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Chapitre1Bases mathématiquesL’analyse des systèmes mécaniques va requérir l’utilisation de plusieurs outils mathématiques dont il vaêtre utile de rappeler les notions,voire les notations qui peuventêtre légèrement différentes en mécanique.1.1Les repèresLa nature du mouvement d’un solide dépend de son observateur.Un exemple parlant est le mouvement de la Terre:–pour un observateur regardant la Terre depuis le Soleil,la Terre tourne autour du Soleil en parcourant une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers–pour un observateur regardant la Terre en se trouvant sur sa surface,la Terre estfixeIl convient donc defixer un repère dans lequel la position d’un solide et son mouvement pourront être décrits de manière unique.1.1.1Définition1.1.2Les vecteursLes vecteurs vontêtre un outil récurrent.Tout d’abord,d’après la définition1,ils permettent de construire les repères,et de plus,nous allons les utiliser:–en cinématique pour décrire la position,la vitesse et l’accélération des solides7–en statique pour modéliser les actions mécaniques–en dynamique pour exprimer les composantes de résultante et de moment des torseurs ciné-tiques et dynamiquesDéfinitionNous allons nous intéresser aux vecteurs des espaces vectoriels euclidiens de dimension3,ce qui va nous permettre de définir un produit scalaire.Ces vecteurs peuvent ainsiêtre représentés par des flèches,ce qui va s’avérer très commode pour dessiner des forces ou des vecteurs vitesse.Direction des vecteursLorsque l’on parle de vecteurs en mathématiques,la direction d’un vecteur est l’une de ses trois caractéristiques,les deux autresétant sa norme et son sens.Le terme de direction est alors associéàun ensemble de droites affines parallèles non orientées,et le sens permet de connaître l’orientation du vecteur.En mécanique,cette notion de sens est essentielle puisque l’orientation des vecteurs que nous manipulerons aura un impact sur le résultat de l’analyse,et la notion de direction sans sens n’a donc,sans jeu de mot,aucun sens.C’est pourquoi,en mécanique,nous allons orienter les directions.Ainsi,dans le cas oùla direction(au sens mathématique du terme)d’un vecteur sera connue, nous tracerons uneflèche pour matérialiser et orienter cette direction,et la résolution du problème nous permettra de trouver un résultat avec un signe.C’est ce signe qui nous permettra de valider ou non l’orientation:–si le signe est positif,le résultat sera donc dans le sens défini par laflèche–si le signe est négatif,le résultat sera donc dans le sens contraireàcelui qui aétéchoisi1.1.3Sens trigonométriqueEnfin,pour pouvoir orienter l’espace,il vaêtre nécessaire de définir un sens pour les répères pour pouvoir différencier les deux repères de l’espace de la Figure1.1.Nous allons tout d’abord devoir définir un axe par rapport auquel définir ce sens.8Figure1.1–Deux repères(O, x, y, z)dans l’espaceSi l’on reprend,par exemple,les deux repères de la Figure1.1et que l’on considère l’axe commun (O, z)comme axe de rotation,on constate alors que seuls deux sens de rotation sont possibles autour de cet axe:–il est possible de passer de xà y en laissant l’axe(O, z)sur la gauche–il est possible de passer de xà y en laissant l’axe(O, z)sur la droiterepère.C’est ce côtésur lequel on laisse l’axe de rotation qui va nous serviràdéfinir le sens d’un1.1.4Base vectorielle directeLe choix d’une direction et du sens trigonométrique permet de construire une base orthonormée directe,très souvent notée( x, y, z)en mécanique.Pour une base vectorielle orthonormée directe( x, y, z),le sens direct se définit très simplement par permutation circulaire:–autour de l’axe x,le sens direct est défini en allant de y vers z,–autour de l’axe y,le sens direct est défini en allant de z vers x,–autour de l’axe x,le sens direct est défini en allant de x vers y.Nous pouvons ainsi différencier les deux repères de la Figure1.1:le repère(O, x, y, z)de lafigure de gauche est direct,alors que le repère(O, x, y, z)de lafigure de droite est indirect.9Par la suite,nous n’utiliseront que des bases orthonormées directes.On peut noter qu’une telle base orthonormée directe nous permet d’orienter l’espace euclidien de dimension3,et donc de définir un produit vectoriel.1.2Lesfigures de changement de baseUn angle est défini entre deux vecteurs:c’est donc une construction plane dans le plan vectoriel défini par les deux vecteurs.Il est ainsi possible de définir un angle entre deux bases vectorielles ayant un vecteur commun. Ce vecteur commun est le vecteur orthogonal au plan contenant l’angleàdéfinir.Supposons,par exemple,que l’on souhaite définir un angleαentre deux bases vectorielles ( x1, y1, z1)et( x2, y2, z2)ayant pour vecteur commun z1= z2.Unefigure plane,oufigure de changement de base,suffitàdéfinir l’angleα.Comme les vecteurs z1et z2sont identiques,cela implique queα=( x1, x2)=( y1, y2).Lafigure de changement de base va donc contenir les vecteurs x1, x2, y1, y2,et le vecteur z1= z2est orthogonal au plan de la feuille.Deux choix sont ensuite possibles:–choisir une normale sortante(le vecteur z1= z2sort de la feuille)–choisir une normale entrante(le vecteur z1= z2entre dans la feuille)Par la suite,nous retiendrons la normale sortante,de sorte que le plan soit orientédans le sens trigonoméfigure de définition de l’angleαest donc la Figure1.2.Figure1.2–Lafigure de changement de base permettant de définir l’angleαAinsi,selon le type de mouvement d’un solide,il sera possible de définir un ou plusieurs angles relatifsàune ou plusieurs bases associées au mouvement,et ainsi différents systèmes de coordon-nées.Cesfigures de changements de base permettront ensuite d’exprimer deséquivalences entre les10différents systèmes de coordonnées.1.3Les différents systèmes de coordonnéesL’espace géométrique est un espace de points.Le repère d’espace de référence est un repère orthonormédirect construit àpartir d’un point particulier et d’une base vectorielle orthonormée directe.Les axes du repère sont les droites issues du point origine du repère et sont orientées par les vecteurs de la base.Soit O le point origine du repère de référence ( x , y , z ),et soit P le point courant que l’on veut repérer.1.3.1Coordonnées cartésiennes (x,y,z )En coordonnées cartésiennes,la position du point P est exprimée àl’aide de ses projections orthogonales x P ,y P ,et z P sur les trois axes du repère de référence,comme illustrésur la Figure 1.3.Les coordonnées cartésiennes sont donc trois longueurs algébriques.Le vecteur position −−→OP peut alors être exprimépar :−−→OP =x P x +y P y +z P zFigure 1.3–Coordonnées cartésiennes du point P1.3.2Coordonnées cylindriques (r,θ,z )Les coordonnées cylindriques sont particulièrement adaptées lorsque le point P appartient àun solide en rotation autour d’un axe fixe (par exemple,(O, z )).La position du point P est alors exprimée àl’aide :–de la distance r P entre O et le projetéorthogonal P de P sur le plan (O, x , y )11–de l’angle θP =( x ,−−→OP )–de la projection orthogonale z P de P sur (O, z )La détermination des coordonnées (r P ,θP ,z P )du point P est illustrée sur la Figure 1.4.Figure 1.4–Coordonnées cylindriques du point PLes coordonnées cylindriques sont constituées de deux longueurs algébriques (r P et z P )et d’un angle (θP ).Le vecteur position −−→OP peut alors être exprimépar :−−→OP =r P u +z P zoùle vecteur u est défini àl’aide de l’angle θP sur la Figure 1.5de changement de base.Figure 1.5–Figure de changement de base permettant de définir u1.3.3Coordonnées sphériques (r,θ,ϕ)Les coordonnées sphériques sont particulièrement adaptées lorsque le point P appartient àun solide en rotation autour d’un point fixe (que nous considérerons ici être le point O).Elles constituent12une généralisation des coordonnées polaires du plan.La position du point P est alors exprimée àl’aide :–de la distance r P entre O et P–de l’angle θP =( x , a )–de l’angle ϕP =( z , u )La détermination des coordonnées (r P ,θP ,ϕP )du point P est illustrée sur la Figure 1.6.Figure 1.6–Coordonnées sphériques du point PLes coordonnées sphériques sont constituées d’une longueur algébrique (r P )et de deux angles (θP et ϕP ).Le vecteur position −−→OP peut alors être exprimépar :−−→OP =r P uoùle vecteur u est défini àl’aide des angles θP et ϕP sur les figures de changement de base de la Figure 1.7.Figure 1.7–Figures de changement de base permettant de définir u1.4Changement de repère et angles d’Euler (ψ,θ,ϕ)Dans la suite du cours,nous allons être amenés àétudier le mouvement relatif de repères les uns par rapport aux autres.Les angles d’Euler vont nous permettre d’étudier l’orientation relative de13ces repères.Ils doivent leur nom au mathématicien et physicien suisse Leonhard Paul Euler(Figure 1.8).Figure1.8–Leonhard Paul Euler(1707-1783)Ces trois angles vont nous permettre d’orienter une base vectorielle quelconque par rapportàune autreàl’aide de trois rotations successives:–une première rotation,appelée précession,autour de l’un des trois vecteurs de la première base,–une troisième rotation,appelée rotation propre,autour de l’un des trois vecteurs de la deuxième base,–une deuxième rotation,appelée nutation,autour de l’un des deux vecteurs orthogonaux aux deux vecteurs précédemment choisis,ce vecteurétant appelévecteur nodal.Lesfigures de changement de base permettant d’expliciter ces rotations seront détaillées dans la section1.5.2,après que les rappels sur le produit vectoriel(nécessaire ici)aientétéeffectués.1.5Opérations sur les vecteursComme nous allonsêtre amenésàassocier des repères aux solides et que ces repères sont construits àl’aide de vecteurs,diverses opérations sur les vecteurs vont nousêtre nécessaires,opérations au sujet desquelles il convient d’effectuer quelques rappels.1.5.1Produit scalaireComme nous travaillons dans des espaces vectoriels euclidiens de dimension3,il nous est possible de définir un produit scalaire.14Le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.En mécanique,nous allons cependant simplifier la définition6.En effet,les vecteurs que nous allons manipuler seront exprimés dans des bases orthonormées,ce qui implique que les seuls produits scalaires que nous effectuerons seront des produits scalaires entre vecteurs de bases vectorielles or-thonormées,dont la norme vaut1.En reprenant la définition6,nous aurons donc u1 = u2 =1, d’où:u1· u2=cos( u1, u2),l’angle( u1, u2)pouvantêtre déterminéàpartir desfigures de changement de base.Ainsi,par exemple,dans le cas de lafigure de changement de base de la Figure1.5,nous pouvons déterminer que:u· x=cos( u, x)=cosθPu· y=cos( u, y)=cos π2−θP =sinθP1.5.2Produit vectorielComme nous pouvons orienter les espaces vectoriels euclidiens de dimension3àl’aide de bases, il nous est possible de définir un produit vectoriel.15Le produit vectoriel est un produit distributif anticommutatif.Làencore,comme nous allons utiliser le plus souvent des vecteurs unitaires,cette définition pourraêtre simplifiée en:u1∧ u2=sin( u1, u2) nAinsi,en reprenant lafigure de changement de base de la Figure1.5,nous pouvons déterminer que:u∧ x=−sin( u, x) z=−sinθP zu∧ y=−sin( u, y) z=−sin π2−θP z=−cosθP zPour rappel,il est possible de déterminer assez facilement les produits vectoriels entre vecteurs d’une même base orthonormée directe en faisant des permutations circulaires.Ainsi,dans la base orthonormée directe( x, y, z),x∧ y= zy∧ z= xz∧ x= yRéciproquement,le produit vectoriel permet de construire des trièdres directs puisque,pour tous vecteurs orthogonaux u1et u2,la base( u1, u2, u1∧ u2)est directe.Application du produit vectoriel aux angles d’EulerIl nous est ainsi possible de reprendre le cas des angles d’Euler.Considérons deux bases ortho-normées directes( x1, y1, z1)et( x2, y2, z2)comme sur la Figure1.9.Figure1.9–Comment orienter la base( x2, y2, z2)par rapportàla base( x1, y1, z1)?16Considérons que la précession est effectuée autour de z1,et que la rotation propre est effectuée autour de z2.Le vecteur nodal n est donc orthogonalà z1et z2et défini par:n=z1∧ z2z1∧ z2= z1∧ z2Il est ensuite possible de décomposer les différentes rotations pour passer de la base( x1, y1, z1)àla base( x2, y2, z2):–la précession(1ère rotation)se fait autour de z1,et la nutation(2e rotation)doit se faire autour de n,donc la précession doit faire passer de x1à n et l’on a donc( x1, n)=ψ:on passe de la base( x1, y1, z1)àla base( n, z1∧ n, z1),–la nutation(2e rotation)se fait autour de n,et la rotation propre(3e rotation)doit se faire autour de z2,donc la nutation doit faire passer de z1à z2et l’on a donc( z1, z2)=θ:on passe de la base( n, z1∧ n, z1)àla base( n, z2∧ n, z2),–la rotation propre est la dernière rotation:elle se fait autour de z2et fait passer de la base ( z2, n, z2∧∧ n)àla base( z2, x2, y2),on a donc( n, x2)=ϕ.Lesfigures de changement de base définissant les trois angles d’Euler sont présentées en Figure 1.10,et lafigure représentant les différentes bases est présentée en Figure1.11.Figure1.10–Figures de changement de base permettant de définir les trois angles d’Eulerψ,θet ϕFigure1.11–( x2, y2, z2)est orientée par rapportà( x1, y1, z1)grâce aux angles d’Euler17Les trois angles d’Euler portent le nom des rotations auxquelles ils sont associés:ψest l’angle de précession,θ,l’angle de nutation,etϕ,l’angle de rotation propre.1.5.3Produit mixteLe produit mixte va s’avérer très utile pour exprimer les lois d’entrée-sortie dans les coursàvenir.On peut remarquer que:–( u1, u2, u3)=det( u1, u2, u3)–le produit mixte est donc invariant par permutation circulaire sur les vecteurs:( u1, u2, u3)= ( u2, u3, u1)=( u3, u1, u2).–si deux des trois vecteurs sont colinéaires,le produit mixte est nulCes propriétés vont nous permettre de simplifier les calculs.Ainsi,si( x1, y1, z1)est une base orthonormée directe,le produit mixte( x1∧ y2)· z1peutêtre simplifiécomme suit:( x1∧ y2)· z1=( z1∧ x1)· y2= y1· y21.5.4Double produit vectorielLe double produit vectoriel est,comme son nom l’indique,une expression du typeu1∧( u2∧ u3)C’est un vecteur qui présente la particularitéd’être inclus dans le plan( u2, u3)puisqu’il vaut:u1∧( u2∧ u3)=( u1· u3) u2−( u1· u2) u3(1.1) Le double produit vectoriel va s’avérer utile pour décomposer un vecteur ou pour résoudre des équations vectorielles du type a∧ x= c.Par exemple,si l’on souhaite décomposer un vecteur quelconque U en la somme d’un vecteur d’un plan quelconque P et d’un vecteur portépar la normale nàce plan,on peut remarquer que:n∧( U∧ n)=( n· n) U−( n· U) n= U−( U· n) n18et on peut donc en déduire la décomposition de Usuivante : U = n ∧( U ∧ n )+( U · n ) n (1.2)oùle vecteur n ∧( U ∧ n )appartient au plan P puisque n est orthogonal àP et U ∧ n est donc inclusdans P.De même,il est possible de déterminer les vecteurs x solutions d’équations du type a ∧ x = c par application du double produit vectoriel.Pour obtenir x dans le membre de gauche,il suffit d’effectuer le produit vectoriel par le vecteur a àgauche,ce qui donne :a ∧( a ∧ x )= a ∧ c⇔( a · x ) a −( a · a ) x = a ∧ c⇔ x = a · x a · a a −1 a 2a ∧ c ⇒ x =λ a −1 a2 a ∧ c ,λ∈R si a = 0.Réciproquement,si x =λ a −1 a 2 a ∧ c ,a ∧ x = a ∧ λ a −1 a 2a ∧ c ⇔ a ∧ x =−1 a 2a ∧( a ∧ c )⇔ a ∧ x =−1 a2[( a · c ) a −( a · a ) c ]⇔ a ∧ x = c − a · c a 2a L’équation a ∧ x = c n’admet donc de solutions que si a est non nul et orthogonal à c .Les vecteurs x solutions sont alors de la formex =λ a −1 a 2 a ∧ c ,λ∈R (1.3)Remarque :Résoudre l’équationa ∧ x = c s’appelle également effectuer la division vectorielle de c par a .1.6Torseurs et opérations sur les torseursNous allons par la suite rencontrer plusieurs champs de vecteurs qui peuvent être représentés par des torseurs.Nous allons donc rappeler ce que sont ces différents éléments et leurs propriétés.191.6.1Champs de vecteursIl existe deux types particuliers de champs de vecteurs :–les champs de vecteurs uniformes ,dont les vecteurs sont identiques en tout point àchaque instant (tout en pouvant être différents entre deux instants)∀A,B ∈E , u (A )= u (B )–les champs de vecteurs équiprojectifs ,dont deux vecteurs en deux points ont même projection orthogonale sur la direction définie par ces deux points∀A,B∈E , u (A )·−−→AB = u (B )·−−→AB1.6.2TorseursCe terme de torseur vient de la forme remarquable d’un champ de vecteurs équiprojectif.Nous reviendrons sur ce point dans la section 1.6.5.Une propriétédes torseurs est qu’il existe un vecteur que nous noterons r et qui permet de changer facilement de point sur le champ de vecteurs,selon la relationu (B )= u (A )+ r ∧−−→AB (1.4)201.6.3Somme de deux torseursSoient deux champs de vecteurséquiprojectifs u1(M)et u2(M).Il est possible de construire un nouveau champ de vecteurs u(M)définir par∀M∈E, u(M)= u1(M)+ u2(M).Ce champ de vecteurs estégalementéquiprojectif,et seséléments de réduction peuventêtre déterminés simplement par:r= r1+ r2u(M)= u1(M)+ u2(M)L’écriture torsorielle de la somme de ces deux champs de vecteurséquiprojectifs est alorsT=T1+T2Remarque:Il faut bien garder en mémoire que l’on ne sait calculer la somme de deux torseurs que s’ils sont exprimés au même point.Si deux torseurs ne sont pas exprimés au même point,alors il faut effectuer un changement de point avant de pouvoir les ajouter.1.6.4Comoment et automomentConsidérons deux champs de vecteurséquiprojectifs u1(M)et u2(M)dont on détermine les éléments de réduction en un même point A:T1= r1 u1(A) A,T2= r2 u2(A) ALes deux torseurs donc on détermine le comoment doivent nécessairement être exprimés au même point.En revanche,le comoment de deux torseurs est un invariant,il ne dépend donc pas du point de réduction des torseurs.Preuve :Exprimons les éléments de réduction des deux champs de vecteurs u 1(M )et u 2(M )au point B en fonction de leurs éléments de réduction au point A.D’après l’équation 1.4,on a :u 1(B )= u 1(A )+ r 1∧−−→AB u 2(B )= u 2(A )+ r 2∧−−→ABOn peut maintenant calculer l’expression r 1· u 2(B )+ r 2· u 1(B )comme suit :r 1· u 2(B )+ r 2· u 1(B )= r 1·( u 2(A )+ r 2∧−−→AB )+ r 2·( u 1(A )+ r 1∧−−→AB )⇔ r 1· u 2(B )+ r 2· u 1(B )= r 1· u 2(A )+ r 2· u 1(A )+ r 1·( r 2∧−−→AB )+ r 2·( r 1∧−−→AB )Nous avons vu que le produit mixte est invariant par permutation circulaire sur les vecteurs,doncr 2·( r 1∧−−→AB )= r 1·(−−→AB ∧ r 2)=− r 1·( r 2∧−−→AB ),du fait que le produit vectoriel est anticommutatif.On a donc finalement :r 1· u 2(B )+ r 2· u 1(B )= r 1· u 2(A )+ r 2· u 1(A ),ce qui prouve bien que le comoment de deux torseurs est un invariant.2L’automoment d’un torseur T est donc égal àla moitiédu comoment du torseur T avec lui-même le comoment est un invariant,la preuve que l’automoment est un invariant est donc évidente.1.6.5Axe central d’un torseurPour un torseur àrésultante non nulle,il existe une droite particulière de l’espace pour laquelle le vecteur moment en tout point est colinéaire au vecteur résultante.Considérons un torseur T d’éléments de réduction r et u (A ).Cherchons l’ensemble des points M tels que r ∧ u (M )= 0.D’après l’équation (1.4),on au (M )= u (A )+ r ∧−−→AM22On a donc :r ∧ u (M )= 0⇔ r ∧( u (A )+ r ∧−−→AM )= 0⇔ r ∧ u (A )+ r ∧( r ∧−−→AM )= 0⇔ r ∧( r ∧−−→AM )=− r ∧ u (A )ce qui revient àrésoudre une équation du type a ∧ x = c comme nous l’avons vu dans la section1.5.4.Nous avions vu qu’une telle équation admettait des solutions si a était non nul et orthogonal à c .Ici, r ∧ u (A )et r sont orthogonaux,il suffit donc que r soit non nul pour que l’équation admette des solutions r ∧−−→AM .On a donc :r ∧( r ∧−−→AM )=− r ∧ u (A )⇔( r ·−−→AM ) r −( r · r )−−→AM =− r ∧ u (A )⇒−−→AM =λ r +1 r2 r ∧ u (A ),λ∈RLa définition de la notion d’axe central permet de mieux comprendre pourquoi les torseurs portent ce nom.En effet,si l’on représente la répartition des vecteurs d’un champ équiprojectif autour de l’axe central,on obtient une répartition similaire àcelle de la Figure 1.12et qui donne une impression de torsion autour de l’axe central :On peut constater que :–l’axe central du torseur est orientépar sa résultate–par définition de l’axe central,tous les points de l’axe central ont le même moment,appelémoment central ,qui est colinéaire àla résultante–le vecteur moment est invariant le long de toute droite parallèle àl’axe central–dans un plan perpendiculaire àl’axe central :–le vecteur moment en un point Q quelconque est égal àla somme du moment central et d’une composante orthogonale proportionnelle àla distance de Q àl’axe central–pour tout point d’un cercle centrésur l’axe central,cette composante orthogonale a le même module est est orthogonale au rayon–enfin,que deux plans perpendiculaires àl’axe central admettent la même répartition des vec-teurs moment.23Figure1.12–Répartition des vecteurs moments autour de l’axe central1.6.6Torseurs particuliersIl existe trois types de torseurs particuliers:–le torseur nul:un torseur nul est un champ de vecteurs nul.Seséléments de réduction sont les vecteurs nuls,et on le note O.–le torseur couple:un torseur couple est un champ de vecteurs uniforme non nul dont la résultante est le vecteur nul.Un torseur couple T peut ainsi s’écrire,en tout point M:T= 0 C M–le torseur glisseur:un torseur glisseur est un champ de vecteurs non nulàautomoment nul.Le moment d’un torseur glisseur est nul en tout point de l’axe central.Un torseur glisseur T peut ainsi s’écrire,en tout point M de l’axe central:T= r 0 M241.7Dérivation1.7.1Dérivation vectorielleNous avons vuàla section1.3que le vecteur position pouvaitêtre expriméàl’aide de vecteurs de plusieurs bases plus ou moins adaptées.Cependant,nous allons non seulement nous intéresseràla position des points d’un solide,mais aussiàla variation(et doncàla dérivée)de cette position au cours du temps.Il va cependantêtre primordial de tenir compte de la base dans laquelle les vecteurs sont exprimés, et de la base par rapportàlaquelle ils sont dérivés.En effet:–si un vecteur est exprimédans la base de dérivation,alors sa direction estfixe dans la base de dérivation et les coordonnées du vecteur dérivésont les dérivées respectives des coordonnées du vecteur dans cette même base,–si un vecteur est exprimédans une base i autre que la base de dérivation k,alors sa direction est variable dans la base de dérivation,et la dérivée temporelle des vecteurs de la base i par rapportàla base de dérivation interviendraégalement dans le calcul.Dans la pratique,cette dérivation par rapportàune base vectorielle aura les mêmes propriétés que la dérivation par rapportàune variable concernant:–la dérivée d’une somme de deux vecteurs∀ U, V, d( U+ V)dt k= d U dt k+ d V dt k–la dérivée d’un produit d’un réel et d’un vecteur∀λ∈R,∀ U, d(λ U)dt k=dλdt U+λ d U dt k–la dérivée d’un produit scalaire entre deux vecteurs∀ U, V, d( U· V)dt k= d U dt k· V+ U· d V dt k–la dérivée d’un produit vectoriel entre deux vecteurs∀ U, V, d( U∧ V)dt k= d U dt k∧ V+ U∧ d V dt k25On peut remarquer que,si l’on considère un vecteur quelconque U=λ u,où u est unitaire,la dérivée du vecteur U dans une base k estégaleàd U dt= d(λ u)dt k=dλdt u+λ d u dt k,ket est donc constituée de deux termes:–un premier terme,dλu,qui représente la variation de module du vecteur Uàdirection constante dt–un second terme,λ d u dt k,qui représente la variation de direction du vecteur Uàmodule constantce qui traduit bien le fait qu’un vecteur quelconque peut changeràla fois de module et de direction au cours du temps.1.7.2Changement de repère de dérivationComme indiquédans la section précédente,si la base i dans laquelle un vecteur est expriméet la base k de dérivation sont différentes,alors ce vecteur est mobile par rapportàla base par rapportàla base j,et la dérivée temporelle des vecteurs de la base i par rapportàla base k interviendra dans le calcul.Il est possible de changer de base d’observation grâceàune formule.On aura donc tout intérêtàchoisir pour la base i une baseàlaquelle appartient le vecteur u, de sorte que d u dt i= 0.Le vecteur Ω(i/k)est appelévecteur rotation de la base vectorielle i par rapportàla base vectorielle k.1.7.3Vecteur rotationCe vecteur rotation qui intervient dans la formule de changement de base(et qui interviendra également dans d’autres parties du cours)est,comme nous l’avons indiquédans la section1.7.2,le vecteur rotation d’une base vectorielle par rapportàune autre.Nous avons vuàla section1.2qu’une base pouvaitêtre positionnée par rapportàune autreàl’aide d’angles.Le vecteur rotation va donc être directement liéaux angles apparaissant sur lesfigures de changement de base.Avant tout,il est nécessaire de souligner une différence qui pourrait sembler déroutante entre la notation que nous allons utiliser en mécanique pour les dérivées temporelles de fonctions du temps et les notations utilisées en sciences physiques et en mathématiques:26。