高一数学必修一函数专题：周期性
数学高一-【】函数的周期性 教学案例
5.函数的周期性一. 知识要点:1. 函数的周期性周期函数定义：若函数)(x f 满足 )()(x f T x f =+, ()0≠T ，则称函数)(x f 为周期函数，T 是其周期说明:定义域为R 时，若T 是周期，那么nT 也是周期 ( n 为整数）2。
最小正周期最小正周期定义:若)(x f y =是周期函数，且在它所有的周期中存在最小的正数0T ，称0T 为)(x f y =的最小正周期。
说明:（1）周期函数不一定有最小正周期（常数函数）（2）最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期不一定不变3.如何判断函数的周期性：⑴ 定义; ⑵ 图象;⑶利用下列补充性质： 设a>0，则：① 函数y=f(x),x ∈R, 若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a② 函数y=f(x),x ∈R, 若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为2a③ 函数y=f(x),x ∈R, 若)(1)(x f a x f ±=+，则函数的周期为2a ④ 若函数)(x f 的图象同时关于直线a x =与b x =对称，那么其周期为||2a b -；证：若关于x=a 对称，则有f(a+x)=f(a-x)，用x+a 代x 可得：f(x+2a)=f(-x)，同理可得：f(x+2b)=f(-x)，从而有：f(x+2a)= f(x+2b)，再用x-2a 代x 可得：f(x)= f(x+2b-2a)，所以周期为||2a b -；特例：若函数)(x f 是偶函数，且其图象关于直线a x =对称，那么其周期为 T=2a⑤若函数)(x f 关于直线a x =对称，又关于点()0,b 对称, 那么函数)(x f 的周期是4|b-a|； 证：关于直线a x =对称可得：f(a+x)=f(a-x)，用x+a 代x 可得：f(x+2a)=f(-x) (1)，关于点()0,b 对称可得：f(b+x)+f(b-x)=0用-x-b 代x 可得：f(-x)+f(2b+x)=0，与（1）式联立得：f(x+2a)+f(x+2b)=0得：f(x)+f(x+2b-2a)=0（2），进而得：f(x+2b-2a)+f(x+4b-4a)=0，与（2）；联立即得：f(x)= f(x+4b-4a)，故周期是4|b-a|；特例：若函数)(x f 是奇函数，又其图象关于直线a x =对称，那么其周期为T=4a二. 例题选讲:例1. 已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+,且当[]1,0∈x 时,13)(-=-x x f , 求)(log 32131f 的值解:(2)(1)(),2f x f x f x T +=-+=∴=,又13331log log 32,log 32432=<<且33log 3241333149(log )(log 32)(log 324)313281f f f -∴==-=-=- 例２．已知定义在R 上函数)(x f y =满足)2()2(-=+x f x f ,且)(x f 是偶函数,当[]2,0∈x 时，12)(-=x x f ，求当[]4,0x ∈-时，函数)(x f y =的解析式.解：27[4,2)()21[2,0]x x f x x x ⎧+∈--⎪∴=⎨⎪--∈-⎩ 变式 :已知)()2(x f x f -=+，当(]4,0∈x 时，1)(2+-=x x f ，求函数)(x f y =的解析式.解：2()(4)(4)1f x f x n x n ∴=-=--+例3：设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（1）试判断函数()y f x =的奇偶性和周期性；（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． .解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和,从而知函数)(x f y =不是奇函数,由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(2) 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解.三. 课外作业:1.已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意x 都有)(1)(1)2(x f x f x f -+=+成立,设)(n f a n =, 数列{}n a 中值不同的项最多有几项？解：由)(1)(1)2(x f x f x f -+=+得)(1)2(1)2(1)4(x f x f x f x f -=⋅⋅⋅=+-++=+进而得到)()8(x f x f =+，即T=8，所以数列{}n a 中值不同的项最多有8项；2.定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+,且当[]1,1-∈x 时，3)(x x f =⑴ 求()y f x =在[]5,1∈x 上的表达式.⑵ 若{}R x x f x A ∈>=,0)(|，且φ≠A ,求实数a 的取值范围.解：可得周期T=4，⑴33(2)[1,3]()(4)[3,5]x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩⑵a<13.设()y f x =是定义在 ()+∞∞-,上以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间(]12,12+-k k ，已知当当0I x ∈时，2)(x x f =，（1）求()y f x =在k I 上的解析式；（2）对*∈N k ，求集合{}上有两个不相等的实根在使方程k k I ax x f a M ==)(| 解：（1）由周期T=2结合平移可得在k I 上2()(2)f x x k =-；（2）上有两个不相等的实根在使方程k I ax x f =)(，即ax k x =-22）（在(]12,12+-k k 上有两个不等实根，也即04)4(22=++-k x k a x 在(]12,12+-k k 上有两个不等实根，可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<+<->∆>-≥+12241200)12(0)12(k k a k k f k f 解得：1021a k <≤+；。
高中数学函数的周期性
高中数学函数的周期性一、函数周期性的认识周期性是函数的一个重要性质，指的是函数在一定的时间间隔内重复出现的规律性。
在函数图像上，这种周期性表现为函数图像的重复形状或模式。
函数周期性的理解对于解决与函数相关的数学问题有着重要的意义。
二、函数周期性的判断判断函数是否具有周期性，可以通过以下步骤进行：1、观察函数的图像，看是否存在重复的模式或形状；2、计算函数值之间的差值，看是否存在固定的差值；3、确定函数的定义域，看是否具有周期性；4、根据函数的性质，确定函数的周期。
三、函数周期性的应用函数周期性在数学中有着广泛的应用。
例如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数都是具有周期性的函数，它们的周期与角度有关。
函数周期性在信号处理、图像处理等领域也有着广泛的应用。
四、函数周期性的意义函数周期性是数学中一个重要的概念，它反映了函数变化的规律性。
通过对函数周期性的理解和应用，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决与函数相关的数学问题提供帮助。
函数周期性的概念也渗透到了自然科学和社会科学的各个领域，对于这些领域的研究和发展也有着重要的意义。
高中数学函数的周期性是一个非常重要的概念，对于我们理解函数的性质和解决与函数相关的数学问题都有着重要的作用。
在未来的学习和研究中，我们还需要进一步深入理解和应用函数周期性的概念。
原函数与导函数周期性和奇偶性联系的探究标题：原函数与导函数周期性和奇偶性的探究一、引言在数学分析中，函数的周期性和奇偶性是两个非常重要的性质。
对于一个函数来说，如果其值在每隔一定的区间内重复出现，那么这个函数就被称为具有周期性。
而如果一个函数在与其原点的对称点处的值相等，那么这个函数就被称为具有奇偶性。
这两个性质在很多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
对于周期函数和奇偶函数，其原函数和导函数之间存在一些有趣的和相互影响。
本文将对此进行深入的探究和分析。
二、原函数与导函数的周期性首先，我们观察一个函数与其导函数之间的周期性关系。
考点10 函数的周期性和对称性【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(解析版)
考点10函数的周期性和对称性1、常见的确定函数周期的条件函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件2、周期性的应用（1）求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．（2）判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（3）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．（4）奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。
3、对称性的应用（1）函数自身的对称性①函数)(x f y =的图像关于点)(b a A ，对称的充要条件是：b x a f x f 2)2()(=-+，即b x a f x a f 2)()(=++-。
推论：函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 。
②函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称的充要条件是：)()(x a f x a f -=+，即)2()(x a f x f -=。
推论：函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -=。
（2）不同函数对称性①函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图像关于直线2ab x -=成轴对称。
②互为反函数的两个函数关于直线x y =对称。
考点一函数的周期性及应用1．（2022·广西桂林·高一期末）已知()f x 是以2为周期的函数，且()2,[1,1]f x x x =∈-，则()7f =（）A ．1B ．-1C ．±1D ．7【解析】因为函数()f x 是周期为2的周期函数，所以2k 为()f x 的周期，即(2)(),.f x k f x k Z +=∈所以()()()2716111f f f =+===.故选：A.2．（2022·江苏扬州·高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（）A ．1716B ．54C ．2D ．1【解析】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，∴1115(2020.5)202012244f f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B3．（2022·四川眉山·高一期末）若偶函数()f x 对任意x ∈R 都有()()13f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，则()113.5f =______．【解析】因为()()13f x f x +=-，所以()()()163f x f x f x +=-=+，所以()f x 周期为6，且为偶函数，当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，()()()()113.5186 5.5 5.50.5=⨯+==-f f f f ，()()10.530.5f f -+=--，所以()()10.5 2.5f f -=-，根据函数为偶函数()()2.5 2.510f f =-=-，所以()()110.5 2.510f f -=-=，即()1113.510=f .故答案为：110.4．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()21f x f x +=，若()15f =，则()5f -=______.【解析】令1x =-，()()111f f -=，则()115f -=.令3x =-，()()131f f --=，则()35f -=；令5x =-，()()351f f --=，则()155f -=.故答案为:155．（2022·广东揭阳·高一期末）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩,其中R a ∈.若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2022f a 的值是____________.【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩,所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，92221115210f f ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11210a -+=-，解得25a =，所以()24424220222022808555555f a f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=+==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：25-.6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()121f x f x f x -+=+.(1)若132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求72f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)求证：()f x 的周期为4；(3)当[)0,2x ∈时，()3f x x =，求()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式.【解析】(1)∵1131122122212f f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭，∴317322332212f f f f⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭.(2)∵对任意的x ∈R ，满足()()()121f x f x f x -+=+∴()()()()()()()()()1112142211211f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++=++==-++++，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.(3)设[)2,0x ∈-，则[)20,2x +∈，∵当[)0,2x ∈时，()3f x x =，∴当[)20,2x +∈时，()()232f x x +=+，又∵()()()121f x f x f x -+=+，∴()()()1321f x x f x -+=+∴()3537x f x x +=-+.考点二函数的对称性及应用7．（2022·福建泉州·高一期末）写出一个满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)(3)f f >的函数()f x 的解析式__________．【解析】由(1)(1)f x f x +=-，可知函数()f x 关于1x =对称，所以()2()1f x x =--，又(0)1,(3)4f f =-=-，满足(0)(3)f f >.所以函数()f x 的解析式为()2()1f x x =--（答案不唯一）.故答案为：()2()1f x x =--（答案不唯一）.8．（2023·全国·高一专题练习）设函数()=y f x 的定义域为R ，则函数3()=y f x -与函数1()=y f x -的图象关于（）A ．直线=1y 对称B ．直线=1x 对称C ．直线2y=对称D ．直线=2x 对称【解析】设函数3()=y f x -的图象上任意一点00()，P x y ，则00)3(=y f x -，00()，P x y 关于直线=2x 的对称点为00()4，Q x y -．又函数1()=y f x -中，当04=x x -时，00[()]()143==y f x f x ---，所以00()4，Q x y -在1()=y f x -的图象上．故函数3()=y f x -与函数1()=y f x -的图象关于直线=2x 对称，故选：D9．（2022·贵州·高一阶段练习（理））已知函数()f x 满足(2)()4f x f x ++-=-，函数()f x 与()3g x x =-图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，则()51i i i x y =+=∑（）A ．-10B ．-5C ．5D ．10【解析】因为(2)()4f x f x ++-=-，所以()f x 的图象关于点()1,2-对称，又()3g x x =-也关于点()1,2-对称，则函数()f x 与()3g x x =-图象的交点也关于点()1,2-对称，所以()()511255i i i x y =+=+-⨯=-⎡⎤⎣⎦∑；故选：B10．（2022·贵州·高一阶段练习（文））已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，函数()f x 与2()25g x x x =--图像的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，则51i i x ==∑（）A ．-10B ．-5C ．5D ．10【解析】因为函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，所以(1)(1)f x f x +=-，即函数()f x 的对称轴为1x =，因为22()25(1)6g x x x x =--=--，所以由题知，函数()f x 与()g x 图像的5个交点满足123455x x x x x ++++=，即515i i x ==∑，故A ，B ，D 错误.故选：C.11．（2022·全国·高一单元测试）设函数()y f x =的定义域为R ，则下列命题：①若()y f x =是偶函数，则(2)y f x =+的图像关于y 轴对称；②若(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图像关于直线2x =对称；③若(2)(2)f x f x -=-，则函数()y f x =的图像关于直线2x =对称；④(2)y f x =-与(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称．其中正确命题的序号为________．【解析】若(2)y f x =+是偶函数，则(2)(2)f x f x +=-+，所以()y f x =的图象关于2x =对称，①错误，②正确；(2)(2)[(2)]f x f x f x -=-=--，令2x t -=即()()f t f t =-，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，③错误；(2)y f x =-是将()f x 的图象向右平移2个单位而得，(2)[(2)]y f x f x =-=--是将()f x 的图象沿y 轴对称后再向右平移2个单位而得，因此(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于2x =对称，④正确.故答案为：②④12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()221x f x x =+．(1)求()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定值；(3)求()()()()()11112123202120222320212022f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【解析】（1）因为()221x f x x =+，所以()2222112*********f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()2222113331313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）()22222222211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭+=++== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，是定值；（3）由（2）知()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()()111f f +=，()1212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1313f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……，()1202212022f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()()()()11121232021232021⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f f f f f ()1202220222022⎛⎫++= ⎪⎝⎭f f .考点三周期性与奇偶性结合13．（2022·浙江宁波·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（）A ．2022-B ．0C ．1D ．2022【解析】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B.14．（2022·四川雅安·高一期末）若()f x 和()1f x +都是定义在R 上的奇函数，则()()20212022f f +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】因为()f x 和()1f x +都是定义在R 上的奇函数，所以()()11f x f x +=---，()()11f x f x +=--+，所以()()11f x f x --=-+，所以()()2f x f x =+，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()()()()()2021202210102110112010f f f f f f +=⨯++⨯+=+因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又()1f x +是定义在R 上的奇函数，所以()()11f x f x +=--+，所以()()11f f =-，即()10f =，所以()()()()20212022100f f f f +=+=.故选：A.15．（2022·河南新乡·高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()15f -=，则()()()120221f f f +++=L （）A ．10B ．10-C ．5-D ．5【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，即()()2f x f x -=，因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，则()()2f x f x +=-，即()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4．因为()()115f f =--=-，()()200f f =-=，()()315f f =-=，()()400f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=，故()()()()()1220215050202115f f f f f +++=⨯+==-．故选：C16．（2022·北京·101中学高一期末）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【解析】解法一：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．解法二：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．17．【多选】（2022·甘肃张掖·高一期末）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-.当(0,2)x ∈时，21()f x x x=+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．19(24-=-f C ．()(+4)f x f x =D ．()22021=-f 【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()f x 的图象关于原点对称，又函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以()(4)f x f x -=，则()(4)f x f x -=--，即()(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x +=，所以函数()f x 的周期8T =，故AC 错误；又当(0,2)x ∈时，21()f x x x =+，所以1119((22244⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭f f ，故B 正确所以()()()()()()20212528+553312=⨯==-=-=-=-f f f f f f .故D 正确故选：BD.考点四对称性与周期性结合18．（2022·云南德宏·高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足下列三个条件：①1(3)()f x f x +=-；②对任意1236x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③(3)y f x =+的图像关于y 轴对称．则下列结论中正确的是A ．(3)(7)(4.5)f f f <<B ．(7)(3)(4.5)f f f <<C ．(7)(4.5)(3)f f f <<D ．(3)(4.5)(7)f f f <<【解析】先由1(3)()f x f x +=-，得函数周期为6，得到f （7）=f （1）；再利用y=f （x+3）的图象关于y 轴对称得到y=f （x ）的图象关于x=3轴对称，进而得到f （1）=f （5）；最后利用条件（2）得出结论．因为1(3)()f x f x +=-，所以()()()()11613f x f x f x f x +=-=-=+-；即函数周期为6，故()()71f f =；又因为()3y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()y f x =的图象关于x=3对称，所以()()15f f =；又对任意123x x 6≤≤＜，都有()()12f x f x ＜；所以()()()()()3 4.5517f f f f f ==＜＜．故选:D ．19．（2022·贵州遵义·高一期末）对R x ∀∈，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，()()40f x f x ++-=.当01x ≤≤时，()21f x x =-.设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，53b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20234c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为____________.【解析】对R x ∀∈，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-①；函数()f x 满足()()40f x f x ++-=，则()f x 关于点(2,0)对称，所以()()4f x f x =--②；由①②得：()()24f x f x -=--，则()f x 是周期函数，周期为4T =所以5221113333b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20232020333111444444c f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又01x ≤≤时，()21f x x =-，即()f x 在[0,1]x ∈上单调递减所以111432f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故答案为：c b a >>或a b c <<.20．（2022·浙江·杭十四中高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为（）A ．0B ．8C ．16D ．32【解析】()()2=-+f x f x ，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数.又()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.()()()22∴+=-=--f x f x f x ，()()220∴++-=f x f x ，则函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，易知函数12y x =-的图象也关于点()2,0对称，如下图所示：函数12y x =-的图象与函数()y f x =在[)8,6--上没有交点，并且函数12y x =-在[)(]6,22,10-上的图象关于点()2,0对称，且函数()y f x =在区间[]6,10-上的图象也关于点()2,0对称，两个函数在区间[]6,10-上共有8个公共点，且这些公共点呈现4对关于点()2,0对称，因此，方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为4416⨯=.故选C.考点五单调性与对称性的结合21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x 对任意实数x 都有()()11f x f x +=-，并且对任意12,(,1)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，则下列说法正确的是（）A ．()()02f f >B ．()()11f f =-C ．()32ff <-D ．))2121ff>【解析】由函数()f x 对任意实数x 都有()()11f x f x +=-，可得函数()f x 关于1x =对称，又由对任意12,(,1)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，可得函数()f x 在区间(,1)-∞上单调递减函数，则在区间(1,)+∞上单调递增函数，由0121-=-，所以()()02f f =，所以A 不正确；由1111-<--，所以()()11f f <-，所以B 不正确；3121-<--，所以()32f f <-，所以C 正确；211211--<-，所以))2121ff-<，所以D 不正确.故选：C.22．【多选】（2022·全国·高一）若函数f (x )满足：∀x ∈R ，f (x ＋2)＝f (2－x )，且12121212()(),[2,),0(),-∀∈+∞>≠-f x f x x x x x x x 则（）A ．f (0)＞f (3)B ．∀x ∈R ，f (x )≤f (2)C ．25(1)4f a a f ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭≥D ．若f (m )＞f (3)，则1＜m ＜3【解析】由x ∀∈R ，()()22f x f x +=-，可得()f x 图象关于2x =对称，由[)12,2,x x ∀∈+∞，()()12120f x f x x x ->-，可得()f x 在[)2,+∞上单调递增，在(),2-∞上单调递减，当2x =时，()2f 最小，结合函数的单调性和对称性得：距离2x =越近函数值越小，则显然A 正确，B 不正确；对C ，2235121244a a a a -++-=-+≥=-，C 正确；对D ，()()3f m f >时，x m =距2x =更远，则21m ->，解得3m >或1m <，D 不正确．故选：AC.23．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【解析】由函数()f x 的图象关于直线1x =对称可得()()31f f =-，结合奇函数的性质可知()3a f =-()()()311f f f =-=--=，()()200c f f ===.由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1-上单调递增，所以()()1012f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，所以b c a <<.故选：C24．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高一阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意()121,x x ∈+∞、，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(][],01,2-∞D ．[][)0,12,+∞【解析】()()2f x f x =-，∴函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，该函数图象经过点()2,0，则()20f =，且有()00=f ，对任意()12,1,x x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，可设12x x >，则120x x ->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.所以，函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得该函数在(),1-∞上单调递减，当1x =时，符合题意；当10x -<时，即1x <时，则有()()00f x f ≤=，由于函数()y f x =在(),1-∞上单调递减，由()()0f x f ≤，得0x ≥，此时01x ≤<；当10x ->时，即1x >时，则有()()02f x f ≥=，由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由()()2f x f ≥，得2x ≥，此时2x ≥，综上所述，不等式()()10x f x -≥的解集为[][)0,12,+∞.故选：D.考点六单调性、奇偶性与周期性结合25．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x +1）=1()f x ，若f （x ）在[-1，0]上是减函数，那么f （x ）在[2，3]上是（）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数【解析】因为函数f （x ）满足f （x +1）=1()f x ，所以()()()121f x f x f x +==+，所以()f x 是以2为周期的周期函数，又因为()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[-1，0]上是减函数，所以()f x 在[0，1]上是增函数，那么f （x ）在[2，3]上是增函数，故选：A26．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-且()f x 在[]0,2上是增函数，则（）A ．()()()111221f f f <<B ．()()()211211f f f <<C ．()()()112112f f f <<D ．()()()211112f f f <<【解析】()()4f x f x -=-()()()84f x f x f x ∴-=--=，即函数的周期是8，则()()()()()1133411f f f f f ==--=--=，()()()()()4400124f f f f f ==--=-=，()()()()()5541211f f f f f ==--=-=-，()f x 为奇函数，且在[]0,2上是增函数，则()f x 在[]22-,上是增函数，()()()101f f f ∴-<<，即()()()211211f f f <<.故选：B.27．（2022·河南·温县第一高级中学高一开学考试（文））已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的12,[4,8]x x ∈，当12x x <时，都有1212()()0f x f x x x ->-；②(4)()f x f x +=-；③(4)y f x =+是偶函数；若(6)a f =，(11)b f =，(2017)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c b a<<【解析】根据题意，若对任意的1x ，2[4x ∈，8]，当12x x <时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[4，8]上为增函数，若(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为8，若(4)y f x =+是偶函数，则函数()f x 的图象关于直线4x =对称，()6a f =，()()()1135b f f f ===，()()()()20172528117c f f f f ==⨯+==，又由函数()f x 在区间[4，8]上为增函数，则有b a c <<；故选：C ．考点七奇偶性、周期性与对称性结合28．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．无法确定【解析】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-；所以()(2)f x f x =--，所以(+2)()f x f x =-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期4T =，119133*********f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.29．（2022·全国·兴国中学高一阶段练习（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(32)f x -为偶函数，(21)f x -为奇函数，则下列说法正确的是（）①函数()f x 的图象关于直线1x =对称②函数()f x 的图象关于点(1,0)-中心对称③函数()f x 的周期为4④(2023)0f =A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【解析】因为(32)f x -为偶函数，所以(32)(32)f x f x -=--，所以(2)(2)f x f x -=--，()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线1x =对称，①错误；因为(21)f x -为奇函数，所以(21)(21)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故②正确，由①可知，()(4)f x f x =--，由②可知，()(2)f x f x =---，故有(4)(2)f x f x --=---，令x x =-，则有(4)(2)f x f x -=--，所以()422T=---，解得4T =，所以函数()f x 的周期为4，故③正确；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故④正确．故选：C ．30．【多选】（2022·辽宁丹东·高一期末）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，则（）A ．()()11f x f x --=-+B ．()()4f x f x +=-C ．()f x 为偶函数D ．()3f x -为奇函数【解析】因为()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，所以()f x 图像关于()1,0对称，同时关于直线2x =对称；所以()()11f x f x -+=-+，()()22f x f x -+=+，故A 选项错误；所以()()4f x f x +=-，()()()22f x f x f x -=-=+，故B 选项正确；所以()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 为周期函数，周期为4.所以()()()4f x f x f x +=-=，即函数()f x 为偶函数，故C 选项正确；所以()()()()()311213f x f x f x f x f x ⎡⎤-=+=--+=+-+=--⎣⎦，故函数()3f x -为奇函数，D 选项正确；故选：BCD31．（2022·内蒙古包头·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-恒成立，若(1)2f =，则(20)(21)(22)f f f ++的值为（）A ．6B ．4C ．2D ．0【解析】∵定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-恒成立，∴()(2)()f x f x f x +=-=-，∴()(4)(2)f x f x f x +=-+=，又(1)2f =∴()()(20)5400f f f =⨯==，()()(21)54112f f f =⨯+==，()()()(22)542200f f f f =⨯+===，∴(20)(21)(22)2f f f ++=.故选：C.32．【多选】（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（）A ．()f x 图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()2f x f x -=【解析】由()f x 的对称中心为()0,0，对称轴为1x =，则()f x 也关于直线1x =-对称且()(2)f x f x =-，A 、D 正确，由A 分析知：()(2)()f x f x f x =-=--，故(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，则()()()2023202400g f f ===，B 正确；但不能说明()f x 最小正周期为4，C 错误；故选：ABD33．（2022·江苏南通·高一期末）已知f (x )是定义域在R 上的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -+=+，则下列结论不正确的是（）A ．f （4）＝0B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f （x ＋8）＝f (x )D ．若f （－3）＝－1，则f （2022）＝－1【解析】对于A ：因为f (x )是定义域在R 上的奇函数，所以(0)0f =，又(2)(2)f x f x -+=+，令2x =-代入可得(4)(0)0f f ==，故A 正确；对于B ：因为(2)(2)f x f x -+=+，所以()f x 图象关于2x =对称，无法确定是否关于直线x ＝1对称，故B 错误；对于C ：因为()f x 为奇函数，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，所以(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，故C 正确；对于D ：由C 选项可得，()f x 的周期为8，所以(2021)(25383)(3)1f f f =⨯-=-=-，故D 正确；故选：B34．【多选】（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数()f x ，R x ∈满足()()()492f x f x f =-+，又()9f x +的图像关于点()9,0-对称，且()12022f =，则（）A ．()20f =B ．()()()4445462022f f f ++=-C ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()1,3-对称D ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称【解析】令2x =，由()()()492f x f x f =-+得：()()()()2292,20f f f f =+=，()()4f x f x ∴=-，即()f x 的一条对称轴是2x =，又()9f x +关于()9,0-对称，令()()9g x f x =+，即()()990g x g x -++--=，()()()()99990f x f x f x f x -+++--+=+-=，()f x 是奇函数；()()()()()()8484444f x f x f x f x f x f x +=-+=--=-+=--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()f x 的周期为8；对于A ：正确；对于B ：()()()()()()()()()444546456012f f f f f f f f f ++=++=+-+-()()0122022f f =--=-，正确；对于D ：令113t x =-，将3x =代入得0=t ，即要证明()3f t +关于()0,3对称，显然由()()336f t f t -+++=，故()3f t +关于()0,3对称，即1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于()3,3对称，正确；对于C ：同上，将1x =-代入得43t =-，即4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭显然不是()3f t +的对称点，错误；故选：ABD.考点八单调性、奇偶性与对称性结合35．（2022·湖南常德·高一期中）已知函数是偶函数,且在上是单调减函数,则由小到大排列为A ．B ．C ．D ．【解析】由题意得，函数向左平移2个单位得，又在上是单调减函数，所以函数在是减函数，又函数是偶函数，所以，所以，即，故选A ．36．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．a b c<<【解析】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B ．37．（2022·河南·高一阶段练习（理））已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b a c<<【解析】函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t ft f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<.故选：D.考点九单调性、奇偶性、周期性与对称性的结合38．（2022·全国·高一专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()8f x f x +=，函数的图像关于2x =对称且函数在区间[]02，上单调递增，则()()()251180f f f -，，的从小到大的顺序为________.【解析】由()()8f x f x +=知函数周期为8T =，所以()()()2525381f f f -=-+⨯=-，()()()111183f f f =-=，而函数图像关于2x =对称，所以()()()1131f f f ==，()()()80801080f f f =-⨯=.又因为()f x 定义在R 上的奇函数且在[]02，上单调递增，所以()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()()101f f f -<<，即()()() 258011f f f -<<.故答案为：()()()258011f f f -<<39．（2011·辽宁铁岭·高一阶段练习（文））已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的R x ∈，都有()()4f x f x +=；②对于任意的12,R x x ∈，且1202x x ≤<≤，都有()()12;f x f x <③函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称.则()()()4.5, 6.5,7a f b f c f ===从小到大的关系是_____【解析】因为对于任意的R x ∈，都有()()4f x f x +=，∴函数()y f x =的周期是4，∵任意的12,R x x ∈，且1202x x ≤<≤，都有()()12f x f x <，∴函数()y f x =在区间[0，2]上是增函数，∵函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，∴()()22f x f x -+=+，即函数()y f x =的对称轴为2x =，∴()()()()()()()()4.50.5, 6.5 2.5 1.5,731f f f f f f f f =====，又函数()y f x =在区间[0，2]上是增函数，∴()()()0.51 1.5f f f <<，()()()4.57 6.5f f f <<，即a c b <<.故答案为：a c b <<．40．（2022·全国·高一单元测试）定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>【解析】由题意，因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()()11f x f x +=-+，所以()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，又()()220f x f x ++-=，所以()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-，因为()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的函数，所以()()20211f f =，()()()202220f f f ==，()()20231f f =-，因为()()2f x f x +=-，且()()2f x f x +=-，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，又因为对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立，即()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在[]0,1上单调递增，所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增，因为101>>-，所以()()()202120222023f f f >>，故选：B.41．【多选】（2022·福建·莆田一中高一期末）已知()y f x =是周期为4的奇函数，且当02x ≤≤时，(),012,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，设()()(1)g x f x f x =++，则（）A ．(2022)1g =B ．函数()y g x =为周期函数C ．函数()y g x =在区间(6,7)上单调递减D ．函数()y g x =的图象既有对称轴又有对称中心【解析】因为()f x 周期为4，则()g x 的周期为4，又()f x 是奇函数，所以(2022)(50542)(2)(2)(3)(2)(1)(1)1g g g f f f f f =⨯+==+=+-=-=-，A 错误，B 正确；令21x -≤<-，即12x <-≤，则()2()f x x f x -=+=-，即()2f x x =--；令10x -≤<，即01x <-≤，则()()f x x f x -=-=-，即()f x x =；所以2,21(),112,12x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<≤⎩，根据周期性()y g x =在(6,7)上的图象与在(2,1)--相同，所以，当21x -≤<-，即110x -≤+<时，()()(1)211g x f x f x x x =++=--++=-，C 错误；由()f x 是周期为4的奇函数，则(2)()(2)f x f x f x +=-=-且(1)(1)f x f x -=-+，所以(1)(1)(2)(1)(2)()(1)()g x f x f x f x f x f x f x g x -=-+-=----=++=，故()g x 关于12x =对称，()(3)()(1)(3)(4)()(1)(1)()0g x g x f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+++-+-=++-+-=，所以()g x 关于3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确.故选：BD。
高中高考函数的周期性复习资料
函数的周期性一．知识点：1.周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任何值f(x+T)=f(x)，那么就称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期。
2.周期函数的性质：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合3.判定定理：定理1. 若f（x）是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x）≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2. 若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
定理3. 设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。
定理4. 设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。
4.几个常见常考周期函数的关系式：（其中a≠0）（1）f(x+a)= -f(x) =>f(x+2a)=f(x)（2）f(x+a)=1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（3）f(x+a)= -1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（4）若奇函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+4a)=f(x)（5）若偶函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+2a)=f(x)二．典型例题（难）：例题1：已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(1)+f(2)+…+f(2019)=_______例题2：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)且当x∈[0,2]时，f(x)= -2sinπ2x①若当x∈[ -4,-2]时，f(x)≥t➖9t恒成立，则t的取值范围为________②函数g(x)=f(x) ➖12log16X 零点的个数为________例题答案：例题一：0 例题二：t≤9或0＜t≤1 ； 5三．基础例题1.若函数f（x）=x2+bx+c对一切实数都有f（x+2）=f（2 -x）则有（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）= - f（x），f（3-x）=f(x)，则f（2019）=（）A．- 3 B.0 C.1 D.33.已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，且当0≥0时恒有f（x）=f（x+2），当x∈[0,1]时，f（x）=ex – 1，则f（2016）+f（-2015）=（）A．1 – e B. e – 1 C. – 1 – e D.e+14.定义在R上奇函数f（x）满足f（x+2）= -f（x），且在[0，2）上单调递减，则下列结论正确的是（）A．0＜f（1）＜f（3） B. f（3）＜0＜f（1）C．f（1）＜0＜f（3） D. f（3）＜f（1）＜05.已知函数f（x）的图像关于点（- 3 ，2 ）对称，则函数h（x）=f（x+1）- 3的图像的对称中心是_______6.设f（x）是定义在R上的奇函数，且在( -∞，0 )上是减函数，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为________7.已知f（x）,g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图像关于直线x=1对称，则下列四个结论中错误的是（）A．y=g[f(x)+1]为偶函数 B.y=g[f(x)]为奇函数C.函数y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称D．y=f[g(x+1)]为偶函数8.定义在R上得函数f(x)满足f( - x)=f(x),且当x≥0时，f(x)={−x2+1，0≤x≤12−2x，x≥1若对任意得x∈[m,m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A．- 1 B.12C. - 13D.13答案：1. A由已知得：对称轴为x=2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小2.B∵f（- x）= - f（x）,∴f（3 - x）= - f（x - 3），且f（0）=0.又∵f（3 - x）=f（x），∴f（x）= - f（x - 3），∵f（x - 3）= - f（x - 6）,∴f（x）=f（x - 6），∴f（x）是周期为6的函数，∴f（2019）=f（6×336+3）=f（3）=（0）=03.A∵y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，∴f（x）的图像关于远点对称，∵当x≥0时恒有f（x）=f（x+2），∴函数f（x）的周期为2∴f（2016）+f（- 2015）=f（0）- f（1）=1 – e4.C由函数f（x）时定义在R上的奇函数，得f（0）=0，由f（x+2）= - f（x），得f（x+4）= - f （x+2）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数∴f（3）=f（- 1）又∵f（x）在[0,2）上单调递减，∴函数f（x）在（- 2，2 ）上单调递减∴f（-1）＞f（0）＞f（1）5.（- 4，- 1）函数h（x）=f（x+1）- 3的图象是由函数f（x）的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f（x）的图像关于点（- 3，2）对称，所以函数h（x）的图像的对称中心为（-4，-1）6．(-∞，-2]∪[0，2]（1）x=0时，xf（x）=0，满足要求；（2）x＜0时xf（x）≤0，所以，f（x）≥0f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（-2）=0所以，x≤-2（3）x＞0时，xf（x）≤0，所以，f（x）≤0f（x）为R上的奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，所以在（0，+∞）上是减函数，f（2）=0f（x）≤0，解得，0＜x≤2所以，不等式 xf（x）≤0 的解集为(-∞，-2]∪[0，2]7. B已知得f （- x ）= - f （x ），g （1 - x ）=g （1+x ）， ∵g[f(-x)+1]=g[ - f(x)+1]=g[f(x)+1]，∴y=g[f(x)+1]为偶函数∵f[g(x)]=f[g(2 - x)]∴y=f[g(x)]得图像关于直线x=1对称∵f[g( - x+1)]=f[g(x+1)]∴y=f[g(x+1)]为偶函数∵g[f( - x)]=g[ - f(x)]=g[2+f(x)]∴y=g[f(x)]不是基函数8. C由题知函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，函数f(x)为减函数，则当x ＜0时，函数f （x ）为增函数。
高一数学函数的周期性PPT课件
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
7
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （ （34） ）yy==|s2isninx(|x2 -x∈p6 )R.， x∈R ；
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周
期函数？
11
例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
8
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ） 是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]
的周期.
13
4.函数 y = A sin(wx + j) 和 y = A cos(wx + j)
2p
(A ? 0, w 0)的最小正周期都是 w ，这 是正、余弦函数的周期公式，解题时可 以直接应用.
作业：P36练习：1，2，3.
14
12
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
数学高一周期性总结知识点
数学高一周期性总结知识点高一数学周期性知识点总结导语：数学是一门需要不断联系和积累的学科，尤其是高中数学，各个知识点相互联系，构成一个大的知识体系。
其中，周期性是高一数学中一个重要的知识点，涉及到函数、图像、方程、不等式等多个概念。
本文将对高一数学的周期性知识点进行总结，旨在帮助同学们系统地掌握这一方面的知识。
1. 函数的周期性函数的周期性是指函数在一定规律的条件下，以某个特定的周期不断地重复。
在高一数学中，我们主要接触到正弦函数、余弦函数等具有周期性的函数。
1.1 正弦函数的周期性正弦函数是最常见的周期函数之一，它的周期是2π。
即当自变量x增加或减小2π的倍数时，函数值会重复。
例如，sin(x)在区间[0,2π]的图像是一个正弦波，在区间[2π,4π]上的图像与之完全相同，以此类推。
1.2 余弦函数的周期性余弦函数也是一种常见的周期函数，它的周期同样是2π。
与正弦函数类似，余弦函数的图像在每个周期内都有相同的形状，当自变量增加或减小2π的倍数时，函数值会重复。
2. 图像的周期性图像的周期性是指图像在某个规律下不断重复出现。
在高一数学中，我们经常遇到的周期性图像有菱形、正方形等。
2.1 菱形的周期性菱形是一个经典的周期性图像。
当x坐标和y坐标之和是一个定值的倍数时，图像上的点形成菱形。
例如，在坐标平面上，当x+y=4和x+y=10时，图像上的点会形成两个菱形，且这些菱形是周期性重复的。
2.2 正方形的周期性正方形也是一种常见的周期性图像，它具有四个对称轴。
在坐标平面上，当x和y的绝对值都是一个定值的倍数时，图像上的点会形成正方形。
例如，当|x|=3和|y|=3时，图像上的点会形成一个边长为6的正方形。
3. 方程及不等式的周期性解周期性解是指方程或不等式在一定规律下，以某个特定的周期不断地得到相同的解。
3.1 方程的周期性解对于具有周期性解的方程，我们可以通过求解一个周期内的解，再通过周期的倍数得到其他解。
高一数学142-1函数的周期性课件新人教版必修
周期函数的判定方法二
利用特殊值法判断一个函数是否为周期函数。具体来说，就是取定义域内的某些 特殊值，例如0、1、2等，看这些特殊值是否满足f(x+T)=f(x)。如果满足，则可 以初步判断该函数是周期函数。
选项A：$pi$ B：$2pi$ C：$frac{pi}{2}$ D： $frac{3pi}{2}$
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答案：B
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题目：函数$f(x) = cosfrac{1}{x}$的周期为( )
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选项A：$pi$ B：$2pi$ C：$frac{pi}{2}$ D： $frac{3pi}{2}$
高一数学142-1函数的 周期性课件新人教版必 修
CONTENTS
目录
• 函数的周期性定义 • 常见周期函数类型 • 周期函数的应用 • 周期函数的习题及解析
CHAPTER
01
函数的周期性定义
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于定义域内的每一个x，函数f(x)满足f(x+T)=f(x) ，那么就把函数f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
三角函数的周期计算
三角函数的周期可以通过公式 T=2π/ω来计算，其中ω是角频率。 对于正弦函数和余弦函数，ω=1， 因此它们的周期T=2π。
除了正弦函数和余弦函数，还有其他 形式的三角函数，如tan(x)、cot(x)等 。这些函数的周期也可以通过公式 T=π/ω来计算。
其他周期函数类型
01
高一数学必修一函数奇偶性和周期性基础知识点及提高练习
函数的奇偶性与周期性提高精讲 奇函数 偶函数 定义如果对于函数fx 的定义域内的任意一个x 都有f －x ＝－fx ,那么函数fx 是奇函数 都有f －x ＝fx ,那么函数fx 是偶函数 特点 图象关于原点对称 图象关于y 轴对称1.函数fx ＝0,x ∈R 既是奇函数又是偶函数2.奇偶函数常用结论：1两个偶函数相加所得的和为偶函数.2两个奇函数相加所得的和为奇函数.3一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.4两个偶函数相乘所得的积为偶函数.5两个奇函数相乘所得的积为偶函数.6一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.3.周期函数：对于函数y ＝fx ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有fx ＋T ＝fx ,那么就称函数y ＝fx 为周期函数,称T 为这个函数的周期．4.周期函数常见结论：1若fx ＋a ＝fx －a ,则函数的周期为2a .2若fx ＋a ＝－fx ,则函数的周期为2a .3若fx+a =()x f 1a>0,则函数的周期为2a . 4若fx ＋a ＝－()x f 1,则函数的周期为2a . 5.对称函数如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-,则函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称.练习：1.设fx 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,fx ＝2x 1－x ,则f ＝________.2.若函数fx ＝为奇函数,则a ＝3.已知fx ＝ax 2＋bx 是定义在a －1,2a 上的偶函数,那么a ＋b 的值是A ．－BD ．－ 难点一奇偶性与不等式1.若函数fx ＝是奇函数,则使fx >3成立的x 的取值范围为A ．－∞,－1B ．－1,0C0,1 D ．1,＋∞难点二求解析式1.若定义在R 上的偶函数fx 和奇函数gx 满足fx ＋gx ＝e x ,则gx ＝A．e x－e－e x＋e－x e－x－e x De x－e－x2.若函数fx＝x ln x＋为偶函数,则a＝________.3.已知fx是定义在R上的奇函数,当x>0时,fx＝x2－4x,则不等式fx>x的解集用区间表示为________．4.设偶函数fx满足fx＝x3－8x≥0,则{x|fx－2>0}＝A．{x|x<－2或x>4}B{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}难点三奇偶性与周期性综合1.已知fx是定义在R上的偶函数,且对任意x∈R都有fx＋4＝fx＋f2,则f2014等于A0B．3C．4 D．62.已知定义在R上的奇函数fx满足fx＋1＝－fx,且在0,1上单调递增,记a＝f,b＝f2,c ＝f3,则a,b,c的大小关系为A a>b＝c B．b>a＝c C．b>c>a D．a>c>b3.设fx是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f2>1,f2014＝,则实数a的取值范围是________．难点四奇偶性、对称性、周期性1.已知函数fx是－∞,＋∞上的奇函数,且fx的图象关于x＝1对称,当x∈0,1时,fx＝2x－1,则f2013＋f2014的值为A．－2B．－1C．0 D12.定义在R上的函数fx满足f－x＝－fx,fx－2＝fx＋2,且x∈－1,0时,fx＝2x＋,则f log220＝A－C．1 D．－终极难度定义证明、赋值法、求参数1.定义在R上的函数fx对任意a,b∈R都有fa＋b＝fa＋fb＋kk为常数．1判断k为何值时fx为奇函数,并证明；2设k＝－1,fx是R上的增函数,且f4＝5,若不等式fmx2－2mx＋3>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围．2.已知函数fx对任意实数x,y恒有fx＋y＝fx＋fy,且当x>0时,fx<0,又f1＝－2.1判断fx的奇偶性；2求证：fx是R上的减函数；3求fx在区间－3,3上的值域；4若x∈R,不等式fax2－2fx<fx＋4恒成立,求a的取值范围．跟踪练习1.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f x x x f 则若 A ．b B ．－b C ．b 1 D ．－b1 2.已知函数)(x f y =在R 是奇函数,且当0≥x 时,x x x f 2)(2-=,求：0<x 时,)(x f 的解析式3.定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数,且是奇函数,若0)54()1(2>-+--a f a a f ,求实数a 的范围.。
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高一数学必修一函数专题：周期性
【知识点一】：周期函数与周期
（Ⅰ）周期函数的定义：函数的图像由一段图像重复出现组成，该函数为周期函数。
（Ⅱ）周期的定义：这一段重复图像在x 轴上的长度为周期。
（Ⅲ）最小正周期的定义：这一段重复图像内部无重复，在x 轴上的长度为最小正周期。
例题：根据下列图像判断函数的周期和最小正周期。
第一题
第二题解答：第一题：周期：k T ⋅=2π，Z k ∈；最小正周期：2
π=T 。
第二题：周期：k T ⋅=2，Z k ∈；最小正周期：2=T 。
【知识点二】：周期定义式
（Ⅰ）定义式描述：周期函数的自变量x 加上或者减去一个周期或者周期的倍数，函数值不变。
（Ⅱ）定义式：)()(T k x f x f ⋅+=，Z k ∈。
例题一：已知：函数)(x f 的周期为2，当)1,1(-∈x 时：1)(-+=x e x f x 。
计算：)12(f 的值。
解答：函数)(x f 的最小正周期为2)0()620()12(f f f =⨯+=⇒，0)12(01110)0(0=⇒=-=-+=f e f 。
例题二：已知：周期为2的函数)(x f 在R x ∈上是奇函数，当)1,0(∈x 时：12log )(2-+=x x x f 。
计算：2
11(f 的值。
解答：函数)(x f 的周期为2)2
1()2321()211(-=⨯+-=⇒f f f 。
函数)(x f 在R x ∈上是奇函数21()21
(f f -=-⇒，1111121221log )21(2
-=-+-=-⨯+=f 1)2
1(211(1)1(21()21(=-=⇒=--=-=-⇒f f f f 。
例题三：已知：周期为3的函数)(x f 在R x ∈上是偶函数，当)0,1[-∈x 时：2
2)(x x f x -=。
计算：)13(f 的值。
解答：函数)(x f 的周期为3)1()341()13(f f f =⨯+=⇒。
函数)(x f 在R x ∈上是偶函数)1()1(-=⇒f f ，2
1)1(21121)1(2)1(21-=⇒-=-=--=--f f ，2
1)1()13(-==⇒f f 。
【知识点三】：周期式
（Ⅰ）)()(a x f x f +=，周期为||a T =。
例题：根据函数关系式判断函数的周期。
①)3()(-=x f x f ②2
1
()(+=x f x f 解答：①)3()(-=x f x f ⇒)(x f 的周期：3=T 。
②21
()(+=x f x f ⇒)(x f 的周期：2
1=T 。
（Ⅱ）)()(b x f a x f +=+，周期为||b a T -=。
【推理】：假设：a t x a x t -=⇒+=；
)()(b x f a x f +=+，t a x =+，||))(()()()(a b T a b t f t f b a t f t f a t x -=⇒-+=⇒+-=⇒-=。
例题：根据函数关系式判断函数的周期。
①)3()1(-=-x f x f ②)
2()2(-=+x f x f 解答：①)3()1(-=-x f x f ⇒)(x f 的周期：2|2||31||)3(1|==+-=---=T 。
②)2()2(-=+x f x f ⇒)(x f 的周期：4|22||)2(2|=+=--=T 。
（Ⅲ）m a x f x f =++)()(，周期为|2|a T =。
【推理】：用a x +替换m a x f x f =++)()(中的x 得到：
m a x f a x f m a a x f a x f =+++⇒=++++)2()()()(；
m a x f x f =++)()(①
m a x f a x f =+++)2()(②
①-②得到：|2|)2()(0)2()(a T a x f x f a x f x f =⇒+=⇒=+-。
例题：根据函数关系式判断函数的周期。
①)
2()(+-=x f x f ②)1()1(+-=-x f x f ③1)()1(-=+-x f x f ④1
)3()(=-+x f x f 解答：①)2()(+-=x f x f ⇒=++⇒0)2()(x f x f )(x f 的周期：422=⨯=T 。
②)1()1(+-=-x f x f )(0)1()1(x f x f x f ⇒=++-⇒的周期：422|2|2|11|2=⨯=-⨯=--⨯=T 。
③1)()1(-=+-x f x f ⇒)(x f 的周期：212=⨯=T 。
④1)3()(=-+x f x f )(x f ⇒的周期：632=⨯=T 。
（Ⅳ）m a x f x f =+⋅)()(，周期为|2|a T =。
【推理】：用a x +替换m a x f x f =+⋅)()(中的x 得到：m a x f a x f m a a x f a x f =+⋅+⇒=++⋅+)2()()()(；
m a x f x f =+⋅)()(①
m a x f a x f =+⋅+)2()(②①/②得到：|2|)2()(1)
2()()2()()()(a T a x f x f a x f x f m m a x f a x f a x f x f =⇒+=⇒=+⇒=+⋅++⋅。
例题：根据函数关系式判断函数的周期。
①)3(2
)(--=x f x f ②)
2(1
)1(+=+x f x f ③3
)2()(=+x f x f ④2)3()1(=+-x f x f 解答：①)(2)3()()
3(2)(x f x f x f x f x f ⇒-=-⇒--=的周期：632=⨯=T 。
②)(1)2()1()2(1)1(x f x f x f x f x f ⇒=++⇒+=
+的周期：212|21|2=⨯=-⨯=T 。
③3)2()(=+x f x f )(x f ⇒的周期：422=⨯=T 。
④2)3()1(=+-x f x f )(x f ⇒的周期：842|4|2|31|2=⨯=-⨯=--⨯=T 。
（Ⅴ）)
(1)(1)(a x f a x f x f +-++=，周期为|4|a T =。
【推理】：用a x +替换)(1)(1)(a x f a x f x f +-++=
中的x 得到：)2(1)2(1)(1)(1)(a x f a x f a a x f a a x f a x f +-++=++-+++=+；把)2(1)2(1)(a x f a x f a x f +-++=+代入)
(1)(1)(a x f a x f x f +-++=得到：)2(1)2(1)2(1)2(1)]2(1[)2(1)2(1)2(1)2(1)2(11)2(1)
2(11)(a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f x f +--+-++++-=++-+-++++-=+-++-+-+++=|4|1)2()()
2(1)()2(1)2(22a T a x f x f a x f x f a x f a x f =⇒-=+⋅⇒+-=⇒+-=+-=。
例题：根据函数关系式判断函数的周期。
①)2(1)
2(1)(+-++=x f x f x f ②)
3(1)
3(1)(---+=x f x f x f 解答：①)
2(1)2(1)(+-++=x f x f x f )(x f ⇒的周期：824=⨯=T 。
②)3(1)3(1)(---+=
x f x f x f )(x f ⇒的周期：1234=⨯=T 。
（Ⅵ）)
(1)(1)(a x f a x f x f +++-=，周期为|2|a T =。
【推理】：用a x +替换)(1)(1)(a x f a x f x f +++-=
中的x 得到：)
2(1)2(1)(1)(1)(a x f a x f a a x f a a x f a x f +++-=+++++-=+；
把)2(1)2(1)(a x f a x f a x f +++-=+代入)
(1)(1)(a x f a x f x f +++-=得到：)2(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2(1))2(1()2(1)2(1)2(11)2(1)
2(11)(a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f x f +-+++++-++=+-++++--++=+++-++++--=|2|)2()()2(2
)2(2a T a x f x f a x f a x f =⇒+=⇒+=+=。
例题：根据函数关系式判断函数的周期。
①)1(1)
1(1)(-+--=x f x f x f ②)2
1(1)21(1)(+++-=x f x f x f 解答：①)
1(1)1(1)(-+--=x f x f x f )(x f ⇒的周期：212=⨯=T 。
②2
1(121(1)(+++-=x f x f x f )(x f ⇒的周期：1212=⨯=T 。