2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—北京卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟，。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1 D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10.设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都则最短交货期为 工作日.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.16.（本小题满分13分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，=1BC ，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA18. （本小题满分13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 19. （本小题满分14分）已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.20. （本小题满分13分）已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）参考答案一、 选择题1．C [解析] A ∩B ＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 3．A [解析] 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)． 4．C [解析] S ＝20＋21＋22＝7.5．D [解析] 当ab <0时，由a >b 不一定推出a 2>b 2，反之也不成立．6．C [解析] 方法一：对于函数f (x )＝6x－log 2x ，因为f (2)＝2>0，f (4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6x与g (x )＝log 2x 的大致图像，如图所示，可得f (x )的零点所在的区间为(2，4)．C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所1，即4≤m ≤6.8．B [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.8125，即当t ＝3.75时，p 有最大值． 二、 填空题9．2 [解析] ∵(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，∴x ＝2.10．221x y -= [解析] 由题意设双曲线的方程为x 2－y 2b2＝1(b >0)，又∵1＋b 2＝(2)2，∴b 2＝1，即双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.11．[解析] 该三棱锥的直观图如图所示，并且PB ⊥平面ABC ，PB ＝2，AB ＝2，AC ＝BC ＝2，P A ＝22＋22＝22，PC ＝22＋（2）212．2,[解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.13．1 [解析] 可行域如图，当目标函数线z ＝y ＋3x 过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＋y －1＝0，得A (0，1)，故z min ＝3×0＋1×1＝1.14．42 [解析] 21＋15＝42个工作日． 三、 解答题15．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：41123333a a d --===， 所以1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==L ， 设等比数列{}n nb a -的公比为q ，由题意得：344112012843b a q b a --===--，解得2q =.所以1111()2n n n n b a b a q ---=-=，从而132(1,2,)n n b n n -=+=L . （II ）由（1）知，132(1,2,)n n b n n -=+=L ，数列{}3n 的前n 项和为3(1)2n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -⨯=--， 所以数列{}n b 的前n 项和为3(1)212n n n ++-. 16．解：（I ）()f x 的最小正周期为π，076x π=，03y =. （II ）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是 当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取得最小值3-.17．解：（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥AB ， 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC . （II ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是11AC 、BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG=12AC ， 因为AC ∥11AC ，且AC=11AC ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC ，所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ， 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE .（III ）因为1AA =AC=2，BC=1，AB ⊥BC ，所以=所以三棱锥E ABC -的体积为：113ABC V S AA ∆=⋅=111232⨯⨯. 18．解：（I ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=. 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. （II ）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距， 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距. （III ）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.19．解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=， 所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=，因此2,a c =C的离心率c e a ==（II ）设点A ，B 的坐标分别为00(,2),(,)t x y ，其中00x ≠，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r ，即0020tx y +=，解得002yt x =-，又220024x y +=，所以22200||()(2)AB x t y =-+-=2200002()(2)y x y x ++-=2220002044y x y x +++=2220002042(4)42x x x x --+++=22002084(04)2x x x ++<≤， 因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时间等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB长度的最小值为20．解：（I ）由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或x =，因为(2)10f -=-，(2f -=，(2f =(1)1f =-，所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =. （II ）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”， '()g x =21212x x -=12(1)x x -，()g x 与'()g x 的情况如下：当(0)30g t =+≤，即3t ≤-时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当(1)10g t =+≥，1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>，所以()g x 分别为区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--. （III ）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.。