2014年高考北京文科数学试题及答案(精校版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 文科数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟，。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A. {}0,1,2,3,4B.{}0,4C. {}1,2D. {}3 2. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A. x y e -=B. y x =C.ln y x =D.y x = 3. 已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 1B. 3C. 7D. 155. 设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分不必要条件 6. 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,4D. ()4,+∞7. 已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4 8. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10. 设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12. 在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13. 若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .14. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.16.（本小题满分13分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）19. （本小题满分14分）已知椭圆C ：2224x y +=. (1) 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.20. （本小题满分13分） 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．2 10．221x y -= 11．12．213．1 14．42三、解答题（共6小题，共80分）15．【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得 344112012843b a q b a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16． 【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π ， 07π6x =， 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．17．解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥．又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ． （Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．因为E ，F 分别是11AC ，BC 的中点， 所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为AC AC ∥，且AC AC =， G C 1B 1A 1F E C BA所以1FG EC ∥，且1FG EC =．所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1C F ∥平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB =． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△18．解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以 0.170.0852a ===频率组距． 课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．19．解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =故椭圆C的离心率c e a ==．（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得002y t x =-．又22024x y +=，所以 ()()222002AB x t y =-+-()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()220200224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为 20. 解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛ ⎝⎭()11f f ==-⎝⎭所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭.（Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，， 则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得32004630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与g x '的情况如下：) 当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--， .（Ⅲ）过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ，存在1条直线与曲线()y f x =相切.：。