Ad Hoc 网络中的区域划分和资源分配问题第二组

全国第三届研究生数学建模竞赛题目Ad Hoc网络中的区域划分和资源分配问题摘要：近年来无线网络通信得到了迅速的发展,而Ad Hoc网络做为一种无线通信的载体发展迅速。

本文首先建立了Ad Hoc网络一跳覆盖区的基K模型，充分的论证了K取不同值时效果的优劣，得出问题1结论：5％时采用基6模型，3信道，需45个圆；18％时采用基4模型，2信道，需60个圆。

对于问题2，采用基6模型，得出圆半径之和最小为4450。

论文主要对问题3进行了详细分析，提出漫路分簇算法，将节点进行分簇，建立基于模拟退火的圆心漂移模型和最小覆盖圆模型，去除圆心位置冗余和半径长度冗余，同时进行限制性条件检验，得到无湖、有湖最小半径之和分别为3925、3625。

基于问题3的讨论，对问题4、5、6进行了进一步阐述。

参赛队号 10422007一、问题的描述随着人们对摆脱有线网络束缚、随时随地可以进行自由通信的渴望，近几年来无线网络通信得到了迅速的发展，无线网络的设计成为当前网络和通信技术研究的热点之一，本题Ad Hoc网络的通信设计问题就是在这样一个背景下提出的。

Ad Hoc网络的出现推进了人们实现在任意环境下的自由通信的进程，同时它也为军事通信、灾难救助和临时通信提供了有效的解决方案。

该题讨论的是对一个特定的正方形区域（1000×1000），采用有一定半径范围要求的圆有重叠的全部覆盖或者对正方形区域中特定位置的节点进行覆盖。

问题有如下几个方面：在满足一定条件下，如何找到最小数目的覆盖圆？如何找到所有半径和最小的覆盖圆的区域分划？在特定的区域分划下，如何确定信道的数目？如何讨论网络拓扑结构的抗毁性？当正方形区域中存在一个湖泊时，如何改变以上设计寻求最优？当正方形区域中有一定数目固定节点和运动节点时，如何实现圆覆盖？并讨论其连通性和抗毁性。

当把能量、功率、时间等实际网络运行因素考虑进来后，如何实现圆覆盖？并提出自己的网络设计观点。

二、问题的简化（模型假设）我们针对不同的问题，提出了下列假设：针对问题（1），假设覆盖圆的圆心位置坐标可以精确定位，在正方形区域内地形是完全相同的，不考虑地形因素带来的影响；覆盖圆的半径大小也是相同的，都为100；节点位于圆心或者公共部分的中心。

针对问题（2），假设覆盖圆的半径可以在75－100之间随意选择；两个面积不等的圆相交，公共部分的面积不小于大圆面积的5％。

针对问题（3），假设在一个较短的时间间隔内，网络的连通性不变；有转发任务的相邻圆的公共部分面积不小于较大圆的5％；覆盖圆的半径不大于100。

针对问题（4），假设数据文件给出的前十个数据只做折线运动，每30个单位时间可能改变一次运动的方向和速度，运动的方向角、速度是分别服从在[0，2 ] 、[0，2]上均匀分布的随机变量；其他节点不移动；节点到达正方形区域边界后只能向区域内运动。

针对问题（5）假设发射功率与最大传输距离的三次方成正比；网络运行期，节点保持静止；在A、B两个节点通信时，不存在同时收发的问题；两节点平均通信次数与距离的平方成反比；发射、接收和备用状态之间的转换时间以及为获取网络结构、路由等公共信息所花的时间和其他资源忽略不计。

针对问题（6）假设通信过程中，重发3次或者延时30个时间单位就可能丢包。

三、模型的分析定理1：若干半径为R 的圆完全覆盖正方形区域的充分条件是这些圆的内接正多边形完全覆盖了正方形区域。

证明：假设正n 边形i A 覆盖了正方形区域中的i B ，所有i A （i ＝1，2，…，M ），覆盖的区域包含了正方形区域B ，即所有i B 覆盖的区域包含了正方形区域B 。

因为对于由i A 形成的外接圆i O ，必包含区域i B ，所以，所有i O （i ＝1，2，…，M ）覆盖的区域必包含了正方形区域B 。

定理2：四色定理对于一幅地图，最多使用4种颜色，就可以时任意相邻的区域涂上不同颜色，其等价命题为：没有割边的三正则平面图的边可以三色着色。

简单的说明如下：根据“拓扑学”原理，任何复杂形状的每一块区域都可看成是一个点的集合，两块区域之间相互有交界的可看成这两点之间有连线，只要证明在一个平面内，相互之间都有连线的点不会超过四个，也就证明了“四色问题”。

推论：对于1000×1000的正方形平面区域内的任意一跳覆盖区划分，最多使用4种信道，就可以保证相邻的一跳覆盖区拥有不同的信道。

定理3： 在两等半径的圆相交的时候，若两交点夹的劣弧所对的圆心角 固定，则相交面积1S 与整个圆面积S 的比值与圆半径R 无关，为常数。

证明：如图1，两圆的圆心分别为1o ，2o ，半径均为R ，两交点为A ，B 。

相交面积为22112sin 3602S R R θπθ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦令2212sin sin180180R R S k S R θπθθππ-===- ①由①知，k 值与圆的半径R 无关，定理1得证。

将sin θ中的θ化为数量sin 180θπsin 1180()(1cos )0180180180dk d d d θπθθπθθπ=-=-> 所以随着θ增大，k 的值是单调增加的并且增长速度满足正弦形式。

两半径相等圆相交，以公共面积中心为坐标原点，圆心距2d a =。

则两圆方程分别为222()x a y R -+=222()x a y R ++=公共面积004*a S -=⎰令x a t -= x t a =+04*R S --=⎰arcsin 22024*cos aR S R d πθθ--=⎰222002arcsin2a S R R k R R ππ=--= 针对问题中的相交面积5％，18％两种情况，由上面公式计算出15%S k S==时，57.1θ= 118%S k S ==时，89.7θ= 对于基6模型，6057.1θ=> ，此时1 5.77%S k S==，所以，基6模型可以很好的解决公共面积不小于5％的要求。

同理，对于基4模型9089.7θ=> ，此时，118.17%S k S ==所以，基4模型可以很好的解决公共面积不小于18％的要求。

定理4：在保证两圆相交面积不小于两个圆中较大的圆面积的k ％时，当两圆半径相等时，公共面积占两个圆总面积的百分比最小。

证明：如图两圆，半径12R R ≥。

因为12R R ≥，所以12o o S S ≥ 又因为11%o S k S =，所以12%o S k S ≥ 2121%2%1o o o o S k k S S S S =≥++ （当且仅当12o o S S =即12R R =时取等）。

考虑在一个无限大的平面内采用两种半径1R ，2R 的圆相交完全覆盖平面。

定义圆的有效利用率η=实际两圆在平面内占的面积两圆总面积则12121021%%111%21o o o o o o S S k S k k S S S S η+-=-≤-++＝ （当且仅当12o o S S =即12R R =时取等）。

推论：两圆相交，满足相交面积不小于一个整圆面积的k ％的条件下，当两圆半径相等时，圆有效利用率最高。

由定理4及推论，在采用的基k 模型当中，我们选用圆半径相同的情况。

定理5：网络拓扑结果中任一节点A 不能实现自身对外通信的充要条件为A 节点所在的一跳覆盖区内无其他节点。

四、 模型建立和求解4.1基K 模型算法要将边长为1000的正方形区域用若干各半径为100的圆完全覆盖，圆与圆之间必然相互交叠，从大正方形和圆的几何形状综合考虑，我们提出基K 模型算法，来实现使用圆对正方形的完全覆盖。

算法思想：画出每个圆的内接正K 边形，使用正K 边形替代圆对正方形区域进行覆盖。

这样便可以使正K 边形之间不发生重叠。

满足正K 边形之间无缝连接时，只要21000n mS ≥（m ：正K 边形个数，n S ：一个正K 边形的面积），即可实现全覆盖，当然此时要考虑正K 边形超出正方形的面积。

所以实际操作时，只要实现无缝拼接时沿水平垂直两个方向每个正K 边形的有效贡献乘以个数大于等于1000，即可实现全覆盖，所需正K 边形个数即为两个方向上的个数乘积，也就是所需圆的个数。

不难得知，正K 边形无缝拼接充要条件：正K 边形的角能够整除360 。

下面针对不同K 的取值，给出算法的具体实现：（1）当K ＝3时，即为圆内接正三角形，如图所示。

圆半径为100，可知正三角形边长为，正三角形内角为60 ，所以，可以实现无缝拼接。

一个三角形沿水平垂直两个方向的有效贡献分别为，150（其中处在两次边界的三角形水平贡献为，另一半处于三角形外）。

可以得出水平方向需正三角形个数为1+＝13个，垂直方向需要的个数为1000150⎡⎤⎢⎥⎢⎥＝7个。

所以，若用圆内接正三角形无缝无重叠覆盖正方形所需的个数为13×7＝91个。

（2）当K＝4时，即为圆内接正方形，如图所示。

其边长为90 ，也可实现无缝拼接。

正方形若正放，沿两个方向上的有效贡献皆为个数为＝8个，所以两个方向上都需要8个，总数为8×8＝64个。

正方形若与水平成45 放置，垂直方向的有效贡献：处于边界的两个正方形共贡献100，其余中间部分每个正方形贡献100，水平方向的贡献：奇数行贡献200；偶数行两个边界的正方形各贡献100，其余贡献200。

所以垂直方向需要11个正方形，水平方向：第1，3，5，7，9，11行需要5个，第2，4，6，8，10行需要6个，一共是60个。

（3）当K＝5时，即为圆内接正五边形，其内角为108 ，无法整除360 ，所以无缝实现无缝拼接。

（4）当K＝6时，即为圆内接正六边形，如图所示。

其内角为120 ，可以实现无缝连接，边长为100。

垂直方向贡献150（其中处于边界的一个正六边形仅贡献100），水平方向：奇数行有效贡献为首尾两个六边形有效贡献为。

所以垂直方向需要正六边形的个数为＋1＝7，水平方向共7行，奇数行每行需要6个，偶数行每行需要1000100150-⎡⎤⎢⎥⎢⎥＋1＝7，所以总共需要正六边形个数为45个。

（5）当7n≥时，圆内接正K边形的内角必然大于120 且小于180 ,可知无法整除360 。

所以，只要圆内接正K 边形边数大于等于7，就无法时间无缝拼接了。

基K 模型的优点：（1）基K 模型有效的解决了使用圆形完全覆盖正方形的问题，实现了无缝拼接。

（2）一个正K 边形对应一个圆，可以方便的计算出对任意区域不同方式全覆盖时所需要的圆的个数。

（3）圆内接正K 边形的一条边与圆围成的弓形，即为相邻两个圆的公共面积的一半，可以方便解决不同公共面积大小的需求。

4.2 基6模型分析（满足相交面积不小于5％的要求）我们选用如下图所示的基6模型小单元，4.2.1 垂直方向如果只有一行，覆盖矩形区域的高为R ，以后每增加一行，其步进距离为1 1.5h R =，所以当水平有m 行时，能够覆盖的有效矩形高度为1(1) 1.50.5y h m R R mR R =-+=- ②4.2.2 水平方向（从上向下每行圆个数依次上12121…），以后每增加一列（每行圆数增加1），能步进距离2h ，所以当竖值有n 行时，能够覆盖的有效矩形长度为2(1)x h n R =-= ③4.2.3基6单元排布(正方形区域)正方形区域 1000x y ==则由②③两式 1.50.5x y mR R ⎧=⎪⎨=-⎪⎩又因为R 只能取75～100之间的数值，m ，n 取正整数。