +=-恒成立，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；
（3）()()
1f x a f x +=±恒成立，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； （4）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）恒成立，若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为
偶函数，则其周期为2T a =．
（5）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期
函数
总结：周期函数模型很多，常用的为以上几种类型，可以发现，上述模型最终都可以推导出()()f x f x T =+恒
成立的形式，也就是说一个函数可以最终推断出等式两边变量相减为常数的形式（可以结合图像分析），则为周期函数，反之亦然.
例1 函数()f x 对任意实数x 满足1(3)()
f x f x +=，若(1)3f -=，(5)f = . 解析：抽象函数周期推导总是以原恒成立等式推到而出 解：由题意有11(33)()(6)1
(3)()
f x f x f x f x f x ++====++，故函数是周期函数，其中一个周期为6，故 (1)(16)(5)
f f f -=-+==.
练习1 函数()f x 对任意实数x 满足1(4)()
f x f x +=，若(1)3f =，(7)f -= . 练习2 函数()f x 对任意实数x 满足1(2)()f x f x +=
，当()03x ∈，时，2()31f x x x =+-，(9)f = . 例2 函数()f x 对任意实数x 满足(3)()0f x f x ++=，若(1)3f -=，(5)f = .
解析：周期函数模型，由题目已知恒等式推导出周期等式
解：由题意(3)()f x f x +=-，则(6)((3)3)(3)()f x f x f x f x +=++=-+=，故(5)(56)(1)3f f f =-=-= 练习1 函数()f x 对任意实数x 满足(2)()0f x f x ++=，若(1)5f =，(5)f = .
练习2 函数()f x 对任意实数x 满足3()()02
f x f x ++=，若(1)0f =，则(1)(4)(7)f f f ++= . 例3 已知函数()f x 是以4为周期的奇函数，且当02x ≤≤时，2()3f x x x =+-，则(5)f -= . 解析：此题考查周期与奇偶性的结合，
解： (5)(1)(1)(113)1f f f -=-=-=-+-=
例4 已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且对于任意的x 满足(2)(4)f x f x +=-，(1)3f =，则(7)f = . 解析：周期结合奇偶性，由奇偶性及题目等式推导出周期，然后求值
解：((4)2)(4(4))()()f x f x f x f x ++=-+=-=，故()f x 是周期为6的偶函数，(7)(1)3f f ==
练习1已知函数()f x 是以3为周期的奇函数，且当01x ≤≤时，52()35f x x x x =+-+，则(7)f -= .
练习2已知函数()f x 是以5为周期的偶函数，且当31x -≤≤-时，2()34f x x x =+-，则(6)f = . 练习3函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且对于任意的x 满足(2)(2)f x f x +=-，(1)3f =，则(7)f = . 练习4函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且对于任意的x 满足(4)(4)f x f x +=-，(1)3f =，则(7)f = .
对称性：本章重点讲解轴对称，对于函数本身而言，从函数图像上分析轴对称必有对称轴，那么函数在恒等式中的
体现即为等式两边的自变量相加为常数，常数的一半即为函数对称轴，对于函数之间的对称，可以通过图像分析得到.
二次函数对称轴：20()2b f x ax bx c x a
=++⇒=-对称轴 抽象函数关于对称常用结论：
（1）0()()2a b f x a f b x x ++=-⇒=
对称轴（本身对称） （2）()f x a +与()f b x -关于02
b a x -=
对称（两个函数间对称）
题型：
例1 （两函数对称求值）已知函数2()3f x x x =++，函数()g x 与()f x 的图像关于轴03x =对称，求函数()g x 在
区间[]34，上的最值.
解析：设(())x g x ，为函数()g x 图像任意上一点，则此点关于轴03x =对称的点为(6())x g x -，，由题意此点必
在函数()f x 的图像上，即有()(6)g x f x =-，由此可解出()g x 的解析式，进一步即能求得()g x 在[]34，上的最值.
解： 由题意22()(6)(6)(6)31345g x f x x x x x =-=-+-+=-+，由此可以得出()g x 在区间[]34，上单调递减，
故最大值为(3)15g =，最小值为(4)9g =.
练习1 已知定义域均为R 的函数2()4f x x ax =+-，()()g x f x =-且(2)5g -=，若()h x 与()f x 的图像关于
轴01x =对称，求函数()h x 的值域.
例2 （函数本身对称）已知函数()f x 定义域为R ，且对于任意实数x 满足(2)(6)f x f x +=-，当02x ≤≤时，
2()235f x x x x =++++，则(1)(3)f f = .
解析：由题意可以得出函数()f x 图像关于轴2x =对称，故(3)(1)f f =，随即可求出(1)(3)f f 的值.
解：由题意函数()f x 的图像关于轴6222x -=
=对称，故有2(3)(1)12113512f f ==+⨯+++=，则有 (1)(3)1
4f f =. 练习 1 已知函数()f x 定义域为R ，且对于任意实数x 满足(1)(5
)f x f x +=-，当02x ≤≤时，2()235f x x x x =++++，则(0)(4)f f += .。