第一章第五节 无穷小与无穷大

1 例如：当x → ∞ 时为无穷小量， 当x → 1时不为无穷小量。 x
(3)无穷小量 (无穷大量 )不是指很小 (很大)的数而是指一 。仅有０ 是无穷小 ！ 个变量 变量。仅有０ 。仅有０是无穷小 一个特殊的 无界变量 ，反之未必。 无穷大量是一个特殊的 一个特殊的无界变量 无界变量，反之未必。 (4)无穷大量是
故 lim a ( x ) = 0 , 而 f ( x ) = A + a ( x )
x → x0
⇐∵ f ( x) = A + a( x), lim a ( x ) = 0，则 lim[ f ( x ) − A] = lim a ( x ) = 0
x → x0 x → x0 x → x0
∴∀ε >0,∃δ >0,当0<|x -x0|<δ 时，|f (x )-A|<ε ，即lim a( x) = A
n→ ∞
x→ 0
lim +
x = 0
1 lim 2 = 0 x→ ∞ x
1 称 2 为当 x → ∞ 时的无穷小量 . x
说明: ①同一个函数，在不同的趋向下， 可能是无穷小，也可能不是无穷小； 如
1 lim = 0 , x →∞ x
1 1 lim = x→2 x 2
②无穷小不是一个常量，是在一个变化过程中的变量； ③零是唯一可作为无穷小的常数。
函数 log a x 的严格递增性，当 x > M 时，a x > G ,
x lim a 这就证明了 x →+∞ = +∞ .
例
证明 lim+ ln x = −∞ .
x→0
证 对 ∀ G > 0, 要找到 δ > 0, 使得 ∀ 0 < x < δ , ln x < − G .
由于 ln x 单调增,只要令 δ = e-G > 0 即可.
0
当 x → x 0时的无穷小量 . sin x = 0 例如： lim x→0
称 sin x 为当 x → 0时的无穷小量 .
lim x 2 = 0
x→0
称 x 2为当 x → 0时的无穷小量 .
称e − n为当 n → ∞时 时的无穷小量 .
lim e − n = 0
| f ( x ) | > G, 则称函数 f (x) 当 x→ x0 时为无穷大量 , 记作
x → x0
lim f ( x ) = ∞.
若定义中的 | f ( x ) | > G 改为 f ( x) > G 或 f ( x) < −G, 记作
x → x0
lim f ( x ) = +∞ 或 lim f ( x ) = −∞.
x → x0
相应地称 f ( x ) 为 x → x0 时的正 无穷大量和负无 穷大量. 类似地可以定义如下的无穷大量 :
x → +∞
lim f ( x ) = ∞ , lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = − ∞ ;
x → +∞ x→ + ∞
x → −∞ x→ ∞
lim f ( x ) = ∞ ,
lim f ( x ) = ∞ ,
x → −∞ x→ ∞
lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = − ∞ ;
x → −∞ x→ ∞
lim f ( x ) = +∞ ,
lim f ( x ) = − ∞ .
注意:
1. 无穷大不是很大的数 , 它是描述函数的一种状态 . 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 f ( x) = x cos x , x ∈ (−∞ , + ∞ )
例5 问y =xcosx在（-∞,+∞）内是否有界？x → ∞时，是否为无穷大？
解：(1)y =xcosx在（-∞ ,+∞ ）内无界 ∵ ∀M > 0, ∃x0 = nπ ∈ ( −∞, +∞ ), ( n >
M ) π
使 x0 cos x0 =| x0 |= nπ > M ,即y = x cos x在（-∞,+∞）为无界 （2）x → +∞时，y = x cos x不是无穷大
f (2nπ ) = 2 nπ → ∞ (当 n → ∞ ) y + n π ) = 0 但 f (π 2
所以
x → ∞ 时 , f ( x)不是无穷大 !
o
y = x cos x
x
关于无穷大量注意以下几个问题 ： (1)无穷大量的定义中包含数列和函数极限 。 (2)无穷大量是相对于自变量的某一变化过程而言的。
4x −1 x2 + 2x − 3 0 ∴ lim 2 = ∞. ∴ lim = = 0 . x →1 x + 2 x − 3 x →1 4x − 1 3
内容小结 量 一、无穷小 一、无穷小量 大量 二、无穷 二、无穷大量 无穷小量与无穷大量的关系 三、 三、无穷小量与无穷大量的关系 布置作业
1 ' ' ' ' ∵ ∃M 0 = 1, ∀X > 0, ∃x0 = (n + )π 满足|x0 |>X,并且|x0 cosx0 |=0<M0 2 ∴ lim x cos x ≠ ∞
x →+∞
练习：证明y =x sin x 在（-∞,+∞）内无界， 且x → ∞时不是无穷大。
无穷小与无穷大的关系 定理 (1) 若 f 为 x→x0 时的无穷小量 , 且不等于零 ,
毕节学院数学与计算机科学学院 张云艳
第五节 无穷小与无穷大
量 一、无穷小 一、无穷小量 二、无穷 大量 二、无穷大量
第一章
三、 无穷小量与无穷大量的关系 三、无穷小量与无穷大量的关系
一、 无穷小量 一、无穷小量
定义1 设 f在某 U 0 ( x0 )上有定义，若 lim f ( x ) = 0, 则称 f为 x→ x
1 = +∞ . 例 证明 lim 2 x→ 0 x 证 ∀G > 0 , 取 δ = 1 , 当 0 < | x | < δ 时 , 1 > G , G x2 1 所以 lim 2 = + ∞ . x→ 0 x
x lim a 例 当 a > 1 时，求证 x → + ∞ = + ∞.
证 ∀ G > 0 ( 不妨设 G > 1 ), 令M = log a G , 由对数
1 则 f 为 x → x0 时的无穷大量 . 1 ( 2) 若 g 为 x → x0 时的无穷大量 , 则 g 为 x → x0 时
的无穷小量 . 例 求
4x −1 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
x →1
解：∵ lim ( x 2 + 2 x − 3) = 0, 又 ∵ lim ( 4 x − 1) = 3 ≠ 0, x →1
例 3 证明lim
x→1
1 =∞ x −1 1 1 > M , 只要 | x − 1 |< , x −1 M
y
证:
∀M > 0, 要使
1 故取 δ＝ ,当0 <| x − 1 |< δ 时， M 1 1 > M ，即 lim ＝∞ x → 1 | x −1 | x −1 1 x 1 直线x =1是y = 的图形的铅直渐近线 x −1 1＋2 x 例4 证明 lim =∞ x→0 x 1＋2 x 1 1 证: ∵ = +2 ≥ −2 x x | x| 1＋2 x 1 1 1 ∴∀M > 0, 要使 > M , 只要 − 2 > M ，即|x|< , 故取δ ＝ ， x |x| M +2 M +2 1＋2 x 1＋2 x 当0 <| x − 0 |< δ 时， > M ，即 lim =∞ x → 0 x x 0
定理1
证:
lim f (x) = A ⇔ f (x) = A + a (x ) (lima (x ) = 0)
⇒ 设 lim f ( x ) = A , 并 令 a ( x ) = f ( x ) − A , 则 ∀ ε >0, ∃ δ >0,
x → x0
当 0<| x- x0|< δ 时 ， 有 | f( x)- A |< ε即 | a ( x)-0|< ε
例
lim an = + ∞ . 设 { an } 递增，无上界 . 证明 n →∞
证 因为 { an } 无上界，所以任给 G > 0，存在 n0 ,
{ an }递增， 故当 n > n0 时，有 使 a n 0 > G . 又因
an ≥ an0 > G , 即 lim an = + ∞ .
n→ ∞
x→ x0
类 似 可 证 明 x → ∞时 的 情 形
例 2 已 知 lim f ( x ) = A , lim
x → x0 x → x0
f (x) = 0, 求 A . x
f ( x) 解 : ∵ lim = 0, x → x0 x f ( x) ∴ = 0 + a ( x ), ( a ( x )为无穷小 ) x 即 f ( x ) = xa ( x ),
故 lim f ( x ) = lim xa ( x)＝0，
x → x0 x → x0
即
A = 0.
三、无穷 大量 无穷大
定义2
� U ( x 0 ) 有定义, 若对于任给 设函数 f 在 � � x ∈ U ( x ; δ ) ⊂ U ( x0 ) G > 0, 存在 δ > 0，使得当 0