2014年北京高考数学真题及答案(文科)

绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{0,1,2,4}IB=，则A B=A=，{1,2,3}（A）{0,1,2,3,4}（B）{0,4}（C）{1,2}（D）{3}（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（A）e xy x=y-=（B）3（C）lny x==（D）||y x（3）已知向量(2,4)a bb，则2-==-=a，(1,1)（A）(5,7)（B）(5,9)（C）(3,7)（D）(3,9)（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为Array（A）1（B）3（C）7（D）15数学（文）（北京卷）第1 页（共13 页）数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 13 页）（5）设,a b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数26()log f x x x =-．在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）(0,1) （B ）(1,2) （C ）(2,4)（D ）(4,)+∞（7）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0),(,0)A m B m - (0m >)．若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=°，则m 的最大值为 （A ）7 （B ）6 （C ）5（D ）4（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（,,a b c 是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 （A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟数学（文）（北京卷） 第 3 页（共 13 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）若(i)i 12i ()x x +=-∈+R ，则x = ．（10）设双曲线C的两个焦点为(2,0),(2,0)-，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为 ．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 ．（12）在ABC △中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = ． （13）若,x y 满足1,10,10,y x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最小值为 ．（14）顾客请一位工艺师把A, B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 个工作日．11122正（主）视图 侧（左）视图俯视图数学（文）（北京卷）参考答案 第 4 页（共 13 页）三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，满足143,12a a ==，数列{}n b 满足144,20b b ==，且{}n n b a -为等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．（16）（本小题13分）函数()3sin(2)6f x x π=+的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中00,x y 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]212ππ--上的最大值和最小值．（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C –中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，,E F 分别是11,A C BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：1//C F 平面ABE ； （Ⅲ）求三棱锥E ABC –的体积．A 1EC 1B 1CFBA（18）（本小题13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：阅读时间（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的,a b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．（只需写出结论）（19）（本小题14分）已知椭圆22:24+=．C x y（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点．若点A在直线2⊥，求线段AB长度y=上，点B在椭圆C上，且OA OB的最小值．数学（文）（北京卷）参考答案第 5 页（共13 页）数学（文）（北京卷）参考答案 第 6 页（共 13 页）（20）（本小题13分）已知函数()f x 323x x =-．（Ⅰ）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（Ⅱ）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（Ⅲ）问过点(1,2)A -，(2,10)B ，(0,2)C 分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学（文）（北京卷）参考答案 第 7 页（共 13 页）绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）A （4）C （5）D（6）C（7）B（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）2（10）221x y -= （11）（12）2（13）1（14）42三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===． 所以1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==L ． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以1111()2n n n n b a b a q ---=-=． 从而132(1,2,)n n b n n -=+=L ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知132(1,2,)n n b n n -=+=L ．数列{3}n 的前n 项和为3(1)2n n +，数列1{2}n -的前n 项和为1212112n n -⨯=--．所以，数列{}n b 的前n 项和为3(1)212n n n ++-．数学（文）（北京卷）参考答案 第 8 页（共 13 页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 的最小正周期为π．06x 7π=． 03y =．（Ⅱ）因为[,]212x ππ∈--，所以π2[,0]66x 5π+∈-．于是， 当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0； 当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．数学（文）（北京卷）参考答案 第 9 页（共 13 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C –中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥， 所以AB ⊥平面11B BCC ． 所以平面ABE ⊥平面11B BCC ． （Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG FG ，．因为E F ，分别是11A C BC ，的中点， 所以//FG AC ，且12FG AC =． 因为11//AC A C ，且11AC A C =， 所以1//FG EC ，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1//C F EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB = 所以三棱锥E ABC –的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯△．A 1 C 1EB 1ACFBG数学（文）（北京卷）参考答案 第 10 页（共 13 页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是101100-0.9=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以a =频率组距=0.1720.085=． 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以b =频率组距=0.2520.125=． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．数学（文）（北京卷）参考答案 第 11 页（共 13 页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c 故椭圆C的离心率c e a ==（Ⅱ）设点,A B 的坐标分别为00(,2),(,)t x y ，其中00x ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB −−→−−→⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又22024x y +=，所以 2AB =2200()(2)x t y -+-2200002()(2)y x y x =++- 22202044y x y x =+++ 222000242(4)42x x x x --=+++ 22002084(04)2x x x =++<≤．因为22002084(04)2x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为数学（文）（北京卷）参考答案 第 12 页（共 13 页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）由3()23f x x x =-得2()63f x x '=-．令()0f x '=，得x =或x ． 因为(2)10f -=-，(f =，f =(1)1f =-， 所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f ． （Ⅱ）设过点(1,)P t 的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-， 所以切线方程为200(63)()x x x y y ---=， 因此200(63)(1)x x t y ---=． 整理得 3204630x x t -++=． 设32()463g x x x t =-++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同 零点”．2()121212(1)g x x x x x '=-=-． ()g x 与()g x '的情况如下：所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值．当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．数学（文）（北京卷）参考答案 第 13 页（共 13 页）当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>，所以()g x 分别在区间[1,0)-，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点．综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--．（Ⅲ）过点(1,2)A -存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点(2,10)B 存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点(0,2)C 存在1条直线与曲线()y f x =相切．。